Funções Racionais | Matemática A

Funções Racionais 1

Forma \(a+\frac{b}{x-c}\), assíntotas e contradomínio

Considere as funções definidas por:

\(f(x)=\dfrac{3x+2}{x}\)

\(g(x)=\dfrac{6x-1}{x-3}\)

\(h(x)=\dfrac{2-5x}{x+2}\)

\(i(x)=\dfrac{2-4x}{5-x}\)

\(j(x)=\dfrac{3x-1}{3x+3}\)

\(k(x)=\dfrac{2x-5}{3-4x}\)

1.1. Escreva cada expressão na forma \(a+\dfrac{b}{x-c}\).

1.2. Determine a equação da assíntota horizontal e da assíntota vertical ao gráfico de cada função.

1.3. Indique o domínio e o contradomínio de cada função.

Escreve-se cada fração separando a parte constante da parte que fica sobre o denominador. Numa função da forma \(a+\dfrac{b}{x-c}\), a assíntota vertical é \(x=c\) e a assíntota horizontal é \(y=a\).

Função \(f\)

Forma: \(\dfrac{3x+2}{x}=3+\dfrac2x\)
Assíntotas: \(x=0\), \(y=3\)
Domínio: \(D_f=\mathbb R\setminus\{0\}\)
Contradomínio: \(D'_f=\mathbb R\setminus\{3\}\)

Função \(g\)

Forma: \(\dfrac{6x-1}{x-3}=6+\dfrac{17}{x-3}\)
Assíntotas: \(x=3\), \(y=6\)
Domínio: \(D_g=\mathbb R\setminus\{3\}\)
Contradomínio: \(D'_g=\mathbb R\setminus\{6\}\)

Função \(h\)

Forma: \(\dfrac{2-5x}{x+2}=-5+\dfrac{12}{x+2}\)
Assíntotas: \(x=-2\), \(y=-5\)
Domínio: \(D_h=\mathbb R\setminus\{-2\}\)
Contradomínio: \(D'_h=\mathbb R\setminus\{-5\}\)

Função \(i\)

Forma: \(\dfrac{2-4x}{5-x}=4-\dfrac{18}{5-x}=4+\dfrac{18}{x-5}\)
Assíntotas: \(x=5\), \(y=4\)
Domínio: \(D_i=\mathbb R\setminus\{5\}\)
Contradomínio: \(D'_i=\mathbb R\setminus\{4\}\)

Função \(j\)

Forma: \(\dfrac{3x-1}{3x+3}=1-\dfrac4{3x+3}=1-\dfrac{4}{3(x+1)}\)
Assíntotas: \(x=-1\), \(y=1\)
Domínio: \(D_j=\mathbb R\setminus\{-1\}\)
Contradomínio: \(D'_j=\mathbb R\setminus\{1\}\)

Função \(k\)

Forma: \(\dfrac{2x-5}{3-4x}=-\dfrac12+\dfrac{\frac78}{x-\frac34}\)
Assíntotas: \(x=\dfrac34\), \(y=-\dfrac12\)
Domínio: \(D_k=\mathbb R\setminus\left\{\dfrac34\right\}\)
Contradomínio: \(D'_k=\mathbb R\setminus\left\{-\dfrac12\right\}\)

Transformações de \(\frac1x\) e limites

Seja \(g\) a função racional, de domínio \(\mathbb R\setminus\{0\}\), definida por \(g(x)=-\dfrac2x\).

2.1. A partir do gráfico da função \(f(x)=\dfrac1x\), obtenha o gráfico de \(g\).

2.2. Indique as equações das assíntotas ao gráfico de \(g\).

2.3. Complete os limites laterais e no infinito.

Como \(g(x)=-2\cdot\dfrac1x\), o gráfico de \(g\) obtém-se a partir do gráfico de \(f(x)=\dfrac1x\) por uma dilatação vertical de fator \(2\), seguida de uma reflexão em relação ao eixo \(Ox\).

Transformação do gráfico de 1 sobre x para obter -2 sobre x

A assíntota horizontal é \(y=0\) e a assíntota vertical é \(x=0\).

\[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=0^-,\quad \lim_{x\to-\infty}g(x)=0^+,\quad \lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to0^-}g(x)=+\infty. \]

Domínio, zero e sinal

Considere a função \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac{4x+5}{2x-1}\).

3.1. Determine o domínio da função.

3.2. Para que valores de \(k\) a equação \(f(x)=k\) é impossível?

3.3. Determine o zero da função.

3.4. Determine o conjunto-solução de \(f(x)\ge3\).

3.1. O denominador não pode ser nulo:

\[ 2x-1\ne0\iff x\ne\frac12. \]

\(D_f=\mathbb R\setminus\left\{\frac12\right\}\).

3.2. Escrevendo a função na forma adequada,

\[ f(x)=\frac{4x+5}{2x-1}=2+\frac7{2x-1}. \]

Como \(\dfrac7{2x-1}\) nunca é \(0\), a função nunca toma o valor \(2\).

A equação \(f(x)=k\) é impossível para \(k=2\).

3.3. O zero obtém-se anulando o numerador, respeitando o domínio:

\[ f(x)=0\iff 4x+5=0\iff x=-\frac54. \]

3.4. Passando tudo para o primeiro membro:

\[ \frac{4x+5}{2x-1}\ge3 \iff \frac{4x+5-3(2x-1)}{2x-1}\ge0 \iff \frac{-2x+8}{2x-1}\ge0. \]

\(x\)	\(-\infty\)	\(\frac12\)		\(4\)	\(+\infty\)
\(-2x+8\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	0	\(-\)
\(2x-1\)	\(-\)	n.d.	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(\dfrac{-2x+8}{2x-1}\)	\(-\)	S.S.	\(+\)	0	\(-\)

Logo, \(f(x)\ge3\iff x\in\left]\frac12,4\right]\).

Equações racionais

Resolva, em \(\mathbb R\), as equações:

4.1. \(\dfrac{x^2-x-2}{x^2+2x}=0\)

4.2. \(\dfrac{x}{x^2-4}=\dfrac1{2-x}\)

4.3. \(\dfrac{x+2}{2x-x^2}+\dfrac{x}{x-2}=2\)

4.1. Primeiro indicam-se as restrições:

\[ x^2+2x=x(x+2)\ne0\iff x\ne0\wedge x\ne-2. \] \[ \frac{x^2-x-2}{x^2+2x}=0 \iff x^2-x-2=0 \iff (x-2)(x+1)=0. \]

\(C.S.=\{-1,2\}\).

4.2. As restrições são \(x\ne-2\) e \(x\ne2\). Como \(2-x=-(x-2)\), vem

\[ \frac{x}{(x-2)(x+2)}=\frac1{2-x} \iff \frac{x}{(x-2)(x+2)}=-\frac1{x-2}. \] \[ x=-(x+2)\iff 2x=-2\iff x=-1. \]

\(C.S.=\{-1\}\).

4.3. As restrições são \(x\ne0\) e \(x\ne2\). Usando o denominador comum \(x(x-2)\):

\[ -\frac{x+2}{x(x-2)}+\frac{x^2}{x(x-2)}=2 \] \[ \iff x^2-x-2=2x(x-2) \iff x^2-3x+2=0 \iff x=1\vee x=2. \]

Como \(x=2\) não pertence ao domínio, fica apenas \(x=1\).

\(C.S.=\{1\}\).

Inequações racionais

Resolva, em \(\mathbb R\), as inequações:

5.1. \(\dfrac{4-x^2}{x^2-2x}\ge\dfrac1x\)

5.2. \(x<\dfrac{3-x}{x+1}\)

5.3. \(\dfrac{(x-2)^2}{x(x+1)^3}<0\)

5.4. \(\dfrac1{x+1}+\dfrac{2x^2-x-1}{1-x^2}\le0\)

5.1. O domínio impõe \(x\ne0\) e \(x\ne2\). Depois,

\[ \frac{4-x^2}{x^2-2x}-\frac1x\ge0 \iff \frac{4-x^2-(x-2)}{x(x-2)}\ge0 \iff \frac{-(x+3)(x-2)}{x(x-2)}\ge0. \]

O valor \(x=2\) continua excluído, mesmo simplificando o fator \(x-2\).

\(C.S.=[-3,0[\).

5.2. O domínio impõe \(x\ne-1\). Passando tudo para o primeiro membro:

\[ x-\frac{3-x}{x+1}<0 \iff \frac{x(x+1)-(3-x)}{x+1}<0 \iff \frac{x^2+2x-3}{x+1}<0. \] \[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1). \]

\(x\)	\(-\infty\)	\(-3\)		\(-1\)		\(1\)	\(+\infty\)
\((x+3)(x-1)\)	\(+\)	0	\(-\)	\(-\)	\(-\)	0	\(+\)
\(x+1\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	S.S.	\(+\)	\(+\)	\(+\)
Quociente	\(-\)	0	\(+\)	S.S.	\(-\)	0	\(+\)

\(C.S.=]-\infty,-3[\cup]-1,1[\).

5.3. O domínio impõe \(x\ne-1\) e \(x\ne0\). Como \((x-2)^2\ge0\) e só é \(0\) em \(x=2\), o sinal depende do denominador, exceto no zero \(x=2\), que não entra por a desigualdade ser estrita.

\(x\)	\(-\infty\)	\(-1\)		\(0\)		\(2\)	\(+\infty\)
\((x-2)^2\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	0	\(+\)
\(x(x+1)^3\)	\(+\)	S.S.	\(-\)	S.S.	\(+\)	\(+\)	\(+\)
Quociente	\(+\)	S.S.	\(-\)	S.S.	\(+\)	0	\(+\)

\(C.S.=]-1,0[\).

5.4. As restrições são \(x\ne-1\) e \(x\ne1\). Fatorizando \(2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)\) e \(1-x^2=-(x-1)(x+1)\), obtém-se

\[ \frac1{x+1}+\frac{2x^2-x-1}{1-x^2}\le0 \iff \frac1{x+1}-\frac{2x+1}{x+1}\le0 \iff \frac{-2x}{x+1}\le0. \]

\(C.S.=]-\infty,-1[\cup[0,1[\cup]1,+\infty[\).

Função racional e área de triângulo

Seja \(f(x)=\dfrac{2x-8}{x-3}\).

6.1. Represente \(f(x)\) na forma \(a+\dfrac{b}{x-c}\), com \(b\ne0\).

6.2. Mostre que \(\dfrac{37}{20}\) pertence ao contradomínio da função.

6.3. Determine o conjunto-solução da condição \(f(x)<0\).

6.4. Na figura estão representadas parte do gráfico de \(f\) e um triângulo \([OPI]\). O ponto \(I\) é a interseção de \(f\) com o eixo \(Oy\), e \(P\) é o ponto do gráfico de \(f\) de abcissa \(x\), com \(x\in]0,3[\). Determine a abcissa de \(P\) para que a área de \([OPI]\) seja \(3,2\).

6.1. Dividindo \(2x-8\) por \(x-3\), vem

\[ f(x)=\frac{2x-8}{x-3}=2-\frac2{x-3}. \]

6.2. Para verificar se \(\dfrac{37}{20}\) pertence ao contradomínio, resolvemos \(f(x)=\dfrac{37}{20}\):

\[ \frac{2x-8}{x-3}=\frac{37}{20} \iff 20(2x-8)=37(x-3) \] \[ \iff 40x-160=37x-111 \iff 3x=49 \iff x=\frac{49}{3}. \]

Como \(\frac{49}{3}\ne3\), este valor pertence ao domínio.

Logo, \(\dfrac{37}{20}\) pertence ao contradomínio.

6.3.

\[ f(x)<0\iff \frac{2(x-4)}{x-3}<0. \]

O quociente é negativo entre \(3\) e \(4\). Assim, \(C.S.=]3,4[\).

6.4. O ponto \(I\) é a interseção com o eixo \(Oy\):

\[ I=(0,f(0))=\left(0,\frac{-8}{-3}\right)=\left(0,\frac83\right). \]

A base \(\overline{OI}\) mede \(\frac83\). Como \(P\) tem abcissa \(x\), a altura do triângulo relativamente a essa base é \(x\).

\[ A_{[OPI]}=\frac{\frac83\cdot x}{2}=\frac{4x}{3}. \] \[ \frac{4x}{3}=3,2=\frac{16}{5} \iff x=\frac{12}{5}=2,4. \]

A abcissa do ponto \(P\) é \(2,4\).

Parâmetros em \(a+\frac{b}{x+c}\)

Considere uma função \(f\), definida por \(f(x)=a+\dfrac{b}{x+c}\), em que \(a\), \(b\) e \(c\) são números reais não nulos.

Sabe-se que \(D_f=\mathbb R\setminus\{3\}\), \(D'_f=\mathbb R\setminus\{-5\}\) e \(f(0)=-6\). Determine \(a\), \(b\) e \(c\).

Na expressão \(a+\dfrac{b}{x+c}\), o valor excluído do domínio é o que anula \(x+c\). Como \(D_f=\mathbb R\setminus\{3\}\), tem-se

\[ x+c=0\quad\text{para}\quad x=3 \quad\Rightarrow\quad 3+c=0\quad\Rightarrow\quad c=-3. \]

O valor excluído do contradomínio é a assíntota horizontal, isto é, \(a\). Assim, \(a=-5\).

Usando \(f(0)=-6\):

\[ -5+\frac{b}{0-3}=-6 \iff \frac{b}{-3}=-1 \iff b=3. \]

\(a=-5\), \(b=3\) e \(c=-3\).

Área mínima de retângulo

Na figura está representado, num referencial o.n. \(Oxy\), o gráfico da função \(f\), de domínio \(]1,+\infty[\), definida por

\[ f(x)=2+\frac3{x-1}. \]

Considere o ponto \(P\), pertencente ao gráfico de \(f\), de abcissa \(x\). Para cada posição de \(P\), define-se o retângulo de diagonal \([OP]\) e lados paralelos aos eixos coordenados.

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o valor mínimo da área do retângulo, arredondado às décimas.

Retângulo de diagonal OP associado ao gráfico de f

Como \(P=(x,f(x))\), a área do retângulo é

\[ A(x)=x\cdot f(x)=x\left(2+\frac3{x-1}\right),\qquad x>1. \]

Na calculadora gráfica representa-se a função

\[ A(x)=x\left(2+\frac3{x-1}\right),\quad x>1, \]

e procura-se o mínimo no intervalo \(]1,+\infty[\).

O ponto de mínimo visualizado é aproximadamente

\[ (2,225;\;9,899). \]

O valor mínimo da área é aproximadamente \(9,9\).

Função definida por ramos e área

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb R\), definida por

\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x+3}{x+2}, & \text{se }x<-2\\[4pt] 3+(x-2)^2, & \text{se }x\ge-2 \end{cases} \]

No referencial o.n. \(Oxy\), considere os pontos \(A\) e \(B\), em que \(A\) é o ponto do gráfico de \(f\) cuja ordenada é \(0\), e \(B\) é o ponto do gráfico de \(f\) cujo valor da ordenada é um mínimo relativo da função. Determine a área do triângulo \([ABO]\).

Para determinar \(A\), resolvemos \(f(x)=0\). No primeiro ramo:

\[ \frac{x+3}{x+2}=0\iff x+3=0\iff x=-3. \]

Este valor é válido porque \(-3<-2\). No segundo ramo, \(3+(x-2)^2\ge3\), logo não há zeros.

\[ A=(-3,0). \]

O segundo ramo é uma parábola com vértice em \(x=2\). O valor mínimo relativo é

\[ f(2)=3+(2-2)^2=3. \] \[ B=(2,3). \]

O segmento \([AO]\) está sobre o eixo \(Ox\) e mede \(3\). A altura relativa a essa base é a ordenada de \(B\), que é \(3\).

\[ A_{[ABO]}=\frac{3\cdot3}{2}=\frac92. \]

A área do triângulo \([ABO]\) é \(\dfrac92\).

10.

Contradomínio e inequação por ramos

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb R\), definida por

\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{4+2x}{x-5}, & \text{se }x>5\\[4pt] x-5, & \text{se }x\le5 \end{cases} \]

10.1. Determine o contradomínio da função \(f\).

10.2. Resolva, no intervalo \(]5,+\infty[\), a condição \(f(x)\ge\dfrac{x}{4}+1\).

10.1. Para \(x\le5\), \(f(x)=x-5\), logo os valores obtidos são \(]-\infty,0]\).

Para \(x>5\),

\[ \frac{4+2x}{x-5}=2+\frac{14}{x-5}. \]

Como \(x-5>0\), tem-se \(\frac{14}{x-5}>0\), logo os valores obtidos são \(]2,+\infty[\).

\(D'_f=]-\infty,0]\cup]2,+\infty[\).

10.2. No intervalo \(]5,+\infty[\), usa-se o primeiro ramo:

\[ \frac{4+2x}{x-5}\ge\frac{x}{4}+1 \iff \frac{4+2x}{x-5}-\frac{x+4}{4}\ge0. \] \[ \iff \frac{4(4+2x)-(x+4)(x-5)}{4(x-5)}\ge0 \iff \frac{-x^2+9x+36}{4(x-5)}\ge0. \]

Como \(x>5\), o denominador é positivo. Basta resolver

\[ -x^2+9x+36\ge0 \iff x^2-9x-36\le0 \iff x\in[-3,12]. \]

Intersectando com \(]5,+\infty[\), obtém-se:

\(C.S.=]5,12]\).

11.

Translação vertical e zeros

Relativamente a uma função racional \(f\) do tipo \(y=a+\dfrac{b}{x-c}\), com \(b\ne0\), sabe-se que tem domínio \(D_f=\mathbb R\setminus\{-4\}\) e contradomínio \(D'_f=\mathbb R\setminus\{5\}\).

Considere a função \(g\) definida por \(g(x)=f(x)+d\), com \(d\in\mathbb R\setminus\{0\}\). Indique o valor de \(d\) para o qual a função \(g\) não tem zeros.

Como \(D'_f=\mathbb R\setminus\{5\}\), a função \(f\) nunca toma o valor \(5\).

A função \(g(x)=f(x)+d\) tem contradomínio

\[ D'_g=\mathbb R\setminus\{5+d\}. \]

Para que \(g\) não tenha zeros, o valor \(0\) tem de ser o valor excluído do contradomínio:

\[ 5+d=0\iff d=-5. \]

O valor pedido é \(d=-5\).

Funções Racionais 2

12.

Zeros de função racional

Considere a função \(f\), real de variável real, definida por

\[ f(x)=\frac{x^3-4x}{x+2}. \]

Em relação aos zeros da função \(f\), pode concluir-se:

(A) a função tem três zeros

(B) a função não tem zeros

(D) a função tem um único zero

Os zeros obtêm-se anulando o numerador e respeitando o domínio:

\[ f(x)=0 \iff \frac{x^3-4x}{x+2}=0 \iff x^3-4x=0\wedge x+2\ne0. \] \[ x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2). \] \[ (x=0\vee x=2\vee x=-2)\wedge x\ne-2. \]

Os zeros são \(0\) e \(2\). Opção C.

13.

Inequação racional de escolha múltipla

Considere \(g(x)=\dfrac{x}{x^2-1}\). O conjunto-solução da inequação \(g(x)<0\) é:

(A) \(]-1,1[\)

(B) \(]-1,0[\cup]1,+\infty[\)

(D) \(]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\)

O domínio impõe \(x\ne-1\) e \(x\ne1\). Além disso, o numerador anula-se em \(x=0\).

\(x\)	\(-\infty\)	\(-1\)		\(0\)		\(1\)	\(+\infty\)
\(x\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	0	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(x^2-1\)	\(+\)	S.S.	\(-\)	\(-\)	\(-\)	S.S.	\(+\)
\(g(x)\)	\(-\)	S.S.	\(+\)	0	\(-\)	S.S.	\(+\)

\(g(x)<0\iff x\in]-\infty,-1[\cup]0,1[\). Opção C.

14.

Interseção com o eixo \(Ox\)

Na figura, em referencial o.n. \(Oxy\), está representada a função racional \(f\) definida por

\[ f(x)=\frac{x^4+8x}{3x^2+1}. \]

O gráfico de \(f\) interseta o eixo \(Ox\) na origem e no ponto \(A\). Determine a abcissa do ponto \(A\).

Gráfico da função racional com ponto A no eixo Ox

(A) \(-2\)

(B) \(-\sqrt[3]{5}\)

(D) \(-\dfrac83\)

Como \(3x^2+1>0\) para todo o \(x\in\mathbb R\), o domínio é \(\mathbb R\). Para determinar as interseções com o eixo \(Ox\), anulamos o numerador:

\[ f(x)=0\iff x^4+8x=0 \iff x(x^3+8)=0. \] \[ x=0\vee x^3=-8 \iff x=0\vee x=-2. \]

O ponto \(A\) é o ponto com abcissa negativa.

A abcissa de \(A\) é \(-2\). Opção A.

15.

Valores do parâmetro \(k\)

Para cada número real \(k\), considere a função \(f\) definida por

\[ f(x)=\frac{x^2-9}{x+k},\qquad k\in\mathbb R. \]

Sabe-se que o gráfico de \(f\) interseta o eixo \(Ox\) em dois pontos. Indique os possíveis valores de \(k\).

(A) \(\{-3,3\}\)

(B) \(-3\)

(D) \(\mathbb R\setminus\{-3,3\}\)

As interseções com o eixo \(Ox\) vêm dos zeros do numerador, desde que pertençam ao domínio:

\[ x^2-9=0\iff x=-3\vee x=3. \]

O domínio é definido pela condição \(x+k\ne0\). Para que os dois zeros existam no gráfico, nem \(-3\) nem \(3\) podem anular o denominador.

\[ -3+k\ne0\iff k\ne3,\qquad 3+k\ne0\iff k\ne-3. \]

Logo, \(k\in\mathbb R\setminus\{-3,3\}\). Opção D.

16.

Domínio, zeros e inequação

Considere a função \(f\), real de variável real, definida por

\[ f(x)=\frac{2x^2-5x}{x+2}. \]

16.1. Determine o domínio da função e os seus zeros.

16.2. Por processos exclusivamente analíticos, verifique se \(2\) pertence ao contradomínio da função.

16.3. Represente na forma de intervalo ou reunião de intervalos o conjunto-solução da inequação \(f(x)<7\).

16.1. O denominador não pode ser nulo:

\[ x+2\ne0\iff x\ne-2. \]

\(D_f=\mathbb R\setminus\{-2\}\).

Para os zeros:

\[ f(x)=0\iff 2x^2-5x=0\wedge x\in D_f \iff x(2x-5)=0. \] \[ x=0\vee x=\frac52. \]

Zeros: \(0\) e \(\dfrac52\).

16.2. Verificamos se a equação \(f(x)=2\) tem solução no domínio:

\[ \frac{2x^2-5x}{x+2}=2 \iff 2x^2-5x=2x+4 \iff 2x^2-7x-4=0. \] \[ x=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot2\cdot(-4)}}{2\cdot2} =\frac{7\pm9}{4}. \] \[ x=4\vee x=-\frac12. \]

Ambos os valores pertencem ao domínio.

Conclui-se que \(2\) pertence ao contradomínio da função.

16.3.

\[ f(x)<7 \iff \frac{2x^2-5x}{x+2}-7<0 \iff \frac{2x^2-12x-14}{x+2}<0. \] \[ \frac{2(x^2-6x-7)}{x+2}<0 \iff \frac{(x+1)(x-7)}{x+2}<0. \]

\(x\)	\(-\infty\)	\(-2\)		\(-1\)		\(7\)	\(+\infty\)
\(x^2-6x-7\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	0	\(-\)	0	\(+\)
\(x+2\)	\(-\)	S.S.	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
Quociente	\(-\)	S.S.	\(+\)	0	\(-\)	0	\(+\)

\(C.S.=]-\infty,-2[\cup]-1,7[\).

17.

Interseções, área e perímetro

Considere as funções \(f\) e \(g\), reais de variável real, definidas por

\[ f(x)=\frac2x \quad\text{e}\quad g(x)=\frac{10x^2-10x-20}{x^2-2x-3}. \]

17.1. Mostre que \(g(x)=\dfrac{10x-20}{x-3}\), com \(x\ne-1\).

17.2. Determine, analiticamente, as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de \(g\) com a bissetriz dos quadrantes ímpares. Apresente os valores arredondados às centésimas.

17.3. Na figura estão representadas, no primeiro quadrante, parte dos gráficos de \(f\) e \(g\). Relativamente ao trapézio \([ABCD]\), determine, arredondado às décimas, a sua área e o seu perímetro.

Trapézio ABCD entre os gráficos de f e g

17.1. Fatorizando numerador e denominador:

\[ 10x^2-10x-20=10(x^2-x-2)=10(x+1)(x-2), \] \[ x^2-2x-3=(x+1)(x-3). \]

Então, com \(x\ne-1\) e \(x\ne3\),

\[ g(x)=\frac{10(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-3)} =\frac{10(x-2)}{x-3} =\frac{10x-20}{x-3}. \]

17.2. A bissetriz dos quadrantes ímpares tem equação \(y=x\). Assim:

\[ g(x)=x \iff \frac{10x-20}{x-3}=x \iff 10x-20=x(x-3). \] \[ \iff x^2-13x+20=0 \iff x=\frac{13\pm\sqrt{89}}2. \]

Logo, os pontos de interseção são

\[ P_1\left(\frac{13+\sqrt{89}}2,\frac{13+\sqrt{89}}2\right)\approx(11,22;\,11,22), \] \[ P_2\left(\frac{13-\sqrt{89}}2,\frac{13-\sqrt{89}}2\right)\approx(1,78;\,1,78). \]

17.3. Primeiro determinam-se as interseções entre os gráficos de \(f\) e \(g\):

\[ \frac{10x-20}{x-3}=\frac2x \iff x(10x-20)=2(x-3). \] \[ \iff 10x^2-22x+6=0 \iff 5x^2-11x+3=0. \] \[ x=\frac{11\pm\sqrt{61}}{10}\approx0,319\quad\text{ou}\quad x\approx1,881. \]

Como \(f(x)=\dfrac2x\), obtém-se

\[ C\approx(0,319;\,6,270),\qquad D\approx(1,881;\,1,063). \]

Logo, \(\overline{BC}\approx0,319\), \(\overline{AD}\approx1,881\) e \(\overline{BA}\approx6,270-1,063=5,207\).

\[ A_{[ABCD]}=\frac{\overline{AD}+\overline{BC}}2\cdot\overline{BA} \approx \frac{1,881+0,319}{2}\cdot5,207 \approx5,7. \]

Para o perímetro, calcula-se ainda

\[ \overline{CD}= \sqrt{(0,319-1,881)^2+(6,270-1,063)^2}\approx5,436. \] \[ P_{[ABCD]}\approx1,881+5,436+0,319+5,207=12,843\approx12,8. \]

Área: \(5,7\). Perímetro: \(12,8\).

18.

Área de triângulo entre \(f\) e \(g\)

Considere as funções \(f\) e \(g\) tais que

\[ f:\mathbb R_0^+\to\mathbb R,\quad x\mapsto\frac{x}{x+1} \qquad\text{e}\qquad g:\mathbb R\to\mathbb R,\quad x\mapsto x. \]

O ponto \(P\), de abcissa positiva, pertence ao gráfico de \(f\). O ponto \(Q\) tem abcissa igual à de \(P\) e pertence ao gráfico de \(g\). Seja \(a(x)\) a área do triângulo \([OPQ]\), sendo \(x\) a abcissa do ponto \(P\).

Triângulo OPQ entre os gráficos de f e g

18.1. Determine a área do triângulo \([OPQ]\) no caso da ordenada de \(P\) ser \(0,8\).

18.2. Mostre que \(a(x)=\dfrac{x^3}{2x+2}\), \(x>0\).

18.3. Determine a área do triângulo \([OPQ]\), sabendo que \(\overline{PQ}=\dfrac94\).

18.1. Se a ordenada de \(P\) é \(0,8=\dfrac45\), então

\[ \frac{x}{x+1}=\frac45 \iff 5x=4x+4 \iff x=4. \]

Logo, \(P=(4,0,8)\). Como \(Q\) pertence ao gráfico de \(g(x)=x\) e tem a mesma abcissa, \(Q=(4,4)\).

\[ \overline{PQ}=4-0,8=3,2. \]

A distância de \(O\) à reta vertical \(PQ\) é \(4\). Portanto,

\[ A_{[OPQ]}=\frac{4\cdot3,2}{2}=6,4. \]

18.2. Para uma abcissa \(x>0\), tem-se

\[ P=\left(x,\frac{x}{x+1}\right) \quad\text{e}\quad Q=(x,x). \]

Assim,

\[ \overline{PQ}=x-\frac{x}{x+1} =\frac{x(x+1)-x}{x+1} =\frac{x^2}{x+1}. \]

A base pode ser \(\overline{PQ}\) e a altura correspondente é a distância de \(O\) à reta vertical \(x=\text{constante}\), isto é, \(x\). Logo,

\[ a(x)=\frac{x\cdot\frac{x^2}{x+1}}2 =\frac{x^3}{2(x+1)} =\frac{x^3}{2x+2}. \]

18.3. Sabendo que \(\overline{PQ}=\dfrac94\), vem

\[ \frac{x^2}{x+1}=\frac94 \iff 4x^2=9x+9 \iff 4x^2-9x-9=0. \] \[ x=\frac{9\pm\sqrt{81+144}}8 =\frac{9\pm15}{8}. \]

Como \(x>0\), fica \(x=3\). Assim,

\[ A_{[OPQ]}=\frac{x\cdot\overline{PQ}}2 =\frac{3\cdot\frac94}{2} =\frac{27}{8}. \]

A área pedida é \(\dfrac{27}{8}\).