Funções Polinomiais e Funções Racionais

1.1. A função \(f\) está fatorizada. Os zeros são \(-1\), \(1\) e \(3\). Como o coeficiente líder é positivo, o sinal alterna ao atravessar cada zero simples.

1.2. Resolvida como no PDF, passando tudo para o primeiro membro:

\[ f(x)Como \(-x^2+2x-7\) não tem zeros reais e é sempre negativo, o quadro de sinais fica:

\(x\)	\(-\infty\)	\(-1\)		\(1\)	\(+\infty\)
\(x+1\)	\(-\)	0	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(x-1\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	0	\(+\)
\(-x^2+2x-7\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)
\(f(x)-g(x)\)	\(-\)	0	\(+\)	0	\(-\)

Logo, \(f(x)

Uma função racional não está definida nos valores que anulam algum denominador.

6.1.

\[ D_f=\mathbb R\setminus\{5\},\qquad f(x)=0\iff x=0. \]

6.2. Como \(x^2+4x+3=(x+3)(x+1)\),

\[ D_f=\mathbb R\setminus\{-3,-1\}. \]

O valor \(x=-1\) anula o numerador, mas não pertence ao domínio; portanto, a função não tem zeros.

6.3.

\[ D_f=\mathbb R\setminus\left\{-1,-\frac12\right\}. \] \[ \frac{x-1}{2x+1}+\frac1{x+1}=0 \iff \frac{(x-1)(x+1)+(2x+1)}{(2x+1)(x+1)}=0 \] \[ \iff x^2+2x=0\iff x=0\vee x=-2. \]

6.4.

\[ D_f=\mathbb R\setminus\{1,2\},\qquad f(x)=\frac{(x+1)^2(x-3)}{(x-2)^2(x-1)}. \]

6.5.

\[ D_f=\mathbb R\setminus\{-\sqrt3,\sqrt3\} \] \[ -x^3+x^2+2x-2=-(x-1)(x^2-2)=-(x-1)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2). \]

6.6. Primeiro reduzimos a uma única fração:

\[ f(x)=\frac{x^2-7}{x-2}-\frac6x =\frac{x^3-13x+12}{x(x-2)},\quad D_f=\mathbb R\setminus\{0,2\}. \]

Fatorizando o numerador por Ruffini com \(1\):

\[ x^3-13x+12=(x-1)(x^2+x-12)=(x-1)(x+4)(x-3). \]

6.7. O denominador fatoriza-se por Ruffini:

\[ 9x^3+9x^2-4x-4=(x+1)(9x^2-4)=(x+1)(3x-2)(3x+2). \] \[ D_f=\mathbb R\setminus\left\{-1,-\frac23,\frac23\right\},\qquad 3x^2-2x=x(3x-2). \]

O valor \(\frac23\) não é zero da função porque não pertence ao domínio.

6.8.

\[ D_f=\mathbb R\setminus\{0,1\},\qquad f(x)=\frac{x(x^2+1)}{x(x-1)^2}. \]

O valor \(0\) não é zero da função porque não pertence ao domínio. Além disso, \(x^2+1>0\) e \((x-1)^2>0\) no domínio.

8.1. O domínio é \(D=\mathbb R\setminus\{-2,0\}\). Como uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador não é zero,

\[ x^2-x-2=0\iff x=-1\vee x=2. \]

8.2. O domínio é \(D=\mathbb R\setminus\{-2,2\}\).

\[ \frac{x}{x^2-4}=\frac1{2-x} \iff \frac{x}{(x-2)(x+2)}+\frac1{x-2}=0 \] \[ \iff \frac{x+x+2}{(x-2)(x+2)}=0 \iff 2x+2=0 \iff x=-1. \]

8.3. O domínio é \(D=\mathbb R\setminus\{0,2\}\).

\[ \frac{x+2}{2x-x^2}+\frac{x}{x-2}=2 \iff \frac{x+2}{x(2-x)}-\frac{x}{2-x}-2=0 \] \[ \iff \frac{x+2-x^2-4x+2x^2}{x(2-x)}=0 \iff x^2-3x+2=0. \] \[ x^2-3x+2=0\iff x=1\vee x=2. \]

Como \(2\notin D\), rejeita-se \(x=2\).

9.1.

\[ \frac{4-x^2}{x(x-2)}-\frac1x\ge0 \iff \frac{-x^2-x+6}{x(x-2)}\ge0. \] \[ -x^2-x+6=0\iff x=-3\vee x=2,\qquad x(x-2)=0\iff x=0\vee x=2. \]

9.2.

\[ 2x-\frac{x+2}{x-1}<0 \iff \frac{2x^2-3x-2}{x-1}<0. \] \[ 2x^2-3x-2=0\iff x=-\frac12\vee x=2,\qquad x-1=0\iff x=1. \]

9.3. Pelo enunciado impresso, estudamos \((3-x)^3\). Como a potência é ímpar, \((3-x)^3\) tem o sinal de \(3-x\).

\[ D=\mathbb R\setminus\{-1,0\}. \]

9.4.

\[ \frac1{x+1}+\frac{2x^2-x-1}{1-x^2} =\frac{1-x+2x^2-x-1}{(1-x)(1+x)} =\frac{2x^2-2x}{(1-x)(1+x)}. \]

Assim, resolvemos

\[ \frac{2x(x-1)}{(1-x)(1+x)}\le0,\qquad x\ne-1,\ x\ne1. \]

Como \(x=1\) não pertence ao domínio, podemos simplificar o sinal por \(x-1\), mantendo a exclusão \(x=1\):

\[ -\frac{2x}{x+1}\le0\iff \frac{x}{x+1}\ge0. \]

9.5.

\[ \frac{x-5}{(x+1)(x-2)}-\frac2{x+1}\le0 \iff \frac{-x-1}{(x+1)(x-2)}\le0. \]

Como \(-1\) e \(2\) não pertencem ao domínio, o quadro de sinais dá:

9.6.

\[ \frac{x^2-2}{x(x+3)}-\frac2x\ge0 \iff \frac{x^2-2x-8}{x(x+3)}\ge0. \] \[ x^2-2x-8=0\iff x=-2\vee x=4,\qquad x(x+3)=0\iff x=0\vee x=-3. \]

9.7.

\[ \frac{x^3-x^2}{(x-1)(x+1)}-\frac5{x+1}>0 \iff \frac{x^3-x^2-5x+5}{(x-1)(x+1)}>0 \] \[ \iff \frac{(x-1)(x^2-5)}{(x-1)(x+1)}>0,\qquad x\ne-1,\ x\ne1. \]

O fator \(x-1\) pode simplificar-se no sinal, mas \(x=1\) continua excluído do domínio.

9.8.

\[ 1-\frac1{x+1}-\frac4{x^2+x}\ge0 \iff \frac{x^2+x-x-4}{x(x+1)}\ge0 \iff \frac{x^2-4}{x(x+1)}\ge0. \] \[ x^2-4=0\iff x=-2\vee x=2,\qquad x(x+1)=0\iff x=0\vee x=-1. \]

Os pontos \(A\) e \(B\) são as interseções dos gráficos, logo resolvemos \(f(x)=g(x)\):

\[ \frac3x=\frac{4x-10}{x-3} \iff 3(x-3)=x(4x-10) \] \[ \iff -4x^2+13x-9=0 \iff x=1\vee x=\frac94. \]

Assim,

\[ A=(1,f(1))=(1,3),\qquad B=\left(\frac94,f\left(\frac94\right)\right)=\left(\frac94,\frac43\right). \]

Como \(D\) tem a mesma ordenada de \(A\) e pertence ao eixo \(Oy\), \(D=(0,3)\). Como \(C\) tem a mesma ordenada de \(B\) e pertence ao eixo \(Oy\), \(C=\left(0,\frac43\right)\).

\[ \overline{AB}=\sqrt{\left(1-\frac94\right)^2+\left(3-\frac43\right)^2}=\frac{25}{12} \] \[ \overline{BC}=\frac94,\qquad \overline{DA}=1,\qquad \overline{CD}=3-\frac43=\frac53. \]

A área do trapézio é

\[ A=\frac{\overline{BC}+\overline{AD}}2\cdot\overline{CD} =\frac{\frac94+1}{2}\cdot\frac53=\frac{65}{24}. \]

O perímetro é

\[ P=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA} =\frac{25}{12}+\frac94+\frac53+1=7. \]

11.1. Pelas retas \(x=-3\) e \(y=3\), temos

\[ A=(-3,3),\qquad B=(0,3). \]

O ponto \(C\) é a interseção com o eixo \(Oy\):

\[ C=(0,f(0))=\left(0,\frac{3\cdot0+6}{0+3}\right)=(0,2). \]

O ponto \(D\) é a interseção com o eixo \(Ox\):

\[ f(x)=0\iff \frac{3x+6}{x+3}=0\iff 3x+6=0\iff x=-2. \]

Logo, \(D=(-2,0)\).

Como no PDF, calcula-se a área por diferença:

\[ A_{[ABCD]}=A_{\text{trapézio }[ABOD]}-A_{\text{triângulo }[CDO]}. \] \[ A_{[ABOD]}=\frac{\overline{AB}+\overline{OD}}2\cdot\overline{OB} =\frac{3+2}{2}\cdot3=\frac{15}{2} \] \[ A_{[CDO]}=\frac{\overline{OD}\cdot\overline{OC}}2=\frac{2\cdot2}{2}=2. \]

11.2. Como se considera a restrição \(f_{]-3,+\infty[}\), temos \(x\in]-3,+\infty[\). Então:

\[ \frac{3x+6}{x+3}\ge1 \iff \frac{3x+6}{x+3}-1\ge0 \] \[ \iff \frac{3x+6-x-3}{x+3}\ge0 \iff \frac{2x+3}{x+3}\ge0. \]

No intervalo \(]-3,+\infty[\), o denominador \(x+3\) é positivo. Por isso, basta impor \(2x+3\ge0\):

\[ 2x+3\ge0\iff x\ge-\frac32. \]