📌 Resumo teórico
Operações com funções
Dadas duas funções reais de variável real \(f\) e \(g\), para cada \(x\) em que as expressões fazem sentido:
- soma e diferença: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) e \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\);
- produto: \((f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\);
- quociente: \(\left(\dfrac fg\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\).
Domínios
\(D_{f+g}=D_{f-g}=D_{f\times g}=D_f\cap D_g\)
\(D_{\frac fg}=\left\{x\in D_f\cap D_g:\ g(x)\ne0\right\}\)
Ao domínio do quociente retiram-se sempre os zeros do denominador.
Zeros
- \(f\times g\): \((f\times g)(x)=0\) \(\Leftrightarrow f(x)=0\ \vee\ g(x)=0\), com \(x\in D_f\cap D_g\) (lei do anulamento do produto);
- \(\dfrac fg\): \(\left(\dfrac fg\right)(x)=0\) \(\Leftrightarrow f(x)=0\ \wedge\ g(x)\ne0\), com \(x\in D_f\cap D_g\) — um zero do denominador nunca é zero do quociente;
- \(f-g\): \((f-g)(x)=0\) \(\Leftrightarrow f(x)=g(x)\), ou seja, os zeros de \(f-g\) são as abcissas dos pontos de interseção dos gráficos de \(f\) e \(g\).
Sinal de um produto ou de um quociente
Faz-se um quadro de sinais com todos os fatores e aplica-se a regra dos sinais. Num quociente, nos zeros do denominador a função não está definida (n.d.). Numa condição com \(\ge\) ou \(\le\) os zeros da função pertencem ao conjunto-solução; com \(\gt\) ou \(\lt\) ficam de fora.
Ferramentas úteis
- se \(a\) é zero de um polinómio \(P\), então \(P(x)=(x-a)\,Q(x)\), e o quociente \(Q\) obtém-se pela regra de Ruffini;
- módulo: \(|x-a|=x-a\) se \(x\ge a\) e \(|x-a|=-(x-a)\) se \(x\lt a\) — uma função com módulo escreve-se por ramos.
Operações com Funções
Domínio e sinal de \(\frac fg\)
Considere as funções \(f\) e \(g\), cujas expressões analíticas são \(f(x)=x^2-1\) e \(g(x)=x^2-3x+2\).
Determine o domínio da função \(\dfrac fg\) e os valores de \(x\) para os quais a função é positiva.
Domínio. As funções \(f\) e \(g\) têm domínio \(\mathbb R\); ao domínio do quociente retiram-se os zeros do denominador:
\(D_{\frac fg}=\left\{x\in\mathbb R:\ x^2-3x+2\ne0\right\}\) \(=\mathbb R\setminus\{1,2\}\)
Sinal. Pretende-se resolver \(\left(\dfrac fg\right)(x)\gt0\), isto é, \(\dfrac{x^2-1}{x^2-3x+2}\gt0\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2-1\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x^2-3x+2\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
| \(\dfrac fg\) | \(+\) | 0 | \(-\) | n.d. | \(-\) | n.d. | \(+\) |
Para \(x\ne1\), \(\dfrac{x^2-1}{x^2-3x+2}\) \(=\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}\) \(=\dfrac{x+1}{x-2}\): o gráfico de \(\dfrac fg\) é a hipérbole de equação \(y=\dfrac{x+1}{x-2}\) sem o ponto de abcissa \(1\).
Valores, domínios, zeros e condições
Sejam \(f\), \(g\) e \(h\) as funções reais de variável real definidas por:
\(f(x)=x^2+3x-4\)
\(g(x)=1-x^2\)
\(h(x)=x^3+8x^2+16x\)
2.1. Calcule, se existir:
a) \((f+g)(2)\)
b) \((f-h)(-1)\)
c) \((f+h)(-4)\)
d) \((h\times f)(1)\)
e) \(\left(\dfrac gf\right)(1)\)
f) \(\left(\dfrac fg\right)(-4)\)
2.2. Indique o domínio e determine os zeros de cada uma das seguintes funções.
a) \(f+g\)
b) \(f+h\)
c) \(f\times g\)
2.3. Determine o domínio das seguintes funções.
a) \(\dfrac fg\)
b) \(\dfrac gh\)
c) \(\dfrac hf\)
2.4. Determine o conjunto-solução de cada uma das seguintes condições.
a) \(f(x)\ge0\)
b) \(h(x)\lt0\)
c) \((f\times g)(x)\ge0\)
2.1. As três funções são polinomiais, com domínio \(\mathbb R\). Calcula-se cada imagem e depois opera-se com os valores obtidos.
a) \(f(2)=2^2+3\times2-4=6\) e \(g(2)=1-2^2=-3\), logo
\((f+g)(2)=f(2)+g(2)\) \(=6+(-3)=3\)
b) \(f(-1)=(-1)^2+3\times(-1)-4\) \(=-6\) e \(h(-1)=(-1)^3+8\times(-1)^2\) \({}+16\times(-1)\) \(=-1+8-16=-9\), logo
\((f-h)(-1)=f(-1)-h(-1)\) \(=-6-(-9)=3\)
c) \(f(-4)=(-4)^2+3\times(-4)-4\) \(=0\) e \(h(-4)=(-4)^3+8\times(-4)^2\) \({}+16\times(-4)\) \(=-64+128-64=0\), logo
\((f+h)(-4)=f(-4)+h(-4)\) \(=0+0=0\)
d) \(h(1)=1^3+8\times1^2+16\times1\) \(=25\) e \(f(1)=1^2+3\times1-4=0\), logo
\((h\times f)(1)=h(1)\times f(1)\) \(=25\times0=0\)
e) \(g(1)=1-1^2=0\) e \(f(1)=0\). Como o denominador se anula, \(1\notin D_{\frac gf}\): o quociente \(\dfrac{g(1)}{f(1)}\) seria \(\dfrac00\), que não está definido.
Logo, não existe \(\left(\dfrac gf\right)(1)\).
f) \(f(-4)=0\) (alínea c)) e \(g(-4)=1-(-4)^2=-15\ne0\), logo
\(\left(\dfrac fg\right)(-4)=\dfrac{f(-4)}{g(-4)}\) \(=\dfrac0{-15}=0\)
2.2. Como \(D_f=D_g=D_h=\mathbb R\), as três funções pedidas têm domínio \(\mathbb R\cap\mathbb R=\mathbb R\).
a)
\((f+g)(x)=0\) \(\Leftrightarrow x^2+3x-4+1-x^2=0\) \(\Leftrightarrow 3x-3=0\) \(\Leftrightarrow x=1\)
b)
\((f+h)(x)=0\) \(\Leftrightarrow x^2+3x-4+x^3+8x^2+16x=0\) \(\Leftrightarrow x^3+9x^2+19x-4=0\)
Pela alínea 2.1 c), \((f+h)(-4)=0\), ou seja, \(-4\) é raiz deste polinómio. Aplicando a regra de Ruffini com \(-4\):
| \(-4\) | \(1\) | \(9\) | \(19\) | \(-4\) |
| \(-4\) | \(-20\) | \(4\) | ||
| \(1\) | \(5\) | \(-1\) | \(0\) |
\(x^3+9x^2+19x-4=0\) \(\Leftrightarrow (x+4)\left(x^2+5x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow x+4=0\ \vee\ x^2+5x-1=0\) \(\Leftrightarrow x=-4\ \vee\ x=\dfrac{-5-\sqrt{29}}2\) \({}\vee\ x=\dfrac{-5+\sqrt{29}}2\)
c) Pela lei do anulamento do produto,
\((f\times g)(x)=0\) \(\Leftrightarrow f(x)=0\ \vee\ g(x)=0\) \(\Leftrightarrow x^2+3x-4=0\ \vee\ 1-x^2=0\) \(\Leftrightarrow x=-4\ \vee\ x=1\ \vee\ x=-1\)
\(1-x^2=0\) \(\Leftrightarrow x^2=1\) \(\Leftrightarrow x=-1\ \vee\ x=1\)
2.3. Ao domínio de cada quociente retiram-se os zeros do denominador.
a) Os zeros de \(g\) são \(-1\) e \(1\) (alínea 2.2 c)):
\(D_{\frac fg}=\left\{x\in\mathbb R:\ 1-x^2\ne0\right\}\) \(=\mathbb R\setminus\{-1,1\}\)
b) Para os zeros de \(h\), põe-se \(x\) em evidência:
\(x^3+8x^2+16x=0\) \(\Leftrightarrow x\left(x^2+8x+16\right)=0\) \(\Leftrightarrow x(x+4)^2=0\) \(\Leftrightarrow x=0\ \vee\ x=-4\)
\(D_{\frac gh}=\left\{x\in\mathbb R:\ x^3+8x^2+16x\ne0\right\}\) \(=\mathbb R\setminus\{-4,0\}\)
c) Os zeros de \(f\) são \(-4\) e \(1\) (alínea 2.2 c)):
\(D_{\frac hf}=\left\{x\in\mathbb R:\ x^2+3x-4\ne0\right\}\) \(=\mathbb R\setminus\{-4,1\}\)
2.4. a) \(f(x)\ge0\) \(\Leftrightarrow x^2+3x-4\ge0\). Os zeros de \(f\) são \(-4\) e \(1\) e o gráfico de \(f\) é uma parábola com a concavidade voltada para cima (o coeficiente de \(x^2\) é positivo). Logo, \(f\) é positiva fora do intervalo \(\left[-4,1\right]\) e nula em \(-4\) e em \(1\).
b) Pela alínea 2.3 b), \(h(x)=x(x+4)^2\), com zeros \(-4\) e \(0\).
\(h(x)\lt0\Leftrightarrow x(x+4)^2\lt0\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-4\) | \(0\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | 0 | \(+\) |
| \((x+4)^2\) | \(+\) | 0 | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(h(x)\) | \(-\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
c) \((f\times g)(x)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(x^2+3x-4\right)\left(1-x^2\right)\ge0\). Os zeros dos fatores já são conhecidos: \(-4\) e \(1\) no primeiro, \(-1\) e \(1\) no segundo.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-4\) | \(-1\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2+3x-4\) | \(+\) | 0 | \(-\) | \(-\) | \(-\) | 0 | \(+\) |
| \(1-x^2\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) |
| \((f\times g)(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(-\) |
Em \(x=1\) os dois fatores anulam-se, pelo que \((f\times g)(1)=0\): o número \(1\) é uma solução isolada.
Função quadrática dada por propriedades
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções de domínio \(\mathbb R\). Sabe-se que:
- a função \(f\) é definida por \(f(x)=2x+4\);
- a função \(g\) é uma função quadrática cujo gráfico tem eixo de simetria de equação \(x=0\);
- \(g(2)=0\) e \(g(3)\lt0\).
3.1. Qual é o domínio de \(\dfrac gf\)?
3.2. Determine os valores de \(x\) para os quais \((g\times f)(x)\gt0\).
3.3. Determine os zeros da função \(\dfrac gf\).
3.1. Ao domínio do quociente retiram-se os zeros de \(f\):
\(D_{\frac gf}=\{x\in\mathbb R:\ f(x)\ne0\}\) \(=\{x\in\mathbb R:\ 2x+4\ne0\}\) \(=\mathbb R\setminus\{-2\}\)
3.2. O gráfico de \(g\) é simétrico em relação à reta de equação \(x=0\) e \(g(2)=0\), logo também \(g(-2)=0\): os zeros de \(g\) são \(-2\) e \(2\). Assim, \(g(x)=a(x+2)(x-2)=a\left(x^2-4\right)\), com \(a\ne0\).
Como \(g(3)=a\left(3^2-4\right)=5a\lt0\), vem \(a\lt0\): a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Então \(g(x)\gt0\) em \(\left]-2,2\right[\) e \(g(x)\lt0\) em \(\left]-\infty,-2\right[\) e em \(\left]2,+\infty\right[\).
A função afim \(f\) é crescente e anula-se em \(x=-2\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(2\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) |
| \(f(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \((g\times f)(x)\) | \(+\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) |
3.3. Um zero do quociente é um zero do numerador que pertence ao domínio:
\(\left(\dfrac gf\right)(x)=0\) \(\Leftrightarrow g(x)=0\ \wedge\ f(x)\ne0\) \(\Leftrightarrow (x=-2\ \vee\ x=2)\ \wedge\ x\ne-2\) \(\Leftrightarrow x=2\)
Função cúbica dada pelo gráfico
Na figura está representada graficamente a função cúbica \(f\), de domínio \(\mathbb R\).
Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb R\), definida por \(g(x)=4-x^2\).
4.1. Determine \((f+g)(0)\).
4.2. Qual é o domínio da função \(\dfrac gf\)?
4.3. Calcule os zeros da função \(\dfrac fg\).
4.4. Resolva a condição \((f\times g)(x)\le0\). Apresente o resultado na forma de intervalos de números reais.
Da figura: \(f(0)=6\) e os zeros de \(f\) são \(-2\), \(1\) e \(3\).
4.1.
\((f+g)(0)=f(0)+g(0)\) \(=6+\left(4-0^2\right)=10\)
4.2. Ao domínio de \(\dfrac gf\) retiram-se os zeros de \(f\):
\(D_{\frac gf}=\{x\in\mathbb R:\ f(x)\ne0\}\) \(=\mathbb R\setminus\{-2,1,3\}\)
4.3. Os zeros de \(g\) são \(-2\) e \(2\):
Um zero de \(\dfrac fg\) é um zero de \(f\) que não seja zero de \(g\):
\(\left(\dfrac fg\right)(x)=0\) \(\Leftrightarrow f(x)=0\ \wedge\ g(x)\ne0\) \(\Leftrightarrow (x=-2\ \vee\ x=1\ \vee\ x=3)\) \({}\wedge\ (x\ne-2\ \wedge\ x\ne2)\) \(\Leftrightarrow x=1\ \vee\ x=3\)
4.4. O sinal de \(f\) lê-se no gráfico: \(f\) é negativa em \(\left]-\infty,-2\right[\) e em \(\left]1,3\right[\) e é positiva em \(\left]-2,1\right[\) e em \(\left]3,+\infty\right[\). O gráfico de \(g\) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo e zeros \(-2\) e \(2\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) | \(-\) | \(-\) | 0 | \(+\) |
| \(g(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | \(+\) | \(+\) | 0 | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \((f\times g)(x)\) | \(+\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) |
Como \(f\) é uma função cúbica com zeros \(-2\), \(1\) e \(3\), \(f(x)=a(x+2)(x-1)(x-3)\); de \(f(0)=6a=6\) vem \(a=1\). O gráfico seguinte usa esta expressão: \(f\times g\le0\) onde os gráficos de \(f\) e de \(g\) estão de lados opostos do eixo \(Ox\) ou onde um deles o toca.
Parâmetro \(k\) e zeros de \(\frac fg\)
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções de domínio \(\mathbb R\), definidas por \(f(x)=(x+k)^2(x-6)\) e \(g(x)=x^2-5x-6\), em que \(k\) é um número real.
Para que valores de \(k\) a função \(\dfrac fg\) não tem zeros?
Zeros de \(g\):
Logo, \(D_{\frac fg}=\mathbb R\setminus\{-1,6\}\) e
\(\left(\dfrac fg\right)(x)=0\) \(\Leftrightarrow f(x)=0\ \wedge\ g(x)\ne0\) \(\Leftrightarrow (x+k)^2(x-6)=0\) \({}\wedge\ x\ne-1\ \wedge\ x\ne6\) \(\Leftrightarrow (x=-k\ \vee\ x=6)\) \({}\wedge\ x\ne-1\ \wedge\ x\ne6\) \(\Leftrightarrow x=-k\ \wedge\ x\ne-1\ \wedge\ x\ne6\)
O zero \(6\) de \(f\) nunca é zero de \(\dfrac fg\), porque \(6\) não pertence ao domínio. Assim, \(\dfrac fg\) só não tem zeros se \(-k\) também ficar fora do domínio:
\(-k=-1\ \vee\ -k=6\) \(\Leftrightarrow k=1\ \vee\ k=-6\)
- se \(k=1\), \(f(x)=(x+1)^2(x-6)\): os zeros de \(f\), \(-1\) e \(6\), estão ambos fora do domínio de \(\dfrac fg\);
- se \(k=-6\), \(f(x)=(x-6)^3\): o único zero de \(f\) é \(6\), que também está fora do domínio.
Funções dadas por gráficos
Na figura estão representados os gráficos de duas funções, \(f\) e \(g\), em que às abcissas inteiras correspondem ordenadas inteiras.
6.1. Calcule \((f+g)(0)\).
6.2. Qual é o domínio de \(f\times g\) e de \(\dfrac gf\)?
6.3. Indique os zeros da função \(\dfrac fg\).
6.4. Quantos zeros tem a função \(f-g\)?
Pela figura, \(D_f=[-2,2]\) (os extremos do gráfico de \(f\) são pontos cheios) e \(D_g=\left[-1,\dfrac{11}5\right[\) (ponto cheio em \(x=-1\) e ponto vazio em \(x=\dfrac{11}5\)). Lê-se também que \(f(0)=-1\), \(g(0)=3\), que os zeros de \(f\) são \(-1\) e \(1\) e que \(g(-1)=g(1)=2\).
6.1.
\((f+g)(0)=f(0)+g(0)\) \(=-1+3=2\)
6.2.
\(D_{f\times g}=D_f\cap D_g\) \(=[-2,2]\cap\left[-1,\dfrac{11}5\right[\) \(=[-1,2]\)
\(D_{\frac gf}=\{x\in D_f\cap D_g:\ f(x)\ne0\}\) \(=[-1,2]\setminus\{-1,1\}\) \(=\left]-1,1\right[\cup\left]1,2\right]\)
6.3. Os zeros de \(\dfrac fg\) são os zeros de \(f\) em \(D_f\cap D_g=[-1,2]\) onde \(g\) não se anula:
\(\left(\dfrac fg\right)(x)=0\) \(\Leftrightarrow f(x)=0\ \wedge\ g(x)\ne0\) \(\Leftrightarrow (x=-1\ \vee\ x=1)\ \wedge\ g(x)\ne0\) \(\Leftrightarrow x=-1\ \vee\ x=1\)
porque \(g(-1)=2\ne0\) e \(g(1)=2\ne0\).
6.4. \(D_{f-g}=D_f\cap D_g=[-1,2]\) e
\((f-g)(x)=0\) \(\Leftrightarrow f(x)-g(x)=0\) \(\Leftrightarrow f(x)=g(x)\)
Os zeros de \(f-g\) são as abcissas dos pontos de interseção dos gráficos de \(f\) e \(g\) com \(x\in[-1,2]\). Pela figura, os gráficos intersetam-se num único ponto.
Domínios e zeros de \(f+g\)
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções de domínio \(\mathbb R\) definidas por \(f(x)=x^3-3x\) e \(g(x)=x^2+1\).
7.1. Qual das seguintes funções não tem domínio \(\mathbb R\)?
7.2. Determine o conjunto dos zeros da função \(f+g\). Na resposta, comece por determinar \((f+g)(1)\).
7.1. Como \(D_f=D_g=\mathbb R\), vem \(D_{f+g}=D_{f\times g}=\mathbb R\cap\mathbb R=\mathbb R\).
\(D_{\frac fg}=\left\{x\in\mathbb R:\ x^2+1\ne0\right\}=\mathbb R\)
porque \(x^2+1=0\Leftrightarrow x^2=-1\), equação impossível em \(\mathbb R\).
\(D_{\frac gf}=\left\{x\in\mathbb R:\ x^3-3x\ne0\right\}\) \(=\mathbb R\setminus\left\{-\sqrt3,0,\sqrt3\right\}\)
7.2.
\((f+g)(1)=f(1)+g(1)\) \(=\left(1^3-3\times1\right)+\left(1^2+1\right)\) \(=-2+2=0\)
Logo, \(1\) é zero de \(f+g\), cuja expressão é \((f+g)(x)=x^3+x^2-3x+1\). Este polinómio é divisível por \(x-1\); pela regra de Ruffini:
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(-3\) | \(1\) |
| \(1\) | \(2\) | \(-1\) | ||
| \(1\) | \(2\) | \(-1\) | \(0\) |
\(x^3+x^2-3x+1=0\) \(\Leftrightarrow (x-1)\left(x^2+2x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow x-1=0\ \vee\ x^2+2x-1=0\) \(\Leftrightarrow x=1\ \vee\ x=-1-\sqrt2\) \({}\vee\ x=-1+\sqrt2\)
Produto com módulo: contradomínio e monotonia
Considere as funções reais de variável real definidas por \(f(x)=|x-1|\) e \(g(x)=\dfrac1{x+1}\).
Seja \(h(x)=(f\times g)(x)\).
8.1. Determine:
a) o domínio de \(h\);
b) o contradomínio de \(h\).
8.2. Estude a monotonia da função \(h\).
8.1. a)
\(D_h=D_f\cap D_g\) \(=\mathbb R\cap\{x\in\mathbb R:\ x+1\ne0\}\) \(=\mathbb R\setminus\{-1\}\)
b) Começa-se por eliminar o módulo:
\(|x-1|=\begin{cases}x-1 & \text{se } x\ge1\\ -x+1 & \text{se } x\lt1\end{cases}\)
Então, para \(x\ne-1\),
\(h(x)=|x-1|\times\dfrac1{x+1}\) \(=\begin{cases}\dfrac{x-1}{x+1} & \text{se } x\ge1\\[.5em] \dfrac{-x+1}{x+1} & \text{se } x\lt1\end{cases}\)
Como \(x-1=(x+1)-2\), cada ramo escreve-se na forma \(a+\dfrac b{x-c}\):
\(\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{(x+1)-2}{x+1}\) \(=1-\dfrac2{x+1}\)
\(\dfrac{-x+1}{x+1}=-\dfrac{x-1}{x+1}\) \(=-\left(1-\dfrac2{x+1}\right)\) \(=-1+\dfrac2{x+1}\)
\(h(x)=\begin{cases}1-\dfrac2{x+1} & \text{se } x\ge1\\[.5em] -1+\dfrac2{x+1} & \text{se } x\lt1\end{cases}\)
O gráfico de \(h\) é formado por pedaços de duas hipérboles, ambas com a assíntota vertical \(x=-1\):
- para \(x\lt-1\), \(h(x)=-1+\dfrac2{x+1}\) é decrescente e \(h(x)\lt-1\) (porque \(\dfrac2{x+1}\lt0\)); aproxima-se de \(-1\) quando \(x\to-\infty\) e tende para \(-\infty\) quando \(x\to-1^-\). Toma todos os valores de \(\left]-\infty,-1\right[\);
- para \(-1\lt x\lt1\), \(h(x)=-1+\dfrac2{x+1}\) é decrescente, tende para \(+\infty\) quando \(x\to-1^+\) e aproxima-se de \(0\) quando \(x\) se aproxima de \(1\). Toma todos os valores de \(\left]0,+\infty\right[\);
- para \(x\ge1\), \(h(x)=1-\dfrac2{x+1}\) é crescente, \(h(1)=0\), e aproxima-se de \(1\), sem nunca o atingir, quando \(x\to+\infty\). Toma todos os valores de \(\left[0,1\right[\).
8.2. Pelo estudo de cada ramo (e pelo gráfico):
Não se pode dizer que \(h\) é decrescente em \(\left]-\infty,-1\right[\cup\left]-1,1\right]\): por exemplo, \(-2\lt0\) e \(h(-2)=-3\lt h(0)=1\).