Ficha de Preparação para o Teste
Matemática A · 11.º Ano · Derivadas · novembro 2026
Itens de três graus de dificuldade para organizar o estudo. A resolução passo a passo encontra-se numa página à parte.
Indicações gerais
- Nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta.
- Nas respostas abertas, apresente os cálculos e justifique as conclusões. Conserve os valores exatos, salvo indicação em contrário.
- Para calcular derivadas, use as regras da soma, da diferença, do produto e do quociente, e a derivada de $x^n$, com $n\in\mathbb N$. A derivada da função composta não é necessária: uma potência como $(x^2-1)^2$ pode ser desenvolvida ou escrita como um produto.
- No estudo da monotonia e dos extremos, apresente um quadro com o sinal da derivada e a variação da função. Quando o domínio é um intervalo fechado, analise também os extremos do intervalo.
- Use a calculadora gráfica nos itens 10.4, 12.3 e 15.4: equacione o problema, reproduza os gráficos visualizados, assinale as coordenadas dos pontos relevantes e apresente aproximações às centésimas. Nos restantes itens, resolva analiticamente; pode usar a calculadora para confirmar.
- Os exercícios 11 a 15 são problemas de otimização e modelação: indique sempre o domínio da função no contexto do problema e interprete os resultados obtidos. O exercício 16 é um desafio final, propositadamente muito exigente.
Grupo I — Itens de escolha múltipla
1. Escolha múltipla. resolução →
1.1. BÁSICO O gráfico seguinte representa a distância $d$, em quilómetros, percorrida por um automóvel numa viagem, em função do tempo $t$, em horas, decorrido desde o início da viagem. Em qual dos intervalos de tempo seguintes é maior a velocidade média do automóvel?
1.2. BÁSICO De uma função $g$, de domínio $\mathbb R$, sabe-se que $\mathrm{tmv}_{g,[-1,3]}=2$ e que $g(3)=5$. Qual das equações seguintes é a equação reduzida da reta secante ao gráfico de $g$ nos pontos de abcissas $-1$ e $3$?
1.3. BÁSICO Na figura, estão representados parte do gráfico de uma função $g$, de domínio $\mathbb R$, e a reta $r$, tangente ao gráfico de $g$ no ponto $A(1,2)$. A reta $r$ interseta o eixo $Oy$ no ponto de ordenada $5$. Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}$?
1.4. INTERMÉDIO Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb R$ tal que $f(1)=0$ e cuja derivada, também de domínio $\mathbb R$, é dada por $f'(x)=x^3-3x+4$. Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x^2-1}$?
1.5. INTERMÉDIO Na figura, está representada parte do gráfico de $f'$, função derivada de uma função $f$, de domínio $\mathbb R$. A função $f'$ é quadrática e os seus zeros são $-1$ e $3$. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
1.6. INTERMÉDIO Na figura, está representada parte do gráfico de uma função polinomial $f$, de grau $3$, que tem um máximo relativo em $x=-2$ e um mínimo relativo em $x=1$. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função $f'$, derivada de $f$?
1.7. INTERMÉDIO Seja $h$ uma função de domínio $\mathbb R$ cuja derivada é dada por $h'(x)=x^2(x-3)$. Qual das equações seguintes pode definir uma reta perpendicular à reta tangente ao gráfico de $h$ no ponto de abcissa $1$?
1.8. INTERMÉDIO Sejam $f$ uma função afim decrescente e $g$ a função definida por $g(x)=3x^2$. Qual das expressões seguintes pode definir a função derivada de $g-f$?
1.9. DESAFIO Na figura, está representada parte do gráfico de $f'$, função derivada de uma função $f$. A reta de equação $x=-2$ é assíntota do gráfico de $f'$, e $f'$ é positiva em todo o seu domínio. Qual das expressões seguintes pode definir a função $f$?
1.10. DESAFIO Considere as funções $f$, de domínio $\mathbb R$, definidas por $f(x)=x^3+kx^2+3x$, com $k\in\mathbb R$. Qual é o conjunto dos valores de $k$ para os quais a função $f$ é crescente em $\mathbb R$?
Grupo II — Itens de resposta aberta
2. A altura de uma bola. resolução →
Uma bola é lançada verticalmente para cima. A sua altura, em metros, $t$ segundos após o lançamento, é dada por $a(t)=1{,}5+20t-5t^2$, desde o instante do lançamento até ao instante em que a bola atinge o solo.
2.1. BÁSICO Qual era a altura da bola no instante do lançamento? Determine a velocidade média da bola nos dois primeiros segundos.
2.2. INTERMÉDIO Usando a definição de derivada de uma função num ponto, determine a velocidade da bola no instante $t=1$.
2.3. INTERMÉDIO Determine $a'(t)$. Em que instante atinge a bola a altura máxima? Qual é essa altura?
2.4. DESAFIO Determine o instante em que a bola atinge o solo e a velocidade da bola nesse instante. Apresente os valores exatos e, depois, arredondados às centésimas. Interprete o sinal da velocidade obtida.
3. Derivada num ponto e retas tangentes. resolução →
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb R$, definida por $f(x)=2x^2-3x$.
3.1. BÁSICO Usando a definição de derivada de uma função num ponto, calcule $f'(1)$.
3.2. BÁSICO Escreva a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $1$.
3.3. INTERMÉDIO Determine as coordenadas do ponto do gráfico de $f$ em que a reta tangente é paralela à reta de equação $y=5x+2$.
3.4. INTERMÉDIO Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $0$. Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.
3.5. DESAFIO O ponto $P(1,-3)$ não pertence ao gráfico de $f$. Mostre que existem exatamente duas retas tangentes ao gráfico de $f$ que passam no ponto $P$ e escreva as suas equações reduzidas.
4. Regras de derivação. resolução →
Determine uma expressão simplificada da função derivada de cada uma das funções seguintes, definidas no respetivo domínio.
4.1. BÁSICO $f(x)=2x^4-5x^3+\dfrac{x}{2}-7$
4.2. BÁSICO $g(x)=(x^2+1)(3-2x)$
4.3. BÁSICO $j(x)=3x-1+\dfrac{4}{x}$
4.4. INTERMÉDIO $h(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$
4.5. INTERMÉDIO $k(x)=\dfrac{x}{x^2+4}$
4.6. INTERMÉDIO $m(x)=(x^2-1)^2$ (sem recorrer à derivada da função composta)
5. Derivadas de operações com funções. resolução →
Sejam $g$ e $h$ duas funções deriváveis em $\mathbb R$ tais que:
- $g(1)=2$ e $g'(1)=-3$;
- a reta de equação $2y=x+3$ é tangente ao gráfico de $h$ no ponto de abcissa $1$.
5.1. BÁSICO Determine $h(1)$ e $h'(1)$.
5.2. INTERMÉDIO Calcule: a) $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(g+h)(x)-4}{x-1}$; b) $(g\times h)'(1)$; c) $\left(\dfrac1g\right)'(1)$.
5.3. INTERMÉDIO Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de $\dfrac gh$ no ponto de abcissa $1$.
5.4. DESAFIO Seja $f$ a função definida em $\mathbb R$ por $f(x)=(x^2+a)\,g(x)$, com $a\in\mathbb R$. Sabe-se que $f$ tem um extremo relativo em $x=1$. Determine o valor de $a$.
6. Monotonia e extremos. resolução →
Estude cada uma das funções seguintes quanto à monotonia e à existência de extremos relativos e absolutos.
6.1. BÁSICO $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$, de domínio $\mathbb R$.
6.2. INTERMÉDIO $g(x)=x^4-8x^2+3$, de domínio $\mathbb R$.
6.3. INTERMÉDIO $h(x)=x+\dfrac9x$, de domínio $\mathbb R\setminus\{0\}$.
6.4. DESAFIO $j(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$, de domínio $[2,6]$.
7. Do gráfico da derivada à função. resolução →
Na figura, está representada parte do gráfico da função $f'$, derivada de uma função polinomial $f$, de domínio $\mathbb R$. Sabe-se que $-2$, $0$ e $3$ são os únicos zeros de $f'$.
7.1. BÁSICO Indique os intervalos de monotonia da função $f$.
7.2. BÁSICO Indique os extremantes de $f$ e classifique cada um deles.
7.3. INTERMÉDIO Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das afirmações seguintes.
- I. $f(-1)\lt f(0)$
- II. $f(1)\lt f(2)$
- III. A reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $4$ tem declive positivo.
7.4. DESAFIO Admita agora que $f'(x)=\dfrac14x^3-\dfrac14x^2-\dfrac32x$. Determine as abcissas dos pontos do gráfico de $f$ em que a reta tangente tem declive $-\dfrac32$.
8. Uma função cúbica e duas retas tangentes. resolução →
Na figura, estão representadas, num referencial o.n. $xOy$, parte do gráfico da função $f$, definida em $\mathbb R$ por $f(x)=ax^3+bx^2+c$, com $a,b,c\in\mathbb R$, e as retas $s$ e $r$. Sabe-se que:
- o gráfico de $f$ interseta o eixo $Oy$ no ponto $A(0,2)$;
- a reta $s$, de declive $-3$, é tangente ao gráfico de $f$ no ponto $B$, de abcissa $1$;
- a reta $r$ é tangente ao gráfico de $f$ no ponto $C$, de abcissa $2$, e é paralela ao eixo $Ox$.
8.1. INTERMÉDIO Determine os valores de $a$, $b$ e $c$.
8.2. BÁSICO Escreva as equações reduzidas das retas $s$ e $r$.
8.3. BÁSICO Estude a função $f$ quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.
8.4. INTERMÉDIO Seja $t$ a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $3$. Determine a amplitude do ângulo formado pelas retas $s$ e $t$. Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.
8.5. DESAFIO Mostre que, de todas as retas tangentes ao gráfico de $f$, a reta $s$ é a que tem menor declive.
9. Uma família de funções cúbicas. resolução →
Para cada número real $k$, considere a função $f_k$, de domínio $\mathbb R$, definida por $f_k(x)=x^3-3kx+2$.
9.1. BÁSICO Neste item, considere $k=4$. Estude a função $f_4$ quanto à monotonia e determine os seus extremos relativos.
9.2. INTERMÉDIO Determine o valor de $k$ para o qual $f_k$ tem um extremo relativo em $x=3$. Para esse valor de $k$, classifique o extremo e indique o seu valor.
9.3. INTERMÉDIO Considere $k=0$. Verifique que $f_0'(0)=0$, mas que $f_0$ não tem extremo relativo em $x=0$. Explique por que razão este facto não contradiz o teorema de Fermat.
9.4. DESAFIO Mostre que, se $k\le0$, a função $f_k$ é crescente em $\mathbb R$ e que, se $k\gt0$, tem exatamente dois extremos relativos. Determine o valor de $k$ para o qual o mínimo relativo de $f_k$ é igual a $0$ e, para esse valor, decomponha $f_k(x)$ num produto de fatores do primeiro grau.
9.5. DESAFIO Determine os valores de $k$ para os quais a equação $f_k(x)=0$ tem exatamente três soluções distintas.
10. Uma função racional e a calculadora gráfica. resolução →
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb R$, definida por $f(x)=\dfrac{x^2+4x}{x^2+1}$.
10.1. BÁSICO Mostre que $f'(x)=\dfrac{-4x^2+2x+4}{(x^2+1)^2}$.
10.2. BÁSICO Mostre que o gráfico de $f$ passa na origem do referencial e escreva a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de $f$ nesse ponto.
10.3. DESAFIO Estude $f$ quanto à monotonia e determine, em valores exatos, os seus extremos relativos.
Sugestão: comece por mostrar que, nos pontos em que $f'(x)=0$, se tem $f(x)=1+\dfrac2x$.
10.4. INTERMÉDIO O gráfico de $f$ tem um único ponto de abcissa positiva em que a reta tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares. Recorrendo à calculadora gráfica, determine as coordenadas desse ponto, arredondadas às centésimas. Na sua resposta, equacione o problema, reproduza o(s) gráfico(s) visualizado(s) e assinale as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s).
Grupo III — Problemas de otimização e modelação
11. A horta junto ao muro. resolução →
O senhor Joaquim tem $60$ metros de rede para vedar uma horta retangular encostada a um muro. O lado da horta que fica junto ao muro não leva rede. Seja $x$ a medida, em metros, de cada um dos lados da horta perpendiculares ao muro.
11.1. BÁSICO Mostre que a área da horta, em metros quadrados, é dada por $A(x)=60x-2x^2$ e indique o domínio de $A$ no contexto do problema.
11.2. INTERMÉDIO Admita que o muro é suficientemente comprido. Determine as dimensões da horta de área máxima e o valor dessa área.
11.3. DESAFIO Admita agora que o muro tem apenas $25$ metros de comprimento e que o lado da horta paralelo ao muro tem de ficar todo encostado ao muro. Determine, nestas condições, as dimensões da horta de área máxima e o valor dessa área.
12. Uma caixa sem tampa. resolução →
A partir de uma folha de cartão retangular, com $16\,\mathrm{cm}$ por $10\,\mathrm{cm}$, pretende-se construir uma caixa sem tampa. Para isso, corta-se em cada canto da folha um quadrado de lado $x$ centímetros e dobram-se as abas pelas linhas tracejadas.
12.1. BÁSICO Mostre que o volume da caixa, em $\mathrm{cm^3}$, é dado por $V(x)=4x^3-52x^2+160x$ e indique o domínio de $V$ no contexto do problema.
12.2. INTERMÉDIO Determine o valor de $x$ para o qual o volume da caixa é máximo. Indique as dimensões dessa caixa e o volume máximo.
12.3. INTERMÉDIO Recorrendo à calculadora gráfica, determine os valores de $x$ para os quais o volume da caixa é, pelo menos, $100\,\mathrm{cm^3}$. Apresente os valores arredondados às centésimas, reproduza o(s) gráfico(s) visualizado(s) e assinale as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s).
13. A lata de refrigerante. resolução →
Uma empresa pretende fabricar latas cilíndricas, fechadas, com $330\,\mathrm{mL}$ de capacidade, isto é, $330\,\mathrm{cm^3}$, gastando a menor quantidade possível de alumínio. Sejam $r$ o raio da base e $h$ a altura da lata, ambos em centímetros. Despreze a espessura do material.
13.1. BÁSICO Exprima $h$ em função de $r$ e mostre que a área total da superfície da lata, em $\mathrm{cm^2}$, é dada por $A(r)=2\pi r^2+\dfrac{660}{r}$, com $r\gt0$.
13.2. INTERMÉDIO Determine o raio da lata que gasta menos alumínio e mostre que, para esse raio, a altura é igual ao diâmetro da base. Apresente o raio em centímetros, arredondado às centésimas.
13.3. DESAFIO Na prática, a base e a tampa são feitas de um alumínio mais espesso, que custa, por $\mathrm{cm^2}$, o dobro do alumínio da superfície lateral. Mostre que, para que o custo do alumínio de cada lata seja mínimo, a altura da lata tem de ser o quádruplo do raio.
14. Custo médio e lucro. resolução →
Uma pequena fábrica produz peças de cerâmica. O custo total, em euros, de produzir $x$ peças por dia é dado por $C(x)=0{,}5x^2+20x+800$, com $0\lt x\le100$.
14.1. BÁSICO Calcule a taxa média de variação de $C$ no intervalo $[20,40]$ e interprete o resultado no contexto do problema.
14.2. INTERMÉDIO O custo médio de cada peça é dado por $M(x)=\dfrac{C(x)}{x}$. Determine quantas peças devem ser produzidas por dia para que o custo médio seja mínimo e indique esse custo.
14.3. INTERMÉDIO Cada peça é vendida por $70$ euros. Mostre que o lucro diário, em euros, é dado por $L(x)=-0{,}5x^2+50x-800$. Determine o lucro máximo e indique para que quantidades de peças produzidas (e vendidas) a fábrica não tem prejuízo.
14.4. DESAFIO Verifique que $C'(40)=M(40)$. Mostre depois que esta igualdade não é um acaso: para qualquer função custo $C$, derivável em $]0,+\infty[$, se o custo médio $M(x)=\dfrac{C(x)}{x}$ tem um mínimo em $x_0\gt0$, então $C'(x_0)=M(x_0)$.
15. Um troço de montanha-russa. resolução →
Um troço de uma montanha-russa pode ser modelado pela função $h$ definida por $$h(x)=0{,}1x^3-1{,}65x^2+7{,}2x+5,\quad x\in[0,10],$$ em que $h(x)$ é a altura, em metros, relativamente ao solo, do ponto da pista que está a $x$ metros, na horizontal, do início desse troço. Os carros deslocam-se da esquerda para a direita.
15.1. BÁSICO Calcule a taxa média de variação de $h$ no intervalo $[0,10]$ e interprete o valor obtido no contexto do problema.
15.2. INTERMÉDIO Estude $h$ quanto à monotonia e à existência de extremos relativos e absolutos. A que altura do solo está o ponto mais alto deste troço da pista? E o ponto mais baixo?
15.3. INTERMÉDIO Determine a que distância do início do troço, medida na horizontal, a pista é mais íngreme na sua parte descendente. Indique o declive da reta tangente ao gráfico de $h$ nesse ponto e interprete o valor obtido.
15.4. INTERMÉDIO Recorrendo à calculadora gráfica, determine as abcissas dos pontos da pista que estão a $10$ metros do solo. Apresente os valores arredondados às centésimas, reproduza o(s) gráfico(s) visualizado(s) e assinale as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s).
Desafio final
16. O triângulo de área mínima. resolução →
Considere a função $g$, de domínio $\mathbb R$, definida por $g(x)=4-x^2$. Para cada $a\in\,]0,2[$, seja $P$ o ponto do gráfico de $g$ de abcissa $a$ e seja $t$ a reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto $P$. A reta $t$ interseta o eixo $Ox$ no ponto $A$ e o eixo $Oy$ no ponto $B$.
Atenção: este exercício é propositadamente muito exigente. Junta a equação da reta tangente, funções racionais, regras de derivação e otimização. Não recorra à calculadora.
16.1. INTERMÉDIO Mostre que a equação reduzida da reta $t$ é $y=-2ax+a^2+4$ e determine as coordenadas dos pontos $A$ e $B$ em função de $a$.
16.2. INTERMÉDIO Mostre que a área do triângulo $[OAB]$ é dada por $T(a)=\dfrac{(a^2+4)^2}{4a}$ e que $T(a)=\dfrac{a^3}{4}+2a+\dfrac4a$.
16.3. DESAFIO Mostre que $T'(a)=\dfrac{(a^2+4)(3a^2-4)}{4a^2}$ e determine o valor de $a$ para o qual a área do triângulo é mínima. Apresente a área mínima na forma $\dfrac{p\sqrt3}{q}$, com $p$ e $q$ números naturais.
16.4. DESAFIO Mostre que, no triângulo de área mínima, a ordenada do ponto $B$ é o dobro da ordenada do ponto $P$.
16.5. DESAFIO Existirá algum ponto $P$ para o qual o triângulo $[OAB]$ tem área igual a $6$? Justifique, sem recorrer à calculadora.
Fim da ficha
Consultar a resolução passo a passo →
Ficha original de preparação elaborada a partir dos conteúdos dos itens de seleção e de construção «Preparar a avaliação» do capítulo 7 e das questões-aula 26A e 27A de M360 11, fornecidos como referência, de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A (2023). Os dados e os enunciados foram adaptados para treino.