1. Taxa Média de Variação
Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), tal que \(\mathrm{tmv}_{f,[2,4]}=0\). Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?
\(\mathrm{tmv}_{f,[2,4]}=\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=0 \;\Rightarrow\; f(4)-f(2)=0 \;\Rightarrow\; f(4)=f(2)\).
As afirmações (A), (B) e (D) são casos particulares — não decorrem necessariamente da hipótese.
Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), tal que \(f(1)=2\) e \(\mathrm{tmv}_{f,[1,5]}=3\). Qual é o valor de \(f(5)\)?
\(\dfrac{f(5)-f(1)}{5-1}=3 \;\Leftrightarrow\; f(5)-2 = 12 \;\Leftrightarrow\; f(5)=14\).
Considera \(f(x)=2x-x^2\).
3.1 Determina a taxa média de variação de \(f\) no intervalo \([-3,-1]\).
3.2 Seja \(a\in\mathbb{R}^-\). Mostra que a taxa média de variação entre \(2a\) e \(a\) é igual a \(2-3a\).
3.3 Determina o valor de \(a\in\mathbb{R}\) tal que \(\mathrm{tmv}_{f,[a,0]}=\dfrac{1}{2}\).
3.1 \(f(-1)=-2-1=-3\) e \(f(-3)=-6-9=-15\).
\(\mathrm{tmv}_{f,[-3,-1]}=\dfrac{-3-(-15)}{-1-(-3)}=\dfrac{12}{2}=6\).
3.2 \(f(2a)=4a-4a^2\) e \(f(a)=2a-a^2\).
\(\mathrm{tmv}_{f,[2a,a]}=\dfrac{f(a)-f(2a)}{a-2a}=\dfrac{(2a-a^2)-(4a-4a^2)}{-a}=\dfrac{3a^2-2a}{-a}=\dfrac{a(3a-2)}{-a}=-(3a-2)=2-3a\). \(\square\)
3.3 \(\mathrm{tmv}_{f,[a,0]}=\dfrac{f(0)-f(a)}{-a}=\dfrac{-(2a-a^2)}{-a}=\dfrac{2a-a^2}{a}=2-a\) (com \(a\neq 0\)).
\(2-a=\dfrac{1}{2}\;\Leftrightarrow\; a=\dfrac{3}{2}\).
A temperatura de um lago termal, ao longo do dia, pode ser modelada pela função \(T(h)=-0{,}05h^2+1{,}5h+12\), onde \(T\) é a temperatura (em \(^\circ\)C) em função do tempo \(h\) (em horas), com \(0\leq h\leq 24\).
4.1 Determina a taxa média de variação da temperatura entre as 6 h e as 14 h.
4.2 Interpreta o resultado no contexto do problema.
4.1 \(T(6)=-1{,}8+9+12=19{,}2\) e \(T(14)=-9{,}8+21+12=23{,}2\).
\(\mathrm{tmv}_{T,[6,14]}=\dfrac{23{,}2-19{,}2}{14-6}=\dfrac{4}{8}=0{,}5\).
4.2 Entre as 6 h e as 14 h, a temperatura da água do lago aumentou, em média, \(0{,}5\,^\circ\)C por hora.
Considera uma função \(f\) para a qual \(\mathrm{tmv}_{f,[a,b]}>0\), para todos \(a,b\in\mathbb{R}\) com \(a A condição \(\mathrm{tmv}_{f,[a,b]}>0\) para todos \(a Apenas \(f(x)=5x\) é crescente em todo \(\mathbb{R}\). As funções \(x^2\) e \(-x^2\) não são monótonas; \(-5x\) é decrescente.
Seja \(f\) uma função quadrática de domínio \(\mathbb{R}\), com \(\mathrm{tmv}_{f,[3,5]}=0\). Quais podem ser as coordenadas do vértice da parábola?
\(\mathrm{tmv}_{f,[3,5]}=0 \Rightarrow f(3)=f(5)\). Numa parábola, dois pontos com a mesma ordenada são simétricos em relação ao eixo de simetria, logo a abcissa do vértice é \(\dfrac{3+5}{2}=4\).
Considera \(f(x)=3x^2-2x-8\).
7.1 Determina o declive da reta secante ao gráfico nos pontos de abcissas 0 e 3.
7.2 Para um determinado valor de \(k<2\), tem-se \(\mathrm{tmv}_{f,[k,2]}=0\). Determina o valor de \(k\).
7.1 \(f(0)=-8\), \(f(3)=27-6-8=13\).
Declive \(= \dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}=\dfrac{13-(-8)}{3}=\dfrac{21}{3}=7\).
7.2 \(f(2)=12-4-8=0\). Como \(\mathrm{tmv}_{f,[k,2]}=0\), vem \(f(k)=f(2)=0\):
\(3k^2-2k-8=0 \Leftrightarrow k=\dfrac{2\pm\sqrt{4+96}}{6}=\dfrac{2\pm 10}{6}\Leftrightarrow k=2 \;\vee\; k=-\dfrac{4}{3}\).
Como \(k<2\):
Considera \(f(x)=x^3-4x^2+3x\), de domínio \(\mathbb{R}\).
8.1 Determina \(\mathrm{tmv}_{f,[-1,2]}\).
8.2 Determina \(k>1\) tal que a taxa média de variação de \(f\) entre 1 e \(k\) seja nula.
8.1 \(f(-1)=-1-4-3=-8\) e \(f(2)=8-16+6=-2\).
\(\mathrm{tmv}_{f,[-1,2]}=\dfrac{-2-(-8)}{2-(-1)}=\dfrac{6}{3}=2\).
8.2 \(f(1)=1-4+3=0\). Pretende-se \(f(k)=f(1)=0\):
\(k^3-4k^2+3k=0 \Leftrightarrow k(k^2-4k+3)=0 \Leftrightarrow k(k-1)(k-3)=0\).
Soluções: \(k=0,\;1,\;3\). Como \(k>1\):
Considera \(g(x)=x^2-x\), de domínio \(\mathbb{R}\). Determina o valor de \(a\;(a>0)\) para o qual \(\mathrm{tmv}_{g,[a,2a]}=4\).
\(g(2a)=4a^2-2a\) e \(g(a)=a^2-a\).
\(\mathrm{tmv}_{g,[a,2a]}=\dfrac{(4a^2-2a)-(a^2-a)}{2a-a}=\dfrac{3a^2-a}{a}=3a-1\) (pois \(a\neq 0\)).
\(3a-1=4 \Leftrightarrow a=\dfrac{5}{3}\). Como \(\dfrac{5}{3}>0\), é solução.
2. Derivada num Ponto
Determina \(f'(1)\), sendo \(f\) a função definida por:
a. \(f(x)=x+2\) b. \(f(x)=2x^2\) c. \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) d. \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}\)
a. \(f'(x)=1\), logo \(f'(1)=1\).
b. \(f'(x)=4x\), logo \(f'(1)=4\).
c. \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\), logo \(f'(1)=-1\).
d. \(f'(x)=\dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}\), logo \(f'(1)=\dfrac{1}{4}\).
Determina a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de cada uma das funções do exercício anterior, no ponto de abcissa 1.
Equação geral: \(y=f(1)+f'(1)(x-1)\).
a. \(f(1)=3,\;f'(1)=1 \Rightarrow y=3+(x-1)=x+2\).
b. \(f(1)=2,\;f'(1)=4 \Rightarrow y=2+4(x-1)=4x-2\).
c. \(f(1)=1,\;f'(1)=-1 \Rightarrow y=1-(x-1)=-x+2\).
d. \(f(1)=\dfrac{1}{2},\;f'(1)=\dfrac{1}{4} \Rightarrow y=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}(x-1)=\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}\).
Na figura, está parte do gráfico de uma função polinomial \(g\). Qual dos seguintes valores é positivo?
Em \(x=a\) a função é crescente, logo \(g'(a)>0\); em \(x=b\) há mínimo relativo, logo \(g'(b)=0\); em \(x=c\) (zero numa zona crescente) \(g(c)=0\) e \(g'(c)>0\).
(A) \(g(a)<0\) e \(g'(a)>0 \Rightarrow\) negativo. (B) \(g'(a)\times 0 = 0\). (C) \(0\times g'(c)=0\). (D) \(g'(a)\times g'(c)>0\). \(\;\checkmark\)
De uma função \(g\), sabe-se que: \(g(5)=2\) e \(\displaystyle\lim_{x\to 5}\dfrac{g(x)-2}{x-5}=1\). Determina a equação reduzida da reta tangente ao gráfico no ponto de abcissa 5.
O limite \(\lim_{x\to 5}\dfrac{g(x)-g(5)}{x-5}=g'(5)=1\).
Reta tangente: \(y=g(5)+g'(5)(x-5)=2+(x-5)\).
Considera \(f(x)=x^3-3x^2-1\), de domínio \(\mathbb{R}\). Sabe-se que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)+1}{x}=0\). Seja \(r\) a reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa 0. A reta \(r\) interseta o gráfico em mais um ponto, \(A\). Determina as coordenadas de \(A\).
Como \(f(0)=-1\), \(\dfrac{f(x)+1}{x}=\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\) e o limite é \(f'(0)=0\).
Reta \(r\): \(y=f(0)+f'(0)(x-0)=-1\).
Interseção com o gráfico: \(x^3-3x^2-1=-1 \Leftrightarrow x^2(x-3)=0 \Leftrightarrow x=0 \;\vee\; x=3\).
Ponto \(A\) (\(\neq\) ponto de tangência): \(A=(3,-1)\).
3. Função Derivada e Reta Tangente
\((f+g)'=f'+g'\); \((f\cdot g)'=f'g+fg'\); \(\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\); \((f^n)'=n\,f^{n-1}\cdot f'\).
Determina a expressão analítica da função derivada de cada uma das funções:
15.1 \(f(x)=\pi+2\) 15.2 \(f(x)=2x-5\) 15.3 \(f(x)=4x^2+5x\)
15.4 \(f(x)=3x^3-x^2+4x-1\) 15.5 \(f(x)=(4x-5)^4\)
15.6 \(f(x)=\dfrac{3}{4}x^3-\dfrac{1}{2}x^2\) 15.7 \(f(x)=-\dfrac{1}{x}\) 15.8 \(f(x)=\dfrac{2}{x+1}\)
15.9 \(f(x)=x-\dfrac{1}{x}\) 15.10 \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x^2+x}\) 15.11 \(f(x)=x\cdot(x+3)^5\)
15.12 \(f(x)=\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^5\) 15.13 \(f(x)=5(2x-3)^8\) 15.14 \(f(x)=(2x-1)^3(5x-3)\)
15.1 \(f'(x)=0\)
15.2 \(f'(x)=2\)
15.3 \(f'(x)=8x+5\)
15.4 \(f'(x)=9x^2-2x+4\)
15.5 \(f'(x)=4(4x-5)^3\cdot 4=16(4x-5)^3\)
15.6 \(f'(x)=\dfrac{9}{4}x^2-x\)
15.7 \(f(x)=-x^{-1}\Rightarrow f'(x)=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}\)
15.8 \(f'(x)=\dfrac{0\cdot(x+1)-2\cdot 1}{(x+1)^2}=-\dfrac{2}{(x+1)^2}\)
15.9 \(f'(x)=1+\dfrac{1}{x^2}\)
15.10 \(f'(x)=\dfrac{2(x^2+x)-(2x+3)(2x+1)}{(x^2+x)^2}=\dfrac{-2x^2-6x-3}{(x^2+x)^2}\)
15.11 \(f'(x)=(x+3)^5+x\cdot 5(x+3)^4=(x+3)^4(6x+3)=3(x+3)^4(2x+1)\)
15.12 \(f'(x)=5\!\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^4\!\cdot\dfrac{-1}{x^2}=-\dfrac{5(x+1)^4}{x^6}\)
15.13 \(f'(x)=5\cdot 8(2x-3)^7\cdot 2=80(2x-3)^7\)
15.14 \(f'(x)=3(2x-1)^2\cdot 2\cdot(5x-3)+(2x-1)^3\cdot 5=(2x-1)^2(40x-23)\)
Determina a equação reduzida da reta tangente ao gráfico das funções, no ponto de abcissa indicado.
16.1 \(f(x)=3x-5\); \(x=0\) 16.2 \(f(x)=x^2-4x\); \(x=1\)
16.3 \(f(x)=(x+2)^3\); \(x=-1\) 16.4 \(f(x)=\dfrac{2}{x^2}\); \(x=-1\)
16.5 \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x}\); \(x=\dfrac{1}{2}\) 16.6 \(f(x)=(x-2)^3(3x+1)\); \(x=0\)
16.1 \(f(0)=-5,\;f'(x)=3 \Rightarrow y=3x-5\).
16.2 \(f(1)=-3,\;f'(x)=2x-4,\;f'(1)=-2 \Rightarrow y=-3-2(x-1)=-2x-1\).
16.3 \(f(-1)=1,\;f'(x)=3(x+2)^2,\;f'(-1)=3 \Rightarrow y=1+3(x+1)=3x+4\).
16.4 \(f(-1)=2,\;f'(x)=-\dfrac{4}{x^3},\;f'(-1)=4 \Rightarrow y=2+4(x+1)=4x+6\).
16.5 \(f(x)=2+\dfrac{1}{x},\; f(\tfrac12)=4,\;f'(x)=-\dfrac{1}{x^2},\;f'(\tfrac12)=-4 \Rightarrow y=4-4\!\left(x-\tfrac12\right)=-4x+6\).
16.6 \(f(0)=(-2)^3\cdot 1=-8\). \(f'(x)=3(x-2)^2(4x-1)\), \(f'(0)=3\cdot 4\cdot(-1)=-12 \Rightarrow y=-12x-8\).
A reta de equação \(y=x\) é tangente ao gráfico de uma função \(f\) no ponto de abcissa 0. Qual das seguintes expressões pode definir \(f\)?
(Exame Nacional, Matemática A, 1.ª fase, 1.ª chamada, 2001)
A condição "tangente em \(x=0\)" exige \(f(0)=0\) e \(f'(0)=1\) (ordenada na origem e declive da reta).
(A) \(f(0)=0\) e \(f'(x)=2x+1 \Rightarrow f'(0)=1\). \(\checkmark\)
(B) \(f'(0)=2\). (C) \(f(0)=1\). (D) \(f(0)=1\).
Considera \(f(x)=x^4-x^3\). Seja \(r\) a reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(-1\). Sejam \(P\) e \(Q\) os pontos de interseção de \(r\) com os eixos coordenados. Determina a área do triângulo \([OPQ]\).
\(f(-1)=1+1=2\); \(f'(x)=4x^3-3x^2\), \(f'(-1)=-4-3=-7\).
Reta \(r\): \(y=2-7(x+1)=-7x-5\).
Interseção com \(Ox\): \(-7x-5=0 \Rightarrow x=-\dfrac{5}{7}\), logo \(P=\!\left(-\dfrac{5}{7},0\right)\).
Interseção com \(Oy\): \(y=-5\), logo \(Q=(0,-5)\).
Área \([OPQ]=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{5}{7}\cdot 5=\dfrac{25}{14}\).
Considera \(f(x)=-\dfrac{3}{x}\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Existe um ponto de abcissa positiva no qual a reta tangente ao gráfico é paralela à reta que contém as bissetrizes dos quadrantes ímpares. Determina as coordenadas desse ponto.
A reta \(y=x\) tem declive 1. Pretende-se \(f'(x)=1\) com \(x>0\).
\(f'(x)=\dfrac{3}{x^2}=1 \Leftrightarrow x^2=3 \Leftrightarrow x=\sqrt{3}\) (positiva).
\(f(\sqrt{3})=-\dfrac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}\).
Na figura, está parte do gráfico da função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(h(x)=x^3-4x^2\), e a reta \(t\), tangente ao gráfico de \(h\) no ponto de abcissa \(a\), com \(a>0\). A reta interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas \((0,-18)\) e \((6,0)\). Determina o valor de \(a\).
Declive de \(t\): \(m=\dfrac{0-(-18)}{6-0}=3\), logo \(t:\;y=3x-18\).
\(h'(x)=3x^2-8x\). \(h'(a)=3 \Leftrightarrow 3a^2-8a-3=0\).
\(a=\dfrac{8\pm\sqrt{64+36}}{6}=\dfrac{8\pm 10}{6}\Leftrightarrow a=3 \;\vee\; a=-\dfrac{1}{3}\).
Como \(a>0\): \(a=3\). (Verificação: \(h(3)=27-36=-9\) e \(t(3)=9-18=-9\) \(\checkmark\)).
Considera \(f\) diferenciável em \(\mathbb{R}\), com \(f(0)=3\) e \(f'(0)=-1\). Seja \(h(x)=[f(x)]^3\). Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de \(h\) no ponto de abcissa 0.
\(h(0)=[f(0)]^3=27\). Pela regra da cadeia: \(h'(x)=3[f(x)]^2\cdot f'(x)\).
\(h'(0)=3\cdot 9\cdot(-1)=-27\).
Reta tangente: \(y=27-27(x-0)\).
Seja \(f(x)=3x^2\) e \(g\) diferenciável em \(\mathbb{R}\), com \(g(1)=-2\) e \(g'(1)=3\).
22.1 Determina: a. \((f+g)'(1)\) b. \((f\times g)'(1)\) c. \(\left(\dfrac{f}{g}\right)'(1)\)
22.2 Considera \(h(x)=(1-2x)\cdot g(x)\). Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de \(h\) no ponto de abcissa 1.
\(f(1)=3\) e \(f'(x)=6x\Rightarrow f'(1)=6\).
22.1 a. \((f+g)'(1)=f'(1)+g'(1)=6+3=9\).
b. \((f\times g)'(1)=f'(1)\,g(1)+f(1)\,g'(1)=6\cdot(-2)+3\cdot 3=-12+9=-3\).
c. \(\left(\dfrac{f}{g}\right)'(1)=\dfrac{f'(1)g(1)-f(1)g'(1)}{[g(1)]^2}=\dfrac{-12-9}{4}=-\dfrac{21}{4}\).
22.2 \(h(1)=(-1)(-2)=2\). \(h'(x)=-2g(x)+(1-2x)g'(x)\).
\(h'(1)=-2\cdot(-2)+(-1)\cdot 3=4-3=1\). Reta: \(y=2+(x-1)=x+1\).
Considera \(f(x)=ax^2+bx\), com \(a,b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). A reta de equação \(y=-7x+8\) é tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa 2. Determina os valores de \(a\) e \(b\).
Em \(x=2\): \(f(2)=4a+2b\) e o ponto pertence à reta \(\Rightarrow 4a+2b=-7\cdot 2+8=-6 \Rightarrow 2a+b=-3\).
Declive: \(f'(x)=2ax+b\), \(f'(2)=4a+b=-7\).
Sistema: \(\begin{cases}2a+b=-3 \\ 4a+b=-7\end{cases}\Rightarrow 2a=-4 \Rightarrow a=-2,\; b=1\).
Considera \(f(x)=x^2\). Sejam \(A\) e \(B\) dois pontos do gráfico cujas abcissas são números simétricos. Mostra que o ponto de interseção das retas tangentes ao gráfico de \(f\) nos pontos \(A\) e \(B\) pertence ao eixo das ordenadas.
Sejam \(A=(\alpha,\alpha^2)\) e \(B=(-\alpha,\alpha^2)\), com \(\alpha\neq 0\). \(f'(x)=2x\).
Tangente em \(A\): \(y=\alpha^2+2\alpha(x-\alpha)=2\alpha x-\alpha^2\).
Tangente em \(B\): \(y=\alpha^2-2\alpha(x+\alpha)=-2\alpha x-\alpha^2\).
Interseção: \(2\alpha x-\alpha^2=-2\alpha x-\alpha^2 \Leftrightarrow 4\alpha x=0 \Leftrightarrow x=0\).
Logo, o ponto de interseção tem abcissa 0, pertencendo ao eixo \(Oy\). \(\;\square\)
Na figura, estão representadas, em referencial o.n. \(Oxy\), partes dos gráficos das funções \(f\) e \(g\), ambas de domínio \(\mathbb{R}\), definidas, respetivamente, por \(f(x)=2x^2\) e \(g(x)=-(x-1)^2\), e a única reta não horizontal que é tangente, simultaneamente, ao gráfico de \(f\) e ao gráfico de \(g\). Seja \(A\) o ponto de tangência dessa reta com o gráfico de \(f\) e seja \(B\) o ponto de tangência dessa mesma reta com o gráfico de \(g\). Determina as abcissas dos pontos \(A\) e \(B\).
Tangente a \(f\) em \(x=a\): declive \(4a\), reta \(y=4ax-2a^2\).
Tangente a \(g\) em \(x=b\): \(g'(x)=-2(x-1)\), declive \(-2(b-1)\); ordenada na origem \(b^2-1\), reta \(y=-2(b-1)x+b^2-1\).
Igualando declives e ordenadas na origem: \(\begin{cases}4a=-2(b-1) \\ -2a^2=b^2-1\end{cases}\)
Da 1.ª: \(b=1-2a\). Substituindo na 2.ª: \(-2a^2=(1-2a)^2-1=4a^2-4a \Rightarrow 6a^2-4a=0 \Rightarrow 2a(3a-2)=0\).
\(a=0\) dá reta horizontal (excluída). Logo \(a=\dfrac{2}{3}\) e \(b=1-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{1}{3}\).
Seja \(g\) uma função quadrática definida por \(g(x)=x^2+cx+c\), com \(c\in\mathbb{R}\). Sejam \(a\) e \(b\) (\(a 26.1 Considera \(c=2\). a. Determina o valor de \(b\) para \(a=-2\). b. Mostra que a relação entre \(a\) e \(b\) é \(b=-\dfrac{4a+5}{4a+4}\), para \(a\neq -1\). c. Determina os valores de \(a\) e \(b\) tais que \(a\) e \(b\) são simétricos. 26.2 Determina a ordenada do ponto de interseção das duas retas, para \(c=0\). \(g'(x)=2x+c\). Perpendicularidade: \(g'(a)\cdot g'(b)=-1\), ou seja \((2a+c)(2b+c)=-1\). 26.1 (c=2): \((2a+2)(2b+2)=-1 \Leftrightarrow 4(a+1)(b+1)=-1 \Leftrightarrow (a+1)(b+1)=-\dfrac{1}{4}\). a. \(a=-2 \Rightarrow (-1)(b+1)=-\dfrac{1}{4} \Rightarrow b+1=\dfrac{1}{4} \Rightarrow b=-\dfrac{3}{4}\). b. \((a+1)(b+1)=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow b+1=-\dfrac{1}{4(a+1)}\Rightarrow b=-1-\dfrac{1}{4(a+1)}=\dfrac{-4(a+1)-1}{4(a+1)}=-\dfrac{4a+5}{4a+4}\). \(\square\) c. \(b=-a\): \((a+1)(-a+1)=-\dfrac{1}{4} \Rightarrow 1-a^2=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow a^2=\dfrac{5}{4}\Rightarrow a=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}\). Como \(a 26.2 (c=0): \(g(x)=x^2\), \(g'(x)=2x\). Condição: \(4ab=-1 \Rightarrow ab=-\dfrac{1}{4}\). Tangente em \(a\): \(y=2ax-a^2\); tangente em \(b\): \(y=2bx-b^2\). Interseção: \(2(a-b)x=a^2-b^2=(a-b)(a+b)\Rightarrow x=\dfrac{a+b}{2}\). \(y=2a\cdot\dfrac{a+b}{2}-a^2=a(a+b)-a^2=ab=-\dfrac{1}{4}\).
Calcula \(f'(-1)\) e \(f'(2)\), sendo:
27.1 \(f(x)=-2x^3-x+\pi^2\) 27.2 \(f(x)=-\dfrac{2}{2+x^2}+2x^2\) 27.3 \(f(x)=\left(\dfrac{x}{2}-1\right)^4\)
27.1 \(f'(x)=-6x^2-1\). \(f'(-1)=-7\); \(f'(2)=-25\).
27.2 \(f'(x)=\dfrac{4x}{(2+x^2)^2}+4x\).
\(f'(-1)=\dfrac{-4}{9}-4=-\dfrac{40}{9}\); \(f'(2)=\dfrac{8}{36}+8=\dfrac{74}{9}\).
27.3 \(f'(x)=4\!\left(\dfrac{x}{2}-1\right)^3\!\cdot\dfrac{1}{2}=2\!\left(\dfrac{x}{2}-1\right)^3\).
\(f'(-1)=2\!\left(-\dfrac{3}{2}\right)^3=-\dfrac{27}{4}\); \(f'(2)=0\).
Considera \(h(x)=x^3-9x^2+4\). Prova que há dois pontos do gráfico de \(h\) onde as retas tangentes são paralelas ao eixo \(Ox\) e, em seguida, determina as equações reduzidas dessas duas retas.
Retas paralelas a \(Ox\) ⇔ declive 0 ⇔ \(h'(x)=0\).
\(h'(x)=3x^2-18x=3x(x-6)=0 \Leftrightarrow x=0 \;\vee\; x=6\). (dois pontos) \(\square\)
\(h(0)=4 \Rightarrow y=4\). \(h(6)=216-324+4=-104 \Rightarrow y=-104\).
Um projétil é lançado verticalmente. A respetiva altura \(a\) (em metros, acima do solo) é dada em função do tempo \(t\) (em segundos), por \(a(t)=-4{,}9t^2+61{,}25t+1{,}2\). Determina a diferença entre a altura máxima atingida pelo projétil e a altura no instante inicial. Apresenta o resultado em metros, com arredondamento às centésimas.
A altura é máxima quando \(a'(t)=0\): \(a'(t)=-9{,}8t+61{,}25=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{61{,}25}{9{,}8}=6{,}25\) s.
\(a(6{,}25)=-4{,}9\cdot 39{,}0625+61{,}25\cdot 6{,}25+1{,}2=192{,}60625\) m.
\(a(0)=1{,}2\) m. Diferença: \(192{,}60625-1{,}2=191{,}40625\) m.
4. Monotonia e Extremos
Determina os intervalos de monotonia e identifica os extremos (relativos e absolutos), caso existam.
30.1 \(f(x)=-\dfrac{x^2}{4}+2x-3\) 30.2 \(g(x)=x^2-x^3\)
30.3 \(f(x)=\dfrac{2x}{x+1}\) em \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) 30.4 \(h(x)=\dfrac{x-2}{2x+1}\) em \(\mathbb{R}\setminus\!\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\)
30.1 \(f'(x)=-\dfrac{x}{2}+2=0 \Leftrightarrow x=4\).
\(f'>0\) em \(]-\infty,4[\), \(f'<0\) em \(]4,+\infty[\). Crescente em \(]-\infty,4]\), decrescente em \([4,+\infty[\).
Máximo absoluto: \(f(4)=-4+8-3=1\).
30.2 \(g'(x)=2x-3x^2=x(2-3x)\). Zeros em \(x=0\) e \(x=\dfrac{2}{3}\).
\(g'<0\) em \(]-\infty,0[\), \(g'>0\) em \(\left]0,\dfrac{2}{3}\right[\), \(g'<0\) em \(\left]\dfrac{2}{3},+\infty\right[\).
Mínimo relativo em \(x=0\): \(g(0)=0\). Máximo relativo em \(x=\dfrac{2}{3}\): \(g\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{27}\). Não há extremos absolutos.
30.3 \(f'(x)=\dfrac{2(x+1)-2x}{(x+1)^2}=\dfrac{2}{(x+1)^2}>0\) (em todo o domínio).
\(f\) é estritamente crescente em cada um dos intervalos \(]-\infty,-1[\) e \(]-1,+\infty[\). Sem extremos.
30.4 \(h'(x)=\dfrac{(2x+1)-2(x-2)}{(2x+1)^2}=\dfrac{5}{(2x+1)^2}>0\). Crescente em \(\left]-\infty,-\dfrac{1}{2}\right[\) e \(\left]-\dfrac{1}{2},+\infty\right[\). Sem extremos.
Determina os intervalos de monotonia e identifica os extremos (relativos e absolutos), caso existam.
31.1 \(g(x)=x^3-2x^2-1\), em \([-1,3[\)
31.2 \(j(x)=(3-x)x^2\), em \(]-\infty,2]\)
31.1 \(g'(x)=3x^2-4x=x(3x-4)\). Zeros: \(x=0,\;x=\dfrac{4}{3}\).
Em \([-1,3[\): crescente em \([-1,0]\), decrescente em \(\left[0,\dfrac{4}{3}\right]\), crescente em \(\left[\dfrac{4}{3},3\right[\).
Máximo relativo: \(g(0)=-1\). Mínimo relativo: \(g\!\left(\dfrac{4}{3}\right)=-\dfrac{59}{27}\).
\(g(-1)=-4\); à direita, \(g(x)\to g(3^-)=8\) (não atingido).
Mínimo absoluto: \(g(-1)=-4\). Não há máximo absoluto (intervalo aberto à direita).
31.2 \(j(x)=3x^2-x^3 \Rightarrow j'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)\). Zeros: \(0\) e \(2\).
Em \(]-\infty,2]\): \(j'<0\) em \(]-\infty,0[\), \(j'>0\) em \(]0,2[\). Decrescente em \(]-\infty,0]\), crescente em \([0,2]\).
Mínimo absoluto: \(j(0)=0\). Em \(x=2\) (extremo do domínio): \(j(2)=4\) — máximo absoluto.
Na figura está representado o gráfico de \(g'\), função derivada de uma função \(g\) de domínio \(]-6,4]\). Estuda a função \(g\) quanto à monotonia e à existência de extremos.
(Da leitura do gráfico: \(g'(x)\geq 0\) em \(]-6,\,1]\) (com \(g'(-4)=g'(1)=0\)) e \(g'(x)<0\) em \(]1,\,4]\).)
Quadro de sinais de \(g'\): \(g'(x)\geq 0\) em \(]-6,\,1]\) (com \(g'(-4)=0\) e \(g'(1)=0\)) e \(g'(x)<0\) em \(]1,\,4]\).
\(\Rightarrow\) \(g\) é crescente em \(]-6,\,1]\) (em \(x=-4\) há tangente horizontal mas \(g'\) não muda de sinal — não é extremo) e decrescente em \([1,\,4]\).
Em \(x=1\), \(g'\) muda de positiva para negativa: \(g(1)\) é máximo relativo (e absoluto).
Em \(x=4\) (extremo fechado do domínio), \(g(4)\) é mínimo absoluto. Em \(x=-6\) o domínio é aberto, logo não há extremo nesse ponto.
Considera a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^+\), cuja derivada \(f'\) é definida por \(f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^3+x}\).
33.1 Determina os intervalos de monotonia e identifica os extremos relativos de \(f\), caso existam.
33.2 Seja \(r\) a reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa 1. Determina a equação reduzida de \(r\) em função de \(f(1)\).
33.1 \(f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x(x^2+1)}\). Em \(\mathbb{R}^+\): \(x>0\) e \(x^2+1>0\), logo o sinal de \(f'\) é o sinal de \(x^2-1\).
\(x^2-1<0\) em \(]0,1[\); \(x^2-1>0\) em \(]1,+\infty[\). Logo \(f\) é decrescente em \(]0,1]\) e crescente em \([1,+\infty[\).
Mínimo relativo em \(x=1\): valor \(f(1)\).
33.2 \(f'(1)=0\). Reta tangente: \(y=f(1)+0\cdot(x-1)=f(1)\).
Verifica que existe pelo menos um \(c\in\,]a,b[\) que satisfaz \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) (Teorema de Lagrange) e determina-o, em cada caso:
34.1 \(f(x)=-1+4x-x^2\), em \([0,2]\)
34.2 \(h(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\), em \([-1,0]\)
34.1 \(f\) é polinomial → contínua em \([0,2]\) e diferenciável em \(]0,2[\).
\(f(0)=-1\), \(f(2)=-1+8-4=3\). \(\dfrac{f(2)-f(0)}{2}=\dfrac{4}{2}=2\).
\(f'(x)=4-2x=2 \Leftrightarrow x=1 \in\,]0,2[\). \(\;c=1\).
34.2 \(h\) é racional, contínua em \([-1,0]\) (pois \(1\notin\) intervalo) e diferenciável em \(]-1,0[\).
\(h(-1)=0\), \(h(0)=-1\). \(\dfrac{h(0)-h(-1)}{0-(-1)}=-1\).
\(h'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=-\dfrac{2}{(x-1)^2}\). Igualando: \(-\dfrac{2}{(x-1)^2}=-1 \Leftrightarrow (x-1)^2=2 \Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{2}\).
Como \(c\in\,]-1,0[\): \(c=1-\sqrt{2}\approx -0{,}414\). \(\checkmark\)