Modelos Matemáticos nas Eleições e Partilha

Em algumas eleições para as ordens profissionais, como a Ordem dos Médicos ou a Ordem dos Advogados, tem havido mudança ao longo dos anos do recurso à maioria simples para a maioria absoluta.

1.1. Na tabela, apresentam-se os resultados das eleições para Bastonário e Conselho Geral da Ordem dos Advogados, em 2023.

Determine, justificando as respostas:

1.1.1. O método usado foi de maioria simples ou maioria absoluta?

1.1.2. Pelo método da maioria simples, qual é a lista vencedora?

1.1.3. Pelo método da maioria absoluta, qual é a lista vencedora?

1.2. Na tabela, apresentam-se os resultados das eleições para o Conselho Geral da Ordem dos Advogados para o biénio 2011-2013, por maioria simples.

Determine, justificando as respostas:

1.2.1. Qual foi a lista vencedora?

1.2.2. Caso a eleição fosse por maioria absoluta, haveria vencedor à primeira volta?

No Festival da Canção português, para se eleger a canção vencedora, usa-se um sistema preferencial.

Cada elemento do júri, de cada região, ordena as dez canções preferidas do seguinte modo: atribui 12 pontos à canção preferida, 10 pontos à segunda mais preferida, e de 8 pontos a 1 ponto às restantes oito canções mais preferidas, por ordem decrescente de preferência.

As pontuações atribuídas pelo júri na final do Festival da Canção, de 2023, apresentam-se na tabela seguinte:

2.1. Qual foi a canção que obteve maior pontuação na votação do júri? Se for mais do que uma, indica-as. Mostre como obteve a resposta.

2.2. Qual teria sido a canção preferida do júri caso o sistema fosse de maioria simples? Justifique a resposta.

Admita que num certo país é utilizado o método de Borda para eleger os representantes locais das suas regiões administrativas, o equivalente aos nossos presidentes das juntas de freguesia.

Numa dessas regiões, apresentaram-se quatro candidatos, \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\), e os resultados da votação, por ordem de preferência, foram os seguintes:

3.1. Quantos eleitores votaram nesta eleição?

3.2. Se o método fosse o de maioria simples, quem ganharia, considerando que se mantinha as primeiras preferências, e com que percentagem?

3.3. Se o método fosse o de maioria absoluta, alguém ganharia na primeira volta? Havendo necessidade de uma segunda volta, podemos afirmar que as preferências pelos candidatos se manteriam?

3.4. Quem foi o vencedor, tendo em conta que neste país se usa o método de Borda?

3.5. Suponha que, após as eleições, o candidato vencedor desiste do cargo. Para o substituir consideram-se os boletins resultantes da votação em que se elimina o candidato vencedor e se atribui 3 pontos à primeira preferência, 2 à segunda e 1 à terceira.

Por exemplo, no caso do primeiro conjunto de boletins \((A\ B\ C\ D)\), o candidato \(A\) teria \(30\times3\) pontos, o \(C\) \(30\times2\) e o \(D\) \(30\times1\) pontos. Quem seria, nestas circunstâncias, o vencedor?

Na imagem, apresentam-se os resultados das votações nas Eleições Autárquicas de 2021, no concelho de Vinhais, distrito de Bragança. Apresente todos os cálculos que efetuar.

4.1. O presidente da Câmara é eleito por maioria simples. A que partido pertence o presidente eleito?

4.2. Para a Câmara Municipal de Vinhais foram atribuídos 5 mandatos para vereador, pelo método de Hondt. Determine a distribuição desses mandatos.

4.3. Para a Assembleia Municipal foram eleitos 27 deputados, também pelo método de Hondt. Admita que a votação para a Assembleia Municipal foi exatamente igual à votação para a Câmara Municipal. Mostre que só as duas primeiras listas mais votadas elegeram deputados neste concelho. Na resposta, indique o número de deputados eleitos por cada lista.

Na tabela, apresentam-se os resultados das votações nas eleições autárquicas de 2021, para a Assembleia da Freguesia do Paul do Mar, concelho de Calheta, na Região Autónoma da Madeira.

Nestas eleições foram atribuídos 7 mandatos para aquela assembleia de freguesia.

5.1. Determine a distribuição de mandatos para esta assembleia, de acordo com o método de Hondt.

5.2. Verifique se a distribuição de mandatos se manteria, caso se utilizasse o método de St. Laguë.

Os resultados das Eleições Presidenciais de 2006 foram os seguintes:

6.1. Qual foi a percentagem, arredondada às centésimas, de abstenção nesta eleição?

6.2. Quantos foram os votos validamente expressos?

6.3. O artigo 10.º da Lei Eleitoral do Presidente da República Portuguesa define, em traços gerais, que será eleito o candidato com mais de metade dos votos validamente expressos e que, se nenhum dos candidatos obtiver esse número de votos, então os dois candidatos mais votados, na primeira volta, serão submetidos a um segundo sufrágio. Quem foi o candidato mais votado? Conseguiu ser eleito sem necessidade de uma segunda volta? Se sim, indica a percentagem de votos, arredondada às centésimas, que esse candidato conseguiu.

Para a eleição do Presidente da Direção do Clube de Matemática, candidataram-se três sócios: Duarte \((D)\), Frederico \((F)\) e Sandra \((S)\).

Para a votação, foi pedido aos sócios que ordenassem os candidatos por ordem decrescente de preferência. Os resultados obtidos estão representados na seguinte tabela:

7.1. Considerando apenas a primeira preferência, quem ganharia se o método fosse o da maioria simples, e com que percentagem?

7.2. Considere agora que o método é o da maioria absoluta. No caso de nenhum dos candidatos ter obtido maioria absoluta, consideram apenas os dois candidatos mais votados na primeira preferência e eliminam-se os restantes. Refaz-se a tabela apenas com os dois mais votos e apura-se o vencedor.

7.2.1. Justifique que nenhum dos candidatos obteve maioria absoluta e indique qual dos candidatos foi eliminado.

7.2.2. Qual foi o candidato vencedor, e com que percentagem dos votos?

7.3. Aplicando o método de Borba, quem seria o vencedor e quem ficaria em último?

7.4. Suponha que a taxa de abstenção nesta eleição foi de 40% e que todos os sócios do clube podem votar. Sabe-se que, aplicando o método de Borba, a Sandra obteve 606 pontos. Quantos sócios tem o clube?

Na eleição para o Delegado de Turma, os alunos manifestaram as seguintes preferência pelos candidatos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\). O vencedor foi apurado por aplicação do método de Borba.

Determine o número de alunos da turma, sabendo que o vencedor foi \(C\), com 81 pontos, e que o segundo mais pontuado foi \(B\), com 80 pontos.

Identifique para cada uma das situações o candidato vencedor por maioria simples e verifique se venceu também com maioria absoluta.

1.1.

1.2.

Considere os seguintes resultados de um processo eleitoral cujo sistema é o de maioria absoluta.

2.1. Justifique que é necessária segunda volta.

2.2. Admita que 20% dos votos do candidato excluído na primeira volta transitam para o mais votado e os restantes para o outro candidato.

2.2.1. Qual seria o candidato vencedor?

2.2.2. O que pode concluir relativamente aos métodos eleitorais de maioria simples e de maioria absoluta nesta situação?

Numa escola realizou-se uma votação para selecionar o destino para a viagem de finalistas do 9.º ano, de entre três opções: S. Martinho do Porto, Setúbal e Albufeira.

Apenas votaram uma parte dos 175 alunos finalistas, tendo-se registado 12% de abstenção. Sabe-se que 42 votos foram considerados não válidos.

3.1. Quantos foram os votos validamente expressos?

3.2. Sabe-se que o número de votos nulos e de votos brancos estão na proporção 4 para 3. Determine a percentagem de votos brancos e de votos nulos, apresentando o resultado arredondado às unidades.

3.3. Quantos votos obteve o destino Albufeira, sabendo que \(\dfrac14\) dos votos validamente expressos recaíram sobre o destino São Martinho do Porto e 75% dos restantes escolheram Setúbal?

3.4. O destino mais votado obteve maioria absoluta?

Para escolher a Associação de Estudantes de uma escola, foi organizado um processo eleitoral no qual os 920 alunos poderiam votar numa das 3 listas criadas para o efeito.

Verificou-se uma taxa de abstenção de 25% e, de entre os votos efetuados, houve 50 considerados inválidos. Sabe-se, ainda, que a lista A recebeu \(\dfrac14\) dos votos validamente expressos e a lista B, \(\dfrac53\) dos votos da lista C.

4.1. Determine o número de votos que cada uma das listas obteve.

4.2. Identifique a lista vencedora e justifique que não ganhou com maioria absoluta.

4.3. Sabe-se que 48% dos votos inválidos foram votos brancos. Se os alunos que votaram em branco tivessem votado na lista com mais votos, esta venceria com maioria absoluta? Justifique.

Aplique o método de Borda para apurar o vencedor de cada uma das votações em que existem 3 candidatos: \(A\), \(B\) e \(C\).

5.1.

5.2.

O esquema circular representa o resultado de uma votação preferencial para o melhor jogador de uma equipa de futsal: \(A\), \(B\), \(C\) ou \(D\).

As sequências estão indicadas por ordem decrescente de preferência, estando as primeiras preferências no círculo menor.

6.1. Prova que o vencedor, pelo método de Borda, não é o jogador preferido dos votantes.

6.2. Se considerar apenas as primeiras preferências, qual é o vencedor por maioria simples?

Um grupo de 16 amigos pretende provar arroz de sarrabulho à moda de Ponte de Lima, num dos seguintes restaurantes: Confrinha \((C)\), Açudinho \((A)\), Brasinhas \((B)\) ou Sabores \((S)\).

7.1. Utilizando o método de Borda, qual foi o restaurante escolhido?

7.2. Se considerar apenas as primeiras preferências, o restaurante mais votado obteve maioria absoluta? Justifique.

A Beatriz \((B)\), a Luana \((L)\) e o Valentim \((V)\) participaram no concurso para eleger a melhor máscara na festa de Carnaval da aldeia onde residem.

8.1. Sabendo que a Luana foi a vencedora, pelo método de Borda, obtendo uma pontuação de 54 pontos, determine o número de pessoas que votaram \(BLV\).

8.2. Se o método utilizado fosse o da maioria simples, qual seria o vencedor? E por maioria absoluta com duas voltas?

Foi realizada uma votação com três candidatos \((X,Y,Z)\) usando boletins de preferência. Obtiveram-se os resultados indicados no esquema.

• o número de pessoas que votaram \(XYZ\) foi a terça parte do número de pessoas que votaram \(ZYX\);
• o número de pessoas que votaram \(YZX\) foi o dobro do número de pessoas que votaram \(XYZ\);
• ao aplicar o método de Borda, o candidato \(Y\) obteve 149 pontos.

Determine os valores em falta no esquema apresentado.

Nas eleições autárquicas de 2021 para eleger a Assembleia de Freguesia de Vale de São Martinho, obtiveram-se os seguintes votos:

10.1. Determine, arredondada às unidades, a percentagem de abstenção e de votos não validamente expressos.

10.2. Sabendo que havia nove mandatos para atribuir, aplique o método de Hondt.

10.3. Qual é o número mínimo de votos que faltaram ao partido PCP-PEV para que este tivesse obtido um mandato?

10.4. Se os votos nulos ou brancos votassem no PCP-PEV, este conseguiria algum mandato?

10.5. Complete a tabela e compare percentagens de votos válidos e de mandatos.

Uma empresa tem 4 fábricas: Vila Nova de Famalicão \((F)\), Guimarães \((G)\), Aveiro \((A)\) e Lisboa \((L)\). A direção decidiu contratar sete novos funcionários proporcionalmente ao número de funcionários de cada fábrica.

11.1. Usando o método de Hondt, determine quantos novos funcionários deverão ser atribuídos a cada uma das fábricas.

11.2. Explique como procedeu para atribuir o último funcionário.

Em determinadas eleições, em relação às quais há 6 mandatos para distribuir, candidataram-se 3 partidos políticos. Registou-se 20% de abstenção e os resultados eleitorais foram os seguintes:

12.1. Sabe-se que o partido \(Z\) não teve direito a mandato. Determine o número mínimo de votos do partido \(Y\).

12.2. Sabe-se que o partido \(Y\) obteve 3402 votos. Se os abstencionistas tivessem votado no partido menos votado, a distribuição dos mandatos seria alterada?

Nas eleições autárquicas de 2021 para a Assembleia de Freguesia de Roriz, obtiveram-se os seguintes votos:

13.1. Sabendo que havia nove mandatos, determine o número de mandatos por aplicação do método de Hondt e do método de St. Laguë.

13.2. O que observa na aplicação dos dois métodos?

13.3. Se a terça parte dos abstencionistas votasse no partido/coligação menos votado, o número de mandatos iria alterar por aplicação do método de St. Laguë?

Observe os resultados de uma eleição aos quais se aplicou o método de St. Laguë para distribuir sete mandatos. A tabela encontra-se incompleta. Sabe-se que o partido \(Z\) foi o menos votado.

Indique o número mínimo de votos que terá obtido sabendo que conseguiu um mandato.

Um grupo de 8 alunos das escolas \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) de um agrupamento serão selecionados para representá-lo no Parlamento dos Jovens.

Determine o número de alunos a selecionar em cada escola por aplicação dos métodos de Hondt e de St. Laguë. Que diferenças verifica?

Num processo eleitoral concorreram os partidos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\). Havia 4000 eleitores inscritos e registou-se 19% de abstenção.

16.1. Determine o número de votantes, o número de eleitores que não participaram no ato eleitoral e o número de votos obtidos pelo partido \(C\).

16.2. Aplique o método de St. Laguë para distribuir 7 mandatos pelos partidos candidatos.