Geometria - Sintética 2

Pontos notáveis do triângulo, reta de Euler e circunferência dos nove pontos

GEOMETRIA - SINTÉTICA 2

1.

Valor lógico

Indique o valor lógico das seguintes afirmações e corrija as falsas:

1.1. O incentro é o centro da única circunferência circunscrita ao triângulo.

1.2. A distância do incentro a cada um dos lados do triângulo é o dobro do raio da circunferência inscrita no triângulo.

1.3. O circuncentro pode não pertencer ao triângulo.

1.4. A distância do baricentro a qualquer dos pontos médios dos lados do triângulo é \(\frac{2}{3}\) do comprimento da mediana respetiva.

1.5. As três medianas de um triângulo dividem-no em seis triângulos com igual área.

1.1. Falsa. O incentro é o centro da única circunferência inscrita no triângulo.

1.2. Falsa. A distância do incentro a cada um dos lados do triângulo é o raio da circunferência inscrita no triângulo.

1.3. Verdadeira.

1.4. Falsa. A distância do baricentro a qualquer um dos vértices do triângulo é \(\frac{2}{3}\) do comprimento da mediana respetiva.

1.5. Verdadeira.

2.

Correspondências

Considerando um triângulo e os seus quatro pontos notáveis, estabeleça uma correspondência entre cada um desses pontos e as suas características apresentadas no seguinte esquema.

Centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
A sua distância a qualquer um dos vértices do triângulo é \(\frac{2}{3}\) da respetiva mediana.
Centro da circunferência inscrita no triângulo.
Encontra-se a igual distância dos vértices do triângulo.
Ponto de interseção das medianas do triângulo.
Centro da circunferência tangente aos lados do triângulo.
Encontra-se a igual distância dos lados do triângulo.
Ponto de interseção das retas suporte das alturas do triângulo.
Ponto de interseção das bissetrizes do triângulo.
Ponto de interseção das mediatrizes do triângulo.

Pontos: Baricentro, Incentro, Ortocentro e Circuncentro.

Correspondência entre pontos notáveis e as respetivas características

Baricentro: ponto de interseção das medianas do triângulo; a sua distância a qualquer um dos vértices do triângulo é \(\frac{2}{3}\) da respetiva mediana.

Incentro: centro da circunferência inscrita no triângulo; centro da circunferência tangente aos lados do triângulo; encontra-se a igual distância dos lados do triângulo; ponto de interseção das bissetrizes do triângulo.

Ortocentro: ponto de interseção das retas suporte das alturas do triângulo.

Circuncentro: centro da circunferência circunscrita ao triângulo; encontra-se a igual distância dos vértices do triângulo; ponto de interseção das mediatrizes do triângulo.

3.

Ortocentro

Na figura seguinte encontra-se representado um triângulo \([ABC]\), um ponto notável do triângulo, \(P\), pertencente à reta \(BQ\) e o ponto \(Q\) que é o pé da perpendicular à reta suporte do lado \([AC]\) que passa pelo vértice.

Sabe-se que:

  • \(AQ=1\);
  • \(BQ=CQ\);
  • \(BC=4\sqrt2\).

3.1. Como se designa o ponto \(P\).

3.2. Determine a área e o perímetro do triângulo \([ABC]\).

Triângulo ABC com ponto P na reta BQ

3.1. \(P\) é o ortocentro do triângulo.

3.2. Como \(BQ=CQ\) e o triângulo \([BQC]\) é retângulo em \(Q\), tem-se:

\[ BQ^2+CQ^2=BC^2 \] \[ 2BQ^2=(4\sqrt2)^2 \] \[ 2BQ^2=32 \] \[ BQ=4 \]

Assim, \(CQ=4\) e \(AC=AQ+QC=1+4=5\).

\[ A_{[ABC]}=\frac{AC\times BQ}{2} \] \[ A_{[ABC]}=\frac{5\times4}{2}=10 \]

Além disso,

\[ AB=\sqrt{AQ^2+BQ^2} \] \[ AB=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17} \]

Logo, a área é \(10\) e o perímetro é \(5+\sqrt{17}+4\sqrt2\).

4.

Baricentro

Na figura está representado o triângulo isósceles \([ABC]\), assim como os pontos médios dos seus lados.

Sabe-se que:

  • \(AC=BC\);
  • \(CP=5,7\,\text{cm}\);
  • \(AQ=7,2\,\text{cm}\);
  • o ponto \(S\), não representado na figura, é o baricentro do triângulo \([ABC]\).

Determine:

4.1. \(AS\)

4.2. \(RS\)

4.3. \(PB\), com aproximação às centésimas

4.4. A área do triângulo \([BCS]\), com aproximação às décimas.

Triângulo isósceles ABC com pontos médios P, Q e R

4.1.

\[ AS=\frac{2}{3}AQ \] \[ AS=\frac{2}{3}\times7,2=4,8\,\text{cm} \]

4.2.

\[ RS=\frac{1}{3}BR \] \[ RS=\frac{1}{3}\times7,2=2,4\,\text{cm} \]

4.3. Como \(S\) é o baricentro, \(PS=\frac{1}{3}CP\).

\[ PS=\frac{1}{3}\times5,7=1,9\,\text{cm} \] \[ AS^2=AP^2+PS^2 \] \[ AP=\sqrt{4,8^2-1,9^2} \] \[ AP\approx4,41\,\text{cm} \]

Como \(P\) é ponto médio de \([AB]\), \(PB=AP\).

\(PB\approx4,41\,\text{cm}\).

4.4.

\[ CS=CP-PS=5,7-1,9=3,8\,\text{cm} \] \[ A_{[BCS]}=\frac{PB\times CS}{2} \] \[ A_{[BCS]}\approx\frac{4,41\times3,8}{2} \] \[ A_{[BCS]}\approx8,4\,\text{cm}^2 \]
5.

Medianas e áreas

Considere um triângulo \([ABC]\) de área \(30\,\text{cm}^2\) e seja \(D\) o seu baricentro.

5.1. Explique como procederia para dividir o triângulo em dois polígonos em que a área de um deles fosse o dobro da área do outro.

5.2. Determine a área do triângulo \([ADC]\).

5.3. Admita agora que, relativamente a um referencial o. n. do plano, cuja unidade é o centímetro, os vértices do triângulo \([ABC]\) têm coordenadas \((-4,-1)\), \((6,-1)\) e \((0,5)\), respetivamente.

Determine:

5.3.1. as equações reduzidas das retas-suporte das medianas do triângulo;

5.3.2. as coordenadas do ponto \(D\).

5.1. As três medianas dividem o triângulo em seis triângulos equivalentes. Assim, podemos formar um polígono com dois desses triângulos e outro polígono com quatro desses triângulos.

Por exemplo, o triângulo \([BDC]\) tem \(\frac{1}{3}\) da área de \([ABC]\), e o quadrilátero \([ABDC]\) tem \(\frac{2}{3}\) da área de \([ABC]\).

5.2.

\[ A_{[ADC]}=\frac{1}{3}A_{[ABC]} \] \[ A_{[ADC]}=\frac{1}{3}\times30=10\,\text{cm}^2 \]

5.3.1. Considerando \(A(-4,-1)\), \(B(6,-1)\) e \(C(0,5)\), os pontos médios são:

\[ P\left(1,-1\right),\quad Q\left(3,2\right),\quad R\left(-2,2\right) \]

A mediana \(CP\):

\[ y=-6x+5 \]

A mediana \(AQ\):

\[ y=\frac{3}{7}x+\frac{5}{7} \]

A mediana \(BR\):

\[ y=-\frac{3}{8}x+\frac{5}{4} \]

5.3.2. Intersetando duas medianas, por exemplo \(CP\) e \(BR\):

\[ -6x+5=-\frac{3}{8}x+\frac{5}{4} \] \[ -48x+40=-3x+10 \] \[ -45x=-30 \] \[ x=\frac{2}{3} \] \[ y=-6\times\frac{2}{3}+5=1 \]

Logo, \(D\left(\frac{2}{3},1\right)\).

6.

Centro da circunferência

Na figura está desenhada uma circunferência da qual se desconhece o centro.

Faça as construções necessárias que lhe permita obter o centro da circunferência.

Circunferência sem centro assinalado

Marcamos três pontos, \(A\), \(B\) e \(C\), na circunferência e determinamos a mediatriz de dois dos segmentos de reta por eles determinados.

Obtemos, assim, na interseção das mediatrizes, o centro da circunferência, isto é, o circuncentro do triângulo \([ABC]\).

Construção do centro da circunferência por mediatrizes
7.

Perímetro

Na figura está representado um triângulo \([ABC]\) e a circunferência inscrita nesse triângulo.

Sabe-se que:

  • o ponto \(Q\) pertence ao lado \([AB]\);
  • \([PQ]\) é um raio da circunferência inscrita nesse triângulo;
  • a circunferência inscrita no triângulo tem \(6\pi\,\text{cm}\) de comprimento;
  • o triângulo tem \(24\,\text{cm}^2\) de área.

Determine o perímetro do triângulo \([ABC]\).

Triângulo ABC com circunferência inscrita

Sabe-se que o perímetro da circunferência inscrita no triângulo é \(6\pi\,\text{cm}\), de onde se conclui que o seu raio mede \(3\,\text{cm}\).

\[ 2\pi r=6\pi \] \[ r=3 \]

A área do triângulo é a soma das áreas dos três triângulos formados pelo incentro e pelos lados:

\[ 24=\frac{AB\times3}{2}+\frac{BC\times3}{2}+\frac{AC\times3}{2} \] \[ 24=\frac{(AB+BC+AC)\times3}{2} \] \[ 24=\frac{P\times3}{2} \] \[ P=16 \]

O perímetro do triângulo é \(16\,\text{cm}\).

8.

Triângulo retângulo

Relativamente a um triângulo retângulo \([PQR]\) representado na figura, sabe-se que \(QR=8\,\text{cm}\) e \(PR=12\,\text{cm}\).

8.1. Identifique os pontos que representam o ortocentro e o circuncentro do triângulo. Represente-os na figura por \(O\) e \(C\), respetivamente.

8.2. Determine, em centímetros, a medida de \(OC\).

Triângulo retângulo PQR

8.1. O ortocentro é o vértice \(R\), pois o triângulo é retângulo em \(R\). O circuncentro é o ponto médio da hipotenusa \([PQ]\).

Ortocentro em R e circuncentro no ponto médio de PQ

8.2.

\[ PQ^2=QR^2+PR^2 \] \[ PQ^2=8^2+12^2=208 \] \[ PQ=4\sqrt{13} \]

Como \(C\) é o ponto médio da hipotenusa,

\[ OC=\frac{PQ}{2}=2\sqrt{13}\,\text{cm} \]
9.

Medianas

Na figura está representado um triângulo, \([PQR]\), sendo \([ST]\) e \([PT]\) duas das suas medianas.

9.1. O que representa \(X\)?

(A) O circuncentro (B) O baricentro (C) O ortocentro (D) O incentro

9.2. Sabendo que o triângulo \([PXS]\) tem \(4\,\text{cm}^2\) de área, determine a área do triângulo \([PQR]\).

Triângulo PQR com medianas e ponto X

9.1. \(X\) é o ponto de interseção das medianas, logo representa o baricentro.

Opção (B).

9.2. As três medianas dividem o triângulo em seis triângulos com a mesma área.

\[ A_{[PQR]}=6\times A_{[PXS]} \] \[ A_{[PQR]}=6\times4=24\,\text{cm}^2 \]
10.

Ortocentro

Num triângulo, \([PQR]\), retângulo em \(P\), o ortocentro situa-se:

(A) na hipotenusa (B) no interior do triângulo (C) no exterior do triângulo (D) no ponto \(P\)

Num triângulo retângulo, o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto.

Opção (D): no ponto \(P\).

11.

Incentro

Na figura está representada uma circunferência de centro \(O\) inscrita no triângulo \([ABC]\).

Sabe-se que:

  • \(\widehat{BAO}=35^\circ\)
  • \(\widehat{CBA}=52^\circ\)

Qual é a amplitude do ângulo \(BOC\)?

(A) \(120^\circ\) (B) \(125^\circ\) (C) \(130^\circ\) (D) \(135^\circ\)
Triângulo ABC com circunferência inscrita e centro O

Como \(O\) é o incentro, \(AO\) e \(BO\) são bissetrizes.

\[ \widehat{BAC}=2\times35^\circ=70^\circ \] \[ \widehat{BCA}=180^\circ-70^\circ-52^\circ=58^\circ \] \[ \widehat{CBO}=\frac{52^\circ}{2}=26^\circ \] \[ \widehat{BCO}=\frac{58^\circ}{2}=29^\circ \] \[ \widehat{BOC}=180^\circ-26^\circ-29^\circ=125^\circ \]

Opção (B).

12.

Medianas e áreas

Na figura está representado um triângulo, \([ABC]\), e as suas medianas, \([AM_1]\), \([BM_2]\) e \([CM_3]\).

Sabe-se que:

  • \(AC=BC\);
  • \(P\) é o ponto de interseção das medianas;
  • \(CP=6\,\text{cm}\) e \(CM_3=4\,\text{cm}\).

12.1. Determine a área do triângulo \([ABC]\).

12.2. Indique o valor da razão entre as áreas do quadrilátero \([CM_2PM_1]\) e do triângulo \([ABC]\).

Triângulo ABC com medianas e ponto P

12.1. Como \(P\) é o baricentro,

\[ PM_3=\frac{1}{3}CM_3 \]

e, como \(CP=6\), tem-se \(PM_3=3\). Logo,

\[ CM_3=CP+PM_3=6+3=9 \]

Como o triângulo é isósceles, \(M_3\) é o ponto médio de \([AB]\) e \(BM_3=4\), então:

\[ AB=2BM_3=2\times4=8 \] \[ A_{[ABC]}=\frac{AB\times CM_3}{2} \] \[ A_{[ABC]}=\frac{8\times9}{2}=36\,\text{cm}^2 \]

12.2. As medianas dividem o triângulo em seis triângulos equivalentes. O quadrilátero \([CM_2PM_1]\) é formado por dois desses seis triângulos.

\[ \frac{A_{[CM_2PM_1]}}{A_{[ABC]}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
13.

Reta de Euler

Na figura está representado um triângulo, \([ABC]\), os seus quatro pontos notáveis e a reta de Euler.

Qual dos pontos notáveis é equidistante dos três lados do triângulo?

(A) \(P_1\) (B) \(P_2\) (C) \(P_3\) (D) \(P_4\)
Triângulo ABC com pontos notáveis e reta de Euler

O ponto notável equidistante dos três lados do triângulo é o incentro.

Na figura, o único ponto notável que pode não pertencer à reta de Euler é \(P_4\), logo \(P_4\) é o incentro.

Opção (D).

14.

Circunferência dos nove pontos

Determine o comprimento da circunferência dos nove pontos, sabendo que a área do círculo limitado pela circunferência circunscrita ao triângulo é igual a \(64\pi\,\text{cm}^2\).

\[ \pi r^2=64\pi \] \[ r^2=64 \] \[ r=8 \]

O raio da circunferência circunscrita é \(8\,\text{cm}\). O raio da circunferência dos nove pontos é metade, isto é, \(4\,\text{cm}\).

\[ C=2\pi\times4=8\pi \]

O comprimento da circunferência dos nove pontos será \(8\pi\,\text{cm}\).

15.

Construção

Na figura está representado o segmento de reta \([PQ]\), que é um dos lados de um triângulo \([PQR]\) (o ponto \(R\) não se encontra representado na figura).

Está também representada a reta de Euler e, nela, foram assinalados o circuncentro, \(C\), o baricentro, \(B\), e o ortocentro, \(O\), desse triângulo.

Sabe-se que \(BC=1,4\,\text{cm}\).

15.1. Determine \(CO\).

15.2. Determine a distância de \(B\) ao centro da circunferência dos nove pontos.

15.3. Complete a construção do triângulo \([PQR]\). Explique o seu raciocínio.

Segmento PQ e reta de Euler com pontos C, B e O

15.1. Sabe-se que \(BC=1,4\,\text{cm}\).

\[ CO=3BC \] \[ CO=3\times1,4=4,2\,\text{cm} \]

15.2. Seja \(N\) o centro da circunferência dos nove pontos. Sabemos que \(N\) é o ponto médio de \([OC]\).

\[ ON=\frac{OC}{2}=\frac{4,2}{2}=2,1\,\text{cm} \] \[ OB=2BC=2\times1,4=2,8\,\text{cm} \] \[ BN=OB-ON=2,8-2,1=0,7\,\text{cm} \]

15.3. O ponto \(C\) é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, logo podemos começar por construir essa circunferência, de modo a determinarmos as possíveis posições para o ponto \(R\).

De seguida, determinamos o ponto médio de \([PQ]\), \(M\), e desenhamos a semirreta de origem \(M\) que passa por \(B\). Essa semirreta contém uma das medianas no triângulo, que será o segmento de reta \([MR]\).

O ponto \(R\) encontra-se na interseção da semirreta com a circunferência circunscrita.

16.

Circunferência dos nove pontos

O triângulo \([ABC]\) da figura é tal que \(AB=12\,\text{cm}\), \(BC=9\,\text{cm}\) e \(CA=11\,\text{cm}\).

Desenhe a circunferência dos nove pontos desse triângulo e localize, nessa circunferência, os nove pontos relevantes.

Apresente todos os passos da sua construção e explique o seu raciocínio.

Triângulo ABC para construção da circunferência dos nove pontos

Construção da circunferência dos nove pontos:

  • Marcar os pontos médios de cada um dos lados do triângulo.
  • Determinar o circuncentro do triângulo \([M_1M_2M_3]\), centro da circunferência dos nove pontos, \(P\).
  • Desenhar a circunferência de centro \(P\) e que passa por \(M_1\).

Determinar os restantes seis pontos relevantes:

  • Desenhar as retas que contêm as alturas dos triângulos e, na interseção dessas retas com a circunferência, marcar os pontos \(H_1\), \(H_2\) e \(H_3\), pés das alturas do triângulo.
  • Marcar o ortocentro, \(O\), que é o ponto de interseção das retas que contêm as alturas, e \(O_1\), \(O_2\) e \(O_3\), pontos médios dos segmentos de reta cujos extremos são o ortocentro e cada um dos vértices do triângulo.
17.

Pontos notáveis

Na figura está representado um triângulo, \([ABC]\), os seus quatro pontos notáveis e a reta de Euler.

17.1. Sabe-se que \(P_1\) representa o circuncentro do triângulo. Indique o que representam \(P_2\), \(P_3\) e \(P_4\).

17.2. Comente a afirmação:

“O triângulo \([ABC]\) é retângulo.”

Triângulo ABC com quatro pontos notáveis e reta de Euler

17.1. \(P_2\) representa o baricentro, pois pertence à reta de Euler e não pode ser exterior ao triângulo.

\(P_3\) representa o ortocentro, pois, para além do circuncentro, é o ponto notável que pode estar no exterior do triângulo.

\(P_4\) representa o incentro, pois é o único ponto notável que pode não pertencer à reta de Euler.

17.2. A afirmação é falsa.

O triângulo não é retângulo, pois há dois pontos notáveis no seu exterior. Qualquer que seja o triângulo, o incentro e o baricentro encontram-se no interior e, nos triângulos retângulos, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa e o ortocentro encontra-se no vértice do ângulo reto.

18.

Baricentro

Considere o triângulo \([ABC]\) representado na figura ao lado.

Sabe-se que:

  • \(D\), \(E\) e \(F\) são os pontos médios de \([AB]\), \([BC]\) e \([AC]\), respetivamente;
  • \(P\) é o ponto de interseção das retas \(AE\), \(CD\) e \(BF\);
  • \(AB=BC\);
  • \(AF=8\);
  • \(FP=6\).

18.1. Como se designa o ponto \(P\)?

18.2. Determine:

18.2.1. \(PB\)

18.2.2. \(AP\)

18.3. Determine o perímetro dos triângulos \([CFP]\) e \([BEP]\).

18.4. Que relação existe entre as áreas dos polígonos \([CEPF]\) e \([ABEPF]\)? Justifique a sua resposta.

18.5. Determine a área do triângulo \([BCP]\).

Triângulo ABC com pontos médios e baricentro P

18.1. Baricentro.

18.2.1.

\[ PB=2\times FP=2\times6=12 \]

18.2.2. Como \(AB=BC\), o triângulo \([ABC]\) é isósceles e \(BF\) é perpendicular a \([AC]\). Logo, \([AFP]\) é um triângulo retângulo em \(F\).

\[ AP^2=FP^2+AF^2 \] \[ AP^2=6^2+8^2=100 \] \[ AP=10 \]

18.3.

\[ CF=AF=8 \] \[ CP=\sqrt{CF^2+FP^2} \] \[ CP=\sqrt{8^2+6^2}=10 \] \[ P_{[CFP]}=8+6+10=24 \]

Como \(BF=BP+PF=12+6=18\),

\[ BC=\sqrt{BF^2+FC^2} \] \[ BC=\sqrt{18^2+8^2}=2\sqrt{97} \] \[ BE=\frac{BC}{2}=\sqrt{97} \]

Além disso, \(EP=5\). Assim,

\[ P_{[BEP]}=12+5+\sqrt{97} \] \[ P_{[BEP]}=17+\sqrt{97} \]

18.4. As medianas dividem o triângulo em seis triângulos equivalentes.

\[ A_{[CEPF]}=\frac{2}{6}A_{[ABC]} \] \[ A_{[ABEPF]}=\frac{4}{6}A_{[ABC]} \]

Logo,

\[ A_{[ABEPF]}=2A_{[CEPF]} \]

18.5.

\[ A_{[ABC]}=\frac{AC\times BF}{2} \] \[ A_{[ABC]}=\frac{16\times18}{2}=144 \] \[ A_{[BCP]}=\frac{1}{3}A_{[ABC]} \] \[ A_{[BCP]}=\frac{1}{3}\times144=48 \]
19.

Reta de Euler

Na figura seguinte pode observar-se um triângulo \([ABC]\) e a sua reta de Euler.

Sabe-se que:

  • \(D\) e \(E\) são pontos de interseção da reta de Euler com o triângulo;
  • \(M\) é o ponto médio de \([AB]\);
  • \(MQ=2,4\,\text{cm}\);
  • \(QR=2DP\);
  • \(DE=5,9\,\text{cm}\);
  • \(ER=1\,\text{cm}\);
  • a área do triângulo \([ABC]\) é \(29,1\,\text{cm}^2\).

19.1. Como se designam cada um dos pontos \(P\), \(Q\) e \(R\)?

19.2. Considere as seguintes afirmações:

(I) \(QR=\frac{1}{2}PQ\)

(II) \(QM=\frac{1}{2}CM\)

(III) \(3CQ=2CM\)

Selecione a opção correta:

(A) As afirmações (I), (II) e (III) são verdadeiras. (B) As afirmações (I) e (II) são verdadeiras e a afirmação (III) é falsa. (C) As afirmações (I) e (III) são verdadeiras e a afirmação (II) é falsa. (D) As afirmações (II) e (III) são verdadeiras e a afirmação (I) é falsa.

19.3. Determine a distância entre:

19.3.1. o baricentro e o vértice \(C\);

19.3.2. o ortocentro e o circuncentro.

19.4. Calcule a área do polígono \([ABCQ]\).

Triângulo ABC com reta de Euler e pontos P, Q e R

19.1. \(P\) é o ortocentro; \(Q\) é o baricentro; \(R\) é o circuncentro.

19.2.

(I) Verdadeira, pois na reta de Euler \(PQ=2QR\).

(II) Falsa. Como \(Q\) é o baricentro, \(QM=\frac{1}{3}CM\).

(III) Verdadeira.

\[ CQ=\frac{2}{3}CM \] \[ 3CQ=2CM \]

Opção (C).

19.3.1.

\[ CQ=2\times MQ \] \[ CQ=2\times2,4=4,8\,\text{cm} \]

19.3.2. Como \(PQ=2QR\), então \(PR=3QR\). Como \(QR=2DP\), obtém-se:

\[ PR=6DP \]

Na figura, \(DR=DE-ER\).

\[ DR=5,9-1=4,9 \]

Além disso, \(DR=DP+PQ+QR\), isto é, \(DR=DP+PR\).

\[ 4,9=DP+6DP \] \[ 7DP=4,9 \] \[ DP=0,7 \] \[ PR=6DP=6\times0,7=4,2\,\text{cm} \]

19.4.

\[ A_{[ABCQ]}=4\times\frac{1}{6}A_{[ABC]} \] \[ A_{[ABCQ]}=\frac{2}{3}\times29,1 \] \[ A_{[ABCQ]}=19,4\,\text{cm}^2 \]
20.

Coordenadas

Na figura seguintes, estão representados o triângulo \([ABC]\), os seus ortocentro, circuncentro, a circunferência circunscrita ao triângulo, a circunferência dos nove pontos e o seu centro.

Sabe-se ainda que os pontos \(A\), \(B\) e \(C\), têm coordenadas \((3,2)\), \((7,5)\) e \((4,-1)\), respetivamente.

20.1. Identifique os pontos marcados, de \(P_1\) a \(P_9\).

20.2. Determine as coordenadas do circuncentro do triângulo \([ABC]\).

20.3. Escreva a equação da circunferência circunscrita ao triângulo \([ABC]\).

20.4. Determine a área e o perímetro da circunferência dos nove pontos do triângulo \([ABC]\). Apresente o resultado com aproximação às centésimas.

20.5. Mostre que as coordenadas do baricentro do triângulo \([ABC]\) são \(\left(\frac{14}{3},2\right)\).

20.6. Determine a distância:

20.6.1. do baricentro ao circuncentro do triângulo \([ABC]\);

20.6.2. do baricentro ao ortocentro do triângulo \([ABC]\).

Triângulo ABC com circunferência circunscrita e dos nove pontos

20.1.

\(P_1\): circuncentro do triângulo.

\(P_2\): ponto médio do segmento de reta de extremos no circuncentro e no ortocentro do triângulo, isto é, centro da circunferência dos nove pontos.

\(P_3\): ortocentro do triângulo.

\(P_4\): ponto médio de \([BC]\).

\(P_5\): ponto médio de \([AC]\).

\(P_6\): ponto médio de \([AB]\).

\(P_7\): projeção ortogonal de \(C\) em \([AB]\).

\(P_8\): projeção ortogonal de \(B\) em \([AC]\).

\(P_9\): projeção ortogonal de \(A\) em \([BC]\).

20.2. O circuncentro é a interseção das mediatrizes.

Mediatriz de \([AB]\):

\[ y-\frac{7}{2}=-\frac{4}{3}(x-5) \]

Mediatriz de \([AC]\):

\[ y-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\left(x-\frac{7}{2}\right) \]

Resolvendo o sistema, obtém-se:

\[ P_1\left(\frac{13}{2},\frac{3}{2}\right) \]

20.3.

\[ r^2=AP_1^2 \] \[ r^2=\left(\frac{13}{2}-3\right)^2+\left(\frac{3}{2}-2\right)^2 \] \[ r^2=\frac{25}{2} \] \[ \left(x-\frac{13}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25}{2} \]

20.4. O raio da circunferência dos nove pontos é metade do raio da circunferência circunscrita.

\[ r=\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{5\sqrt2}{2} \] \[ r_9=\frac{r}{2}=\frac{5\sqrt2}{4} \] \[ A_9=\pi r_9^2 \] \[ A_9=\pi\left(\frac{5\sqrt2}{4}\right)^2 \] \[ A_9=\frac{25\pi}{8}\approx9,82 \] \[ P_9=2\pi r_9 \] \[ P_9=2\pi\times\frac{5\sqrt2}{4} \] \[ P_9=\frac{5\pi\sqrt2}{2}\approx11,11 \]

20.5. Seja \(D\) o baricentro do triângulo.

\[ D=\left(\frac{3+7+4}{3},\frac{2+5-1}{3}\right) \] \[ D=\left(\frac{14}{3},2\right) \]

20.6.1.

\[ DP_1=\sqrt{\left(\frac{14}{3}-\frac{13}{2}\right)^2+\left(2-\frac{3}{2}\right)^2} \] \[ DP_1=\sqrt{\left(-\frac{11}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2} \] \[ DP_1=\sqrt{\frac{121}{36}+\frac{9}{36}} \] \[ DP_1=\frac{\sqrt{130}}{6} \]

20.6.2. Na reta de Euler, a distância do baricentro ao ortocentro é o dobro da distância do baricentro ao circuncentro.

\[ DP_3=2DP_1 \] \[ DP_3=2\times\frac{\sqrt{130}}{6} \] \[ DP_3=\frac{\sqrt{130}}{3} \]
21.

Triângulos escalenos

Na figura seguinte estão representados quatro triângulos escalenos, geometricamente iguais, e os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\).

A
Triângulo escaleno com ponto A
B
Triângulo escaleno com ponto B
C
Triângulo escaleno com ponto C
D
Triângulo escaleno com ponto D

Qual das afirmações, sobre os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\), pode ser verdadeira?

(A) São, respetivamente, o incentro, o circuncentro, o ortocentro e o baricentro do triângulo. (B) São, respetivamente, o baricentro, o ortocentro, o circuncentro e o incentro do triângulo. (C) São, respetivamente, o ortocentro, o baricentro, o incentro e o circuncentro do triângulo. (D) São, respetivamente, o circuncentro, o incentro, o baricentro e o ortocentro do triângulo.

Opção (B).

22.

Triângulo retângulo

Considere um triângulo retângulo de catetos \(7\,\text{cm}\) e \(24\,\text{cm}\).

22.1. Qual é o comprimento da hipotenusa do triângulo.

22.2. Considere a circunferência circunscrita ao triângulo. Determine o raio dessa circunferência.

22.3. Considere a circunferência inscrita no triângulo. Determine o raio dessa circunferência.

22.4. Seja \(x\) a distância, em centímetros, do baricentro do triângulo ao cateto de comprimento \(24\,\text{cm}\). Determine \(x\).

22.5. Seja \(y\) a distância, em centímetros, do ortocentro do triângulo à hipotenusa. Determina o valor de \(y\) com aproximação às décimas.

22.1.

\[ h^2=7^2+24^2 \] \[ h^2=625 \] \[ h=25\,\text{cm} \]

22.2. Dado que o triângulo é retângulo, um diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo é a hipotenusa do triângulo.

\[ r=\frac{25}{2}=12,5\,\text{cm} \]

22.3. Designando por \(r\) o raio da circunferência inscrita:

Esquema para determinar o raio da circunferência inscrita
\[ r=\frac{7+24-25}{2} \] \[ r=3\,\text{cm} \]

22.4. Dado que as três medianas dividem o triângulo em seis triângulos equivalentes, conclui-se que:

Esquema para a distância do baricentro ao cateto
\[ \frac{12x}{2}=\frac{1}{6}\times\frac{24\times7}{2} \] \[ 6x=14 \] \[ x=\frac{7}{3}\,\text{cm} \]

22.5. Considere-se o seguinte esquema:

Esquema para a distância do ortocentro à hipotenusa

Por semelhança de triângulos tem-se

\[ \frac{a}{7}=\frac{7}{25} \] \[ a=\frac{49}{25}\approx2,0\,\text{cm} \]

Assim, conclui-se que

\[ y\approx\sqrt{7^2-2,0^2} \]

Logo, \(y\approx6,7\,\text{cm}\).

23.

Euler

Na figura seguinte estão representados um triângulo escaleno, três dos pontos notáveis do triângulo e a reta \(r\), reta de Euler relativamente a esse triângulo.

23.1. Qual dos seguintes pontos notáveis não está representado?

(A) O incentro (B) O circuncentro (C) O baricentro (D) O ortocentro

23.2. Justifique que, num triângulo retângulo, a reta de Euler é definida pelo ponto médio da hipotenusa e pelo vértice de ângulo reto.

Triângulo escaleno com reta de Euler

23.1. Opção (A): o incentro.

23.2. Num triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa; por outro lado, o ortocentro é o vértice de ângulo reto.

Dado que a reta de Euler contém o circuncentro e o ortocentro, e dois pontos definem uma reta, conclui-se que a reta de Euler é definida pelo ponto médio da hipotenusa e pelo vértice de ângulo reto.

24.

Nove pontos

Na figura seguinte estão representados o triângulo escaleno \([ABC]\), o ponto \(X\) e a circunferência dos nove pontos, relativamente a esse triângulo.

24.1. Qual das afirmações, sobre o ponto \(X\), é verdadeira?

(A) É o baricentro de \([ABC]\) (B) É o incentro de \([ABC]\) (C) É o circuncentro de \([ABC]\) (D) É o ortocentro de \([ABC]\)

24.2. Prove que, num triângulo retângulo, o raio da circunferência circunscrita é o dobro do raio da circunferência dos nove pontos, relativamente a esse triângulo.

Triângulo ABC com ponto X e circunferência dos nove pontos

24.1. Opção (D): \(X\) é o ortocentro de \([ABC]\).

24.2. Considere-se um triângulo retângulo \([ABC]\). Dado que \([ABC]\) é um triângulo retângulo, o ortocentro, \(O\), coincide com o vértice \(A\) e o centro da circunferência circunscrita é o ponto médio da hipotenusa, isto é, \(M_2\).

Triângulo retângulo com circunferência circunscrita e circunferência dos nove pontos

Conclui-se também que as projeções ortogonais dos vértices \(B\) e \(C\) nos lados opostos são, respetivamente, \(H_1\) e \(H_3\), que coincidem com o vértice \(A\), e que a projeção ortogonal do vértice \(A\) no lado oposto é \(H_2\).

Assim, os pontos médios dos segmentos de reta com extremos no ortocentro e nos vértices do triângulo, \(E_1\), \(E_2\) e \(E_3\), coincidem, respetivamente, com \(O\), \(M_3\) e \(M_1\), sendo \(M_3\) e \(M_1\) os pontos médios dos catetos do triângulo.

Por semelhança de triângulos,

\[ BC=2M_1M_3 \]

Como \(M_2\) é o ponto médio de \([BC]\),

\[ BM_2=M_1M_3 \]

O segmento \([M_1M_3]\) é diâmetro da circunferência dos nove pontos, logo o raio dessa circunferência é \(\frac{1}{2}M_1M_3\).

Assim, o raio da circunferência circunscrita, \(BM_2\), é o dobro do raio da circunferência dos nove pontos.