Geometria Sintética 1 | Matemática A

1.

Pontos notáveis

Indique para qual ou quais dos pontos notáveis do triângulo estudados, circuncentro, incentro, ortocentro ou baricentro, se verifica cada uma das seguintes propriedades.

1.1. Interseção das retas suporte das alturas de um triângulo.

1.2. Interseção das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.

1.3. Interseção das mediatrizes dos lados dos triângulos.

1.4. Interseção das medianas do triângulo.

1.5. Centro da circunferência inscrita no triângulo.

1.6. Centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

1.7. Divide cada mediana numa razão 2 para 1.

1.8. Ponto equidistante dos vértices do triângulo.

1.1. Ortocentro

1.2. Incentro

1.3. Circuncentro

1.4. Baricentro

1.5. Incentro

1.6. Circuncentro

1.7. Baricentro

1.8. Circuncentro

2.

Centro de arco

Na figura encontra-se um arco de circunferência.

Indique como se pode determinar o centro da circunferência que contém esse arco.

Temos que encontrar o circuncentro de um triângulo formado por três pontos distintos do arco da circunferência.

Construção do circuncentro a partir de três pontos do arco

3.

Triângulo retângulo

Na figura encontra-se representado, numa quadrícula, o triângulo retângulo \([ABC]\).

3.1. Justifique que o circuncentro se encontra sobre a hipotenusa do triângulo.

3.2. O ortocentro coincide com um dos vértices do triângulo. Qual?

3.3. Localize o baricentro do triângulo.

3.1.

Qualquer triângulo retângulo está inscrito numa semicircunferência em que a hipotenusa é um diâmetro da circunferência. Portanto o circuncentro encontra-se no ponto médio da hipotenusa.

3.2.

Ponto \(B\).

3.3.

\(I\) é o baricentro do triângulo.

4.

Incentro

Na figura, está representado o triângulo isósceles \([ABC]\) em que \(AB=BC\).

O ponto \(I\) é o incentro do triângulo.

Sabendo que \(I\widehat{C}B=38^\circ\), determine a amplitude do ângulo \(CIA\).

\[ I\widehat{C}A=38^\circ \] \[ I\widehat{A}C=38^\circ \] \[ C\widehat{I}A=180^\circ-(38^\circ+38^\circ)=104^\circ \]

5.

Localização equidistante

As câmaras municipais de três vilas vizinhas querem construir uma clínica veterinária que sirva as três localidades. Para isso, decidiram que a clínica deverá estar à mesma distância em linha reta das três câmaras municipais.

Explique como pode ser feita a localização da clínica veterinária.

Deve ser encontrado o circuncentro do triângulo \([ABC]\), sendo \(A\), \(B\) e \(C\) as localidades das três câmaras municipais, isto é o ponto de interseção das mediatrizes dos lados do triângulo.

Por exemplo:

6.

Baricentro

Na figura, está representado o triângulo obtusângulo \([ABC]\).

Os pontos \(M\), \(N\) e \(P\) são pontos médios de \([AB]\), \([BC]\) e \([AC]\), respetivamente.

O ponto \(O\) é o ponto de interseção de \([AN]\), \([CM]\) e \([BP]\).

6.1. Como se designa o ponto \(O\)?

6.2. Sabe-se que \(MC=9\ \text{cm}\). Determine \(MO\) e \(OC\).

Triângulo ABC com medianas e baricentro O

6.1.

O ponto \(O\) é o ponto de interseção das três medianas do triângulo.

Portanto, Baricentro.

6.2.

\[ OC=\frac23MC \] \[ OC=\frac23\times9=6\ \text{cm} \] \[ MO=\frac13MC \] \[ MO=\frac13\times9=3\ \text{cm} \]

7.

Perímetro

Na figura, está representado o triângulo \([MNP]\).

O ponto \(B\) é o baricentro do triângulo.

Sabe-se ainda que:

\(NP=9\ \text{cm}\)
\(PD=12\ \text{cm}\)
\(NF=6\ \text{cm}\)

Determine o perímetro do triângulo \([BNP]\).

\[ PD=12\ \text{cm},\quad \text{então}\quad PB=\frac23PD \] \[ PB=\frac23\times12=8\ \text{cm} \] \[ NF=6\ \text{cm},\quad \text{então}\quad BN=\frac23NF \] \[ BN=\frac23\times6=4\ \text{cm} \] \[ P_{[BNP]}=8+4+9=21\ \text{cm} \]

8.

Triângulos notáveis

Observe os seguintes triângulos.

Indique para qual ou quais dos triângulos apresentados se verificam as seguintes propriedades:

8.1. O circuncentro coincide com o incentro, o ortocentro e o baricentro.

8.2. \([BD]\) é a altura e a mediana relativamente a \([AC]\).

8.3. O circuncentro e o ortocentro localizam-se no exterior do triângulo.

8.1. Triângulo equilátero (II).

8.2. Triângulo retângulo isósceles (III).

8.3. Triângulo isósceles não equilátero.

Nota: Este caso só se verifica se a altura \([CM]\) for menor do que \([AM]\) ou se \(\widehat{ACB}\) é obtuso.

Exemplos:

Exemplo de triângulo isósceles não equilátero

Segundo exemplo de ponto notável exterior

Triângulo obtusângulo.

9.

Triângulo órtico

Na figura estão representados os triângulos \([ABC]\) e \([A'B'C']\) cujos vértices são os pés das perpendiculares aos lados do triângulo \([ABC]\) que passam pelos seus vértices.

O triângulo \([A'B'C']\) chama-se triângulo órtico do triângulo \([ABC]\).

9.1. Como se designa o ponto \(P\) relativamente ao triângulo \([ABC]\)?

9.2. O que acontece ao triângulo \([A'B'C']\) se o triângulo \([ABC]\) for retângulo?

9.3. No caso do triângulo \([ABC]\) ser acutângulo, o ponto \(P\) é um ponto notável do triângulo órtico. Como se designa esse ponto notável de \([A'B'C']\)? Teste a sua conjetura com o GeoGebra.

9.4. A relação que encontrou também é verificada no caso do triângulo \([ABC]\) ser obtusângulo? Teste a sua conjetura com o GeoGebra.

Triângulo órtico A'B'C' do triângulo ABC

9.1. Ortocentro.

9.2. O triângulo \([A'B'C']\) desaparece porque \(B\equiv B'\equiv A'\equiv C'\).

9.3. Incentro.

9.4. Não, se o triângulo for obtusângulo, o incentro do triângulo órtico coincide com o vértice do ângulo inverso obtuso do triângulo \([ABC]\).

10.

Paralelogramo

Considere um paralelogramo \([MNPQ]\).

Classifique o paralelogramo sabendo que o ponto \(Q\) pertence à circunferência circunscrita ao triângulo \([MNP]\).

O paralelogramo \([MNPQ]\) é um retângulo.

11.

Circunferência inscrita

Na figura está representado um triângulo retângulo \([ABC]\) e uma circunferência inscrita no triângulo.

Sabe-se que:

o perímetro do triângulo é 36 cm;
a hipotenusa mede 15 cm.

11.1. Calcule a medida dos catetos.

11.2. Determine o raio da circunferência.

Triângulo retângulo com circunferência inscrita

11.1.

\[ AB+AC+15=36 \] \[ AB=21-AC \] \[ AB^2+AC^2=BC^2 \] \[ (21-AC)^2+AC^2=15^2 \] \[ 441-42AC+2AC^2=225 \] \[ 2AC^2-42AC+216=0 \] \[ AC=\frac{42\pm\sqrt{(-42)^2-4\times2\times216}}{4} \] \[ AC=9\vee AC=12 \]

Se \(AC=9\), então \(AB=21-9=12\).

Se \(AC=12\), então \(AB=21-12=9\).

Portanto, os catetos medem 9 cm e 12 cm.

11.2.

Pode decompor o triângulo \([ABC]\) em três triângulos \([APC]\), \([ABP]\) e \([BCP]\).

Decomposição do triângulo em três triângulos com altura igual ao raio

A área do triângulo \([ABC]\) é igual à soma dos três triângulos.

Como a circunferência está inscrita no triângulo \([ABC]\) então as alturas de cada um dos triângulos decompostos é o raio da circunferência.

Assim,

\[ A_{[ABC]}=A_{[APC]}+A_{[ABP]}+A_{[BCP]} \] \[ \frac{9\times12}{2}=\frac{9r}{2}+\frac{12r}{2}+\frac{15r}{2} \] \[ 18r=54 \] \[ r=3 \]

Logo, o raio da circunferência é igual a 3 cm.

12.

Reta de Euler e nove pontos

O triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(A\).

O ponto \(M\) é o ponto médio de \([AB]\) e o ponto \(N\) é o ponto médio de \([BC]\). O ponto \(P\) é o ponto de interseção de \(AN\) com \(MC\).

12.1. Usando as letras da figura, identifique:

a) o ortocentro;

b) o baricentro;

c) o circuncentro.

12.2. A reta \(AN\) passa em três pontos especiais do triângulo. Que nome se dá a essa reta?

12.3. Justifique que \(AN=3PN\).

Triângulo retângulo ABC com pontos M, N e P

12.4. No triângulo \([ABC]\) representou-se a circunferência circunscrita e a circunferência, de raio 5, que passa nos pontos médios de cada lado do triângulo.

a) Que nome se dá à circunferência que passa nos pontos médios dos lados do triângulo?

b) Dos pontos \(A\), \(M\), \(N\), \(J\), \(K\) e \(L\), qual ou quais não fazem parte dos nove pontos?

c) Calcule as medidas inteiras dos lados do triângulo \([ABC]\).

Circunferência circunscrita e circunferência dos nove pontos

12.1.

a) Ponto \(A\).

b) Ponto \(P\).

c) Ponto \(N\).

12.2.

Como o ortocentro, o baricentro e o circuncentro pertencem à reta \(AN\), \(AN\) chama-se reta de Euler.

12.3.

Como \(AN\) é a reta de Euler, a distância entre o baricentro e o ortocentro é o dobro da distância do baricentro e o circuncentro, assim \(2PN=AP\).

Por outro lado,

\[ AN=AP+PN \] \[ AN=2PN+PN \] \[ AN=3PN\quad \text{c.q.m.} \]

12.4.

a) Circunferência dos nove pontos.

b) Os nove pontos da circunferência são:

3 pontos médios dos lados (\(M\), \(N\), \(L\));
3 pés das alturas (\(A\) e \(J\), pois como o triângulo é retângulo o ortocentro e dois pés das alturas coincidem);
3 pontos médios dos segmentos de reta de cada vértice do triângulo até ao ortocentro (como o triângulo é retângulo, estes três pontos coincidem no vértice \(A\)).

Portanto, \(K\) não faz parte da lista dos nove pontos.

c)

Como o raio da circunferência de nove pontos é 5, o raio da circunferência circunscrita é 10.

Assim, \(BC=20\).

\(AC=2MN\), pois \(M\) e \(N\) são pontos médios de \([AB]\) e \([AC]\), respetivamente.

\(AB=2LN\), pois \(L\) e \(N\) são pontos médios de \([AC]\) e \([BC]\), respetivamente.

\[ (2MN)^2+(2LN)^2=20^2 \] \[ 4MN^2+4LN^2=400 \] \[ MN^2+LN^2=100 \]

Os únicos números inteiros que satisfazem \(MN^2+LN^2=100\) são, por exemplo, \(MN=6\) e \(LN=8\).

Logo as medidas inteiras dos lados do triângulo \([ABC]\) são 12, 16 e 20.

Geometria - Sintética 1