Geometria Analítica no Espaço

1.1.

\[ \begin{aligned} z&=\sqrt3\\ (x-1)^2+(y+2)^2+(\sqrt3)^2&\leq 3\\ \Longleftrightarrow (x-1)^2+(y+2)^2+3&\leq 3\\ \Longleftrightarrow (x-1)^2+(y+2)^2&\leq 0 \end{aligned} \]

Significa que \(z=\sqrt3\) é tangente à esfera, logo o conjunto de pontos da interseção é o ponto de coordenadas \((1,-2,\sqrt3)\).

1.2.

Eixo \(Ox\): \(y=0\) e \(z=0\).

\[ \begin{aligned} (x-1)^2+(0+2)^2+0^2&=3\\ \Longleftrightarrow (x-1)^2+4&=3\\ \Longleftrightarrow (x-1)^2&=-1 \end{aligned} \]

Impossível. Logo, a esfera não interseta o eixo \(Ox\).

Eixo \(Oy\): \(x=0\) e \(z=0\).

\[ \begin{aligned} (0-1)^2+(y+2)^2+0^2&=3\\ \Longleftrightarrow 1+(y+2)^2&=3\\ \Longleftrightarrow (y+2)^2&=2\\ \Longleftrightarrow y+2&=-\sqrt2\ \vee\ y+2=\sqrt2\\ \Longleftrightarrow y&=-2-\sqrt2\ \vee\ y=-2+\sqrt2 \end{aligned} \]

Pontos de interseção: \((0,-2-\sqrt2,0)\) e \((0,-2+\sqrt2,0)\).

Eixo \(Oz\): \(x=0\) e \(y=0\).

\[ \begin{aligned} (0-1)^2+(0+2)^2+z^2&=3\\ \Longleftrightarrow 1+4+z^2&=3\\ \Longleftrightarrow z^2&=-2 \end{aligned} \]

Impossível. Logo, a esfera não interseta o eixo \(Oz\).

\[ \begin{aligned} x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z&=0\\ x^2-2x+y^2+4y+z^2-6z&=0\\ x^2-2x+1-1+y^2+4y+4-4+z^2-6z+9-9&=0\\ (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2&=14 \end{aligned} \]

Logo, trata-se de uma superfície esférica de centro \((1,-2,3)\) e raio \(\sqrt{14}\).

Opção correta: (C).

3.1.

a)

\[ \begin{aligned} r=\overline{AB} &=\sqrt{(-3-1)^2+(-2+4)^2+(1-5)^2}\\ &=\sqrt{16+4+16} =\sqrt{36}=6 \end{aligned} \] \[ (x-1)^2+(y+4)^2+(z-5)^2=36 \]

b) Seja \(C\) o ponto médio de \([AB]\).

\[ C\left(\frac{1-3}{2},\frac{-4-2}{2},\frac{5+1}{2}\right)=(-1,-3,3) \] \[ \begin{aligned} r=\overline{AC} &=\sqrt{(-1-1)^2+(-3+4)^2+(3-5)^2}\\ &=\sqrt{4+1+4}=3 \end{aligned} \] \[ (x+1)^2+(y+3)^2+(z-3)^2=9 \]

c) A distância de \(A\) ao plano \(Oyz\), definido pela equação \(x=0\), é igual ao valor absoluto da abcissa de \(A\), isto é, 1.

\[ (x-1)^2+(y+4)^2+(z-5)^2=1 \]

d) A distância de \(B\) ao plano \(Oxz\) é igual ao valor absoluto da ordenada de \(B\), isto é, \(|y_B|=|-2|=2\).

\[ (x+3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=4 \]

3.2. Pela alínea b), a superfície esférica tem centro \(C(-1,-3,3)\) e raio 3.

Planos paralelos a \(Oxy\):

\[ z=3+3\Longleftrightarrow z=6 \qquad\text{ou}\qquad z=3-3\Longleftrightarrow z=0 \]

Planos paralelos a \(Oxz\):

\[ y=-3+3\Longleftrightarrow y=0 \qquad\text{ou}\qquad y=-3-3\Longleftrightarrow y=-6 \]

Planos paralelos a \(Oyz\):

\[ x=-1+3\Longleftrightarrow x=2 \qquad\text{ou}\qquad x=-1-3\Longleftrightarrow x=-4 \]

4.1.

\[ \begin{aligned} (x+2)^2+y^2+(7-4)^2&\leq 25\\ \Longleftrightarrow (x+2)^2+y^2+9&\leq 25\\ \Longleftrightarrow (x+2)^2+y^2&\leq 16 \end{aligned} \]

A secção é um círculo de centro \((-2,0,7)\) e raio 4.

4.2.

\[ -2-5\lt k\lt -2+5 \Longleftrightarrow -7\lt k\lt 3 \]

Logo, \(k\in]-7,3[\).

4.3.

\[ \begin{aligned} (x+2)^2+(-1)^2+(z-4)^2&\leq 25\\ (x+2)^2+(z-4)^2&\leq 24 \end{aligned} \]

Logo, o raio é \(\sqrt{24}\).

\[ A_0=\pi(\sqrt{24})^2=24\pi \]

5.1. Como a superfície esférica é tangente ao plano \(Oxy\) e o centro é \((1,-2,3)\), então o raio é igual à cota do centro, isto é, \(r=3\).

\[ k=3^2\Longleftrightarrow k=9 \]

5.2.

\[ \begin{aligned} A(3,-1,5):\quad (3-1)^2+(-1+2)^2+(5-3)^2&=4+1+4=9\\ B(3,-3,5):\quad (3-1)^2+(-3+2)^2+(5-3)^2&=4+1+4=9 \end{aligned} \]

Logo, \(A\) e \(B\) pertencem à superfície esférica.

5.3. Se \([AD]\) é um diâmetro, o centro da circunferência é o ponto médio de \([AD]\).

\[ \left(\frac{3+x_D}{2},\frac{-1+y_D}{2},\frac{5+z_D}{2}\right)=(1,-2,3) \] \[ x_D=-1,\qquad y_D=-3,\qquad z_D=1 \]

Logo, \(D(-1,-3,1)\).

5.4.

a)

\[ \begin{aligned} (x-3)^2+(y+1)^2+(z-5)^2&=(x-3)^2+(y+3)^2+(z-5)^2\\ \Longleftrightarrow y^2+2y+1&=y^2+6y+9\\ \Longleftrightarrow -4y-8&=0\\ \Longleftrightarrow y+2&=0\\ \Longleftrightarrow y&=-2 \end{aligned} \]

b) O plano \(y=-2\) passa pelo centro da superfície esférica. Assim, a secção é uma circunferência de raio 3.

\[ C=2\pi r=2\pi\times3=6\pi \]

6.1.

\[ r=\overline{OA}=\sqrt{0^2+4^2+3^2}=\sqrt{25}=5 \] \[ x^2+y^2+z^2=25 \]

6.2. Como \(C\) pertence ao eixo \(Oz\) e tem cota negativa, então \(C(0,0,-5)\).

6.3.

\[ \begin{aligned} \overline{AB} &=\sqrt{(0-0)^2+(-4-4)^2+(3-3)^2}=8\\ \overline{AC} &=\sqrt{(0-0)^2+(0-4)^2+(-5-3)^2}=\sqrt{80}\\ \overline{BC} &=\sqrt{(0-0)^2+(0+4)^2+(-5-3)^2}=\sqrt{80} \end{aligned} \]

Como \(\overline{AC}=\overline{BC}\), logo o triângulo é isósceles.

\[ P_{[ABC]}=8+2\sqrt{80} \]

6.4.

Planos paralelos a \(Oxy\):

\[ z+5=0\Longleftrightarrow z=-5 \qquad\text{ou}\qquad z-5=0\Longleftrightarrow z=5 \]

Planos paralelos a \(Oxz\):

\[ y+5=0\Longleftrightarrow y=-5 \qquad\text{ou}\qquad y-5=0\Longleftrightarrow y=5 \]

Planos paralelos a \(Oyz\):

\[ x+5=0\Longleftrightarrow x=-5 \qquad\text{ou}\qquad x-5=0\Longleftrightarrow x=5 \]

\[ (x+3)^2+(y-2)^2+z^2=25 \]

Eixo \(Oy\): \(x=0\) e \(z=0\).

\[ \begin{aligned} (0+3)^2+(y-2)^2+0^2&=25\\ 9+(y-2)^2&=25\\ (y-2)^2&=16\\ y-2&=-4\ \vee\ y-2=4\\ y&=-2\ \vee\ y=6 \end{aligned} \]

Pontos de interseção: \((0,-2,0)\) e \((0,6,0)\).

8.1.

\[ \begin{aligned} x^2+y^2+z^2+4y-10z+13&=0\\ x^2+(y+2)^2+(z-5)^2&=-13+4+25\\ x^2+(y+2)^2+(z-5)^2&=16 \end{aligned} \]

Centro: \((0,-2,5)\). Raio: 4.

8.2.

\[ 0^2+(-2+2)^2+(3-5)^2=4\neq 16 \]

Logo, \((0,-2,3)\) não pertence à superfície esférica.

Como \(y=-2\) e \(y=2\) são planos tangentes à esfera, então o raio é

\[ r=|-2-2|=4 \]

e a ordenada do centro é \(y=0\).

Como \(z=1\) é tangente e o raio é 4, então a cota do centro é:

\[ z+4=1\ \vee\ z-4=1 \Longleftrightarrow z=-3\ \vee\ z=5 \]

Como \(x=5\) é tangente e o raio é 4, então a abcissa do centro é:

\[ x+4=5\ \vee\ x-4=5 \Longleftrightarrow x=1\ \vee\ x=9 \]

Assim, uma inequação que define essa esfera é

\[ (x-1)^2+y^2+(z+3)^2\leq 16. \]

10.1. O plano \(y=-3\) é tangente e a ordenada do centro é \(y=2\), logo o raio é 5.

\[ (x-2)^2+(y-2)^2+(z+2)^2=25 \]

10.2. Uma equação do plano perpendicular ao eixo das abcissas é do tipo \(x=a\). Como o plano contém o centro da superfície esférica, então \(a=2\).

\[ x=2 \]

10.3.

\[ (1-2)^2+(1-2)^2+(1+2)^2=1+1+9=11\neq 25 \]

Logo, \(A\) não pertence à superfície esférica.

\[ C(5,7,9),\qquad r=4 \] \[ (x-5)^2+(y-7)^2+(z-9)^2\leq 16 \]

Se \(z=k\), com \(k>9\), é um círculo com raio igual a \(\sqrt{12}\), então

\[ \begin{aligned} 16-12&=4\\ (k-9)^2&=4\\ k-9&=-2\ \vee\ k-9=2\\ k&=7\ \vee\ k=11 \end{aligned} \]

Como \(k>9\), então \(k=11\).

A condição que define o círculo é

\[ (x-5)^2+(y-7)^2\leq 12\ \wedge\ z=11. \]

12.1. Como \([BCEF]\) está contida no plano \(y=20\), então o raio de cada uma das esferas é 5. Logo, o centro da esfera à esquerda é \((5,5,5)\).

\[ (x-5)^2+(y-5)^2+(z-5)^2\leq 25 \]

12.2. A equação que define a superfície esférica à direita é

\[ (x-5)^2+(y-15)^2+(z-5)^2=25. \]

A reta definida por \(y=15\wedge z=10\) interseta a superfície esférica em:

\[ \begin{aligned} (x-5)^2+(15-15)^2+(10-5)^2&=25\\ (x-5)^2+25&=25\\ (x-5)^2&=0\\ x&=5 \end{aligned} \]

As coordenadas do ponto são \((5,15,10)\).

12.3.

\[ \begin{aligned} (x-5)^2+(y-5)^2+(z-5)^2&\leq 25\\ (7-5)^2+(y-5)^2+(z-5)^2&\leq 25\\ (y-5)^2+(z-5)^2&\leq 21 \end{aligned} \]

O raio do círculo é \(\sqrt{21}\). Logo, o perímetro é

\[ P=2\pi r=2\sqrt{21}\pi. \]

13.1.

\[ \begin{aligned} \overline{AB}&=\sqrt{(1+1)^2+(0-2)^2+(3-3)^2}=2\sqrt2\\ \overline{AC}&=\sqrt{(2+1)^2+(-1-2)^2+(3-3)^2}=3\sqrt2\\ \overline{BC}&=\sqrt{(2-1)^2+(-1-0)^2+(3-3)^2}=\sqrt2 \end{aligned} \] \[ P_{[ABC]}=2\sqrt2+3\sqrt2+\sqrt2=6\sqrt2 \]

13.2. Como \(P\) pertence ao semieixo positivo das ordenadas, então as suas coordenadas são \(P(0,y_P,0)\).

\[ \begin{aligned} \overline{AP}=\sqrt{35} &\Longleftrightarrow \sqrt{(0+1)^2+(y_P-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt{35}\\ &\Longleftrightarrow 1+(y_P-2)^2+9=35\\ &\Longleftrightarrow (y_P-2)^2=25\\ &\Longleftrightarrow y_P-2=-5\ \vee\ y_P-2=5\\ &\Longleftrightarrow y_P=-3\ \vee\ y_P=7 \end{aligned} \]

Como \(P\) pertence ao semieixo positivo das ordenadas, \(P(0,7,0)\).

13.3. Seja \(M\) o ponto médio de \([AP]\).

\[ M\left(\frac{-1+0}{2},\frac{2+7}{2},\frac{3+0}{2}\right)=\left(-\frac12,\frac92,\frac32\right) \]

Como \(\overline{AP}=\sqrt{35}\), então o raio da esfera é

\[ r=\frac{\sqrt{35}}{2}. \]

A inequação que define a esfera é

\[ \left(x+\frac12\right)^2+\left(y-\frac92\right)^2+\left(z-\frac32\right)^2\leq \frac{35}{4}. \]

14.1.

\[ (x+3)^2+(y-2)^2\leq 16\wedge z=6 \]

Círculo de centro no ponto \((-3,2,6)\) e raio 4.

14.2.

\[ (y-1)^2+z^2\leq 9\wedge x=3 \]

Círculo de centro no ponto \((3,1,0)\) e raio 3.

14.3.

\[ \begin{aligned} (x-2)^2+(y+2)^2+(z+3)^2&=4\wedge y=-1\\ (x-2)^2+(-1+2)^2+(z+3)^2&=4\wedge y=-1\\ (x-2)^2+(z+3)^2&=3\wedge y=-1 \end{aligned} \]

Circunferência de centro em \((2,-1,-3)\) e raio \(\sqrt3\).

15.1. A face que está contida no plano \(Oxz\) é definida pela condição

\[ 0\leq x\leq 30\ \wedge\ y=0\ \wedge\ 0\leq z\leq 15. \]

15.2. Os extremos da diagonal são os pontos \((0,0,0)\) e \((30,30,15)\).

Seja \(P(x,y,z)\) um ponto do plano mediador.

\[ x^2+y^2+z^2=(x-30)^2+(y-30)^2+(z-15)^2 \] \[ \begin{aligned} 0&=-60x-60y-30z+2025\\ 60x+60y+30z-2025&=0\\ 4x+4y+2z-135&=0 \end{aligned} \]

15.3. Como a cota máxima é 31, então

\[ z_C=31-r. \]

Como o círculo de raio 8 é a interseção do plano \(z=15\) com a esfera, temos que

\[ \begin{aligned} r^2-(15-z_C)^2&=8^2\\ r^2-(15-31+r)^2&=64\\ r^2-(r-16)^2&=64\\ r^2-(r^2-32r+256)&=64\\ 32r-256&=64\\ 32r&=320\\ r&=10 \end{aligned} \] \[ z_C=31-10=21 \]

Logo, o centro da esfera é \((15,15,21)\) e a inequação reduzida é

\[ (x-15)^2+(y-15)^2+(z-21)^2\leq 100. \]

O centro da esfera é \((2,3,4)\). Como \([AB]\) é um diâmetro, então o centro da esfera é o ponto médio de \([AB]\).

\[ \left(\frac{x_B+1}{2},\frac{y_B+1}{2},\frac{z_B+1}{2}\right)=(2,3,4) \] \[ \begin{aligned} \frac{x_B+1}{2}=2&\Longleftrightarrow x_B=3\\ \frac{y_B+1}{2}=3&\Longleftrightarrow y_B=5\\ \frac{z_B+1}{2}=4&\Longleftrightarrow z_B=7 \end{aligned} \]

Logo, \(B(3,5,7)\). Opção correta: (B).

Como a superfície esférica tem centro \((1,1,1)\) e é tangente ao plano \(z=1+\sqrt3\), então o raio é

\[ r=|1+\sqrt3-1|=\sqrt3. \]

Assim, a equação da superfície esférica é

\[ (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=3. \]

17.1. Os pontos da superfície esférica que têm as três coordenadas iguais satisfazem a condição \((x,x,x)\), com \(y=x\wedge z=x\).

\[ \begin{aligned} (x-1)^2+(x-1)^2+(x-1)^2&=3\\ 3(x-1)^2&=3\\ (x-1)^2&=1\\ x-1&=-1\ \vee\ x-1=1\\ x&=0\ \vee\ x=2 \end{aligned} \]

Portanto, as coordenadas são \((0,0,0)\) e \((2,2,2)\).

17.2. O raio da superfície esférica é \(\sqrt3\). Além disso,

\[ \sqrt{(0-2)^2+(0-2)^2+(0-2)^2} = \sqrt{12}=2\sqrt3. \]

Como \(2\sqrt3\) é o dobro do raio, os pontos que têm as três coordenadas iguais são extremos de um diâmetro da superfície esférica.

17.3. O diâmetro da superfície esférica é a diagonal do cubo.

Seja \(a\) uma aresta do cubo.

\[ \begin{aligned} a^2+a^2+a^2&=(2\sqrt3)^2\\ 3a^2&=12\\ a^2&=4\\ a&=2 \end{aligned} \] \[ V_{\text{cubo}}=2^3=8. \]