Geometria Analítica no Espaço

1.1.

\[ V_{[ABCDV]}=\frac13\times A_{[ABCD]}\times \overline{AV} \] \[ \begin{aligned} 216&=\frac13\times 6\times 6\times(\overline{AO}+\overline{OV})\\ &\Longleftrightarrow 216=\frac13\times36\times(\overline{AO}+9)\\ &\Longleftrightarrow \frac{216}{12}=\overline{AO}+9\\ &\Longleftrightarrow \overline{AO}=18-9\\ &\Longleftrightarrow \overline{AO}=9 \end{aligned} \]

A altura da água é 9 dm.

1.2.

\[ A(0,0,-9),\quad B(6,0,-9),\quad C(6,6,-9),\quad D(0,6,-9),\quad V(0,0,9) \]

1.3.

A parte que não está submersa é uma pirâmide semelhante à pirâmide inicial.

\[ r=\frac{\overline{OV}}{\overline{AV}}=\frac{9}{18}=\frac12 \] \[ V_{\text{parte não submersa}}= \left(\frac12\right)^3 V_{[ABCDV]} =\frac18\times216=27 \] \[ V_{\text{água}}=216-27=189\ \text{dm}^3 \]

Logo, existem 189 litros de água no depósito.

2.1.

\[ E(2,2,2),\qquad F(0,2,2) \] \[ EF:\ y=2\ \wedge\ z=2 \]

2.2.

O centro da superfície esférica é o centro do cubo, isto é, \(I(1,1,1)\).

\[ r=\overline{IO}=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt3 \] \[ (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=3 \]

2.3.

\[ A(2,0,0),\qquad C(0,2,0) \]

Seja \(P(x,y,z)\) um ponto do plano mediador de \([AC]\).

\[ \begin{aligned} PA=PC &\Longleftrightarrow (x-2)^2+y^2+z^2=x^2+(y-2)^2+z^2\\ &\Longleftrightarrow -4x+4=-4y+4\\ &\Longleftrightarrow x-y=0 \end{aligned} \]

3.1.

\[ \begin{array}{lll} \text{a) } C(3,-3,0),\ D(3,5,0) &\Rightarrow& \overline{CD}=|5-(-3)|=8\\ \text{b) } C(3,-3,0),\ G(-1,-3,0) &\Rightarrow& \overline{CG}=|-1-3|=4\\ \text{c) } A(3,5,4),\ D(3,5,0) &\Rightarrow& \overline{AD}=|4-0|=4 \end{array} \]

3.2.

\[ \begin{aligned} \text{a) }\quad \overline{DG}^{\,2} &=\overline{CG}^{\,2}+\overline{CD}^{\,2}\\ &=4^2+8^2=80 \end{aligned} \qquad \overline{DG}=4\sqrt5 \] \[ \begin{aligned} \text{b) }\quad \overline{AG}^{\,2} &=\overline{GD}^{\,2}+\overline{AD}^{\,2}\\ &=(4\sqrt5)^2+4^2=80+16=96 \end{aligned} \qquad \overline{AG}=4\sqrt6 \]

Como o tetraedro é regular, todas as arestas têm a mesma medida.

\[ \overline{AB} =\sqrt{(1-2)^2+(2-1)^2+(-3+2)^2} =\sqrt{1+1+1}=\sqrt3 \] \[ A_{\text{tetraedro}} =4\times\frac{\overline{AB}\times a}{2} =2\times\sqrt3\times\frac32 =3\sqrt3 \]

5.1.

\[ d(A,B)=\sqrt{(3+4)^2+(-2-5)^2+(1-5)^2} =\sqrt{49+49+16} =\sqrt{114} \]

5.2.

\(C\) é a projeção ortogonal de \(B\) sobre \(Oz\), então \(C(0,0,5)\).

\[ d(A,C)=\sqrt{(3-0)^2+(-2-0)^2+(1-5)^2} =\sqrt{9+4+16} =\sqrt{29} \]

5.3.

\(D\) é a projeção ortogonal de \(A\) sobre \(Oyz\), então \(D(0,-2,1)\).

\[ d(B,D)=\sqrt{(-4-0)^2+(5+2)^2+(5-1)^2} =\sqrt{16+49+16} =9 \]

6.1.

Como \(A'\) é a projeção ortogonal de \(A\) no plano \(Oxz\), tem-se \(A'(-2,0,2)\).

Como \(B'\) é a projeção ortogonal de \(B\) no plano \(Oyz\), tem-se \(B'(0,1,5)\).

\[ d(A',B')=\sqrt{(0+2)^2+(1-0)^2+(5-2)^2} =\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14} \] \[ d(A',C)=\sqrt{(-6+2)^2+(3-0)^2+(6-2)^2} =\sqrt{16+9+16}=\sqrt{41} \] \[ d(B',C)=\sqrt{(-6-0)^2+(3-1)^2+(6-5)^2} =\sqrt{36+4+1}=\sqrt{41} \]

Como \(\overline{A'C}=\overline{B'C}\), o triângulo \([A'B'C]\) é isósceles.

6.2.

O ponto médio de \([A'B']\) é

\[ M\left(\frac{-2+0}{2},\frac{0+1}{2},\frac{2+5}{2}\right) =\left(-1,\frac12,\frac72\right) \] \[ \overline{MC} =\sqrt{(-1+6)^2+\left(\frac12-3\right)^2+\left(\frac72-6\right)^2} =\sqrt{\frac{150}{4}} =\frac{5\sqrt6}{2} \] \[ A_{[A'B'C]} =\frac{\overline{A'B'}\times\overline{MC}}{2} =\frac{\sqrt{14}\times\frac{5\sqrt6}{2}}{2} =\frac{5\sqrt{21}}{2} \]

7.1.

\[ \begin{aligned} RT^2&=(1+1)^2+\left(3+\frac12\right)^2+(-2+2)^2 =4+\frac{49}{4}\\ ST^2&=(-4+1)^2+\left(2+\frac12\right)^2+(-3+2)^2 =9+\frac{25}{4}+1 \end{aligned} \]

Como \(RT=ST\), logo \(T\in\alpha\).

7.2.

Seja \(P(x,y,z)\) um ponto do plano mediador de \([RS]\).

\[ \begin{aligned} &(x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2\\ &\qquad=(x+4)^2+(y-2)^2+(z+3)^2\\ &\Longleftrightarrow -10x-2y-2z-15=0\\ &\Longleftrightarrow 10x+2y+2z=-15 \end{aligned} \]

7.3.

O ponto de interseção de \([RS]\) com \(\alpha\) é o ponto médio de \([RS]\).

\[ M\left(\frac{1-4}{2},\frac{3+2}{2},\frac{-2-3}{2}\right) =\left(-\frac32,\frac52,-\frac52\right) \]

7.4.

\[ y=2\Longrightarrow 10x+4+2z=-15 \Longleftrightarrow 10x+2z=-19 \]

Tomemos, por exemplo, \(z=\frac12\).

\[ 10x+1=-19\Longleftrightarrow x=-2 \]

Um exemplo é \(\left(-2,2,\frac12\right)\).

7.5.

\[ \begin{array}{ll} \alpha\cap Ox: & y=0,\ z=0\Rightarrow x=-\frac32\\[2mm] \alpha\cap Oy: & x=0,\ z=0\Rightarrow y=-\frac{15}{2}\\[2mm] \alpha\cap Oz: & x=0,\ y=0\Rightarrow z=-\frac{15}{2} \end{array} \] \[ \left(-\frac32,0,0\right),\qquad \left(0,-\frac{15}{2},0\right),\qquad \left(0,0,-\frac{15}{2}\right) \]

8.1.

\[ \overline{AB}=\sqrt{(4-1)^2+(-2-6)^2+(4+1)^2} =\sqrt{9+64+25}=\sqrt{98} \] \[ \overline{AC}=\sqrt{(4+2)^2+(-2-0)^2+(4-1)^2} =\sqrt{36+4+9}=7 \] \[ \overline{BC}=\sqrt{(1+2)^2+(6-0)^2+(-1-1)^2} =\sqrt{9+36+4}=7 \]

Como \(\overline{AC}=\overline{BC}\), o triângulo é isósceles.

8.2.

Um ponto do semieixo positivo \(Oz\) tem coordenadas do tipo \(P(0,0,z)\), com \(z>0\).

\[ d(P,A)=d(A,O) \] \[ \begin{aligned} \sqrt{(0-4)^2+(0+2)^2+(z-4)^2} &=\sqrt{4^2+(-2)^2+4^2}\\ 16+4+(z-4)^2&=36\\ (z-4)^2&=16 \end{aligned} \] \[ z=0\ \vee\ z=8 \]

Como \(z>0\), \(P(0,0,8)\).

8.3.

\[ P\left(\frac{1-2}{2},\frac{6+0}{2},\frac{-1+1}{2}\right) =\left(-\frac12,3,0\right) \]

Seja \(M\) o ponto médio de \([AP]\).

\[ M\left(\frac{4-\frac12}{2},\frac{-2+3}{2},\frac{4+0}{2}\right) =\left(\frac74,\frac12,2\right) \]

9.1.

\([AC]\) é uma diagonal de uma face do cubo.

\[ \overline{AC} =\sqrt{\left(2-\frac45\right)^2+(-1+1)^2+\left(-1-\frac{37}{5}\right)^2} =\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{1764}{25}} =\sqrt{72} \]

Seja \(a\) uma aresta do cubo. Então:

\[ a\sqrt2=\sqrt{72} \Longleftrightarrow a^2=\frac{72}{2} \Longleftrightarrow a^2=36 \Longleftrightarrow a=6 \]

9.2.

A altura da pirâmide é 6.

\[ V_{[ABCDV]}=\frac13\times 6^2\times6=72 \]

10.1.

Como \(M\) é o ponto de interseção de \(AB\) com \(\alpha\), então \(M\) é o ponto médio de \([AB]\).

\[ M\left(\frac{3-1}{2},\frac{-2-6}{2},\frac{1+3}{2}\right) =(1,-4,2) \] \[ d(M,B)=\sqrt{(1+1)^2+(-4+6)^2+(2-3)^2} =\sqrt{4+4+1}=3 \]

10.2.

Seja \((x,y,z)\) um ponto de \(\alpha\).

\[ \begin{aligned} &(x-3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2\\ &\qquad=(x+1)^2+(y+6)^2+(z-3)^2\\ &\Longleftrightarrow -8x-8y+4z-32=0\\ &\Longleftrightarrow 2x+2y-z+8=0 \end{aligned} \]

10.3.

\[ P(k,-3,3k)\in\alpha \Longrightarrow 2k+2(-3)-3k+8=0 \] \[ -k+2=0\Longleftrightarrow k=2 \]

11.1.

\[ d(A,B)=\sqrt{(2+3)^2+(1-0)^2+(0-0)^2} =\sqrt{26} \]

11.2.

Como \(C\) pertence ao semieixo negativo \(Oy\), tem coordenadas \(C(0,y,0)\), com \(y<0\).

\[ \overline{BC}=\overline{CA} \] \[ \begin{aligned} \sqrt{(0+3)^2+(y-0)^2} &=\sqrt{(0-2)^2+(y-1)^2}\\ 9+y^2&=4+(y-1)^2\\ 9+y^2&=4+y^2-2y+1\\ 2y&=-4\\ y&=-2 \end{aligned} \]

Logo, \(C(0,-2,0)\).

11.3.

\[ \overline{BC}=\overline{CA}=\sqrt{13} \] \[ A_{[ABC]}=\frac{\sqrt{13}\times\sqrt{13}}{2}=\frac{13}{2} \] \[ V=26\Longleftrightarrow A_{[ABC]}\times h=26 \Longleftrightarrow \frac{13}{2}h=26 \Longleftrightarrow h=4 \]

11.4.

A reta \(CF\) é perpendicular ao plano \(Oxy\) e passa em \(C(0,-2,0)\).

\[ CF:\ x=0\ \wedge\ y=-2 \]

11.5.

Tem-se \(F(0,-2,4)\). O ponto médio de \([FA]\) é:

\[ M\left(\frac{0+2}{2},\frac{-2+1}{2},\frac{4+0}{2}\right) =\left(1,-\frac12,2\right) \]

Um plano paralelo ao plano \(Oxz\) é do tipo \(y=k\).

\[ y=-\frac12 \]

11.6.

\[ A(2,1,0),\quad E(-3,0,4),\quad P(0,y,0),\quad y>0 \] \[ d(E,A)=d(E,P) \] \[ \begin{aligned} &(2+3)^2+(1-0)^2+(0-4)^2\\ &\qquad=(0+3)^2+(y-0)^2+(0-4)^2\\ 25+1+16&=9+y^2+16\\ y^2&=17 \end{aligned} \]

Como \(y>0\), \(P(0,\sqrt{17},0)\).

12.1.

Seja \(P(x,y,z)\) um ponto do plano mediador de \([BD]\).

\[ \begin{aligned} &(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\\ &\qquad=(x-2)^2+(y+2)^2+(z-2)^2\\ &\Longleftrightarrow x-4y-z+1=0 \end{aligned} \]

12.2.

Como \(A\in Oz\), as coordenadas de \(A\) são do tipo \((0,0,z)\). Como \(\overline{AB}=\overline{BD}\), \(A\) pertence ao plano mediador de \([BD]\).

\[ 0-4\times0-z+1=0 \Longleftrightarrow z=1 \]

Logo, \(A(0,0,1)\).

12.3.

\[ A(0,0,1),\qquad H(1,-1,6) \] \[ M\left(\frac{0+1}{2},\frac{0-1}{2},\frac{1+6}{2}\right) =\left(\frac12,-\frac12,\frac72\right) \]

13.1.

Como a base está contida num plano paralelo a \(Oxz\) e \(A(1,2,0)\) pertence à base, a equação do plano é:

\[ y=2 \]

13.2.

\[ M\left(\frac{1+5}{2},\frac{2+2}{2},\frac{0+0}{2}\right) =(3,2,0) \]

13.3.

A outra diagonal do quadrado da base é paralela ao eixo \(Oz\). Os pontos \(C\) e \(D\) têm a mesma abcissa e a mesma ordenada de \(M\).

\[ D(3,2,2),\qquad C(3,2,-2) \]

13.4.

Seja \(P(x,y,z)\) um ponto do plano mediador de \([AD]\).

\[ \begin{aligned} &(x-1)^2+(y-2)^2+z^2\\ &\qquad=(x-3)^2+(y-2)^2+(z-2)^2\\ &\Longleftrightarrow x+z-3=0 \end{aligned} \]

13.5.

\[ \overline{AD} =\sqrt{(3-1)^2+(2-2)^2+(2-0)^2} =\sqrt8 \] \[ A_{[ABCD]}=(\sqrt8)^2=8 \] \[ \frac13\times8\times\overline{ME}=16 \Longleftrightarrow \overline{ME}=6 \] \[ y_M-y_E=6 \Longleftrightarrow 2-y_E=6 \Longleftrightarrow y_E=-4 \]

Como \(E\) tem a mesma abcissa e a mesma cota de \(M\), então \(E(3,-4,0)\).

13.6.

Os triângulos \([ABE]\) e \([HFE]\) são semelhantes.

\[ \frac{\overline{AB}}{\overline{HF}}=\frac{6}{4} \Longleftrightarrow \frac{4}{\overline{HF}}=\frac32 \Longleftrightarrow \overline{HF}=\frac83 \]

As coordenadas dos vértices de \([FGHI]\) são:

\[ F\left(\frac{13}{3},0,0\right),\quad H\left(\frac53,0,0\right),\quad G\left(3,0,\frac43\right),\quad I\left(3,0,-\frac43\right) \]

\[ AB:\ x=2\wedge z=-1,\qquad BC:\ y=3\wedge z=-1 \] \[ A(2,-1,-1),\qquad B(2,3,-1) \] \[ \overline{AB} =\sqrt{(2-2)^2+(-1-3)^2+(-1+1)^2} =4 \] \[ V_{[BCDV]}=32 \Longleftrightarrow \frac13\times \overline{AB}^{\,2}\times h=32 \] \[ \frac13\times16\times h=32 \Longleftrightarrow h=\frac{32\times3}{16}=6 \]

A base está no plano \(z=-1\). Como o vértice \(V\) está acima da base na figura, a cota de \(V\) é:

\[ -1+6=5 \]

A área do quadrado é \(A=\ell^2\). Logo, \(\ell=\sqrt8\).

\[ \ell^2+\ell^2=\overline{AB}^{\,2} \] \[ \overline{AB} =\sqrt{(2-2)^2+(-1-1)^2+(a+1-1+a)^2} =\sqrt{4+a^2} \] \[ 2(\sqrt8)^2=\left(\sqrt{4+a^2}\right)^2 \Longleftrightarrow 16=4+a^2 \] \[ a^2=12 \Longleftrightarrow a=\pm\sqrt{12} \Longleftrightarrow a=-2\sqrt3\ \vee\ a=2\sqrt3 \]

16.1.

\[ \overline{DF} =\sqrt{(-6+2)^2+(0-1)^2+(-2+1)^2} =\sqrt{16+1+1}=\sqrt{18} \]

Como \(F\) é o centro do quadrado da base, \(\overline{DF}=\overline{AF}\).

\[ \overline{AD}^{\,2} =\overline{DF}^{\,2}+\overline{AF}^{\,2} =2\overline{DF}^{\,2} \Longleftrightarrow \overline{AD}^{\,2}=36 \] \[ A_{[ABCD]}=6^2=36 \] \[ \overline{EF} =\sqrt{(-3+2)^2+(3-1)^2+(1+1)^2} =3 \] \[ V=\frac13\times36\times3=36 \]

16.2.

Seja \(P(x,y,z)\) um ponto do plano mediador de \([ED]\).

\[ \begin{aligned} &(x+6)^2+y^2+(z+2)^2\\ &\qquad=(x+3)^2+(y-3)^2+(z-1)^2\\ &\Longleftrightarrow 6x+6y+6z+21=0 \end{aligned} \]

17.1.

\[ V_{\text{pirâmide}}=\frac13\times A_b\times h \Longleftrightarrow 9=\frac13\times a^2\times a \] \[ 27=a^3 \Longleftrightarrow a=3 \] \[ G(0,0,3),\qquad E(3,3,3) \]

Como \(V\) está no centro da face \([DEFG]\), então:

\[ V\left(\frac{0+3}{2},\frac{0+3}{2},\frac{3+3}{2}\right) =\left(\frac32,\frac32,3\right) \]

17.2.

\[ x=\frac32 \]

As quatro arestas são \([AO]\), \([DG]\), \([EF]\) e \([CB]\).

17.3.

O plano mediador de \([VB]\), com \(V\left(\frac32,\frac32,3\right)\) e \(B(3,3,0)\), é:

\[ \begin{aligned} &\left(x-\frac32\right)^2+\left(y-\frac32\right)^2+(z-3)^2\\ &\qquad=(x-3)^2+(y-3)^2+z^2\\ &\Longleftrightarrow 6x+6y-12z-9=0 \end{aligned} \]

Como \(P\in Oz\), então \(P(0,0,z)\).

\[ -12z-9=0 \Longleftrightarrow z=-\frac34 \] \[ P\left(0,0,-\frac34\right) \]

17.4.

O plano \(DFC\) é o plano mediador do segmento \([OB]\), com \(O(0,0,0)\) e \(B(3,3,0)\).

Seja \(R(x,y,z)\) um ponto do plano mediador de \([OB]\).

\[ \begin{aligned} x^2+y^2+z^2 &=(x-3)^2+(y-3)^2+z^2\\ 6x+6y&=18\\ x+y&=3 \end{aligned} \]