Geometria Analítica no Espaço

Planos paralelos aos planos coordenados e retas paralelas aos eixos coordenados

Planos paralelos aos planos coordenados e retas paralelas aos eixos coordenados

1.

Prisma quadrangular regular

Na figura está representado, num referencial cartesiano \(Oxyz\), um prisma quadrangular regular \([ABCDEFGH]\).

Sabe-se que:

  • as arestas são estritamente paralelas aos eixos;
  • as faces \([ABCD]\) e \([EFGH]\) são quadrados;
  • as coordenadas dos vértices \(E\) e \(D\) são \((-3,3,2)\) e \((2,6,5)\), respetivamente.
1.1. Escreva as coordenadas dos outros vértices.
1.2. Defina por uma condição os planos que contêm as faces:
a) \([ABCD]\); b) \([CDGH]\); c) \([BCHE]\);
d) \([EFGH]\); e) \([ABEF]\); f) \([ADGF]\).
1.3. Defina por uma condição a reta que contém a aresta:
a) \([AB]\); b) \([CH]\); c) \([FG]\).
1.4. Seja \(P\) um ponto que pertence à aresta \([DG]\).
Considere a pirâmide \([ABCDP]\).
Determine as coordenadas de \(P\), sabendo que o volume da pirâmide \([ABCDP]\) é um quinto do volume do prisma \([ABCDEFGH]\).
Prisma quadrangular regular ABCDEFGH

Resolução

1.1.

\[ \begin{gathered} A(2,3,5),\quad B(2,3,2),\quad C(2,6,2),\\ F(-3,3,5),\quad G(-3,6,5),\quad H(-3,6,2) \end{gathered} \]

1.2.

\[ \begin{array}{lll} \text{a) }x=2 & \text{b) }y=6 & \text{c) }z=2\\ \text{d) }x=-3 & \text{e) }y=3 & \text{f) }z=5 \end{array} \]

1.3.

\[ \begin{gathered} \text{a) }x=2\wedge y=3\\ \text{b) }y=6\wedge z=2\\ \text{c) }x=-3\wedge z=5 \end{gathered} \]

1.4.

\[ V_{[ABCDEFGH]}=9\times5=45 \] \[ V_{[ABCDP]}=\frac15\times45=9 \] \[ V_{[ABCDP]}=\frac13 A_{[ABCD]}\times\overline{DP} \] \[ 9=\frac13\times9\times\overline{DP} \Longleftrightarrow \overline{DP}=3 \]

Como \(P\in[DG]\), tem coordenadas do tipo \(P(x_P,6,5)\).

\[ \begin{aligned} \overline{DP}=3 &\Longleftrightarrow |x_P-2|=3\\ &\Longleftrightarrow x_P-2=3\ \vee\ x_P-2=-3\\ &\Longleftrightarrow x_P=5\ \vee\ x_P=-1 \end{aligned} \]

Como \(-3\le x_P\le2\), conclui-se que \(x_P=-1\).

\[ P(-1,6,5) \]
2.

Ponto \(A(-1,3,5)\)

Considere o ponto \(A(-1,3,5)\).

2.1. Escreva uma condição do plano paralelo ao plano \(Oxz\) e que passa em \(A\).
2.2. Escreva uma condição da reta paralela ao eixo \(Oy\) e que passa em \(A\).

Resolução

\[ \text{2.1.}\quad y=3 \] \[ \text{2.2.}\quad x=-1\ \wedge\ z=5 \]
3.

Prisma e eixo \(Oy\)

Na figura está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o prisma quadrangular regular \([ABCDEFGH]\).

Sabe-se que:

  • os pontos \(U\) e \(V\), centros das bases do prisma, pertencem ao eixo \(Oy\);
  • a reta \(DC\) pode ser definida pela condição \(y=-4\wedge z=5\);
  • o ponto \(F\) pertence ao plano de equação \(y=8\).
3.1. Determine as coordenadas dos vértices do prisma.
3.2. Defina por uma condição:
\(\text{a) a aresta }[EF];\qquad \text{b) a face }[DCEH].\)
3.3. Determine a área da pirâmide \([ABCDV]\).
Prisma quadrangular regular com centros U e V no eixo Oy

Resolução

3.1.

Os pontos \(U\) e \(V\) pertencem ao eixo \(Oy\) e são os centros das bases. Como \(DC\) é paralela ao eixo \(Ox\) e pertence à face superior da base, tem-se lado \(10\).

\[ \begin{gathered} A(-5,-4,-5),\quad B(5,-4,-5),\\ C(5,-4,5),\quad D(-5,-4,5),\\ E(5,8,5),\quad F(5,8,-5),\\ G(-5,8,-5),\quad H(-5,8,5) \end{gathered} \]

3.2.

\[ \begin{gathered} \text{a) }[EF]:\\ x=5\ \wedge\ y=8\ \wedge\ -5\le z\le5 \end{gathered} \] \[ \begin{gathered} \text{b) }[DCEH]:\\ -5\le x\le5\\ {}\wedge{}\\ -4\le y\le8\\ {}\wedge{}\\ z=5 \end{gathered} \]

3.3.

A base \([ABCD]\) é um quadrado de lado \(10\), logo \(A_{[ABCD]}=100\). A altura lateral de cada face triangular é:

\[ \begin{aligned} d(M,V) &=\sqrt{5^2+(8-(-4))^2}\\ &=\sqrt{25+144}=13 \end{aligned} \] \[ A_{[ADV]}=\frac{10\times13}{2}=65 \] \[ A_{[ABCDV]}=100+4\times65=360 \]
4.

Reta paralela ao eixo \(Ox\)

Qual das condições seguintes define, num referencial o.n. \(Oxyz\), uma reta paralela ao eixo \(Ox\)?

(A) \(x=1\wedge y=3\)
(B) \(y=-3\wedge z=0\)
(C) \(x=3\)
(D) \(x=1\wedge y=2\wedge z=3\)

Resolução

Uma reta paralela ao eixo \(Ox\) tem ordenada e cota constantes, ficando a abcissa livre.

\[ \boxed{\text{Opção B}} \]
5.

Planos cartesianos

Escreva uma equação cartesiana do plano:

5.1. Paralela ao plano \(Oxy\) e que passa por \((2,3,4)\).
5.2. Perpendicular ao eixo \(Ox\) e que passa por \((1,-2,0)\).
5.3. Paralelo ao plano de equação \(y=-1\) e que contém a origem do referencial.

Resolução

\[ \begin{array}{ll} \text{5.1.} & z=4\\ \text{5.2.} & x=1\\ \text{5.3.} & y=0 \end{array} \]
6.

Ponto em dois planos

Determine o valor de \(a\) e \(b\) de modo que o ponto \(P\) de coordenadas \((2,a+3,2b)\) pertença ao plano \(Oxy\) e ao plano de equação \(y=4\).

Resolução

O ponto \(P\) pertence ao plano \(Oxy\), logo tem cota zero. Como também pertence ao plano \(y=4\), tem ordenada igual a \(4\).

\[ a+3=4\ \wedge\ 2b=0 \] \[ a=1\ \wedge\ b=0 \]
7.

Dois cubos

No referencial o.n. \(Oxyz\) da figura, encontram-se representados dois cubos.

Sabe-se que:

  • os vértices \(A,H,C,J,G\) e \(N\) pertencem aos semieixos positivos do referencial;
  • as faces \([ABCO]\) e \([HIJO]\) estão contidas no plano \(Oxy\);
  • \(d(A,H)=\dfrac{d(O,H)}{3}\).
7.1. Prove que, para quaisquer cubos nas condições enunciadas, a razão entre o volume do cubo maior e o volume do cubo menor é igual a \(\dfrac{27}{8}\).
7.2. Considere que \(d(O,H)=6\). Escreva uma condição que defina:
\(\text{a) o plano }LIJ;\qquad \text{b) a reta }AB.\)
Dois cubos no referencial Oxyz

Resolução

7.1.

\[ \frac{V_{\text{cubo maior}}}{V_{\text{cubo menor}}} = \frac{\overline{OH}^{\,3}}{\overline{OA}^{\,3}} \]

Como \(d(A,H)=\dfrac{d(O,H)}3\), então:

\[ \begin{aligned} \overline{AH}=\frac{\overline{OH}}3 &\Longleftrightarrow \overline{OH}=\overline{OA}+\frac{\overline{OH}}3\\ &\Longleftrightarrow \overline{OA}=\frac23\overline{OH} \end{aligned} \] \[ \frac{V_{\text{cubo maior}}}{V_{\text{cubo menor}}} = \frac{\overline{OH}^{\,3}}{\left(\frac23\overline{OH}\right)^3} = \frac{27}{8} \]

7.2.

Se \(\overline{OH}=6\), então \(\overline{OA}=4\).

\[ \text{a) }LIJ:\quad y=6 \] \[ \text{b) }AB:\quad x=4\ \wedge\ z=0 \]
8.

Três cubos

No referencial o.n. \(Oxyz\) da figura, estão representados três cubos geometricamente iguais.

Sabe-se que:

  • as faces \([BCFE]\) e \([BKJC]\) são comuns a dois dos cubos;
  • o retângulo \([HLPI]\) está contido no plano de equação \(y=10\);
  • o retângulo \([OJIG]\) está contido no plano \(Oyz\).
8.1. Indique as coordenadas dos vértices do cubo \([ABCODEFG]\).
8.2. Identifique o ponto de coordenadas \((5,10,-5)\).
8.3. Escreva uma equação cartesiana dos planos: a) \(BEF\); b) \(DHI\); c) \(ABD\).
8.4. Identifique os pontos que pertencem, simultaneamente, ao plano \(Oxy\) e ao plano de equação \(x=5\).
Três cubos geometricamente iguais

Resolução

8.1.

\[ \begin{gathered} A(5,0,0),\quad B(5,5,0)\\ C(0,5,0),\quad O(0,0,0)\\ D(5,0,5),\quad E(5,5,5)\\ F(0,5,5),\quad G(0,0,5) \end{gathered} \]

8.2. O ponto é \(P\).

8.3.

\[ \begin{gathered} \text{a) }BEF:\ y=5\\ \text{b) }DHI:\ z=5\\ \text{c) }ABD:\ x=5 \end{gathered} \]

8.4.

\[ A,\ B\ \text{e}\ K \]
9.

Paralelepípedo

No referencial o.n. \(Oxyz\) da figura está representado um paralelepípedo em que um dos vértices é a origem do referencial, a base \([OABC]\) está contida no plano \(Oxy\) e \(D(3,-4,-2)\).

9.1. Indique as coordenadas dos outros vértices do prisma.
9.2. Escreva uma equação cartesiana dos planos:
\(\text{a) }ABC\qquad \text{b) }BDF\qquad \text{c) }ABD\)
9.3. Identifique, utilizando as letras da figura, a interseção dos planos de equação \(x=3\) e \(z=-2\).
Paralelepípedo com base no plano Oxy

Resolução

9.1.

\[ \begin{gathered} A(0,-4,0),\quad B(3,-4,0)\\ C(3,0,0),\quad E(0,-4,-2)\\ F(3,0,-2),\quad G(0,0,-2) \end{gathered} \]

9.2.

\[ \begin{gathered} \text{a) }ABC:\ z=0\\ \text{b) }BDF:\ x=3\\ \text{c) }ABD:\ y=-4 \end{gathered} \]

9.3.

\[ x=3\ \wedge\ z=-2 \]

Corresponde à reta \(DF\).

10.

Faces paralelas aos planos coordenados

No referencial o.n. \(Oxyz\) está representado um paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados.

Sabe-se que:

  • \(\overline{AB}=7\), \(\overline{BC}=5\) e \(\overline{AE}=3\);
  • \(D(0,0,7)\).
10.1. Identifique as coordenadas dos vértices do paralelepípedo.
10.2. Identifique o conjunto de pontos definidos pelas condições:
a) \(x=5\); b) \(x=5\wedge z=7\);
c) \(x=0\wedge y=7\); d) \(y=7\wedge z=4\);
e) \(x=0\wedge y=7\wedge z=4\).
Paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados

Resolução

10.1.

\[ \begin{gathered} A(5,0,7),\quad B(5,7,7)\\ C(0,7,7),\quad D(0,0,7)\\ E(5,0,4),\quad F(5,7,4)\\ G(0,7,4),\quad H(0,0,4) \end{gathered} \]

10.2.

\[ \begin{gathered} \text{a) face }[ABFE]\\ \text{b) aresta }[AB]\\ \text{c) aresta }[CG]\\ \text{d) aresta }[FG]\\ \text{e) ponto }G \end{gathered} \]
11.

Paralelepípedo e cubo

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(Oxyz\), um paralelepípedo \([AOBCDEFG]\) e um cubo \([DHIGJKLM]\).

Sabe-se que:

  • \(\overline{DE}=2\overline{DH}\);
  • as faces \([AOBC]\) e \([AOED]\) pertencem aos planos \(Oxy\) e \(Oyz\), respetivamente;
  • a face \([DGHI]\) está contida no plano \(DEF\);
  • os pontos \(H\) e \(I\) pertencem às arestas \([DE]\) e \([GF]\), respetivamente;
  • \(H\left(0,-4,\dfrac72\right)\).
11.1. Escreva uma equação cartesiana do plano que contém a face \([JKLM]\).
11.2. Identifique, utilizando letras da figura, a reta definida por \(y=-8\wedge z=\dfrac72\).
11.3. Escreva uma condição que defina a aresta \([LI]\).
11.4. Escreva uma condição que defina o quadrado \([JKLM]\).
Paralelepípedo e cubo DHIGJKLM

Resolução

11.1.

A face \([JKLM]\) é paralela à face \([DGHI]\). Como \(\overline{DH}=4\), a cota dos pontos de \([JKLM]\) é:

\[ \frac72+4=\frac{15}{2} \] \[ [JKLM]:\quad z=\frac{15}{2} \]

11.2.

\[ y=-8\ \wedge\ z=\frac72 \]

É a reta \(DG\).

11.3.

\[ \begin{gathered} [LI]:\\ x=-4\ \wedge\ y=-4\\ {}\wedge{}\\ \frac72\le z\le\frac{15}{2} \end{gathered} \]

11.4.

\[ \begin{gathered} [JKLM]:\\ -4\le x\le0\\ {}\wedge{}\\ -8\le y\le-4\\ {}\wedge{}\\ z=\frac{15}{2} \end{gathered} \]
12.

Cubo de aresta 5

Na figura está representado, num referencial o.n. \(Oxyz\), o cubo \([OABCDEFG]\), de aresta \(5\) unidades.

As arestas \([OA]\), \([OC]\) e \([OG]\) estão contidas nos semieixos positivos \(Ox\), \(Oy\) e \(Oz\), respetivamente.

12.1. Escreva as coordenadas dos vértices do cubo.
12.2. Defina por uma condição:
a) os planos \(ADB\), \(GDE\) e \(BCE\);
b) as retas \(AD\), \(DE\) e \(BC\);
c) a aresta \([BE]\); d) a face \([ABCO]\).
12.3. Determine uma equação do plano mediador de \([AF]\). Quais são as coordenadas do ponto da reta \(DG\), que pertence a esse plano?
Cubo OABCDEFG de aresta 5

Resolução

12.1.

\[ \begin{gathered} O(0,0,0),\quad A(5,0,0)\\ B(5,5,0),\quad C(0,5,0)\\ D(5,0,5),\quad E(5,5,5)\\ F(0,5,5),\quad G(0,0,5) \end{gathered} \]

12.2.

\[ \begin{gathered} \text{a) }ADB:\ x=5\\ GDE:\ z=5\\ BCE:\ y=5 \end{gathered} \] \[ \begin{gathered} \text{b) }AD:\ x=5\wedge y=0\\ DE:\ x=5\wedge z=5\\ BC:\ y=5\wedge z=0 \end{gathered} \] \[ \text{c) }[BE]:\quad x=5\ \wedge\ y=5\ \wedge\ 0\le z\le5 \] \[ \begin{gathered} \text{d) }[ABCO]:\\ 0\le x\le5\ \wedge\ 0\le y\le5\\ {}\wedge{}\\ z=0 \end{gathered} \]

12.3.

Seja \(P(x,y,z)\) um ponto do plano mediador de \([AF]\). Então \(PA=PF\).

\[ \begin{gathered} (x-5)^2+y^2+z^2\\ =x^2+(y-5)^2+(z-5)^2 \end{gathered} \] \[ \begin{gathered} x^2-10x+25+y^2+z^2\\ =x^2+y^2-10y+25\\ +z^2-10z+25 \end{gathered} \] \[ 10x-10y-10z+25=0 \] \[ \text{Plano mediador:}\quad x-y-z+\frac52=0 \]

Na reta \(DG\), tem-se \(y=0\) e \(z=5\).

\[ x-0-5+\frac52=0 \Longleftrightarrow x=\frac52 \] \[ \left(\frac52,0,5\right) \]
13.

Pirâmide

No referencial o.n. \(Oxyz\), está representada a pirâmide \([ABCDV]\), cuja base é um plano paralelo ao plano \(Oxy\).

Sabe-se que:

  • \(V(0,0,-1)\), \(A(2,3,4)\) e \(C(-3,-5,4)\);
  • a reta \(CD\) é paralela ao eixo \(Ox\).
13.1. Indique as coordenadas dos vértices \(B\) e \(D\) da pirâmide.
13.2. Indique as coordenadas da projeção ortogonal do:
a) ponto \(V\) sobre o plano \(Oxy\);
b) ponto \(C\) sobre o plano \(Oyz\);
c) ponto \(D\) sobre o plano \(Oxz\).
13.3. Escreva uma condição do plano que contém a base da pirâmide.
Pirâmide ABCDV no referencial Oxyz

Resolução

13.1.

Como \(B\) tem a mesma ordenada de \(A\) e a mesma abcissa de \(C\), e \(D\) tem a mesma abcissa de \(A\) e a mesma ordenada de \(C\):

\[ B(-3,3,4),\qquad D(2,-5,4) \]

13.2.

\[ \begin{array}{lll} \text{a) }(0,0,0)& \text{b) }(0,-5,4)& \text{c) }(2,0,4) \end{array} \]

13.3.

\[ A(2,3,4),\quad B(-3,3,4),\quad C(-3,-5,4) \]

Todos os pontos da base têm cota \(4\).

\[ ABC:\quad z=4 \]
14.

Octantes

Em relação a um referencial o.n. \(Oxyz\), considere o ponto \(P\) cujas coordenadas são do tipo \((k-2,-1,5-3k)\), com \(k\in\mathbb{R}\).

14.1. Indique o octante a que pertence o ponto se \(k=-2\).
14.2. Determine para que valores de \(k\) o ponto \(P\) pertence ao \(7.º\) octante.

Resolução

14.1.

\[ k=-2 \] \[ P(-2-2,-1,5-3(-2)) \] \[ P(-4,-1,11) \]

Como \(x<0\), \(y<0\) e \(z>0\), o ponto pertence ao \(3.º\) octante.

14.2.

Um ponto do \(7.º\) octante tem coordenadas do tipo \((x,y,z)\), com:

\[ x<0\ \wedge\ y<0\ \wedge\ z<0 \] \[ \begin{aligned} k-2&<0\\ -1&<0\\ 5-3k&<0 \end{aligned} \] \[ k<2\ \wedge\ k>\frac53 \] \[ k\in\left]\frac53,2\right[ \]
15.

Ponto \(Q\)

Num referencial o.n. \(Oxyz\) está representado o ponto \(Q(2-a,a,a-3)\). A que octante pode pertencer o ponto \(Q\) se a cota for igual a metade do produto da ordenada pela abcissa?

Resolução

A cota é igual a metade do produto da ordenada pela abcissa:

\[ a-3=\frac{(2-a)\times a}{2} \] \[ \begin{aligned} 2a-6&=2a-a^2\\ a^2&=6\\ a&=\sqrt6\ \vee\ a=-\sqrt6 \end{aligned} \]

Se \(a=\sqrt6\), então:

\[ Q(2-\sqrt6,\sqrt6,\sqrt6-3) \]

Assim, \(x<0\), \(y>0\) e \(z<0\), logo \(Q\) pode pertencer ao \(6.º\) octante.

Se \(a=-\sqrt6\), então:

\[ Q(2+\sqrt6,-\sqrt6,-\sqrt6-3) \]

Assim, \(x>0\), \(y<0\) e \(z<0\), logo \(Q\) pode pertencer ao \(8.º\) octante.