Geometria Analítica no Plano

1.1.

\[ r:\ x=0 \]

1.2. Como a reta é paralela ao eixo \(Ox\), significa que é uma reta horizontal, assim a equação que a define é do tipo: \(y=b\).

\[ M\left(\frac{0-1}{2},\frac{-3+1}{2}\right) =\left(-\frac12,-1\right) \] \[ \therefore\ t:\ y=-1 \]

1.3.

\[ \begin{cases} r:\ x=0\\ t:\ y=-1 \end{cases} \] \[ \text{Intersecao }(0,-1) \]

OPÇÃO: D

1.4.

\[ y=m_{[AB]}x+b \] \[ m_{[AB]}=\frac{-3-1}{0+1}=-4 \]

Como \(A(0,-3)\), então \(b=-3\).

\[ \therefore\ AB:\ y=-4x-3 \]

1.5.

3.1.

\[ y\ge x-2\ \wedge\ x\ge0\ \wedge\ y\le0 \]

3.2.

\[ (y\ge x-2\ \wedge\ y\le0)\ \vee\ x\le0 \]

3.3.

\[ y\ge x-2\ \wedge\ (x\le0\ \vee\ y\ge0) \]

Altura do paralelogramo: \(3\).

\[ \begin{aligned} A_{[ABCD]}=15 &\Longleftrightarrow \overline{AB}\times3=15\\ &\Longleftrightarrow \overline{AB}=5 \end{aligned} \]

Portanto, \(B(1+5,0)=(6,0)\).

Reta \(BC\):

\[ m_{BC}=\frac{3-0}{8-6}=\frac32 \] \[ 0=\frac32\times6+b \Longleftrightarrow b=-9 \] \[ BC:\ y=\frac32x-9 \]

A reta \(AD\) é paralela a \(BC\). Como \(A(1,0)\), então:

\[ 0=\frac32\times1+b \Longleftrightarrow b=-\frac32 \] \[ AD:\ y=\frac32x-\frac32 \]

Portanto a condição é:

\[ \frac32x-9\le y\le\frac32x-\frac32 \ \wedge\ 0\le y\le3 \]

6.1.

\[ \begin{gathered} (x-1)^2+(y-1)^2\ge1\\ {}\wedge{}\\ (x-2)^2+(y-1)^2\le1 \end{gathered} \]

6.2.

\[ x^2+y^2\le4\ \wedge\ y=1 \]

7.1.

\[ \begin{aligned} \overline{AC} &=\sqrt{\left(-3+\frac12\right)^2+\left(4+\frac72\right)^2}\\ &=\sqrt{\left(-\frac52\right)^2+\left(\frac{15}{2}\right)^2}\\ &=\frac{5\sqrt{10}}{2} \end{aligned} \]

Como \(AC\) é a diagonal do quadrado, então o lado do quadrado é:

\[ l=\frac{\overline{AC}}{\sqrt2} =\frac{5\sqrt5}{2} \]

Assim, o raio da circunferência inscrita é metade do lado:

\[ r=\frac{l}{2}=\frac{5\sqrt5}{4} \] \[ \begin{aligned} A_{\text{sombreada}} &=A_{[ABCD]}-A_{\text{circulo}}\\ &=\left(\frac{5\sqrt5}{2}\right)^2 -\pi\left(\frac{5\sqrt5}{4}\right)^2\\ &=\frac{125}{4}-\frac{125\pi}{16}\\ &=\frac{125(4-\pi)}{16} \end{aligned} \]

7.2. Seja \(M\) o ponto médio de \([AC]\), que é o centro da circunferência.

\[ M\left( \frac{-3-\frac12}{2}, \frac{4-\frac72}{2} \right) = \left(-\frac74,\frac14\right) \] \[ r=\frac{5\sqrt5}{4} \] \[ \left(x+\frac74\right)^2 + \left(y-\frac14\right)^2 = \frac{125}{16} \]

8.1. Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz de \([AB]\).

\[ \begin{aligned} &(x-0)^2+(y-4)^2\\ &=(x-3)^2+(y-0)^2 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} x^2+y^2-8y+16 &=x^2-6x+9+y^2\\ &\Longleftrightarrow 6x-8y+7=0\\ &\Longleftrightarrow y=\frac34x+\frac78 \end{aligned} \]

8.2. Vamos começar por determinar as coordenadas dos pontos \(C\) e \(D\).

\[ C\left(\frac{0+3}{2},\frac{4+0}{2}\right) = \left(\frac32,2\right) \]

\(D\) pertence à reta \(m\) e ao eixo das abcissas, logo as coordenadas de \(D\) são do tipo \((x_D,0)\).

\[ \begin{aligned} \frac34x_D+\frac78&=0\\ &\Longleftrightarrow 6x_D+7=0\\ &\Longleftrightarrow x_D=-\frac76 \end{aligned} \] \[ D\left(-\frac76,0\right) \] \[ A_{[BCD]} = \frac{\left(3-\left(-\frac76\right)\right)\times2}{2} = \frac{25}{6} \]

8.3. A condição é definida por:

\[ y\le\frac34x+\frac78 \ \wedge\ y\le-\frac43x+4 \ \wedge\ y\ge0 \]

9.1.

\[ \begin{aligned} AB&:\ y=-\frac12x+1\\ DC&:\ y=-\frac12x+3\\ AD&:\ x=0\\ BC&:\ x=2 \end{aligned} \] \[ -\frac12x+1\le y\le-\frac12x+3 \ \wedge\ 0\le x\le2 \]

9.2.

\[ A(0,1),\quad B(2,0),\quad D(0,3) \] \[ d(A,B)=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5 \] \[ d(A,D)=y_D-y_A=3-1=2 \] \[ P_{[ABCD]}=2\sqrt5+2\times2=2\sqrt5+4 \] \[ A_{[ABCD]}=\overline{OB}\times\overline{AD}=2\times2=4 \]

11.1.

Circunferência:

\[ (x+2)^2+y^2=4 \]

Reta vertical:

\[ x=-1 \]

Região sombreada:

\[ (x+2)^2+y^2\le4 \ \wedge\ x\ge-1 \]

11.2.

Circunferências:

\[ x^2+y^2=4 \quad\text{e}\quad x^2+y^2=16 \]

Retas horizontais:

\[ y=-1 \quad\text{e}\quad y=1 \]

Região sombreada:

\[ \begin{gathered} 4\le x^2+y^2\le16\\ {}\wedge{}\\ (y\le-1\ \vee\ y\ge1) \end{gathered} \]

12.1. As retas \(m\) e \(r\) são paralelas se tiverem o mesmo declive, isto é, \(m_m=m_r\Longleftrightarrow m_m=2\).

Como \(m\) é a mediatriz de \([AC]\), então, seja \(P(x,y)\) um ponto de \(m\):

\[ \begin{aligned} &(x-8)^2+(y-1)^2\\ &=(x-4)^2+(y-3)^2 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &x^2-16x+64+y^2-2y+1\\ &=x^2-8x+16+y^2-6y+9\\ &\Longleftrightarrow -2y+6y-16x+8x+25=65\\ &\Longleftrightarrow 4y=8x-40\\ &\Longleftrightarrow y=2x-10 \end{aligned} \]

Logo, \(m_m=2\), e portanto \(m\) e \(r\) são paralelas.

12.2.

Circunferência:

\[ (x-4)^2+(y-3)^2=9 \] \[ \begin{aligned} m&:\ y=2x-10\\ r&:\ y=2x-5 \end{aligned} \] \[ \begin{gathered} (x-4)^2+(y-3)^2\le9\\ {}\wedge{}\\ 2x-10\le y<2x-5 \end{gathered} \]

13.1.

\[ y\ge x\ \wedge\ y\le3\ \wedge\ x\ge-4 \]

13.2. Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz de \([BC]\).

\[ \begin{aligned} &(x-3)^2+(y-3)^2\\ &=(x+4)^2+(y+4)^2 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &x^2-6x+9+y^2-6y+9\\ &=x^2+8x+16+y^2+8y+16\\ &\Longleftrightarrow -14x-14y=14\\ &\Longleftrightarrow y=-x-1 \end{aligned} \]

13.3. Condição que define a região:

\[ \begin{gathered} x^2+y^2\le4\\ {}\wedge{}\\ y\ge x\ \wedge\ y\le3\ \wedge\ x\ge-4 \end{gathered} \]

14.1.

\[ C(0,2),\quad A(k,0),\quad B(k,k) \] \[ A_{[OABC]}=24 \] \[ \begin{aligned} \frac{\overline{OC}+\overline{AB}}{2}\times\overline{OA} &=24\\ \frac{2+k}{2}\times k&=24\\ k^2+2k&=48\\ k^2+2k-48&=0\\ k&=-8\ \vee\ k=6 \end{aligned} \]

Como \(k>0\), então \(k=6\).

14.2.

\[ A(6,0),\quad B(6,6),\quad C(0,2) \] \[ m_{BC}=\frac{6-2}{6-0}=\frac23 \] \[ BC:\ y=\frac23x+2 \] \[ \begin{aligned} OC&:\ x=0\\ OA&:\ y=0\\ AB&:\ x=6 \end{aligned} \] \[ 0\le y\le\frac23x+2 \ \wedge\ 0\le x\le6 \]

14.3. Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz de \([AC]\).

\[ (x-6)^2+y^2=x^2+(y-2)^2 \] \[ \begin{aligned} x^2-12x+36+y^2 &=x^2+y^2-4y+4\\ &\Longleftrightarrow 4y=12x-32\\ &\Longleftrightarrow y=3x-8 \end{aligned} \]

c.q.m.

15.1.

\[ r=\overline{OA}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5 \] \[ \therefore\ x^2+y^2=5 \]

15.2.

\[ B(2,-1) \] \[ 2^2+(-1)^2=5 \Longleftrightarrow 4+1=5 \Longleftrightarrow 5=5 \]

Portanto \(B\) pertence à circunferência.

15.3.

\[ A(1,2)\quad\text{e}\quad B(2,-1) \] \[ m_{AB}=\frac{2+1}{1-2}=-3 \] \[ b=2-(-3\times1)=2+3=5 \] \[ AB:\ y=-3x+5 \]

15.4.

16.1.

\[ \begin{aligned} \overline{AB} &=\sqrt{(7-1)^2+(3-11)^2}\\ &=\sqrt{36+64}=10 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \overline{BC} &=\sqrt{(1+2)^2+(11-15)^2}\\ &=\sqrt{9+16}=5 \end{aligned} \]

16.2.

\[ A(7,3),\quad B(1,11),\quad C(-2,15) \] \[ m_{AB}=\frac{11-3}{1-7}=\frac8{-6}=-\frac43 \] \[ b=3-\left(-\frac43\times7\right) =3+\frac{28}{3} =\frac{37}{3} \] \[ AB:\ y=-\frac43x+\frac{37}{3} \]

Substituindo as coordenadas de \(C\) na reta \(AB\), temos:

\[ \begin{aligned} 15&=-\frac43\times(-2)+\frac{37}{3}\\ &\Longleftrightarrow 15=\frac83+\frac{37}{3}\\ &\Longleftrightarrow 15=\frac{45}{3}\\ &\Longleftrightarrow 15=15 \end{aligned} \]

Portanto \(C\) pertence à reta \(AB\).

16.3. Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz de \([AB]\).

\[ \begin{aligned} &(x-7)^2+(y-3)^2\\ &=(x-1)^2+(y-11)^2 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &x^2-14x+49+y^2-6y+9\\ &=x^2-2x+1+y^2-22y+121\\ &\Longleftrightarrow -6y+22y\\ &\qquad=14x-2x-58+122\\ &\Longleftrightarrow 16y=12x+64\\ &\Longleftrightarrow y=\frac34x+4 \end{aligned} \]

16.4 a) Como \(D\in Oy\), então as coordenadas de \(D\) são do tipo \((0,y_D)\) e \(D\) é equidistante de \(A\) e de \(B\), então \(D\) pertence à mediatriz de \([AB]\).

\[ y=\frac34\times0+4 \Longleftrightarrow y=4 \] \[ D(0,4) \]

b)

\[ \begin{aligned} r=\overline{AD} &=\sqrt{(7-0)^2+(3-4)^2}\\ &=\sqrt{49+1}=\sqrt{50} \end{aligned} \] \[ C_1:\ x^2+(y-4)^2=50 \]

c) \(D\) é o centro da circunferência e pertence à mediatriz de \([AB]\), isto é, encontra-se à mesma distância de \(A\) e de \(B\), então \([DB]\) é um raio da circunferência, logo \(B\) pertence à circunferência.

\(C\) pertence à reta \(AB\), como \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência, \(C\) não pode pertencer à mesma circunferência.

16.5 a)

\[ M\left(\frac{7+1}{2},\frac{3+11}{2}\right)=(4,7) \] \[ \begin{aligned} \overline{DM}^{\,2} &=(0-4)^2+(4-7)^2\\ &=16+9=25\\ \overline{DM}&=5 \end{aligned} \] \[ C_2:\ x^2+(y-4)^2=25 \]

b) Como \(D\) pertence à mediatriz de \([AB]\), \(DM\) é perpendicular a \([AB]\) e \(M\) pertence à circunferência e à reta \(AB\), então \(AB\) é tangente à circunferência.

16.6.

\[ \begin{aligned} A_{\text{coroa circular}} &=A_{C_1}-A_{C_2}\\ &=\pi(\sqrt{50})^2-\pi(5)^2\\ &=50\pi-25\pi=25\pi \end{aligned} \]

16.7.

\[ \begin{gathered} x^2+(y-4)^2\le50\\ {}\wedge{}\\ x^2+(y-4)^2\ge25 \end{gathered} \]

17.1 a)

\[ \begin{aligned} \overline{AB} &=\sqrt{(5+1)^2+(-2-6)^2}\\ &=\sqrt{36+64}=10=2\times5 \end{aligned} \]

Logo \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência e, então, \([AB]\) é um diâmetro da circunferência.

b)

\[ C(2,2) \quad\Longrightarrow\quad m_{OC}=\frac22=1 \]

Logo, \(y=x\), que é a bissetriz dos quadrantes ímpares, é a reta \(OC\). Como \(D\) pertence à circunferência e à reta \(OC\), então a reta \(CD\) é a bissetriz dos quadrantes ímpares.

17.2. \(D\) pertence à reta \(CD\), logo as coordenadas de \(D\) são do tipo \((x,x)\).

\[ (x-2)^2+(y-2)^2=25 \] \[ \begin{aligned} (x-2)^2+(x-2)^2&=25\\ 2(x-2)^2&=25\\ (x-2)^2&=\frac{25}{2}\\ x-2&=\pm\frac{5\sqrt2}{2} \end{aligned} \]

Como \(D\) pertence ao terceiro quadrante, \(x<0\).

\[ D\left(2-\frac{5\sqrt2}{2},2-\frac{5\sqrt2}{2}\right) \]

17.3.

Circunferência:

\[ (x-2)^2+(y-2)^2=25 \] \[ \begin{aligned} CD&:\ y=x\\ BC&:\ y=-\frac43x+\frac{14}{3} \end{aligned} \] \[ \begin{gathered} (x-2)^2+(y-2)^2\le25\\ {}\wedge{}\\ y\ge x\\ {}\wedge{}\\ y\le-\frac43x+\frac{14}{3} \end{gathered} \]