Geometria Analítica no Plano

1.1. Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz de \([DB]\).

\[ d(D,P)=d(B,P) \] \[ (x+2)^2+(y-4)^2=(x-4)^2+(y-2)^2 \] \[ \begin{aligned} &x^2+4x+4+y^2-8y+16\\ &=x^2-8x+16+y^2-4y+4\\ &\Longleftrightarrow 12x-4y=0\\ &\Longleftrightarrow y=3x \end{aligned} \]

1.2. A reta \(AD\) é paralela ao eixo \(Oy\), logo é uma reta vertical e, como \(D(-2,4)\), então \(x=-2\).

\[ \begin{cases} x=-2\\ y=3x \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=-2\\ y=-6 \end{cases} \]

Portanto, \(A(-2,-6)\).

A reta \(BC\) é paralela ao eixo \(Oy\), logo é uma reta vertical e, como \(B(4,2)\), então \(x=4\).

\[ \begin{cases} x=4\\ y=3x \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=4\\ y=12 \end{cases} \]

Portanto, \(C(4,12)\).

1.3. Um losango é paralelogramo.

\[ A_{[ABCD]}=\frac{D\times d}{2}=AB\times h \] \[ \begin{aligned} D&=AC=\sqrt{(4+2)^2+(12+6)^2}\\ &=\sqrt{360}=6\sqrt{10} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} d&=BD=\sqrt{(-2-4)^2+(4-2)^2}\\ &=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \end{aligned} \] \[ AB=AD=4+6=10 \] \[ A_{\text{Losango}}=\frac{6\sqrt{10}\times2\sqrt{10}}{2}=60 \] \[ A_{\text{Paralelogramo}}=10h \] \[ \begin{aligned} A_{\text{Losango}}&=A_{\text{Paralelogramo}}\\ &\Longleftrightarrow 60=10h\\ &\Longleftrightarrow h=6 \end{aligned} \]

2.1.

\[ m_r=\frac{8-2}{0-3}=-2 \] \[ r:y=-2x+8 \]

Como \(B\) pertence ao eixo \(Ox\), então \(B(x,0)\).

\[ -2x+8=0 \Longleftrightarrow x=4 \]

Portanto, \(B(4,0)\), c.q.m.

2.2. A reta perpendicular a \([AB]\) tem declive \(\frac12\).

Seja \(P(x,y)\) um ponto da reta pedida. Como a reta passa por \((2,4)\), temos:

\[ y=\frac12x+b \] \[ 4=\frac12\times2+b \Longleftrightarrow b=3 \] \[ y=\frac12x+3 \]

3.1. Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz do segmento de reta \([AC]\).

\[ d(A,P)=d(C,P) \] \[ (x-3)^2+(y+1)^2=(x+1)^2+(y-7)^2 \] \[ \begin{aligned} &x^2-6x+9+y^2+2y+1\\ &=x^2+2x+1+y^2-14y+49\\ &\Longleftrightarrow 16y=8x+40\\ &\Longleftrightarrow y=\frac12x+\frac52 \end{aligned} \]

3.2. Como \([ABCD]\) é um losango, então \(BA=BC\), logo \(B\) pertence à mediatriz de \([AC]\).

Sabemos que \(B\) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, logo \(B\) pertence à reta \(y=x\).

\[ \begin{gathered} \begin{cases} y=\frac12x+\frac52\\ y=x \end{cases}\\ \Longleftrightarrow x=\frac12x+\frac52\\ \Longleftrightarrow x=5 \end{gathered} \] \[ y=5 \]

Portanto, \(B(5,5)\).

3.3. Já sabemos que os lados do quadrilátero são todos iguais porque \([ABCD]\) é losango.

Temos que provar que os ângulos do quadrilátero são retos. Para tal temos que provar que o Teorema de Pitágoras é válido para, por exemplo, o triângulo \([ABC]\).

\[ AB^2=(5-3)^2+(5+1)^2=40 \] \[ BC^2=(-1-5)^2+(7-5)^2=40 \] \[ AC^2=(-1-3)^2+(7+1)^2=80 \] \[ AB^2+BC^2=AC^2 \Longleftrightarrow 40+40=80 \]

Logo, o ângulo \(ABC\) é reto.

Por definição de paralelogramo, um losango é um paralelogramo, os ângulos adjacentes são suplementares e os ângulos opostos são iguais. Assim, concluímos que os quatro ângulos internos de \([ABCD]\) são retos.

Portanto, \([ABCD]\) é um quadrado.

4.1. Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz de \([AB]\).

\[ d(A,P)=d(B,P) \] \[ (x+2)^2+(y+1)^2=(x-6)^2+(y-3)^2 \] \[ \begin{aligned} &x^2+4x+4+y^2+2y+1\\ &=x^2-12x+36+y^2-6y+9\\ &\Longleftrightarrow 8y=-16x+40\\ &\Longleftrightarrow y=-2x+5 \end{aligned} \]

4.2 a) \(C(0,y)\), porque \(C\) pertence a \(Oy\).

Como \(AC=BC\), então \(C\) pertence a \(y=-2x+5\).

\[ y=-2\times0+5 \Longleftrightarrow y=5 \] \[ C(0,5) \]

b) \(C(x,-3)\).

\[ \begin{aligned} -2x+5&=-3\\ &\Longleftrightarrow -2x=-8\\ &\Longleftrightarrow x=4 \end{aligned} \] \[ C(4,-3) \]

4.3. Como \(C\) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, então \(C\) pertence à reta \(y=-x\).

\[ \begin{cases} y=-x\\ y=-2x+5 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} y=-5\\ x=5 \end{cases} \] \[ C(5,-5) \]

Seja \(M\) ponto médio de \([AB]\).

\[ M\left(\frac{-2+6}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=(2,1) \] \[ A_{[ABC]}=\frac{\overline{AB}\times\overline{MC}}{2} \] \[ \begin{aligned} \overline{AB}^{\,2}&=(-2-6)^2+(-1-3)^2\\ &=80\\ \overline{AB}&=\sqrt{80} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \overline{MC}^{\,2}&=(2-5)^2+(1+5)^2\\ &=45\\ \overline{MC}&=\sqrt{45} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} A_{[ABC]}&=\frac{\sqrt{80}\times\sqrt{45}}{2}\\ &=\frac{\sqrt{3600}}{2}=30 \end{aligned} \]

5.1 a) Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz de \([AB]\).

\[ (x-2)^2+(y+1)^2=x^2+(y-3)^2 \] \[ \begin{aligned} &x^2-4x+4+y^2+2y+1\\ &=x^2+y^2-6y+9\\ &\Longleftrightarrow 8y=4x+4\\ &\Longleftrightarrow y=\frac12x+\frac12 \end{aligned} \]

b) Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz de \([BC]\).

\[ x^2+(y-3)^2=(x+4)^2+(y-5)^2 \] \[ \begin{aligned} &x^2+y^2-6y+9\\ &=x^2+8x+16+y^2-10y+25\\ &\Longleftrightarrow 4y=8x+32\\ &\Longleftrightarrow y=2x+8 \end{aligned} \]

5.2. O centro da circunferência é o ponto de interseção das mediatrizes dos segmentos de reta \([AB]\) e \([BC]\).

\[ \begin{cases} y=\frac12x+\frac12\\ y=2x+8 \end{cases} \Longleftrightarrow \frac12x+\frac12=2x+8 \] \[ x=-5 \quad\text{e}\quad y=-2 \] \[ O(-5,-2) \]

5.3.

\[ M\left(\frac{2+0}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=(1,1) \]

Seja \(E\) o centro da circunferência, que é a interseção da mediatriz de \([AB]\) com o eixo \(Ox\).

\[ \begin{cases} y=0\\ y=\frac12x+\frac12 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} y=0\\ x=-1 \end{cases} \] \[ E(-1,0) \] \[ r=EM=\sqrt{(1+1)^2+(1-0)^2}=\sqrt5 \] \[ (x+1)^2+y^2=5 \]

6.1. A abcissa de \(E\) é \(4\). Substituindo na equação da circunferência de centro \(A\):

\[ (4-4)^2+(y-3)^2=25 \] \[ y-3=\pm5 \Longleftrightarrow y=8\ \vee\ y=-2 \]

Como \(y<0\), então \(E(4,-2)\).

Como \(A\) e \(B\) têm a mesma ordenada, temos que \(E\) e \(F\) também têm a mesma ordenada.

\[ EF=AB=r=5 \] \[ F(4+5,-2)=(9,-2) \]

6.2. Por 6.1., como \(B\) tem a mesma abcissa de \(F\) e como \(A\) e \(B\) têm a mesma ordenada, \(B(9,3)\).

A equação reduzida da circunferência de centro \(B\) é

\[ (x-9)^2+(y-3)^2=25 \]

\(C\) pertence à circunferência e ao eixo \(Ox\).

\[ \begin{gathered} \begin{cases} y=0\\ (x-9)^2+(y-3)^2=25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow (x-9)^2=16 \end{gathered} \] \[ x-9=\pm4 \Longleftrightarrow x=5\ \vee\ x=13 \]

A abcissa de \(C\) é menor do que a abcissa de \(F\), então \(C(5,0)\).

6.3.

\[ A_{\text{colorida}} =A_{[AEFB]}-\frac14A_{\text{círculo}} \] \[ A_{\text{colorida}} =5^2-\frac14\pi\times5^2 =25-\frac{25\pi}{4} \]

7.1.

\[ A(-6,1)\quad\text{e}\quad B(2,-3) \] \[ m_{AB}=\frac{1+3}{-6-2}=\frac4{-8}=-\frac12 \] \[ 1=-\frac12\times(-6)+b \Longleftrightarrow b=-2 \] \[ y=-\frac12x-2 \]

7.2.

\[ \begin{aligned} AB^{2}&=(-6-2)^2+(1+3)^2\\ &=80\\ AB&=\sqrt{80}\\ &=4\sqrt5 \end{aligned} \] \[ r_1+r_2=\sqrt5+\sqrt{20}=\sqrt5+2\sqrt5=3\sqrt5 \]

Como \(AB>r_1+r_2\), isto é, a distância entre os centros é maior do que a soma dos raios, podemos concluir que \(C_1\) e \(C_2\) não se intersetam.

7.3. O centro de \(C_3\) é o ponto médio de \([AB]\).

\[ M\left(\frac{-6+2}{2},\frac{1-3}{2}\right)=(-2,-1) \] \[ r_3=\frac{AB}{2}=2\sqrt5 \] \[ C_3:(x+2)^2+(y+1)^2=20 \]

7.4.

\[ \begin{gathered} M(-2,-1)\\ C_2:(x-2)^2+(y+3)^2=20 \end{gathered} \] \[ \begin{aligned} &(-2-2)^2+(-1+3)^2\\ &=16+4\\ &=20 \end{aligned} \]

Logo, \(M\in C_2\).

8.1.

\[ \begin{aligned} C_1:\ (1-3)^2+(3-6)^2&=13\\ &\Longleftrightarrow 4+9=13 \end{aligned} \] \[ C_2:\ 1(1+6)+3^2=16 \Longleftrightarrow 7+9=16 \]

Como \(C(1,3)\) pertence às duas circunferências, podemos concluir que \(C\) é um ponto de interseção das duas circunferências.

8.2.

\[ C_1:\ A(3,6) \] \[ \begin{aligned} C_2:\ x(x+6)+y^2&=16\\ &\Longleftrightarrow x^2+6x+y^2=16\\ &\Longleftrightarrow (x+3)^2+y^2=25 \end{aligned} \]

Então o centro de \(C_2\) é \(B(-3,0)\).

Se \(P(x,y)\) é um ponto da mediatriz de \([AB]\), então:

\[ d(A,P)=d(B,P) \] \[ (x-3)^2+(y-6)^2=(x+3)^2+y^2 \] \[ \begin{aligned} &x^2-6x+9+y^2-12y+36\\ &=x^2+6x+9+y^2\\ &\Longleftrightarrow -12y-12x=-36\\ &\Longleftrightarrow y+x=3 \end{aligned} \]

c.q.m.

9.1. O ponto \(A\) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, \(y=x\), e ao primeiro quadrante, logo as coordenadas do ponto \(A\) são do tipo \((x_A,x_A)\), com \(x_A>0\).

Sabemos que \(B(-1,0)\) pertence à circunferência, então \(d(A,B)=\sqrt{13}\).

\[ \sqrt{(x_A+1)^2+x_A^2}=\sqrt{13} \] \[ (x_A+1)^2+x_A^2=13 \] \[ 2x_A^2+2x_A-12=0 \Longleftrightarrow x_A^2+x_A-6=0 \] \[ x_A=-3\ \vee\ x_A=2 \]

Como \(x_A>0\), então \(A(2,2)\). Portanto, uma equação da circunferência é

\[ (x-2)^2+(y-2)^2=13 \]

c.q.m.

9.2. Comecemos por determinar as coordenadas de \(C\), uma vez que \(D\) tem a mesma ordenada.

Como \(C\) pertence ao semieixo positivo \(Oy\), então \(C(0,y_C)\), com \(y_C>0\).

\[ (0-2)^2+(y_C-2)^2=13 \] \[ (y_C-2)^2=9 \Longleftrightarrow y_C=5\ \vee\ y_C=-1 \] \[ C(0,5) \]

Como \(D\) pertence à circunferência e tem ordenada \(5\), então:

\[ (x_D-2)^2+(5-2)^2=13 \] \[ (x_D-2)^2=4 \Longleftrightarrow x_D=0\ \vee\ x_D=4 \]

Pela observação da figura, \(D(4,5)\), c.q.m.

9.3. Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz de \([AD]\).

\[ (x-2)^2+(y-2)^2=(x-4)^2+(y-5)^2 \] \[ \begin{aligned} &x^2-4x+4+y^2-4y+4\\ &=x^2-8x+16+y^2-10y+25\\ &\Longleftrightarrow 4x+6y=33\\ &\Longleftrightarrow y=-\frac23x+\frac{11}{2} \end{aligned} \]

9.4. A reta \(CD\) é horizontal, logo tem equação \(y=5\).

Como \(P(a,a^2+4a)\) pertence à reta \(CD\), temos:

\[ a^2+4a=5 \Longleftrightarrow a^2+4a-5=0 \] \[ a=-5\ \vee\ a=1 \]

Como \(P\) pertence ao segundo quadrante, então \(a<0\), logo \(a=-5\).

\[ P(-5,25-20)=(-5,5) \]

Assim, \(P\) pertence à bissetriz dos quadrantes pares.

10.1. Como a circunferência centrada em \(A\) passa pela origem, o raio é

\[ r=\sqrt{(-2-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13} \] \[ (x+2)^2+(y-3)^2=13 \]

Como o ponto \(Q\) tem ordenada \(5\) e pertence às duas circunferências, temos que:

\[ (x-4)^2+(5-7)^2=13 \] \[ \begin{aligned} (x-4)^2&=9\\ &\Longleftrightarrow x-4=\pm3\\ &\Longleftrightarrow x=1\ \vee\ x=7 \end{aligned} \]

Como \(B(4,7)\) e, pela observação da figura, \(x_Q<x_B\), então \(Q(1,5)\).

10.2.

\[ \begin{aligned} \overline{AQ}^{\,2}&=(-2-1)^2+(3-5)^2\\ &=9+4=13\\ \overline{AQ}&=\sqrt{13} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \overline{BQ}^{\,2}&=(4-1)^2+(7-5)^2\\ &=9+4=13\\ \overline{BQ}&=\sqrt{13} \end{aligned} \]

Como a reta \(r\) é tangente às duas circunferências no ponto \(Q\), então \(r\) é a mediatriz do segmento de reta \([AB]\).

Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz do segmento de reta \([AB]\).

\[ (x+2)^2+(y-3)^2=(x-4)^2+(y-7)^2 \] \[ \begin{aligned} &y^2+4x-4+y^2-6y+9\\ &=x^2-8x+16+y^2-14y+49\\ &\Longleftrightarrow -6y+14y\\ &\qquad=-4x-8x-5+16+49\\ &\Longleftrightarrow 8y=-12x+60\\ &\Longleftrightarrow y=-\frac32x+\frac{15}{2} \end{aligned} \]

10.3. Os pontos \(Q\) e \(O\) pertencem à circunferência centrada em \(A\) e de raio \(\sqrt{13}\), logo \(\overline{AO}=\overline{AQ}=\sqrt{13}\).

O triângulo é retângulo em \(A\) se:

\[ \overline{AQ}^{\,2}+\overline{AO}^{\,2}=\overline{OQ}^{\,2} \] \[ \begin{aligned} (\sqrt{13})^2+(\sqrt{13})^2 &=\left(\sqrt{1^2+5^2}\right)^2\\ 13+13&=(\sqrt{26})^2\\ 26&=26 \end{aligned} \]

Portanto, \([AOQ]\) é retângulo em \(A\).

\[ \begin{aligned} A_{\text{azul}} &=A_{\frac14\odot}-A_{[AOQ]}\\ &=\frac14\pi\times(\sqrt{13})^2-\frac{\sqrt{13}\times\sqrt{13}}{2}\\ &=\frac{13}{4}\pi-\frac{13}{2}\\ &=\frac{13\pi-26}{4} \end{aligned} \]

10.4. Como \(P\) tem abcissa \(6\) e pertence à circunferência centrada em \(B\):

\[ (6-4)^2+(y-7)^2=13 \] \[ \begin{aligned} (y-7)^2&=9\\ &\Longleftrightarrow y=4\ \vee\ y=10 \end{aligned} \]

Como, pela observação da figura, \(y_P<7\), então \(P(6,4)\).

Como o raio da circunferência centrada em \(B\) também é \(\sqrt{13}\), temos, de forma análoga a 10.3., que \([QBP]\) também é retângulo em \(B\).

\[ \begin{aligned} A_{\text{verde}} &=A_{\frac14\odot}-A_{[QBP]}\\ &=\frac14\pi\times(\sqrt{13})^2-\frac{\sqrt{13}\times\sqrt{13}}{2}\\ &=\frac{13\pi-26}{4}=A_{\text{azul}} \end{aligned} \]

A interseção das mediatrizes dos segmentos de reta \([AB]\) e \([BC]\) é o centro da circunferência que contém os três pontos.

Mediatriz de \([AB]\):

\[ (x-6)^2+(y+1)^2=(x-3)^2+(y-2)^2 \] \[ \begin{aligned} &x^2-12x+36+y^2+2y+1\\ &=x^2-6x+9+y^2-4y+4\\ &\Longleftrightarrow 6y=6x-24\\ &\Longleftrightarrow y=x-4 \end{aligned} \]

Mediatriz de \([BC]\):

\[ (x-3)^2+(y-2)^2=(x+1)^2+(y-4)^2 \] \[ \begin{aligned} &x^2-6x+9+y^2-4y+4\\ &=x^2+2x+1+y^2-8y+16\\ &\Longleftrightarrow 4y=8x+4\\ &\Longleftrightarrow y=2x+1 \end{aligned} \]

Portanto, o centro da circunferência é:

\[ \begin{cases} y=x-4\\ y=2x+1 \end{cases} \Longleftrightarrow x=-5,\quad y=-9 \] \[ D(-5,-9) \] \[ \begin{aligned} r^2&=(-5-6)^2+(-9+1)^2\\ &=185\\ r&=\sqrt{185} \end{aligned} \]

Portanto, a equação reduzida da circunferência é:

\[ (x+5)^2+(y+9)^2=185 \]

12.1.

\[ 2x^2+2y^2-4x+16y-16=0 \] \[ x^2+y^2-2x+8y-8=0 \] \[ \begin{aligned} (x-1)^2-1+(y+4)^2-16-8&=0\\ (x-1)^2+(y+4)^2&=25 \end{aligned} \]

Logo, \((1,-4)\) é o centro da circunferência e o raio é \(5\).

12.2. \(A\) pertence ao semieixo positivo \(Ox\), logo as coordenadas de \(A\) são do tipo \((x_A,0)\), com \(x_A>0\).

\[ (x_A-1)^2+(0+4)^2=25 \] \[ (x_A-1)^2=9 \Longleftrightarrow x_A= -2\ \vee\ x_A=4 \] \[ A(4,0) \]

\(B\) tem abcissa igual a \(-3\), logo as coordenadas de \(B\) são do tipo \((-3,y_B)\), com \(y_B>-4\).

\[ (-3-1)^2+(y_B+4)^2=25 \] \[ (y_B+4)^2=9 \Longleftrightarrow y_B=-7\ \vee\ y_B=-1 \] \[ B(-3,-1) \]

\(C\) tem a abcissa igual à de \(A\), logo as coordenadas de \(C\) são do tipo \((4,y_C)\), com \(y_C<-4\).

\[ (4-1)^2+(y_C+4)^2=25 \] \[ (y_C+4)^2=16 \Longleftrightarrow y_C=0\ \vee\ y_C=-8 \] \[ C(4,-8) \]

12.3. Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz de \([BC]\).

\[ (x+3)^2+(y+1)^2=(x-4)^2+(y+8)^2 \] \[ \begin{aligned} &x^2+6x+9+y^2+2y+1\\ &=x^2-8x+16+y^2+16y+64\\ &\Longleftrightarrow 14y=14x-70\\ &\Longleftrightarrow y=x-5 \end{aligned} \]

12.4. Como a abcissa do ponto \(P\) excede em duas unidades o dobro da ordenada, então as coordenadas do ponto são do tipo \((2y+2,y)\).

\[ d(P,C)=9 \] \[ (2y+2-4)^2+(y+8)^2=81 \] \[ (2y-2)^2+(y+8)^2=81 \] \[ 5y^2+8y-13=0 \] \[ y=-\frac{13}{5}\ \vee\ y=1 \]

Portanto:

\[ \begin{aligned} y&=-\frac{13}{5}\\ &\Longrightarrow P\left(2\times\left(-\frac{13}{5}\right)+2,-\frac{13}{5}\right)\\ &=\left(-\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right) \end{aligned} \] \[ y=1 \Longrightarrow P(2\times1+2,1)=(4,1) \]

Como \(A\) e \(B\) pertencem ao 1.º quadrante, então as coordenadas dos dois pontos são positivas.

Sabemos que a ordenada de \(A\) é o dobro da sua abcissa, logo, as coordenadas de \(A\) são do tipo \((x_A,2x_A)\), com \(x_A>0\).

Sabemos que \(y=x\) é a mediatriz de \([AB]\).

\[ \begin{cases} 3x_A=x_B+y_B\\ 5x_A^2=x_B^2+y_B^2 \end{cases} \tag{I} \]

O ponto médio de \([AB]\) pertence à mediatriz, logo:

\[ M_{[AB]}\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{2x_A+y_B}{2}\right) \] \[ \frac{x_A+x_B}{2}=\frac{2x_A+y_B}{2} \Longleftrightarrow x_A=x_B-y_B \]

Substituindo em \(3x_A=x_B+y_B\), temos:

\[ 3(x_B-y_B)=x_B+y_B \Longleftrightarrow x_B=2y_B \] \[ x_A=x_B-y_B \Longleftrightarrow x_A=y_B \]

Sabemos também que \(\overline{AB}=4\), então:

\[ (x_A-x_B)^2+(2x_A-y_B)^2=16 \tag{II} \]

Como \(x_B=2y_B\) e \(x_A=y_B\), substituindo em (II), temos:

\[ (y_B-2y_B)^2+(2y_B-y_B)^2=16 \] \[ 2y_B^2=16 \Longleftrightarrow y_B^2=8 \Longleftrightarrow y_B=2\sqrt2 \] \[ A(2\sqrt2,4\sqrt2) \quad\text{e}\quad B(4\sqrt2,2\sqrt2) \]

Equação da mediatriz de \([AB]\):

Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz, então:

\[ (x-1)^2+(y-1)^2=(x+2)^2+(y-4)^2 \] \[ \begin{aligned} &x^2-2x+1+y^2-2y+1\\ &=x^2+4x+4+y^2-8y+16\\ &\Longleftrightarrow 6y=6x+18\\ &\Longleftrightarrow y=x+3 \end{aligned} \]

Interseção de \(y=x+3\) com a circunferência \(x^2+(y-2)^2=13\):

\[ x^2+(x+3-2)^2=13 \] \[ x^2+(x+1)^2=13 \Longleftrightarrow 2x^2+2x-12=0 \] \[ x^2+x-6=0 \Longleftrightarrow x=-3\ \vee\ x=2 \] \[ P(-3,0)\quad\text{e}\quad Q(2,5) \] \[ \begin{aligned} d(P,Q)^2&=(-3-2)^2+(0-5)^2\\ &=50\\ d(P,Q)&=\sqrt{50}=5\sqrt2 \end{aligned} \]

15.1. \(A\) pertence à reta \(r\), bissetriz dos quadrantes ímpares, logo \(y=x\). Como pertence ao primeiro quadrante, \(A(x_A,x_A)\), com \(x_A>0\).

\[ AO=2\sqrt2 \] \[ (x_A-0)^2+(x_A-0)^2=(2\sqrt2)^2 \] \[ 2x_A^2=8 \Longleftrightarrow x_A^2=4 \Longleftrightarrow x_A=2 \] \[ A(2,2) \]

Assim, uma equação da circunferência centrada nesse ponto é:

\[ (x-2)^2+(y-2)^2=8 \]

15.2. \(C(0,y_C)\), \(y_C>0\). Como \(C\) pertence à circunferência centrada em \(A\):

\[ (0-2)^2+(y_C-2)^2=8 \] \[ (y_C-2)^2=4 \Longleftrightarrow y_C=0\ \vee\ y_C=4 \] \[ C(0,4) \]

15.3 a)

\[ B(-2,-1)\quad\text{e}\quad C(0,4) \]

Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz de \([BC]\), então:

\[ (x+2)^2+(y+1)^2=x^2+(y-4)^2 \] \[ \begin{aligned} &x^2+4x+4+y^2+2y+1\\ &=x^2+y^2-8y+16\\ &\Longleftrightarrow 2y+8y+4x=-5+16\\ &\Longleftrightarrow 10y+4x=11 \end{aligned} \]

c.q.m.

b)

\[ 10(a+1)+4\left(2a^2+\frac34\right)=11 \] \[ 10a+10+8a^2+3-11=0 \] \[ 8a^2+10a+2=0 \Longleftrightarrow 4a^2+5a+1=0 \] \[ a=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\times4\times1}}{8} \] \[ a=-1\ \vee\ a=-\frac14 \]

16.1.

\[ \overline{AO} =\sqrt{(-2-0)^2+(2-0)^2} =\sqrt8=2\sqrt2 \] \[ P_{\frac14\odot} =\frac{2\pi r}{4} =\frac{2\pi\times2}{4} =\pi \] \[ P_{\text{Região sombreada}}=2\sqrt2+\pi\approx5,97 \] \[ 5,9<2\sqrt2+\pi<6 \]

16.2.

\[ A_{\text{Região sombreada}} =A_{\frac14\odot}-A_{[AOC]} \] \[ A_{\text{Região sombreada}} =\frac{2^2\pi}{4}-\frac{2\times2}{2} =\pi-2 \]