Geometria Analítica - Pontos e Distâncias no Plano 1

Pontos, simetrias, distâncias, ponto médio, áreas e equações de retas

GEOMETRIA ANALÍTICA - PONTOS E DISTÂNCIAS NO PLANO 1

1.

Reflexões e perímetro

No referencial cartesiano o.n. da figura, \(Oxy\), está representado o ponto \(A\) de coordenadas \((3,-2)\).

Os pontos \(B\) e \(C\) são os transformados de \(A\) por uma reflexão de eixo \(x=1\) e por uma reflexão de eixo \(y=-1\), respetivamente.

1.1. Indique as coordenadas de \(B\) e \(C\).

1.2. Determine o ponto médio do segmento de reta \([BC]\).

1.3. Determine o perímetro do triângulo \([OBC]\).

Apresente o resultado na forma \(a+b\sqrt{c}\), com \(a\), \(b\) e \(c\) números reais.

Referencial com o ponto A

1.1.

\(B\) é o transformado de \(A\) pela reflexão do eixo \(x=1\), então o valor da ordenada \(y\) não se altera.

Assim, \(B(-1,-2)\).

\(C\) é o transformado de \(A\) pela reflexão do eixo \(y=-1\), então o valor da abcissa \(x\) não se altera.

Assim, \(C(3,0)\).

1.2.

Seja \(M\) o ponto médio de \([BC]\).

\[ M=\left(\frac{-1+3}{2},\frac{-2+0}{2}\right)=(1,-1) \]

1.3.

Comecemos por determinar o comprimento dos três lados do triângulo, isto é, \(d(O,B)\), \(d(O,C)\) e \(d(B,C)\).

\[ d(O,B)=\sqrt{(0+1)^2+(0+2)^2}=\sqrt5 \] \[ d(O,C)=\sqrt{(0-3)^2+(0-0)^2}=3 \] \[ d(B,C)=\sqrt{(-1-3)^2+(-2+0)^2} \] \[ d(B,C)=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5 \]

Assim, o perímetro do triângulo \([OBC]\) é:

\[ P_{[OBC]}=\sqrt5+3+2\sqrt5=3+3\sqrt5 \]
2.

Meia volta e reflexão

Num referencial cartesiano o.n. \(Oxy\), considere o ponto \(P\) de coordenadas \((-2,1)\).

Sejam os pontos \(Q\) e \(R\) obtidos pela transformação do ponto \(P\) por uma meia volta de centro na origem e por uma reflexão de eixo \(y=-1\), respetivamente.

2.1. As coordenadas dos pontos \(Q\) e \(R\) são:

(A) \(Q(2,1)\) e \(R(-2,0)\) (B) \(Q(2,-1)\) e \(R(-2,-3)\) (C) \(Q(-2,-1)\) e \(R(2,-3)\) (D) \(Q(-2,1)\) e \(R(-2,0)\)

2.2. Prove que o triângulo \([PQR]\) é isósceles.

2.3. Determine a área do triângulo \([PQR]\).

2.1.

\(Q\) é a transformação de \(P\) por uma meia volta em torno da origem, significa que é simétrico em relação à origem do referencial.

Assim, \(Q(2,-1)\).

\(R\) é a transformação de \(P\) por uma reflexão de eixo \(y=-1\), significa que o valor da abcissa não se altera e o valor da ordenada é simétrico em relação à reta.

Assim, \(R(-2,-3)\).

OPÇÃO: B

2.2.

O triângulo é isósceles se, pelo menos, o comprimento de dois dos segmentos forem iguais.

\[ d(P,Q)=\sqrt{(-2-2)^2+(1+1)^2} \] \[ d(P,Q)=\sqrt{16+4}=2\sqrt5 \] \[ d(P,R)=\sqrt{(-2+2)^2+(1+3)^2}=4 \] \[ d(R,Q)=\sqrt{(-2-2)^2+(-3+1)^2} \] \[ d(R,Q)=\sqrt{16+4}=2\sqrt5 \]

Como \(PQ=QR\), o triângulo é isósceles.

2.3.

Como o triângulo é isósceles, vamos considerar \([PR]\) a base do triângulo. A altura do triângulo é igual ao segmento de reta \([QM]\), sendo \(M\) o ponto médio de \([PR]\).

\[ M=\left(\frac{-2-2}{2},\frac{1-3}{2}\right)=(-2,-1) \] \[ PR=4 \] \[ QM=\sqrt{(-2-2)^2+(-1+1)^2}=4 \] \[ A_{[PQR]}=\frac{PR\times QM}{2} \] \[ A_{[PQR]}=\frac{4\times4}{2}=8\ \text{u.a.} \]
3.

Losango

Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, \(Oxy\), um losango de vértices \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\).

Sabe-se que:

  • o perímetro do losango \([ABCD]\) é 12;
  • \(B\) e \(D\) pertencem ao eixo \(Oy\) e são simétricos relativamente à reta de equação \(y=-1\);
  • a abcissa do ponto \(A\) é -1.

3.1. Indique as coordenadas dos ponto \(A\) e \(C\).

3.2. Determine as coordenadas de \(B\) e \(D\).

3.3. Determine uma equação da reta vertical que passa no ponto médio do segmento de reta \([AB]\).

Losango ABCD

3.1.

Como \(B\) e \(D\) são simétricos em relação à reta \(y=-1\), então os pontos \(A\) e \(C\) têm ordenada \(-1\).

Portanto, as coordenadas dos pontos são \(A(-1,-1)\) e \(C(1,-1)\).

3.2.

Como os pontos \(B\) e \(D\) pertencem ao eixo \(Oy\), são do tipo \((0,y)\).

Sabemos que o perímetro do losango é 12, logo \(AB=BC=CD=DA=3\).

\[ d(A,B)=3 \] \[ \sqrt{(0+1)^2+(y+1)^2}=3 \] \[ 1+(y+1)^2=9 \] \[ (y+1)^2=8 \] \[ y+1=\pm\sqrt8 \] \[ y=-1\pm2\sqrt2 \]

Assim, \(B(0,-1+2\sqrt2)\) e \(D(0,-1-2\sqrt2)\).

3.3.

Seja \(M\) o ponto médio de \([AB]\).

\[ M=\left(\frac{-1+0}{2},\frac{-1+(-1+2\sqrt2)}{2}\right) \]

Portanto, a reta vertical que passa no meio de \([AB]\) é:

\[ x=-\frac12 \]
4.

Ponto médio com parâmetro

Considere, num referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(0,k)\), \(B(k,2k)\) e \(C(2k,3)\), com \(k\in IR\).

Determine o valor de \(k\), sabendo que \(B\) é o ponto médio de \([AC]\).

\[ \left(\frac{0+2k}{2},\frac{k+3}{2}\right)=(k,2k) \] \[ \left(k,\frac{k+3}{2}\right)=(k,2k) \] \[ \frac{k+3}{2}=2k \] \[ k+3=4k \] \[ 3=3k \] \[ k=1 \]
5.

Quadrilátero

Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o quadrilátero \([ABCD]\) cujos vértices são os pontos de coordenadas

\[ A(4,2),\quad B(-4,2) \] \[ C(-5,-2)\quad \text{e}\quad D(5,-2). \]

5.1. Classifique o quadrilátero \([ABCD]\).

5.2. Determine a área e o perímetro do quadrilátero \([ABCD]\).

5.1.

\[ d(A,B)=\sqrt{(4+4)^2+(2-2)^2}=8 \] \[ d(B,C)=\sqrt{(-4+5)^2+(2+2)^2}=\sqrt{17} \] \[ d(C,D)=\sqrt{(-5-5)^2+(-2+2)^2}=10 \] \[ d(D,A)=\sqrt{(5-4)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{17} \]

Portanto, o quadrilátero é um trapézio isósceles.

5.2.

\[ h=y_A-y_D=2-(-2)=4 \] \[ A_{[ABCD]}=\frac{CD+AB}{2}\times h \] \[ A_{[ABCD]}=\frac{10+8}{2}\times4=36 \] \[ P_{[ABCD]}=AB+2\times BC+CD \] \[ P_{[ABCD]}=8+2\sqrt{17}+10=18+2\sqrt{17} \]
6.

Pontos médios

Num plano munido de um referencial cartesiano \(Oxy\), considere os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\).

Sabe-se que:

  • \(A\) tem abcissa -2;
  • \(B\) tem ordenada 1;
  • \(D\) tem coordenadas \((7,-3)\);
  • \(B\) é o ponto médio de \([AC]\) e \(C\) é o ponto médio de \([BD]\).

Determine as coordenadas dos pontos \(A\), \(B\) e \(C\).

Pontos A, B, C e D alinhados

Consideremos \(A(-2,y_A)\), \(B(x_B,1)\), \(C(x_C,y_C)\) e \(D(7,-3)\).

\(B\) é o ponto médio de \([AC]\), então:

\[ -2+x_C=2x_B \] \[ y_A+y_C=2 \]

\(C\) é o ponto médio de \([BD]\), então:

\[ x_B+7=2x_C \] \[ y_C=-1 \]

Assim, \(y_A=3\) e:

\[ x_B=2x_C-7 \] \[ -2+x_C=2(2x_C-7) \] \[ -2+x_C=4x_C-14 \] \[ 3x_C=12 \] \[ x_C=4 \] \[ x_B=2\times4-7=1 \]

Logo, \(A(-2,3)\), \(B(1,1)\) e \(C(4,-1)\).

7.

Triângulo e segmento médio

Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos \(A(3,8)\), \(B(3,4)\) e \(C(8,6)\).

7.1. Classifique o triângulo \([ABC]\) quanto à medida do comprimento dos lados.

7.2. Determine o valor exato do comprimento do segmento de reta \([DE]\), sendo:

  • \(D\) o ponto médio do segmento \([AB]\);
  • \(E\) o ponto médio do segmento \([AC]\).

Apresente o valor pedido com denominador racional.

7.1.

\[ d(A,B)=\sqrt{(3-3)^2+(8-4)^2}=4 \] \[ d(A,C)=\sqrt{(3-8)^2+(8-6)^2}=\sqrt{29} \] \[ d(B,C)=\sqrt{(3-8)^2+(4-6)^2}=\sqrt{29} \]

Logo, o triângulo \([ABC]\) é isósceles.

7.2.

\[ D=\left(\frac{3+3}{2},\frac{8+4}{2}\right)=(3,6) \] \[ E=\left(\frac{3+8}{2},\frac{8+6}{2}\right)=\left(\frac{11}{2},7\right) \] \[ d(D,E)=\sqrt{\left(3-\frac{11}{2}\right)^2+(6-7)^2} \] \[ d(D,E)=\sqrt{\frac{25}{4}+1} \] \[ d(D,E)=\sqrt{\frac{29}{4}}=\frac{\sqrt{29}}{2} \]
8.

Hexágono regular

Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o hexágono regular \([ABCDEF]\), do qual a origem do referencial é o seu centro. Sabe-se ainda que dois dos seus vértices estão sobre o eixo das abcissas.

Determine as coordenadas de todos os vértices do hexágono, admitindo que a medida de comprimento do seu lado é igual a 4 unidades.

Hexágono regular ABCDEF centrado na origem

Sabemos que:

  • como o hexágono é regular, os triângulos que o compõem são equiláteros, então \(OA=4\) e \(OD=4\);
  • \(O\) é o centro do hexágono e é a origem do referencial, e \(CB=4\) e \(EF=4\).

Então, \(A(4,0)\), \(D(-4,0)\), \(B(2,y_B)\), \(C(-2,y_C)\), \(E(-2,y_E)\) e \(F(2,y_F)\).

\[ d(A,B)=4 \] \[ \sqrt{(4-2)^2+(0-y_B)^2}=4 \] \[ 4+y_B^2=16 \] \[ y_B^2=12 \] \[ y_B=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3 \]

Como \(y_B>0\), então \(y_B=2\sqrt3\).

Temos ainda que o ponto \(C\) tem a mesma ordenada de \(B\) e \(E\) e \(F\) têm ordenadas simétricas em relação ao eixo das abcissas.

\(A(4,0)\), \(B(2,2\sqrt3)\), \(C(-2,2\sqrt3)\), \(D(-4,0)\), \(E(-2,-2\sqrt3)\) e \(F(2,-2\sqrt3)\).

9.

Afirmações sobre ponto médio

Dados pontos \(A\) e \(B\) de um plano munido de um referencial cartesiano ortonormado e dado \(M\) o ponto médio de \([AB]\), indique o valor lógico das seguintes afirmações:

(A) Se \(A\) e \(B\) têm a mesma abcissa \(x_1\) então \(M\) tem ordenada \(x_1\).

(B) Se \(A\) e \(B\) têm abcissas simétricas então \(M\) pertence ao eixo \(Ox\).

(C) Se \(A(c,d)\) e \(B(d,c)\) então \(M\) é um ponto cuja abcissa é igual à ordenada.

(D) Se \(A\) e \(B\) têm a mesma ordenada \(y_1\) então a ordenada de \(M\) é \(y_1\).

(A)

\[ M=\left(\frac{x_1+x_1}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right) \] \[ M=\left(x_1,\frac{y_A+y_B}{2}\right) \]

Se \(A\) e \(B\) têm a mesma abcissa \(x_1\), então \(M\) tem a mesma abcissa \(x_1\).

Falsa.

(B)

\[ M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right) \]

Como \(x_B=-x_A\),

\[ M=\left(\frac{x_A-x_A}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right) \] \[ M=\left(0,\frac{y_A+y_B}{2}\right) \]

Se \(A\) e \(B\) têm abcissas simétricas, então \(M\) pertence ao eixo \(Oy\).

Falsa.

(C)

\[ M=\left(\frac{c+d}{2},\frac{d+c}{2}\right) \] \[ M=\left(\frac{c+d}{2},\frac{c+d}{2}\right) \]

Verdadeira.

(D)

\[ M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_1+y_1}{2}\right) \] \[ M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},y_1\right) \]

Verdadeira.

10.

Quadrado inscrito

Sabendo que a área do quadrado \([ABCD]\) é \(36\ \text{cm}^2\), o raio do círculo circunscrito no quadrado é igual a:

(A) \(18\ \text{cm}\) (B) \(2\sqrt3\ \text{cm}\) (C) \(6\ \text{cm}\) (D) \(3\sqrt2\ \text{cm}\)
Quadrado ABCD inscrito numa circunferência
\[ A_{[ABCD]}=36\quad \text{então}\quad AB=BC=6 \] \[ AC^2=AB^2+BC^2 \] \[ AC^2=36+36=72 \] \[ AC=\sqrt{72}=6\sqrt2 \] \[ r=\frac{AC}{2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2 \]

OPÇÃO: D

11.

Equações reduzidas

Para cada uma das seguintes retas, escreva a equação reduzida.

11.1. Reta que tem declive 2 e passa no ponto \(A(0,1)\).

11.2. Reta que tem declive 3 e passa no ponto \(B(1,7)\).

11.3. Reta que passa nos pontos \(C(1,-3)\) e \(D(-4,2)\).

11.4. Reta que passa na origem e no ponto \(E\left(\frac23,-2\right)\).

11.5. Bissetriz dos quadrantes ímpares.

11.6. Bissetriz dos quadrantes pares.

11.1.

\[ m=2\quad \text{e}\quad b=1 \] \[ y=2x+1 \]

11.2.

\[ m=3 \] \[ 7=3\times1+b \] \[ b=4 \] \[ y=3x+4 \]

11.3.

\[ m=\frac{2-(-3)}{-4-1}=\frac5{-5}=-1 \] \[ 2=-(-4)+b \] \[ b=-2 \] \[ y=-x-2 \]

11.4.

\[ y=mx \] \[ m=\frac{y}{x}=\frac{-2}{\frac23}=-3 \] \[ y=-3x \]

11.5.

\[ y=x \]

11.6.

\[ y=-x \]
12.

Triângulo retângulo

Considere, num referencia o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(2,3)\), \(B(-2,1)\) e \(C(-4,5)\).

Mostre que o triângulo \([ABC]\) é retângulo.

\[ d(A,B)=\sqrt{(-2-2)^2+(1-3)^2} \] \[ d(A,B)=\sqrt{16+4}=\sqrt{20} \] \[ d(A,C)=\sqrt{(-4-2)^2+(5-3)^2} \] \[ d(A,C)=\sqrt{36+4}=\sqrt{40} \] \[ d(B,C)=\sqrt{(-4-(-2))^2+(5-1)^2} \] \[ d(B,C)=\sqrt{4+16}=\sqrt{20} \]

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

\[ AC^2=AB^2+BC^2 \] \[ 40=20+20 \]

Logo, \([ABC]\) é um triângulo retângulo.

13.

Losango e área

Na figura ao lado está representado, num referencial o.n. \(Oxy\), um quadrilátero \([ABCD]\).

Tem-se que as coordenadas dos quatro vértices são \(A(2,-1)\); \(B(12,4)\); \(C(14,15)\); \(D(4,10)\).

13.1. Mostre que este quadrilátero é um losango.

13.2. Determine a área do quadrilátero.

Quadrilátero ABCD no referencial

13.1.

O quadrilátero é um losango se os lados forem todos iguais.

\[ d(A,B)=\sqrt{(2-12)^2+(-1-4)^2} \] \[ d(A,B)=\sqrt{100+25}=5\sqrt5 \] \[ d(B,C)=\sqrt{(12-14)^2+(4-15)^2} \] \[ d(B,C)=\sqrt{4+121}=5\sqrt5 \] \[ d(C,D)=\sqrt{(14-4)^2+(15-10)^2} \] \[ d(C,D)=\sqrt{100+25}=5\sqrt5 \] \[ d(D,A)=\sqrt{(4-2)^2+(10+1)^2} \] \[ d(D,A)=\sqrt{4+121}=5\sqrt5 \]

Logo, o quadrilátero é um losango.

13.2.

\[ AC=\sqrt{(2-14)^2+(-1-15)^2} \] \[ AC=\sqrt{144+256}=20 \] \[ BD=\sqrt{(12-4)^2+(4-10)^2} \] \[ BD=\sqrt{64+36}=10 \] \[ A_{\text{losango}}=\frac{AC\times BD}{2} \] \[ A_{\text{losango}}=\frac{20\times10}{2}=100 \]
14.

Coordenadas e ponto médio

Sejam, num referencial o.n. \(Oxy\), dois pontos \(A\) e \(B\).

Sabe-se que:

  • a abcissa de \(B\) é igual à ordenada de \(A\);
  • a ordenada de \(B\) é igual ao triplo da abcissa de \(A\);
  • o ponto médio do segmento de reta \([AB]\) tem coordenadas \((4,9)\).

Determine as coordenadas do ponto \(A\).

\(A(x_A,y_A)\) e então \(B(x_B=y_A,y_B=3x_A)\).

Logo, o ponto médio de \([AB]\) é:

\[ \left(\frac{x_A+y_A}{2},\frac{y_A+3x_A}{2}\right)=(4,9) \] \[ x_A+y_A=8 \] \[ y_A+3x_A=18 \]

Como \(y_A=8-x_A\),

\[ 8-x_A+3x_A=18 \] \[ 2x_A=10 \] \[ x_A=5 \] \[ y_A=8-5=3 \]

Logo, \(A(5,3)\).

15.

Distância entre pontos

Sejam \(P\) e \(Q\) dois pontos do plano e sejam \(a\) e \(b\) números reais. Sabe-se que as coordenadas de \(P\) são \((a,b)\).

Quais são as coordenadas do ponto \(Q\), se a distância de \(P\) a \(Q\) é dada por \(\sqrt{(a-2)^2+(b+3)^2}\)?

\[ d(P,Q)=\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2} \] \[ d(P,Q)=\sqrt{(a-2)^2+(b+3)^2} \]

Então, \(Q(2,-3)\).

16.

Ponto equidistante

Considere, um plano o.n. \(Oxy\) e os pontos \(A(-2,4)\), \(B(4,-3)\) e \(P(x,3)\), onde \(x\) é um número real.

Determine o valor de \(x\), sabendo que o ponto \(P\) é equidistante dos pontos \(A\) e \(B\).

\[ d(A,P)=d(B,P) \] \[ (x+2)^2+(3-4)^2=(x-4)^2+(3+3)^2 \] \[ x^2+4x+4+1=x^2-8x+16+36 \] \[ x^2+4x+5=x^2-8x+52 \] \[ 12x=47 \] \[ x=\frac{47}{12} \]
17.

Bissetriz e mediatriz

Considere, num plano o.n. \(Oxy\), a bissetriz do primeiro quadrante.

Sejam \(A\) e \(B\) os pontos dessa semirreta com abcissas 1 e 3, respetivamente.

17.1. Seja \(P\) um ponto pertencente à mediatriz do segmento de reta \([AB]\).

Sabe-se que a ordenada do ponto \(P\) é igual ao dobro da sua abcissa.

Determine as coordenadas do ponto \(P\).

17.2. Considere, no mesmo referencial, os pontos \(C\) e \(D\) tais que:

  • \(C\) é o ponto simétrico do ponto \(A\) em relação à origem do referencial;
  • \(D\) é o ponto simétrico do ponto \(B\) em relação ao eixo \(Oy\).

a) Determine a equação reduzida da reta \(AD\).

b) Determine os valores de \(k\) para os quais o ponto \(Q\) de coordenadas \((k,k^2)\) pertence à reta \(AD\).

c) Classifique o triângulo \([ACD]\) quanto ao comprimento e determine o valor exato da sua área.

17.1.

A bissetriz do 1.º Q pode ser definida pela condição \(y=x\wedge x\ge0\).

Assim, como \(A\) e \(B\) pertencem à semirreta definida pela condição anterior, temos que \(A(1,1)\) e \(B(3,3)\).

Seja \(P(x,y)\) o ponto da mediatriz de \([AB]\).

Então, \(d(P,A)=d(P,B)\).

\[ (x-1)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-3)^2 \] \[ x^2-2x+1+y^2-2y+1 \] \[ =x^2-6x+9+y^2-6y+9 \] \[ -2x-2y+2=-6x-6y+18 \] \[ 4x+4y=16 \] \[ y=-x+4 \]

A ordenada de \(P\) é igual ao dobro da sua abcissa, isto é, \(y=2x\).

\[ 2x=-x+4 \] \[ 3x=4 \] \[ x=\frac43 \] \[ y=2\times\frac43=\frac83 \]

Portanto, \(P\left(\frac43,\frac83\right)\).

17.2.

Como \(C\) é simétrico do ponto \(A\) em relação à origem do referencial, então \(C(-1,-1)\).

Como \(D\) é simétrico do ponto \(B\) em relação ao eixo \(Oy\), então \(D(-3,3)\).

a)

\[ y=mx+b \] \[ m=\frac{3-1}{-3-1}=\frac2{-4}=-\frac12 \] \[ y=-\frac12x+b \] \[ 1=-\frac12\times1+b \] \[ b=1+\frac12=\frac32 \] \[ AD:\ y=-\frac12x+\frac32 \]

b)

\(Q(k,k^2)\in AD\), então:

\[ k^2=-\frac12k+\frac32 \] \[ 2k^2+k-3=0 \] \[ k=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{4} \] \[ k=-\frac32\vee k=1 \]

c)

\[ AC=\sqrt{(1+1)^2+(1+1)^2}=2\sqrt2 \] \[ AD=\sqrt{(1+3)^2+(1-3)^2}=2\sqrt5 \] \[ CD=\sqrt{(-1+3)^2+(-1-3)^2}=2\sqrt5 \]

Logo, o triângulo \([ACD]\) é isósceles.

Pelo Teorema de Pitágoras:

\[ (2\sqrt5)^2=h^2+\left(\frac{2\sqrt2}{2}\right)^2 \] \[ 20=h^2+2 \] \[ h^2=18 \] \[ h=3\sqrt2 \] \[ A_{\text{triângulo}}=\frac{2\sqrt2\times3\sqrt2}{2}=6 \]