Cálculo Vetorial no Plano e Espaço

1.1. Uma equação vetorial de \(r\) é

\[ (x,y)=(-1,-2)+k(1,3),\quad k\in IR \]

Como \(\vec u(1,3)\), então \(m=3\).

\[ y=mx+b\Longrightarrow y=3x+b \] \[ -2=3(-1)+b\Longleftrightarrow b=1 \] \[ y=3x+1 \]

1.2. Como a reta é paralela ao eixo das abcissas, um vetor diretor é \((1,0)\).

\[ (x,y)=(5,-7)+k(1,0),\quad k\in IR \]

Como a reta \(r\) é paralela ao eixo das abcissas, então a equação reduzida é

\[ y=-7 \]

1.3.

\[ \begin{aligned} m&=\frac{-1-3}{4-2}=-2\\ -1&=-2\times4+b\\ b&=7 \end{aligned} \] \[ \overrightarrow{AB}=B-A=(4,-1)-(2,3)=(2,-4) \]

Como \((1,-2)\) tem a direção de \(\overrightarrow{AB}\), uma equação vetorial é

\[ (x,y)=(2,3)+k(1,-2),\quad k\in IR \] \[ y=-2x+7 \]

\[ \begin{aligned} 3\times2+a(-1)+2&=0\\ &\Longleftrightarrow -a=-8\\ &\Longleftrightarrow a=8 \end{aligned} \] \[ 3x+ay+2=0 \Longleftrightarrow y=-\frac3a x-\frac2a \]

Como \(m=3\), então

\[ -\frac3a=3 \Longleftrightarrow -a=1 \Longleftrightarrow a=-1 \]

Para ser paralela à reta \(s\), os declives das duas retas têm que ser iguais.

Como o vetor diretor de \(s\) é \(\vec v(-4,5)\), então \(m=-\frac54\).

\[ -\frac3a=-\frac54 \Longleftrightarrow \frac a3=\frac45 \Longleftrightarrow a=\frac{12}{5} \]

\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(0,1)-(2,-1)=(-2,2) \]

Portanto, uma reta vetorial da reta \(AB\) é

\[ (x,y)=(0,1)+k(-2,2),\quad k\in IR \]

A semirreta tem que começar no ponto \(A(2,-1)\) e tem que ter o sentido do vetor \(\overrightarrow{AB}\).

\[ (x,y)=(2,-1)+k(-2,2),\quad k\in IR_0^+ \] \[ (x,y)=(0,1)+k(-2,2),\quad k\in[0,1] \] \[ \begin{aligned} (1,2)&=(0,1)+k(-2,2)\\ &\Longleftrightarrow 1=-2k\ \wedge\ 2=1+2k\\ &\Longleftrightarrow k=-\frac12\ \wedge\ k=\frac12 \end{aligned} \]

Como \(-\frac12\ne\frac12\), o ponto \(C\) não pertence à reta \(AB\).

\[ (23,y)=(3,1)+k(4,5),\quad k\in IR \] \[ \begin{aligned} 23&=3+4k\ \wedge\ y=1+5k\\ &\Longleftrightarrow k=5\ \wedge\ y=1+5\times5\\ &\Longleftrightarrow k=5\ \wedge\ y=26 \end{aligned} \]

Logo, a ordenada da posição do centro do alvo, com abcissa \(23\), é \(26\).

5.1. Bissetriz dos quadrantes pares: \(y=-x\).

\[ \begin{gathered} \begin{cases} y=2x+3\\ y=-x \end{cases}\\ \Longleftrightarrow -x=2x+3\\ \Longleftrightarrow x=-1 \end{gathered} \] \[ y=-(-1)=1 \]

Portanto, o ponto tem coordenadas \((-1,1)\).

5.2. Bissetriz dos quadrantes ímpares: \(y=x\).

\[ (x,y)=(3+2k,-3-k) \] \[ \begin{aligned} -3-k&=3+2k\\ -3k&=6\\ k&=-2 \end{aligned} \] \[ x=3+2(-2)=-1,\quad y=-1 \]

Assim, o ponto tem coordenadas \((-1,-1)\).

5.3. Como \(m=2\), o vetor diretor pode ser \((1,2)\) e \((-1,1)\in r\).

\[ (x,y)=(-1,1)+k(1,2),\quad k\in IR \]

5.4.

\[ (x,y)=(3,-3)+k(2,-1),\quad k\in IR \]

5.5. A reta \(s\) tem equação reduzida

\[ y=-\frac12x-\frac32 \] \[ \begin{gathered} \begin{cases} y=2x+3\\ y=-\frac12x-\frac32 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow -\frac12x-\frac32=2x+3 \end{gathered} \] \[ \begin{aligned} -\frac12x-\frac32&=2x+3\\ &\Longleftrightarrow -x-3=4x+6\\ &\Longleftrightarrow -5x=9\\ &\Longleftrightarrow x=-\frac95 \end{aligned} \] \[ y=2\left(-\frac95\right)+3=-\frac35 \] \[ P\left(-\frac95,-\frac35\right) \]

5.6. Interseção de \(r\) com o eixo das abcissas:

\[ 2x+3=0 \Longleftrightarrow x=-\frac32 \]

Interseção de \(s\) com o eixo das abcissas:

\[ -\frac12x-\frac32=0 \Longleftrightarrow -x-3=0 \Longleftrightarrow x=-3 \] \[ \begin{aligned} A_{[PRS]} &=\frac{\left|x_R-x_S\right|\times\left|y_P\right|}{2}\\ &=\frac{\frac32\times\frac35}{2}\\ &=\frac{9}{20} \end{aligned} \]

6.1. Ponto \(A\):

\[ (0,y)=(-4,9)+k(4,-3) \] \[ \begin{aligned} 0&=-4+4k\ \wedge\ y=9-3k\\ &\Longleftrightarrow k=1\ \wedge\ y=6 \end{aligned} \] \[ A(0,6): \]

Ponto \(B\):

\[ (x,0)=(-4,9)+k(4,-3) \] \[ \begin{aligned} x&=-4+4k\ \wedge\ 0=9-3k\\ &\Longleftrightarrow x=8\ \wedge\ k=3 \end{aligned} \] \[ B(8,0): \]

6.2. Qualquer ponto da reta \(r\) tem coordenadas \((x,y)=(-4+4k,9-3k)\).

Como \(C\) é a interseção de \(r\) com \(s\), então substituindo na reta \(s\) temos:

\[ 9-3k=-2(-4+4k)+11 \] \[ -3k+8k=-9+19 \Longleftrightarrow k=2 \] \[ C(-4+4\times2,9-3\times2)=(4,3) \]

c.q.m.

6.3.

\[ \begin{gathered} C(4,3)\\ r_E=\overline{OC}=\sqrt{3^2+4^2}=5 \end{gathered} \] \[ (x-4)^2+(y-3)^2=25 \]

6.4. Comecemos por verificar se os pontos \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência.

\[ A(0,6) \] \[ \begin{aligned} (0-4)^2+(6-3)^2&=25\\ &\Longleftrightarrow 25=25 \end{aligned} \] \[ B(8,0) \] \[ \begin{aligned} (8-4)^2+(0-3)^2&=25\\ &\Longleftrightarrow 25=25 \end{aligned} \]

Se o ponto médio de \([AB]\) for igual a \(C\), então \([AB]\) é um diâmetro da circunferência.

\[ M\left(\frac{0+8}{2},\frac{6+0}{2}\right)=(4,3) \]

Logo, \(M=C\), e portanto \([AB]\) é um diâmetro da circunferência.

6.5. Reta \(r\):

\[ (x,y)=(-4,9)+k(4,-3),\quad k\in IR \] \[ m=-\frac34,\quad y=-\frac34x+b \] \[ 6=-\frac34\times0+b \Longleftrightarrow b=6 \] \[ y=-\frac34x+6 \]

Reta \(s\):

\[ y=-2x+11,\quad \vec v=(1,-2) \] \[ (x,y)=(0,11)+k(1,-2),\quad k\in IR \]

7.1.

\[ 4x-3y=16 \Longleftrightarrow y=\frac43x-\frac{16}{3} \]

Então, o vetor diretor da reta é \((3,4)\) e \(\left(0,-\frac{16}{3}\right)\) pertence à reta.

\[ \begin{gathered} AB:(x,y)=\left(0,-\frac{16}{3}\right)+k(3,4)\\ k\in IR \end{gathered} \]

7.2. A reta \(CD\) é paralela a \(AB\), logo tem o mesmo declive e \(C\) pertence à reta \(CD\).

\[ 5=\frac43\times3+b \Longleftrightarrow b=1 \] \[ D(0,1) \]

O ponto \(A\) pertence ao eixo \(Ox\), então

\[ 4x-3\times0=16 \Longleftrightarrow x=4 \] \[ A(4,0) \] \[ m_{AD}=\frac{0-1}{4-0}=-\frac14 \] \[ AD:y=-\frac14x+1 \]

7.3.

\[ \overrightarrow{DC}=C-D=(3,5)-(0,1)=(3,4) \] \[ B=A+\overrightarrow{DC}=(4,0)+(3,4)=(7,4) \]

8.1. Coordenadas do ponto \(A\):

\[ \begin{aligned} (x,y,z)&=(0,3,0)+k(-4,3,0)\\ &=(-4k,3+3k,0) \end{aligned} \]

Como \(A\) pertence ao eixo \(Ox\), então \(y=0\), logo \(k=-1\) e \(A(4,0,0)\).

Como \(B\) pertence ao eixo \(Oy\), então \(x=0\), logo \(k=0\) e \(B(0,3,0)\).

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=B-A\\ &=(0,3,0)-(4,0,0)\\ &=(-4,3,0) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BG}&=G-B\\ &=(6,11,0)-(0,3,0)\\ &=(6,8,0) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \overline{AB}&=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5\\ \overline{BG}&=\sqrt{6^2+8^2}=10 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_{[ABCDEFGH]}&=\overline{AB}\times\overline{BG}\times\overline{AD}\\ &=5\times10\times6=300 \end{aligned} \]

8.2.

\[ C(0,3,6) \] \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CG}&=G-C\\ &=(6,11,0)-(0,3,6)\\ &=(6,8,-6) \end{aligned} \] \[ \begin{gathered} CG:(x,y,z)=(0,3,6)+k(6,8,-6)\\ k\in IR \end{gathered} \]

No plano \(Oxz\), a ordenada é nula.

\[ \begin{aligned} x&=6k\\ 0&=3+8k\\ z&=6-6k \end{aligned} \Longleftrightarrow k=-\frac38 \] \[ x=-\frac94,\quad z=\frac{33}{4} \] \[ P\left(-\frac94,0,\frac{33}{4}\right) \]

8.3.

\[ \begin{aligned} F&=G+\overrightarrow{AD}\\ &=(6,11,0)+(0,0,6)\\ &=(6,11,6) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} H&=G+\overrightarrow{BA}\\ &=(6,11,0)+(4,-3,0)\\ &=(10,8,0) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AF}&=F-A\\ &=(6,11,6)-(4,0,0)\\ &=(2,11,6) \end{aligned} \]

Uma equação vetorial da reta \(r\), paralela a \(AF\) e que passa no ponto \(H\), é

\[ \begin{gathered} (x,y,z)=(10,8,0)+k(2,11,6)\\ k\in IR \end{gathered} \]

Como \(Q\) pertence ao plano \(Oyz\), então \(x=0\).

\[ 0=10+2k \Longleftrightarrow k=-5 \] \[ \begin{aligned} y&=8+11(-5)=-47\\ z&=6(-5)=-30 \end{aligned} \] \[ Q(0,-47,-30) \]

9.1. Como \(B\) pertence ao semieixo positivo \(Ox\), então as coordenadas de \(B\) são do tipo \((x_B,0,0)\), \(x_B>0\).

\[ \begin{aligned} x_B^2+0^2+0^2-25&=0\\ &\Longleftrightarrow x_B^2=25\\ &\Longleftrightarrow x_B=5 \end{aligned} \] \[ B(5,0,0) \]

Um vetor diretor da reta é \((0,0,1)\), porque a reta é paralela ao eixo das cotas.

\[ \begin{gathered} (x,y,z)=(5,0,0)+k(0,0,1)\\ k\in IR \end{gathered} \]

9.2 a) Seja \(C\) o centro da circunferência. Pelo triângulo retângulo formado,

\[ 5^2=4^2+k^2 \Longleftrightarrow k^2=9 \Longleftrightarrow k=3 \]

pois \(k>0\).

b) O ponto \(A\) pertence ao plano \(Oyz\), então as coordenadas são do tipo \((0,y_A,z_A)\), com \(y_A,z_A\in IR^+\).

Como \(z=3\), a circunferência obtida pela interseção do plano com a superfície esférica é

\[ x^2+y^2=16\quad\text{e}\quad z=3 \] \[ \begin{aligned} 0^2+y_A^2=16\ &\wedge\ z_A=3\\ &\Longleftrightarrow y_A=4\ \wedge\ z_A=3 \end{aligned} \] \[ A(0,4,3) \]

c)

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=B-A\\ &=(5,0,0)-(0,4,3)\\ &=(5,-4,-3) \end{aligned} \] \[ \begin{gathered} (x,y,z)=(0,4,3)+k(5,-4,-3)\\ k\in IR \end{gathered} \]

10.1.

\[ (12,-12)=(3,-6)+k(3,-2) \] \[ \begin{aligned} 12&=3+3k &&\Longleftrightarrow k=3\\ -12&=-6-2k &&\Longleftrightarrow k=3 \end{aligned} \]

Logo, \(R\in r\).

\[ (-15,4)=(3,-6)+k(3,-2) \] \[ \begin{aligned} -15&=3+3k &&\Longleftrightarrow k=-6\\ 4&=-6-2k &&\Longleftrightarrow k=-5 \end{aligned} \]

Logo, \(S\notin r\).

10.2. Coordenadas do ponto \(A\):

\[ (x,0)=(3,-6)+k(3,-2) \] \[ \begin{aligned} x&=3+3k\\ 0&=-6-2k \end{aligned} \Longleftrightarrow \begin{aligned} k&=-3\\ x&=-6 \end{aligned} \] \[ A(-6,0) \]

Coordenadas do ponto \(B\):

\[ (0,y)=(3,-6)+k(3,-2) \] \[ \begin{aligned} 0&=3+3k\\ y&=-6-2k \end{aligned} \Longleftrightarrow \begin{aligned} k&=-1\\ y&=-4 \end{aligned} \] \[ B(0,-4) \]

A mediatriz de qualquer corda de uma circunferência passa pelo centro desta.

\[ (x+6)^2+y^2=x^2+(y+4)^2 \] \[ 12x+36=8y+16 \Longleftrightarrow y=\frac32x+\frac52 \]

Interseção da mediatriz de \([AB]\) com a bissetriz dos quadrantes ímpares:

\[ \begin{cases} y=x\\ y=\frac32x+\frac52 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=-5\\ y=-5 \end{cases} \] \[ C(-5,-5) \] \[ \begin{aligned} r&=\overline{AC}\\ &=\sqrt{(-5+6)^2+(-5-0)^2}\\ &=\sqrt{26} \end{aligned} \] \[ (x+5)^2+(y+5)^2=26 \]

11.1.

\[ \begin{aligned} V_{\text{cilindro}} &=\overline{BC}^{\,2}\times\pi\times\overline{AB}\\ &\Longleftrightarrow \overline{BC}^{\,2} =\frac{\sqrt{1025}\pi}{\pi\times\overline{AB}} \end{aligned} \]

\(A\) pertence a \(Oy\), então \(x=0\) e \(z=0\).

\[ \begin{aligned} (x,y,z)&=(10,-4,0)+k(5,-4,0)\\ &\Longleftrightarrow \begin{cases} x=10+5k\\ y=-4-4k\\ z=0 \end{cases} \end{aligned} \] \[ 0=10+5k \Longleftrightarrow k=-2 \] \[ y=-4-4(-2)=4 \] \[ A(0,4,0) \]

\(B\) pertence a \(Ox\), então \(y=0\) e \(z=0\).

\[ 0=-4-4k \Longleftrightarrow k=-1 \] \[ x=10+5(-1)=5 \] \[ B(5,0,0) \] \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=B-A\\ &=(5,0,0)-(0,4,0)\\ &=(5,-4,0) \end{aligned} \] \[ \left\|\overrightarrow{AB}\right\|=\sqrt{5^2+(-4)^2}=\sqrt{41} \] \[ \begin{aligned} \overline{BC}^{\,2} &=\frac{\sqrt{1025}}{\sqrt{41}}\\ &=\sqrt{25}=5 \end{aligned} \] \[ \overline{BC}=\sqrt5 \]

11.2. Como \(P\) pertence à reta \(AB\), então as coordenadas de \(P\) são do tipo

\[ (x,y,z)=(10+5k,-4-4k,0) \] \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AP}&=P-A\\ &=(10+5k,-4-4k,0)-(0,4,0)\\ &=(10+5k,-8-4k,0) \end{aligned} \]

Como \(\left\|\overrightarrow{AP}\right\|=2\sqrt{41}\), então

\[ \sqrt{(10+5k)^2+(-8-4k)^2}=2\sqrt{41} \] \[ (5k+10)^2+(-4k-8)^2=(2\sqrt{41})^2 \] \[ \begin{aligned} 25k^2+100k+100+16k^2&\\ {}+64k+64&=164 \end{aligned} \] \[ 41k^2+164k=0 \Longleftrightarrow k(41k+164)=0 \] \[ k=0\ \vee\ k=-4 \]

Se \(k=0\), então \(P(10,-4,0)\).

Se \(k=-4\), então

\[ \begin{aligned} P&=(10+5(-4),-4-4(-4),0)\\ &=(-10,12,0) \end{aligned} \]

12.1.

\[ V_{\text{cubo}}=512 \Longleftrightarrow l^3=512 \Longleftrightarrow l=8 \] \[ \begin{gathered} P(8,4,8),\quad Q(0,6,8)\\ S(8,8,3) \end{gathered} \] \[ \begin{aligned} \overrightarrow{PS}&=S-P\\ &=(8,8,3)-(8,4,8)\\ &=(0,4,-5) \end{aligned} \]

Como as retas \(PS\) e \(QR\) são paralelas, então \(\overrightarrow{PS}\) é vetor diretor da reta \(QR\).

\[ \begin{gathered} QR:(x,y,z)=(0,6,8)+k(0,4,-5)\\ k\in IR \end{gathered} \]

Como \(R\) pertence à aresta \([CD]\), então \(R(0,8,z_R)\).

\[ (x,y,z)=(0,6+4k,8-5k) \] \[ 8=6+4k \Longleftrightarrow k=\frac12 \] \[ z=8-5\left(\frac12\right)=\frac{11}{2} \] \[ R\left(0,8,\frac{11}{2}\right) \]

12.2. Uma equação vetorial da reta \(PS\) é

\[ \begin{gathered} (x,y,z)=(8,8,3)+k(0,4,-5)\\ k\in IR \end{gathered} \]

Qualquer ponto do plano \(Oxy\) tem cota \(0\).

\[ (x,y,z)=(8,8+4k,3-5k) \] \[ 3-5k=0 \Longleftrightarrow k=\frac35 \] \[ \begin{aligned} I(x,y,z)&=\left(8,8+4\times\frac35,0\right)\\ &=\left(8,\frac{52}{5},0\right) \end{aligned} \] \[ A_{[AEI]}=\frac{\overline{AE}\times\overline{AI}}{2} \] \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AE}&=E-A\\ &=(0,0,8)-(8,0,0)\\ &=(-8,0,8) \end{aligned} \] \[ \left\|\overrightarrow{AE}\right\| =\sqrt{(-8)^2+8^2} =8\sqrt2 \] \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AI}&=I-A\\ &=\left(8,\frac{52}{5},0\right)-(8,0,0)\\ &=\left(0,\frac{52}{5},0\right) \end{aligned} \] \[ \left\|\overrightarrow{AI}\right\|=\frac{52}{5} \] \[ A_{[AEI]} =\frac{8\sqrt2\times\frac{52}{5}}{2} =\frac{208\sqrt2}{5} \]

13.1.

\[ A_{[ABC]}=\frac{\overline{AC}\times |y_B|}{2} \]

\(A\) tem coordenadas \((x_A,0)\) e pertence à reta \(r\), então

\[ ax_A+b=0 \Longleftrightarrow x_A=-\frac ba \] \[ A\left(-\frac ba,0\right) \]

\(C\) tem coordenadas \((x_C,0)\) e pertence à reta \(s\), então

\[ (x_C,0)=(0,b)+k(2,-a) \] \[ \begin{aligned} x_C&=2k\\ 0&=b-ka \end{aligned} \Longleftrightarrow k=\frac ba \] \[ x_C=\frac{2b}{a} \] \[ \begin{aligned} \overline{AC} &=\left|x_C-x_A\right|\\ &=\left|\frac{2b}{a}-\left(-\frac ba\right)\right|\\ &=\frac{3b}{a} \end{aligned} \]

Coordenadas do ponto \(B\), interseção das retas \(r\) e \(s\):

\[ \begin{gathered} (x,y)=(0,b)+k(2,-a)\\ \Longleftrightarrow \begin{cases} x=2k\\ y=b-ka \end{cases} \end{gathered} \] \[ k=\frac x2 \Longrightarrow y=b-\frac x2a =-\frac a2x+b \] \[ \begin{gathered} \begin{cases} y=ax+b\\ y=-\frac a2x+b \end{cases}\\ \Longleftrightarrow -\frac a2x+b=ax+b \end{gathered} \] \[ -ax=2ax \Longleftrightarrow -3ax=0 \Longleftrightarrow x=0 \] \[ y=b \] \[ B(0,b) \] \[ A_{[ABC]} =\frac{\frac{3b}{a}\times b}{2} =\frac{3b^2}{2a} \]

c.q.m.

13.2.

\[ A_{[ABC]}=48 \Longleftrightarrow \frac{3b^2}{2a}=48 \]

Como \(\vec u\left(\frac14,\frac12\right)\) é paralelo a um dos lados, consideremos primeiro que \(\vec u\) é paralelo à reta \(s\).

\[ \vec u=k\vec v \Longleftrightarrow \left(\frac14,\frac12\right)=k(2,-a) \] \[ \begin{cases} \frac14=2k\\ \frac12=-ak \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} k=\frac18\\ a=-4 \end{cases} \] \[ \frac{3b^2}{2(-4)}=48 \Longleftrightarrow b^2=\frac{-8\times48}{3} \]

Impossível, logo \(\vec u\) não pode ser paralelo à reta \(s\).

\(\vec u\) é paralelo à reta \(r:y=ax+b\), cujo vetor diretor é \((1,a)\).

\[ \begin{gathered} \left(\frac14,\frac12\right)=k(1,a)\\ \Longleftrightarrow \begin{cases} k=\frac14\\ a\cdot\frac14=\frac12 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow \begin{cases} k=\frac14\\ a=2 \end{cases} \end{gathered} \] \[ \begin{aligned} \frac{3b^2}{2\times2}&=48\\ &\Longleftrightarrow b^2=\frac{4\times48}{3}\\ &\Longleftrightarrow b^2=64\\ &\Longleftrightarrow b=8 \end{aligned} \]

Logo, as coordenadas são:

\[ A\left(-\frac ba,0\right)=(-4,0) \] \[ B(0,8) \] \[ C\left(\frac{2b}{a},0\right)=(8,0) \] \[ \overline{AB} =\sqrt{(-4-0)^2+(0-8)^2} =4\sqrt5 \] \[ \overline{AC} =\sqrt{(-4-8)^2}=12 \] \[ \overline{BC} =\sqrt{(0-8)^2+(8-0)^2} =8\sqrt2 \] \[ P_{[ABC]}=12+4\sqrt5+8\sqrt2 \]