Cálculo Vetorial no Plano

Vetores, coordenadas de um vetor e operações

Vetores, Coordenadas de um Vetor, Operações

1.

Retângulo dividido em seis retângulos congruentes

Na figura está representado o retângulo \([ABCD]\), o qual foi dividido em seis retângulos congruentes.

1.1. Complete de modo a obter proposições verdadeiras.

a) \(A+\overrightarrow{FE}= \ldots\ldots\)
b) \(\ldots\ldots+\overrightarrow{EH}=L\)
c) \(\overrightarrow{FJ}+\overrightarrow{LK}= \ldots\ldots\)
d) \(\overrightarrow{DC}+ \ldots\ldots = \overrightarrow{IL}\)
e) \(\overrightarrow{AK}+ \ldots\ldots = \overrightarrow{IC}\)
f) \(\overrightarrow{IL}- \ldots\ldots = \overrightarrow{FE}\)

1.2. Admita que \(\left\|\overrightarrow{AI}\right\|=3\) e \(\left\|\overrightarrow{AL}\right\|=4\). Determine:

a) \(\left\|\overrightarrow{HF}\right\|\)
b) \(\left\|\overrightarrow{LI}\right\|\)
c) \(\left\|\overrightarrow{AC}\right\|\)
d) \(\left\|\overrightarrow{HC}-\overrightarrow{AH}\right\|\)
Retângulo ABCD dividido em seis retângulos congruentes

Resolução

\[ \begin{aligned} \text{a) }& A+\overrightarrow{FE}=A+\overrightarrow{AJ}=J\\ \text{b) }& I+\overrightarrow{IL}=I+\overrightarrow{EH}=L\\ \text{c) }& \overrightarrow{FJ}+\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{FJ}+\overrightarrow{JH}=\overrightarrow{FH}\\ \text{d) }& \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{IL}\\ \text{e) }& \overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{IC}\\ \text{f) }& \overrightarrow{IL}-\overrightarrow{GL}=\overrightarrow{IL}+\overrightarrow{LG}=\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{FE} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \text{a) }&\left\|\overrightarrow{HF}\right\|=2\left\|\overrightarrow{AL}\right\|=2\times4=8\\ \text{b) }&\left\|\overrightarrow{LI}\right\|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\\ \text{c) }&\left\|\overrightarrow{AC}\right\|=\sqrt{(2\times4)^2+(3\times3)^2}=\sqrt{145}\\ \text{d) }&\left\|\overrightarrow{HC}-\overrightarrow{AH}\right\|=\left\|\overrightarrow{HI}\right\|=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73} \end{aligned} \]
2.

Hexágono regular

Na figura está representado o hexágono regular \([ABCDEF]\) cujo centro é o ponto \(O\). Sabe-se que \(\vec u=\overrightarrow{OC}\) e \(\vec v=\overrightarrow{OE}\).

Usando as operações adição de vetores e produto de um número real por um vetor, represente cada um dos seguintes vetores em função de \(\vec u\) e \(\vec v\).

2.1. \(\overrightarrow{OD}\)
2.2. \(\overrightarrow{AD}\)
2.3. \(\overrightarrow{EF}\)
2.4. \(\overrightarrow{CF}\)
Hexágono regular ABCDEF com vetores u e v

Resolução

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{OD}&=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}=\vec u+\overrightarrow{OE}=\vec u+\vec v\\ \overrightarrow{AD}&=2\overrightarrow{OD}=2(\vec u+\vec v)=2\vec u+2\vec v\\ \overrightarrow{EF}&=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{OF}=-\vec v+\overrightarrow{CO}=-\vec v-\vec u\\ \overrightarrow{CF}&=2\overrightarrow{CO}=2(-\vec u)=-2\vec u \end{aligned} \]
3.

Simplifique

Simplifique:

3.1. \(\left(\frac12-\frac13\right)\vec u+\left(\frac23-\frac12\right)\vec v+\frac56(\vec u+\vec v)\)
3.2. \(-2(\vec a-\vec b)+2\vec b-(-\vec a+\vec b)\)
3.3. \(-\frac23(\vec x-3\vec y)-\frac13\left(-9\vec x+\frac32\vec y\right)\)
3.4. \(\frac25(10\vec a-2\vec b)-\frac32\left(-4\vec a+\frac{2}{15}\vec b\right)\)

Resolução

\[ \left(\frac12-\frac13\right)\vec u+\left(\frac23-\frac12\right)\vec v+\frac56(\vec u+\vec v) =\frac16\vec u+\frac16\vec v+\frac56\vec u+\frac56\vec v=\vec u+\vec v \] \[ -2(\vec a-\vec b)+2\vec b-(-\vec a+\vec b) =-2\vec a+2\vec b+2\vec b+\vec a-\vec b=-\vec a+3\vec b \] \[ \begin{aligned} -\frac23(\vec x-3\vec y)-\frac13\left(-9\vec x+\frac32\vec y\right) &=-\frac23\vec x+2\vec y+3\vec x-\frac12\vec y\\ &=\left(-\frac23+3\right)\vec x+\left(2-\frac12\right)\vec y\\ &=\frac73\vec x+\frac32\vec y \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \frac25(10\vec a-2\vec b)-\frac32\left(-4\vec a+\frac{2}{15}\vec b\right) &=4\vec a-\frac45\vec b+6\vec a-\frac{3}{15}\vec b\\ &=10\vec a+\left(-\frac{12}{15}-\frac{3}{15}\right)\vec b\\ &=10\vec a-\vec b \end{aligned} \]
4.

Triângulo decomposto em triângulos equiláteros

Na figura está representado o triângulo \([ONJ]\), decomposto em 16 triângulos equiláteros congruentes, cuja medida do lado é tomada por unidade.

Considere os vetores \(\vec u\) e \(\vec v\) definidos por:

\[ \vec u=\overrightarrow{BH}+\frac12\overrightarrow{EJ} \quad\text{e}\quad \vec v=\frac12\overrightarrow{ON}+2\overrightarrow{HG} \]

Determine o valor do número real \(k\), sabendo que \(\vec u=k\vec v\).

Triângulo ONJ decomposto em dezasseis triângulos equiláteros congruentes

Resolução

\[ \vec u=\overrightarrow{BH}+\frac12\overrightarrow{EJ} =\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{EG} =\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HK} =\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{OF} \] \[ \vec v=\frac12\overrightarrow{ON}+2\overrightarrow{HG} =\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EC} =\overrightarrow{OC} \]

Como \(\overrightarrow{OF}=\frac32\overrightarrow{OC}\), isto é, \(\vec u=\frac32\vec v\), podemos concluir que \(k=\frac32\).

5.

Cubo e pirâmide

Na figura, estão representados o cubo \([ABCDEFGH]\) de aresta 3 e a pirâmide \([EFGHV]\) em que o vértice \(E\) pertence a \([DV]\).

Sabe-se que o volume do sólido formado pelo cubo e pela pirâmide é igual a 33.

5.1. Mostre que \(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{AD}\)
5.2. Mostre que \(\left\|\overrightarrow{EV}\right\|=2\)
5.3. Justifique que existe \(k\in IR\) tal que \(\overrightarrow{GB}=k\overrightarrow{EV}\) e determine o valor de \(k\).
Cubo ABCDEFGH e pirâmide EFGHV

Resolução

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{GD} &=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AD})\\ &=2\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HD})\\ &=2\overrightarrow{AD}+\vec0=2\overrightarrow{AD} \end{aligned} \]

c.q.m.

\[ V_{\text{sólido}}=V_{\text{cubo}}+V_{\text{pirâmide}} \Longleftrightarrow 33=3^3+\frac13\times3^2\times\left\|\overrightarrow{EV}\right\| \] \[ 3\left\|\overrightarrow{EV}\right\|=33-27 \Longleftrightarrow \left\|\overrightarrow{EV}\right\|=\frac63 \Longleftrightarrow \left\|\overrightarrow{EV}\right\|=2 \]

c.q.m.

Os vetores \(\overrightarrow{EV}\) e \(\overrightarrow{GB}\) são colineares.

\[ \left\|\overrightarrow{GB}\right\|=\left\|k\overrightarrow{EV}\right\| \Longleftrightarrow \left\|\overrightarrow{GB}\right\|=|k|\left\|\overrightarrow{EV}\right\| \Longleftrightarrow 3=|k|\times2 \Longleftrightarrow |k|=\frac32 \]

Como os vetores \(\overrightarrow{EV}\) e \(\overrightarrow{GB}\) têm sentidos opostos, \(k<0\). Portanto, \(k=-\frac32\).

6.

Diagonais de um paralelogramo

Mostre que as diagonais de um paralelogramo se bissetam.

Sugestão:

  • prove que \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}\);
  • considere \(M\) e \(N\) pontos médios de \([AC]\) e \([BD]\), respetivamente, e prove que \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AM}\).
Paralelogramo ABCD com diagonais

Resolução

\[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} =2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DC} =2\overrightarrow{AD}+\vec0=2\overrightarrow{AD} \]

Seja \(M\) e \(N\) pontos médios de \([AC]\) e \([BD]\), respetivamente.

\[ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN} =\frac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}) =\overrightarrow{AD} \quad\text{e}\quad \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{ND} =\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN} \] \[ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN} =\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AN} \] \[ \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN} \quad\text{e}\quad \overrightarrow{MN}=\vec0 \]
7.

Triângulo equilátero

Na figura, está representado um triângulo equilátero \([ABC]\).

Os pontos \(D\), \(E\) e \(F\) são os pontos médios dos lados do triângulo.

A área do triângulo \([ABC]\) é 16.

Sejam \(X\), \(Y\) e \(Z\) três pontos.

Sabe-se que:

  • \(X=B-\frac12\overrightarrow{AD}\);
  • \(Y=C-\overrightarrow{DF}+\frac12\overrightarrow{FA}\);
  • \(Z=A-2\left(\overrightarrow{CF}+\frac34\overrightarrow{DF}\right)\).

Determine a área do triângulo \([XYZ]\).

Triângulo equilátero ABC com pontos médios D, E e F

Resolução

\[ X=B-\frac12\overrightarrow{AD}=B+\frac12\overrightarrow{DA}, \quad\text{então, } X \text{ é ponto médio de } [BD] \] \[ Y=C-\overrightarrow{DF}+\frac12\overrightarrow{FA} =C+\overrightarrow{FD}+\frac12\overrightarrow{FA} =E+\frac12\overrightarrow{FA}, \quad\text{então, } Y \text{ é ponto médio de } [DE] \] \[ \begin{aligned} Z&=A-2\left(\overrightarrow{CF}+\frac34\overrightarrow{DF}\right)\\ &=A+2\overrightarrow{FC}+\frac32\overrightarrow{FD} =C+\frac32\overrightarrow{FD} =C+\frac32\overrightarrow{CE}, \end{aligned} \]

então, \(Z\) é ponto médio de \([BE]\).

Obtemos o seguinte triângulo:

Triângulo subdividido com pontos X, Y e Z
\[ \text{Logo,}\quad A_{[XYZ]}=\frac{1}{16}A_{[ABC]}=\frac{1}{16}\times16=1 \]
8.

Coordenadas de vetores

Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os vetores \(\vec u(-2,5)\) e \(\vec v(3,-4)\).

Determine as coordenadas do vetor:

8.1. \(\vec w\) tal que \(\vec w=-\frac12\vec u-\vec v\)
8.2. \(\vec x\) tal que \(\vec x=\frac25\vec u-\frac15\vec v\)
8.3. \(\vec y\) tal que \(\frac32\vec u=2\vec y+\frac13\vec v\)
8.4. \(\vec t\) tal que \(-\vec u=\frac12\vec t-\frac23\vec v\)

Resolução

\[ \vec w=-\frac12(-2,5)-(3,-4)=\left(1,-\frac52\right)-(3,-4)=\left(-2,\frac32\right) \] \[ \vec x=\frac25(-2,5)-\frac15(3,-4)=\left(-\frac45,2\right)-\left(\frac35,-\frac45\right)=\left(-\frac75,\frac{14}{5}\right) \] \[ \begin{aligned} \frac32\vec u&=2\vec y+\frac13\vec v \Longleftrightarrow 2\vec y=\frac32\vec u-\frac13\vec v \Longleftrightarrow \vec y=\frac34\vec u-\frac16\vec v\\ &\Longleftrightarrow \vec y=\frac34(-2,5)-\frac16(3,-4) \Longleftrightarrow \vec y=\left(-\frac32,\frac{15}{4}\right)-\left(\frac12,-\frac23\right)\\ &\Longleftrightarrow \vec y=\left(-2,\frac{53}{12}\right) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} -\vec u&=\frac12\vec t-\frac23\vec v \Longleftrightarrow \frac12\vec t=\frac23\vec v-\vec u \Longleftrightarrow \vec t=\frac43\vec v-2\vec u\\ &\Longleftrightarrow \vec t=\frac43(3,-4)-2(-2,5) \Longleftrightarrow \vec t=\left(4,-\frac{16}{3}\right)-(-4,10)\\ &\Longleftrightarrow \vec t=\left(8,-\frac{46}{3}\right) \end{aligned} \]
9.

Operações com pontos

Considere, num plano munido de um referencial o.n. \(Oxy\), os pontos:

\[ A(-1,2),\quad B(-4,-3)\quad\text{e}\quad C\left(1,-\frac12\right) \]

Determine as coordenadas do vetor:

9.1. \(\vec u=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\)
9.2. \(\vec v=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\)
9.3. \(\vec t=2\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}\)
9.4. \(\vec w=\frac13\overrightarrow{BA}-\frac25\overrightarrow{CB}\)

Resolução

\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(-4,-3)-(-1,2)=(-3,-5) \quad\text{e}\quad \overrightarrow{CA}=A-C=(-1,2)-\left(1,-\frac12\right)=\left(-2,\frac52\right) \] \[ \vec u=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=(-3,-5)+\left(-2,\frac52\right)=\left(-5,-\frac52\right) \] \[ \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}=\left(2,-\frac52\right) \quad\text{e}\quad \overrightarrow{BC}=C-B=\left(1,-\frac12\right)-(-4,-3)=\left(5,\frac52\right) \] \[ \vec v=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC} =\left(2,-\frac52\right)-\left(5,\frac52\right)=(-3,-5) \] \[ \overrightarrow{AC}=\left(2,-\frac52\right),\quad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=(3,5),\quad \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=\left(-5,-\frac52\right) \] \[ \vec t=2\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB} =2\left(2,-\frac52\right)-3(3,5)+\left(-5,-\frac52\right) =\left(-10,-\frac{45}{2}\right) \] \[ \vec w=\frac13\overrightarrow{BA}-\frac25\overrightarrow{CB} =\frac13(3,5)-\frac25\left(-5,-\frac52\right) =\left(1,\frac53\right)-(-2,-1)=\left(7,\frac83\right) \]
10.

Paralelogramo \(ABCD\)

Num plano munido de um referencial o.n. \(Oxy\) sabe-se que os pontos \(A(5,-1)\), \(B(-1,3)\) e \(C(-4,-2)\) são vértices de um paralelogramo \([ABCD]\).

10.1. Determine as coordenadas do ponto \(D\)
10.2. Determine a norma do vetor \(\vec w\), sabendo que \(\vec w=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{DB}\)
10.3. O paralelogramo \([ABCD]\) é um retângulo? Justifique.
10.4. Mostre que a equação \(x^2+y^2-4x-2y-44=0\) define a circunferência cujo centro é ponto médio de \([AB]\) e que passa no ponto \(D\).
Paralelogramo ABCD

Resolução

\[ D=A+\overrightarrow{BC} =A+(C-B) =A+[(-4,-2)-(-1,3)] =(5,-1)+(-3,-5)=(2,-6) \] \[ \overrightarrow{CA}=A-C=(5,-1)-(-4,-2)=(9,1) \] \[ \overrightarrow{DB}=B-D=(-1,3)-(2,-6)=(-3,9) \] \[ \vec w=(9,1)-(-3,9)=(12,-8) \] \[ \left\|\vec w\right\|=\sqrt{12^2+(-8)^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13} \]

1.º processo:

Se as diagonais do paralelogramo forem iguais, então é retângulo.

\[ \left\|\overrightarrow{CA}\right\|=\sqrt{9^2+1^2}=\sqrt{82} \quad\text{e}\quad \left\|\overrightarrow{DB}\right\|=\sqrt{(-3)^2+9^2}=\sqrt{90} \]

Como \(\left\|\overrightarrow{CA}\right\|\ne\left\|\overrightarrow{DB}\right\|\), o paralelogramo não é um retângulo.

2.º processo:

Se se verificar o Teorema de Pitágoras no, por exemplo, triângulo \([ABC]\) então é um retângulo.

\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(-1,3)-(5,-1)=(-6,4) \] \[ \overrightarrow{BC}=C-B=(-4,-2)-(-1,3)=(-3,-5) \quad\text{e}\quad \overrightarrow{CA}=(9,1) \] \[ \left\|\overrightarrow{CA}\right\|^2=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|^2+\left\|\overrightarrow{BC}\right\|^2 \Longleftrightarrow (\sqrt{90})^2=\left(\sqrt{(-6)^2+4^2}\right)^2+\left(\sqrt{(-3)^2+(-5)^2}\right)^2 \] \[ \Longleftrightarrow 90=52+34 \Longleftrightarrow 90=86 \quad\text{P.F.} \]

Logo, \([ABCD]\) não é um retângulo.

\[ M=A+\frac12\overrightarrow{AB} =(5,-1)+\frac12(-6,4) =(5,-1)+(-3,2)=(2,1) \] \[ \overline{MD}=\sqrt{(2-2)^2+(-6-1)^2}=\sqrt{49}=7 \] \[ x^2+y^2-4x-2y-44=0 \Longleftrightarrow x^2-4x+2^2-2^2+y^2-2y+1^2-1^2=44 \] \[ \Longleftrightarrow (x-2)^2+(y-1)^2=44+4+1 \Longleftrightarrow (x-2)^2+(y-1)^2=49 \]

c.q.m.

11.

Vetores colineares

Considere, num plano munido de um referencial o.n. \(Oxy\), o vetor \(\vec u(-4,3)\)

Determine as coordenadas do vetor \(\vec v\) colinear com \(\vec u\):

11.1. de sentido contrário e norma 10.
11.2. como o mesmo sentido e de norma 6

Resolução

\[ \vec v=k\vec u\ \wedge\ \left\|\vec v\right\|=10\ \wedge\ k<0 \] \[ \vec v=k(-4,3)=(-4k,3k) \] \[ \left\|\vec v\right\|=10 \Longleftrightarrow \sqrt{(4k)^2+(3k)^2}=10 \Longleftrightarrow \sqrt{25k^2}=10 \Longleftrightarrow 25k^2=100 \Longleftrightarrow k^2=4 \Longleftrightarrow k=-2 \] \[ \text{Portanto } \vec v(-4\times(-2),3\times(-2))=(8,-6) \] \[ \vec v=k\vec u\ \wedge\ \left\|\vec v\right\|=6\ \wedge\ k>0 \] \[ \vec v=k(-4,3)=(-4k,3k) \] \[ \left\|\vec v\right\|=6 \Longleftrightarrow \sqrt{(4k)^2+(3k)^2}=6 \Longleftrightarrow \sqrt{25k^2}=6 \Longleftrightarrow 25k^2=36 \Longleftrightarrow k^2=\frac{36}{25} \Longleftrightarrow k=\frac65 \] \[ \text{Portanto } \vec v\left(-4\times\frac65,3\times\frac65\right)=\left(-\frac{24}{5},\frac{18}{5}\right) \]
12.

Valor de \(x\)

Considere os vetores \(\vec u(-1,2)\) e \(\vec v(3,x)\).

Determine o valor de \(x\), tal que:

12.1. \(\vec u\) e \(\vec v\) sejam colineares;
12.2. \(2\vec u+\frac53\vec v\) tenha coordenadas \((3,-1)\)

Resolução

\[ \frac{-1}{3}=\frac{2}{x} \Longleftrightarrow -x=6 \Longleftrightarrow x=-6 \] \[ 2(-1,2)+\frac53(3,x)=(3,-1) \Longleftrightarrow (-2,4)+\left(5,\frac53x\right)=(3,-1) \] \[ \Longleftrightarrow \left(3,\frac53x+4\right)=(3,-1) \Longleftrightarrow 3=3\ \wedge\ \frac53x+4=-1 \] \[ \Longleftrightarrow 3=3\ \wedge\ 5x+12=-3 \Longleftrightarrow 3=3\ \wedge\ x=-\frac{15}{5} \] \[ \Longleftrightarrow 3=3\ \wedge\ x=-3 \]
13.

Vetores no referencial

No referencial o.n. \(Oxy\), estão representados dois vetores \(\vec u\) e \(\vec v\).

Seja \(\vec w\) o vetor que satisfaz as condições:

  • \(\vec w\) é colinear com o vetor \(\vec u+\vec v\);
  • a soma das coordenadas de \(\vec w\) é 6.

Determine as coordenadas de \(\vec w\).

Referencial Oxy com os vetores u e v

Resolução

\[ \vec u(1,3)\quad\text{e}\quad \vec v(-2,1) \] \[ \vec u+\vec v=(1,3)+(-2,1)=(-1,4) \] \[ \vec w\text{ e }\vec u+\vec v \text{ são colineares, então, } \vec w=k(\vec u+\vec v) \Longleftrightarrow \vec w=k(-1,4) \Longleftrightarrow \vec w=(-k,4k) \]

Como a soma das coordenadas de \(\vec w\) é igual a 6, então \(-k+4k=6\Longleftrightarrow k=2\).

\[ \text{Portanto } \vec w(-2,8) \]
14.

Quadrado com centro no eixo \(Oy\)

Num plano munido de um referencial o.n. \(Oxy\), sabe-se que os pontos \(A(4,-4)\) e \(D(-3,-5)\) são vértices consecutivos do quadrado \([ABCD]\) cujo centro pertence ao eixo \(Oy\).

14.1. Mostre que a reta de equação \(y=-7x-1\) é a mediatriz do segmento de reta \([AD]\).
14.2. Justifique que o centro do quadrado tem ordenada \(-1\).
14.3. Determine as coordenadas dos pontos \(B\) e \(C\).
14.4. Defina analiticamente a circunferência inscrita no quadrado \([ABCD]\).
14.5. Determine as coordenadas do vetor \(\vec u\) tal que \(3\overrightarrow{AD}-5\vec u=2\overrightarrow{AC}\)
Quadrado ABCD com circunferência inscrita

Resolução

Seja \(P(x,y)\) um ponto da mediatriz de \([AD]\).

\[ (x-4)^2+(y+4)^2=(x+3)^2+(y+5)^2 \] \[ \Longleftrightarrow x^2-8x+16+y^2+8y+16=x^2+6x+9+y^2+10y+25 \] \[ \Longleftrightarrow 8y-10y=6x+8x+34-32 \Longleftrightarrow -2y=14x+2 \Longleftrightarrow y=-7x-1 \]

c.q.m.

Como a mediatriz de \([AD]\) passa no centro do quadrado e este pertence ao eixo \(Oy\), então:

\[ y=-7x-1\ \wedge\ x=0 \Longleftrightarrow y=-1\ \wedge\ x=0 \]

Portanto o centro do quadrado tem ordenada \(-1\).

Seja \(M\) o centro do quadrado, então \(M(0,-1)\).

\[ B=M+\overrightarrow{MB}=M+\overrightarrow{DM} =(0,-1)+(3,4)=(3,3) \] \[ C=M+\overrightarrow{MC}=M+\overrightarrow{AM} =(0,-1)+(-4,3)=(-4,2) \]

Centro é \(M(0,-1)\) e o raio é, por exemplo, \(\frac12\left\|\overrightarrow{AD}\right\|\).

\[ \frac12\left\|\overrightarrow{AD}\right\| =\frac12\sqrt{(-7)^2+(-1)^2} =\frac{\sqrt{50}}{2} \]

Assim uma equação da circunferência é

\[ x^2+(y+1)^2=\left(\frac{\sqrt{50}}{2}\right)^2 \Longleftrightarrow x^2+(y+1)^2=\frac{25}{2} \] \[ \overrightarrow{AD}=(-7,-1) \quad\text{e}\quad \overrightarrow{AC}=C-A=(-4,2)-(4,-4)=(-8,6) \] \[ \begin{aligned} 3\overrightarrow{AD}-5\vec u&=2\overrightarrow{AC} \Longleftrightarrow 5\vec u=3\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{AC}\\ &\Longleftrightarrow \vec u=\frac35(-7,-1)-\frac25(-8,6)\\ &\Longleftrightarrow \vec u=\left(-\frac{21}{5},-\frac35\right)-\left(-\frac{16}{5},\frac{12}{5}\right)\\ &\Longleftrightarrow \vec u=(-1,-3) \end{aligned} \]
15.

Triângulo no referencial

No referencial o.n. \(Oxy\), está representado um triângulo \([ABC]\).

Sabe-se que:

  • o ponto \(A\) tem coordenadas \((-5,0)\);
  • o ponto \(B\) tem coordenadas \((3,-2)\);
  • \(M\) é o ponto médio de \([BC]\) e tem coordenadas \(\left(2,\frac12\right)\);
  • o ponto \(S\) é tal que \(\overrightarrow{AS}=\frac13\overrightarrow{AC}\).

Determine as coordenadas de \(\overrightarrow{SM}\).

Triângulo ABC no referencial Oxy com pontos S e M

Resolução

\[ C=M+\overrightarrow{BM} =\left(2,\frac12\right)+\left(2-3,\frac12+2\right) =\left(2,\frac12\right)+\left(-1,\frac52\right)=(1,3) \] \[ S=A+\frac13\overrightarrow{AC} =(-5,0)+\frac13(1+5,3-0) =(-5,0)+(2,1)=(-3,1) \] \[ \overrightarrow{SM}=M-S =\left(2,\frac12\right)-(-3,1) =\left(5,-\frac12\right) \]
16.

Triângulo e ponto \(G\)

Na figura está representado um triângulo \([ABC]\).

Em relação a um referencial o.n. \(Oxy\), sabe-se que:

  • \(M\) é o ponto médio de \([BC]\);
  • \(\left\|\overrightarrow{AG}\right\|=\frac23\left\|\overrightarrow{AM}\right\|\);
  • as coordenadas dos vértices são \(A(-2,1)\), \(B(0,-2)\) e \(C(6,2)\).

Determine \(\left\|\overrightarrow{AG}\right\|\) e as coordenadas de \(G\).

Triângulo ABC com pontos G e M

Resolução

\[ M\left(\frac{0+6}{2},\frac{-2+2}{2}\right)=(3,0) \] \[ \overrightarrow{AM}=M-A=(3,0)-(-2,1)=(5,-1), \quad\text{então,}\quad \left\|\overrightarrow{AM}\right\|=\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{26} \] \[ \text{Como }\left\|\overrightarrow{AG}\right\|=\frac23\left\|\overrightarrow{AM}\right\|, \text{ logo, } \left\|\overrightarrow{AG}\right\|=\frac{2\sqrt{26}}{3} \] \[ G=A+\frac23\overrightarrow{AM} \] \[ \text{Assim, } G=(-2,1)+\frac23(5,-1) =(-2,1)+\left(\frac{10}{3},-\frac23\right) =\left(\frac43,\frac13\right) \]
17.

Paralelogramo e pontos médios

Na figura estão representados um paralelogramo \([ABCD]\), os pontos médios \(E\), \(F\), \(G\) e \(H\) dos lados \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) e \([DA]\), respetivamente, e os vetores \(\overrightarrow{AC}\) e \(\overrightarrow{BD}\).

Sabe-se, fixado um certo referencial ortonormado, que \(H\left(\frac32,2\right)\),

\[ \overrightarrow{AC}(4,0)\quad\text{e}\quad \overrightarrow{BD}(-2,-4) \]
17.1. Justifique que \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{HG}\) e indique as coordenadas de \(\overrightarrow{HG}\).
17.2. Determine as coordenadas dos pontos \(G\), \(F\) e \(E\).
17.3. Justifique que \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{BC}\) e determine as coordenadas dos vértices do paralelogramo \([ABCD]\).
Paralelogramo ABCD com pontos médios e vetores AC e BD

Resolução

\[ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC} =2\overrightarrow{HD}+2\overrightarrow{DG} =2(\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{DG})=2\overrightarrow{HG} \] \[ \text{Como }\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{HG} \Longleftrightarrow \overrightarrow{HG}=\frac12\overrightarrow{AC} \Longleftrightarrow \overrightarrow{HG}=\frac12(4,0) \Longleftrightarrow \overrightarrow{HG}=(2,0) \] \[ G=H+\frac12\overrightarrow{AC} =\left(\frac32,2\right)+\frac12(4,0) =\left(\frac32,2\right)+(2,0) =\left(\frac72,2\right) \] \[ F=G-\frac12\overrightarrow{BD} =\left(\frac72,2\right)-\frac12(-2,-4) =\left(\frac72,2\right)+(1,2) =\left(\frac92,4\right) \] \[ E=F+\overrightarrow{GH} =\left(\frac92,4\right)+\left(\frac32-\frac72,2-2\right) =\left(\frac92,4\right)+(-2,0) =\left(\frac52,4\right) \] \[ \overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HG} =\frac12\overrightarrow{BD}+\frac12\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{BC} \] \[ A=H+\frac12\overrightarrow{GE} =\left(\frac32,2\right)+\frac12\left(\frac52-\frac72,4-2\right) =\left(\frac32,2\right)+\frac12(-1,2)=(1,3) \] \[ B=F+\frac12\overrightarrow{GE} =\left(\frac92,4\right)+\left(-\frac12,1\right)=(4,5) \] \[ C=F+\frac12\overrightarrow{EG} =F-\frac12\overrightarrow{GE} =\left(\frac92,4\right)-\left(-\frac12,1\right)=(5,3) \] \[ D=H+\frac12\overrightarrow{EG} =H-\frac12\overrightarrow{GE} =\left(\frac32,2\right)-\left(-\frac12,1\right)=(2,1) \]