Ficha de Treino — Matemática A
10.º Ano · maio 2026

1.1. Num estudo bivariado, o coeficiente de correlação linear entre as variáveis $x$ e $y$ é $r=-0{,}94$. Sabe-se ainda que $\bar{x}=8$ e $\bar{y}=15$. Qual das seguintes equações pode representar a reta de regressão de $y$ em $x$?

1.2. Qual é o domínio da função real de variável real definida por $$f(x)=\dfrac{\sqrt{2x+6}}{x^{2}-4x+3}\,?$$

1.3. Num referencial o.n. $Oxyz$, a condição $$x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x+4y-2z+5=0$$ define uma superfície esférica. O raio dessa superfície esférica é:

1.4. Considere a função quadrática $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x)=-2x^{2}+8x-3$. Qual é o contradomínio de $f$?

2.1. Um agricultor estuda a influência da quantidade de um novo adubo orgânico, $x$ (em dezenas de quilogramas por hectare), na produção $y$ (em toneladas), tendo registado os seguintes valores em $7$ parcelas:

(a) Indique as coordenadas do centro de gravidade da nuvem de pontos.
(b) Determine a equação reduzida da reta de regressão de $y$ em $x$ e o valor do coeficiente de correlação linear $r$.
(c) Com base no modelo, estime a produção esperada quando se aplicam $70$ kg deste adubo por hectare e indique, justificando, se essa estimativa é fiável.

2.2. Numa cidade, registou-se durante $8$ dias consecutivos a temperatura média máxima do dia, $x$ (em $^{\circ}\!\text{C}$), e o consumo de energia elétrica, $y$ (em MWh), associado a aparelhos de ar condicionado:

(a) Mostre, recorrendo ao coeficiente de correlação linear, que o modelo de regressão linear é adequado a este conjunto de dados.
(b) Estime, com base no modelo, a temperatura para a qual o consumo previsto seria de $50$ MWh. Apresente o resultado em graus, arredondado às décimas.
(c) Justifique, com base num argumento estatístico, por que razão não se deve usar este modelo para estimar o consumo numa madrugada de inverno a $5\,^{\circ}\!\text{C}$.

2.3. Num estudo sobre o tempo médio diário de utilização de redes sociais ($x$, em horas) e a média de horas de sono ($y$, em horas) numa amostra de $9$ jovens, obteve-se:

(a) Determine a equação reduzida da reta de regressão de $y$ em $x$ e classifique a correlação quanto ao sinal e à intensidade.
(b) Indique, justificadamente, qual o significado, neste contexto, do declive da reta de regressão.
(c) Considere um jovem da amostra que utiliza redes sociais durante $3$ horas por dia e dorme $7{,}4$ horas. Determine o erro absoluto de previsão do modelo para esse jovem.

2.4. Numa empresa, registou-se durante $6$ semestres o investimento em publicidade ($x$, em milhares de euros) e a respetiva variação percentual de vendas ($y$, em %):

(a) Determine a equação reduzida da reta de regressão linear.
(b) A administração pretende um aumento de vendas de pelo menos $20\%$. Que investimento mínimo, em euros, deve ser feito segundo o modelo? Apresente o resultado arredondado às centenas.
(c) Comente, com base nos valores das alíneas anteriores, se o modelo linear é razoável para extrapolar para investimentos da ordem dos $50$ mil euros.

3.1. O lançamento de um foguete de modelismo é descrito pela função $$h(t)=-5t^{2}+30t+5,\quad t\in[0,\;6{,}16],$$ onde $h(t)$ é a altura, em metros, do foguete em relação ao solo, $t$ segundos após o lançamento.

(a) Determine, analiticamente, a altura máxima atingida pelo foguete e o instante em que tal ocorre.
(b) Determine, analiticamente, durante quanto tempo o foguete esteve a uma altura igual ou superior a $25$ metros.
(c) Determine, analiticamente, o instante em que o foguete embate no solo. Apresente o resultado em segundos, na forma $a+b\sqrt{10}$, com $a,b\in\mathbb{Q}$.
(d) Mostre que, no intervalo $[1,\;5]$, o foguete esteve sempre a uma altura superior a $20$ metros.

3.2. A altura, em metros, de um saltador profissional de trampolim em relação à água, $t$ segundos após o salto, é modelada (numa simplificação dimensional) por $$s(t)=-5\,t^{2}+4\,t+12,\quad t\geq 0.$$

(a) Determine, analiticamente, a altura máxima atingida e o instante correspondente.
(b) Determine, analiticamente, o instante em que o saltador toca na água, isto é, em que $s(t)=0$.
(c) Durante quanto tempo, desde o salto, esteve o saltador a uma altura superior a $11$ metros?

3.3. Uma ponte tem o tabuleiro suportado por um arco parabólico. Num referencial ortonormado, com origem no ponto médio da base do arco e eixo $Oy$ vertical, o arco é descrito pela parte do gráfico da função $$y=-\dfrac{1}{15}\,x^{2}+5,$$ com $x$ e $y$ em metros.

(a) Determine a largura da base do arco, isto é, a distância entre os pontos em que o arco encontra a estrada (eixo $Ox$). Apresente o resultado na forma $a\sqrt{b}$, com $a,b\in\mathbb{N}$.
(b) Um camião com $3{,}5$ metros de altura e $5$ metros de largura pretende passar centrado sob o arco. Determine, analiticamente, se a passagem é possível. Justifique a sua resposta.
(c) Determine a altura do arco a uma distância horizontal de $7$ metros do centro.

3.4. Uma pequena empresa produz e vende mensalmente $x$ unidades de um certo artigo, com $x\in[0,\;180]$. O lucro mensal, em euros, é dado pela função $$L(x)=-\dfrac{1}{2}\,x^{2}+80\,x-600.$$

(a) Determine, analiticamente, o número de unidades que maximiza o lucro mensal e calcule o lucro máximo.
(b) Determine o intervalo de valores de $x$ para os quais a empresa tem prejuízo (lucro negativo). Apresente as soluções na forma $a\pm b\sqrt{c}$, com $a,b,c\in\mathbb{N}$.
(c) Determine o conjunto de valores de $x$ que asseguram um lucro mensal de, pelo menos, $1\,400$ euros.
(d) Mostre que, no intervalo $[40,\;120]$, o lucro mensal é sempre superior a $1\,000$ euros.

4.1. Considere as funções $f$ e $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definidas por $$f(x)=-x^{2}+4x+1 \quad\text{e}\quad g(x)=2x-3.$$ Sejam $P$ o ponto do eixo $Ox$ cuja abcissa coincide com a abcissa do vértice de $f$, e $Q$ o ponto de interseção dos gráficos de $f$ e $g$ com abcissa positiva.
Determine, recorrendo à calculadora, a área do triângulo $[OPQ]$, em que $O$ é a origem do referencial.

4.2. Considere as funções $h$ e $k$, de domínio $\mathbb{R}$, definidas por $$h(x)=x^{3}-6x \quad\text{e}\quad k(x)=2x+1.$$ Sejam $A$ e $B$ dois pontos de interseção dos gráficos de $h$ e $k$, com abcissas, respetivamente, a menor abcissa negativa e a maior abcissa positiva. Determine, recorrendo à calculadora, o perímetro do triângulo $[OAB]$, em que $O$ é a origem do referencial.

4.3. Considere as funções $p$ e $q$, de domínio $\mathbb{R}$, definidas por $$p(x)=\sqrt{x+4}\quad(x\geq -4) \quad\text{e}\quad q(x)=\dfrac{x}{2}-1.$$ Sejam $R$ o ponto de interseção dos gráficos de $p$ e $q$, $S$ o ponto de interseção do gráfico de $p$ com o eixo $Oy$ e $T$ o ponto de interseção do gráfico de $q$ com o eixo $Ox$.
Determine, recorrendo à calculadora, a área do triângulo $[RST]$.

4.4. Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$f(x)=-x^{3}+3x^{2}+9x+5.$$ Sejam $M$ o ponto do gráfico de $f$ de maior ordenada no intervalo $[-2,\,4]$ e $N$ o ponto do gráfico de $f$ de menor ordenada nesse mesmo intervalo.
(a) Determine, recorrendo à calculadora, as coordenadas dos pontos $M$ e $N$, arredondadas às centésimas.
(b) Determine a equação reduzida da reta $MN$ e o comprimento do segmento $[MN]$.
(c) Determine a área do triângulo $[OMN]$.

5.1. Considere os pontos $A(-2,3)$, $B(4,1)$ e $C(6,7)$.

(a) Determine as coordenadas do ponto $D$ tal que o quadrilátero $[ABCD]$ seja um paralelogramo (vértices designados pela ordem do contorno).
(b) Determine o valor de $k\in\mathbb{R}$ tal que o vetor $\vec{u}=(k-1,\;2k+3)$ seja colinear com o vetor $\overrightarrow{AB}$.
(c) Determine as coordenadas do ponto $M$, simétrico do ponto $A$ em relação ao ponto médio de $[BC]$.
(d) Mostre que o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$ e calcule a sua área.

5.2. Considere os pontos $P(1,-2)$ e $Q(5,0)$ e o vetor $\vec{v}=(3,-1)$.

(a) Determine as coordenadas do ponto $R$ tal que $\overrightarrow{PR}=2\vec{v}-\overrightarrow{PQ}$.
(b) Determine o(s) valor(es) de $\lambda\in\mathbb{R}$ tal(is) que $\|\overrightarrow{PQ}+\lambda\vec{v}\|=\sqrt{50}$.
(c) Determine as coordenadas do ponto $S$ do segmento $[PQ]$ que divide esse segmento em duas partes na razão $\overline{PS}:\overline{SQ}=3:1$.

5.3. Considere o paralelogramo $[ABCD]$ em que $A(0,0)$, $B(6,2)$ e $C(8,7)$.

(a) Determine as coordenadas do quarto vértice $D$.
(b) Mostre que as diagonais do paralelogramo se intersetam no seu ponto médio comum e determine as coordenadas desse ponto.
(c) Determine uma equação reduzida da reta paralela a $BC$ que passa pelo ponto médio de $[AD]$.

5.4. No referencial o.n. $Oxy$, considere o triângulo $[ABC]$ com $A(-1,2)$, $B(3,-1)$ e $C(5,6)$.

(a) Determine as coordenadas do ponto $G$, centro de gravidade do triângulo (intersecção das medianas), recorrendo a uma expressão vetorial.
(b) Mostre que $G$ é tal que $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\vec{0}$.
(c) Determine as coordenadas do ponto $H$ pertencente à mediana relativa a $A$ tal que $\overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AM}$, sendo $M$ o ponto médio de $[BC]$. Compare $H$ com $G$.

6.1. Considere o cubo $[ABCDEFGH]$, representado na figura, tal que:

• o plano $ABC$ é definido pela equação $z=0$;
• o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $Ox$ e o ponto $C$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;
• o ponto $E$ pertence ao plano $z=4$;
• a reta $AE$ é definida pela equação vetorial $(x,y,z)=(4,0,0)+t(0,0,1)$, com $t\in\mathbb{R}$.

(a) Mostre que os pontos $A$ e $E$ têm coordenadas, respetivamente, $A(4,0,0)$ e $E(4,0,4)$.
(b) Considere a superfície esférica de centro no ponto $E$ e que é tangente ao plano $ABC$. Determine o valor exato do perímetro da intersecção dessa superfície esférica com o plano de equação $z=2$.
(c) Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento de reta $[AG]$, sendo $G$ o vértice do cubo diagonalmente oposto a $A$.

6.2. Na figura está representada, num referencial o.n. $Oxyz$, a pirâmide quadrangular regular $[ABCDV]$ tal que:

• a base $[ABCD]$ está contida no plano $Oxy$, tem o centro na origem do referencial e os lados paralelos aos eixos coordenados;
• o vértice $A$ tem coordenadas $(2,2,0)$;
• o vértice $V$ pertence ao semieixo positivo $Oz$, sendo a altura da pirâmide igual a $6$.

(a) Indique as coordenadas dos restantes vértices da base e determine o volume da pirâmide.
(b) Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento de reta $[AV]$, apresentando-a na forma reduzida $ax+by+cz+d=0$.
(c) Mostre que a apotema lateral da pirâmide (distância do vértice $V$ ao ponto médio de $[AB]$) é igual a $\sqrt{40}$.
(d) Considere a superfície esférica de centro $V$ que passa pelo vértice $A$. Determine uma sua equação cartesiana reduzida e indique se a origem $O$ pertence a essa superfície.

6.3. Considere os pontos $A(1,-2,3)$ e $B(5,4,-1)$.

(a) Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento de reta $[AB]$.
(b) Determine uma equação cartesiana reduzida da superfície esférica de diâmetro $[AB]$.
(c) Determine o valor exato da distância do ponto $C(0,0,0)$ a essa superfície esférica.
(d) Determine as coordenadas do(s) ponto(s) da reta $AB$ que dista(m) $5$ unidades do ponto médio de $[AB]$.

6.4. No referencial o.n. $Oxyz$, considere a superfície esférica $S$ de equação $$(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-3)^{2}=49.$$

(a) Identifique o centro e o raio de $S$.
(b) Determine os valores reais de $k$ para os quais o plano de equação $z=k$ é tangente à superfície esférica $S$.
(c) Determine o valor exato do perímetro da circunferência resultante da interseção de $S$ com o plano de equação $y=2$.
(d) Mostre que o ponto $P(2,-1,10)$ pertence a $S$ e escreva uma equação do plano paralelo a $Oxy$ que passa por $P$. Mostre, comparando a distância do centro de $S$ a esse plano com o raio de $S$, que o plano é tangente à superfície esférica em $P$.

7.1. No referencial o.n. $Oxyz$ está representada uma pirâmide quadrangular regular $[ABCDV]$ em que a base é o quadrado $[ABCD]$ contido no plano $z=0$, com lados paralelos aos eixos coordenados, $A(3,-3,0)$ e $V(0,0,h)$ com $h>0$ no semieixo positivo $Oz$.
Sabe-se ainda que o volume da pirâmide é $96$ unidades de volume.

(a) Determine $h$ e indique as coordenadas de todos os vértices da pirâmide.
(b) Determine a área da face lateral $[ABV]$ da pirâmide. Apresente o resultado na forma $a\sqrt{b}$, com $a,b\in\mathbb{N}$.
(c) Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento $[CV]$.
(d) Mostre que o triângulo $[ACV]$ é isósceles e determine o seu perímetro, apresentando o valor exato.

7.2. Considere o prisma reto $[ABCDEFGH]$ de base retangular $[ABCD]$ contida no plano $z=0$, tal que $A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $C(6,4,0)$ e $D(0,4,0)$, e altura igual a $5$ (vértices $E,F,G,H$ na vertical de $A,B,C,D$, respetivamente).

(a) Indique as coordenadas dos vértices $E$, $F$, $G$ e $H$.
(b) Determine o comprimento exato da diagonal espacial $[AG]$.
(c) Determine uma equação cartesiana do plano mediador de $[AG]$, apresentando-a na forma reduzida $ax+by+cz+d=0$.
(d) Mostre que esse plano mediador passa pelo centro do prisma.

7.3. No referencial o.n. $Oxyz$ considere o tetraedro $[OABC]$ com $O(0,0,0)$, $A(4,0,0)$, $B(0,4,0)$ e $C(0,0,4)$.

(a) Mostre que o triângulo $[ABC]$ é equilátero e indique o comprimento do seu lado. Indique, justificando, se o tetraedro $[OABC]$ é regular.
(b) Determine o volume do tetraedro $[OABC]$ usando como base o triângulo $[OAB]$ (contido num plano coordenado).
(c) Determine a área do triângulo $[ABC]$. Apresente o resultado na forma $a\sqrt{b}$, com $a,b\in\mathbb{N}$.
(d) Usando as alíneas (b) e (c) e a fórmula $V=\dfrac{1}{3}\,A_{\text{base}}\times h$, determine a distância do ponto $O$ ao plano $ABC$. Apresente o resultado na forma $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$, com $a,b,c\in\mathbb{N}$.

7.4. No referencial o.n. $Oxyz$ considere os pontos $A(0,0,4)$, $B(6,0,4)$, $C(6,6,4)$ e $D(0,6,4)$, vértices da face superior de um cubo cuja face inferior está contida no plano $z=-2$. Designe-se por $A',B',C',D'$ os vértices da face inferior, na vertical de $A,B,C,D$ respetivamente.

(a) Indique as coordenadas dos restantes vértices do cubo e a aresta do cubo.
(b) Determine o volume do cubo.
(c) Considere a superfície esférica circunscrita ao cubo (que passa por todos os vértices). Determine uma sua equação cartesiana reduzida.
(d) Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento que une dois vértices diagonalmente opostos do cubo (diagonal espacial).

8.1. Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$f(x)=(k^{2}-4)\,x+(k+2),$$ com $k\in\mathbb{R}$.

(a) Determine os valores de $k$ para os quais $f$ é uma função afim crescente.
(b) Determine os valores de $k$ para os quais $f$ é uma função constante.
(c) Para $k=3$, indique a expressão de $f$ na forma reduzida $f(x)=mx+b$ e determine o seu zero.

8.2. Considere a função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$g(x)=x^{2}+(2m-4)\,x+m^{2}+1,$$ com $m\in\mathbb{R}$.

(a) Determine os valores de $m$ para os quais o gráfico de $g$ é tangente ao eixo $Ox$.
(b) Determine os valores de $m$ para os quais $g(x)>0$ para todo o $x\in\mathbb{R}$.
(c) Para que valor de $m$ o eixo de simetria do gráfico de $g$ é a reta de equação $x=3$? Para esse valor, indique o vértice e o contradomínio da função.

8.3. Considere a família de funções $h_{a}$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$h_{a}(x)=a\,x^{2}-2(a+1)\,x+(a+4),\quad a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$

(a) Mostre que o ponto $P(1,2)$ pertence ao gráfico de $h_{a}$ para todo $a\neq 0$.
(b) Determine os valores de $a$ para os quais a parábola tem concavidade voltada para cima e não interseta o eixo $Ox$.
(c) Para $a=1$, faça o estudo da monotonia e dos extremos de $h_{1}$.

8.4. Considere a função $\varphi$, de domínio $\mathbb{R}$, definida, em função do parâmetro $b\in\mathbb{R}$, por $$\varphi(x)=\begin{cases} 2x+b & \text{se } x\leq 1 \\ -x^{2}+4x-3 & \text{se } x>1 \end{cases}$$

(a) Determine $b$ de modo que os dois ramos de $\varphi$ coincidam em $x=1$, isto é, de modo que o gráfico não apresente um salto nesse ponto.
(b) Para o valor de $b$ obtido na alínea anterior, indique, justificadamente, o contradomínio de $\varphi$.