Transformações horizontais e verticais, reflexões, domínios, contradomínios, zeros, monotonia e extremos
Considere uma função \(f\) de domínio \(\mathbb{R}\) e contradomínio \([-4,2]\).
Qual é o contradomínio da função \(g\) definida por \(g(x)=-f(x)+1\)?
\[ D'_g=-[-4+1,\,2+1]=-[ -3,3]=[-3,3] \]
Relativamente a uma função \(f\), real de variável real, definida em \(\mathbb{R}\), sabe-se que:
\[ f\left(\frac{x}{4}\right)=\frac{f(x)}{4}\quad \text{e}\quad f(32)=400 \]
Qual é o valor de \(f(2)\)?
\[ f(2)=f\left(\frac84\right)=\frac{f(8)}4 \]
\[ f\left(\frac{32}{4}\right)=\frac{f(32)}4 \Leftrightarrow f(8)=\frac{400}{4}=100 \]
\[ f(2)=\frac{f(8)}4=\frac{100}{4}=25 \]
Na figura está representado, num plano munido de um referencial cartesiano, o gráfico de uma função \(f\) de domínio \([-4,4]\) e contradomínio \([-3,3]\).
Qual das seguintes funções não tem zeros?
(A) \(g(x)=f(x+3)\)
(B) \(h(x)=f(x+4)+3\)
(C) \(j(x)=f(x-3)+4\)
(D) \(m(x)=f(x-3)-3\)
(A) É uma transformação horizontal associada ao vetor \((-3,0)\); o contradomínio mantém-se inalterado.
(B) É uma transformação horizontal associada ao vetor \((-4,0)\), seguida de uma translação vertical associada ao vetor \((0,3)\). Assim, \(D'_h=[-3+3,\,3+3]=[0,6]\), e a função tem um zero.
(C) É uma transformação horizontal associada ao vetor \((3,0)\), seguida de uma translação vertical associada ao vetor \((0,4)\). Assim, \(D'_j=[-3+4,\,3+4]=[1,7]\). Como o contradomínio só tem valores positivos, a função não passa por \(Ox\), logo não tem zeros.
De uma função \(f\), de domínio \([a,b]\), sabe-se que:
Em qual das figuras seguintes poderá estar representado, num referencial cartesiano, o gráfico da função \(f\)?
Na opção (A), \(f(a)\) é o menor valor assumido pela função, a função é crescente em \([a,b[\), e o maior valor sugerido pela reta não é atingido.
Na figura está representada, num referencial cartesiano, parte do gráfico de uma certa função \(g\), crescente em \(\mathbb{R}\) e de contradomínio \(]1,+\infty[\).
Qual das seguintes funções tem como contradomínio o intervalo de números reais \(]-\infty,0[\) e é decrescente em \(\mathbb{R}\)?
(A) \(f(x)=g(-x)-1\)
(B) \(j(x)=-g(x)+1\)
(C) \(m(x)=-g(-x)+1\)
(D) \(n(x)=-g(-x)-1\)
(A) O gráfico de \(f\) obtém-se a partir do gráfico de \(g\) por uma reflexão do eixo \(Oy\), seguida da translação associada ao vetor \((0,-1)\). Assim, \(D'_f=]0,+\infty[\) e \(f\) é decrescente.
(B) O gráfico de \(j\) obtém-se a partir do gráfico de \(g\) por uma reflexão do eixo \(Ox\), seguida de uma translação associada ao vetor \((0,1)\). Assim, \(D'_j=]-\infty,0[\) e \(j\) é decrescente.
O gráfico de uma função afim interseta o eixo \(Ox\) no ponto de abcissa \(4\) e o eixo \(Oy\) no ponto de ordenada \(5\).
6.1. Determine:
a) a forma canónica de \(f\);
b) os zeros da função \(g\) definida por \(g(x)=-f(x+2)\).
6.2. Esboce o gráfico da função \(j\) definida por \(j(x)=2f(-x)-1\), a partir do gráfico de \(f\). Explique sucessivamente todas as transformações que tiver de efetuar.
6.1. a) Seja \(A\) o ponto de interseção com o eixo \(Ox\), então \(A(4,0)\), e seja \(B(0,5)\) o ponto de interseção com o eixo \(Oy\).
\[ a=\frac{5-0}{0-4}=-\frac54 \]
A ordenada na origem é \(5\), logo a forma canónica é:
\[ f(x)=-\frac54x+5 \]
6.1. b)
\[ g(x)=-f(x+2)=-\left(-\frac54(x+2)+5\right)=\frac54x-\frac52 \]
\[ g(x)=0 \Leftrightarrow \frac54x-\frac52=0 \Leftrightarrow \frac54x=\frac52 \Leftrightarrow x=2 \]
6.2. Começa-se por refletir o gráfico de \(f\) relativamente ao eixo \(Oy\), obtendo \(f(-x)\). Em seguida faz-se uma dilatação vertical de coeficiente \(2\), obtendo \(2f(-x)\), e finalmente uma translação vertical associada ao vetor \((0,-1)\).
Na figura está representada, num referencial o.n., parte do gráfico da função \(f\), de domínio \([-4,+\infty[\).
Considere as funções \(g\), \(h\) e \(j\) definidas por:
\[ g(x)=f(x+a),\ a\in\mathbb{R}, \qquad h(x)=f(-x) \qquad \text{e} \qquad j(x)=-f(x) \]
7.1. Indique os zeros da função \(h\).
7.2. Indique o contradomínio da função \(j\).
7.3. Determine os valores reais de \(a\) de modo que a soma dos zeros da função \(g\) seja um número não negativo.
Pelo gráfico, \(D'_f=[-4,2]\) e os zeros de \(f\) são \(\{-4,2\}\).
7.1. Como \(h(x)=f(-x)\), o gráfico de \(h\) obtém-se a partir do gráfico de \(f\) por uma reflexão do eixo \(Oy\).
Como os zeros de \(f\) são \(\{-4,2\}\), então os zeros de \(f(-x)\) são \(\{-2,4\}\).
7.2. Como \(j(x)=-f(x)\), o gráfico de \(j\) obtém-se por uma reflexão do eixo \(Ox\).
\[ D'_j=-[-4,2]=[-2,4] \]
7.3. Como \(g(x)=f(x+a)\), o gráfico de \(g\) obtém-se por uma translação horizontal associada ao vetor \((-a,0)\).
Os zeros de \(f\) são \(-4\) e \(2\). Para que a soma dos zeros de \(g\) seja um número não negativo:
\[ -4+(-a)+2+(-a)\ge 0 \Leftrightarrow -2a-2\ge0 \Leftrightarrow a\le -1 \]
Na figura está representado, num referencial o.n., o gráfico da função \(g\), de domínio \(]-1,3]\).
Sabe-se que o contradomínio da função \(g\) é \([-1,1]\) e que \(1\) e \(3\) são os únicos zeros da função \(g\).
8.1. Considere a função \(j\), definida em \(\left]-\frac12,\frac32\right]\), por \(j(x)=4g(2x)\).
a) Indique o contradomínio da função \(j\).
b) A função \(j\) tem zeros? Justifique.
8.2. Considere a translação \(T_{\vec{u}}\), sendo \(\vec{u}=(-1,1)\), e a transformação \(\phi\) do plano que transforma o ponto \(P(x,y)\) no ponto \(Q\left(x,\frac14y\right)\). Indique:
a) o domínio da função \(f\);
b) o contradomínio da função \(f\);
c) a expressão analítica da função \(f\).
8.1. a) O gráfico de \(j\) obtém-se a partir do gráfico de \(g\) por uma contração horizontal, seguida de uma dilatação vertical.
\[ D'_j=4[-1,1]=[-4,4] \]
8.1. b) Como existe uma contração horizontal de coeficiente \(\frac12\) e os zeros de \(g\) são \(1\) e \(3\), então os zeros de \(j\) são \(\frac12\) e \(\frac32\).
8.2. A transformação \(\phi\) é uma contração vertical de coeficiente \(\frac14\). Assim, o domínio mantém-se inalterado e o contradomínio passa a ser:
\[ \frac14[-1,1]=\left[-\frac14,\frac14\right] \]
De seguida, aplica-se a translação associada ao vetor \((-1,1)\):
\[ D_f=]-1-1,\,3-1]=]-2,2] \]
a) \(D_f=]-2,2]\).
b) \(D'_f=\left[\frac34,\frac54\right]\).
c) \(f(x)=\frac14g(x+1)+1\).
Na figura está representado, num referencial cartesiano, o gráfico de uma função \(f\).
9.1. Indique o domínio e contradomínio da função \(f\).
9.2. Construa uma tabela de variação da função \(f\).
9.3. Estude a função \(f\) quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.
9.4. Indique um intervalo \([a,b]\subset D_f\) em que:
a) a função \(f\) seja positiva e decrescente;
b) a função \(f\) seja positiva e crescente;
c) \(\exists x_1,x_2\in[a,b]: x_1\ne x_2 \wedge f(x_1)=f(x_2)\).
9.5. Considere a função \(g\) definida por \(g(x)=-f(-x)+1\).
a) Indique o domínio e o contradomínio da função \(g\).
b) Estude a função \(g\) quanto à monotonia e existência de extremos.
9.1. \(D_f=[-6,2[\) e \(D'_f=[-4,4]\).
9.2.
| \(x\) | \(-6\) | \(-2\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-4\) | \(\nearrow\) | \(4\) | \(\searrow\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(2\) | \(\searrow\) | n.d. |
9.3. Mínimos relativos: \(-4\) e \(1\). Máximos relativos: \(4\) e \(2\).
9.4. a) Existem duas hipóteses: \([-2,0]\) ou \([1,2[\).
9.4. b) Por exemplo: \([-3,-2]\) ou \([0,1]\).
9.4. c) Por exemplo: \([-3;1,9]\).
9.5. O gráfico de \(g\) obtém-se a partir do gráfico de \(f\) por uma reflexão do eixo \(Oy\), seguida de uma reflexão do eixo \(Ox\) e de uma translação vertical associada ao vetor \((0,1)\).
a)
\[ D_g=-D_f=-[-6,2[=]-2,6] \]
\[ D'_g=-D'_f+1=-[-4,4]+1=[-5,5] \]
b) Monotonia:
Extremos:
Considere a família de funções afim, definidas em \(\mathbb{R}\), por
\[ f(x)=(2-a^2)x-3,\quad a\in\mathbb{R}. \]
10.1. Determine os valores reais de \(a\) para os quais:
a) a função \(f\) é crescente em \(\mathbb{R}\);
b) o gráfico da função \(f\) é uma reta paralela ao eixo \(Ox\);
c) a função \(f\) tem zero para \(x=6\).
10.2. Admita que \(a=2\).
a) Esboce o gráfico da função \(g\) definida por \(g(x)=f(-x)\).
b) Indique o zero da função \(h\) definida por \(h(x)=f\left(\frac{x}{3}\right)\).
10.1. a) A função \(f\) é crescente se o declive é positivo.
\[ 2-a^2>0 \Leftrightarrow -a^2+2>0 \Leftrightarrow a\in]-\sqrt2,\sqrt2[ \]
10.1. b) O gráfico de \(f\) é paralelo ao eixo \(Ox\) se \(f\) for constante, isto é, se o declive for igual a zero.
\[ 2-a^2=0 \Leftrightarrow a=\pm\sqrt2 \]
10.1. c)
\[ f(6)=0 \Leftrightarrow (2-a^2)\cdot6-3=0 \Leftrightarrow 12-6a^2-3=0 \]
\[ 6a^2=9 \Leftrightarrow a^2=\frac96 \Leftrightarrow a=\pm\sqrt{\frac96} \Leftrightarrow a=\pm\frac{\sqrt6}{2} \]
10.2. Se \(a=2\), então
\[ f(x)=(2-2^2)x-3=-2x-3. \]
10.2. b)
\[ h(x)=f\left(\frac{x}{3}\right)=-2\left(\frac{x}{3}\right)-3=-\frac23x-3 \]
\[ h(x)=0 \Leftrightarrow -\frac23x-3=0 \Leftrightarrow -2x-9=0 \Leftrightarrow x=-\frac92 \]
Na figura está representado, em referencial o.n., o gráfico da função \(f\). Sabe-se que, em \(]-\infty,1]\), o gráfico de \(f\) é uma semirreta.
11.1. Indique o domínio e o contradomínio da função \(f\).
11.2. Construa uma tabela de variação da função \(f\) e indique os intervalos de monotonia.
11.3. Indique os extremos relativos da função \(f\).
11.4. Resolva as condições:
a) \(f(x)=-1\) b) \(f(x)<1\)
11.5. A função \(f\) tem três zeros. Indique dois deles e determine o outro.
11.6. Considere as funções \(g(x)=f(x-1)\) e \(h(x)=f(x)+1\). Determine:
a) o domínio e os zeros de \(g\);
b) o contradomínio e os zeros de \(h\).
11.1. \(D_f=]-\infty,4[\) e \(D'_f=[-1,+\infty[\).
11.2.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\searrow\) | \(-1\) | \(\nearrow\) | \(1\) | \(\searrow\) | n.d. |
\(f\) é decrescente em \(]-\infty,1]\cup[2,4[\).
\(f\) é crescente em \([1,2]\).
11.3. \(f(1)=-1\) é mínimo e \(f(2)=1\) é máximo.
11.4. a) \(f(x)=-1 \Leftrightarrow x=1\).
11.4. b) \(f(x)<1 \Leftrightarrow x\in]-3,4[\setminus\{2\}\).
11.5. Dois zeros são \(x=-1\) e \(x=3\).
Para determinar o outro zero, consideram-se \(A(1,-1)\) e \(B(2,1)\).
\[ \text{Declive}=\frac{1-(-1)}{2-1}=2 \]
\[ y=2x+b,\quad -1=2\cdot1+b \Leftrightarrow b=-3 \]
\[ y=2x-3,\quad 2x-3=0 \Leftrightarrow x=\frac32 \]
Portanto, os zeros são \(-1\), \(\frac32\) e \(3\).
11.6. a)
\[ D_g=]-\infty+1,\,4+1[=]-\infty,5[ \]
Zeros de \(g\):
\[ S=\left\{-1+1,\frac32+1,3+1\right\} =\left\{0,\frac52,4\right\} \]
11.6. b)
\[ D'_h=[-1+1,+\infty[=[0,+\infty[ \]
\[ h(x)=0 \Leftrightarrow f(x)+1=0 \Leftrightarrow f(x)=-1 \Leftrightarrow x=1 \]