Na figura está representado, num referencial cartesiano, o gráfico de uma função \(f\), de domínio \([-2,7]\).
6.1. Escreva o conjunto dos valores de \(k\) para os quais a equação \(f(x)=k\) é impossível.
Apresente a sua resposta na forma de intervalo ou de união de intervalos.
6.2. Qual das seguintes afirmações é falsa?
(A) \(-1\) é um mínimo absoluto da função.(B) \(-1\) é um máximo relativo da função.(C) A função \(f\) é crescente em sentido lato.(D) A função \(f\) é decrescente em sentido lato em \([1,3]\).
6.3. Indique o conjunto-solução da condição \(f(x)<2\).
6.1.
\[
]-\infty,1[\cup]3,+\infty[
\]
6.2.OPÇÃO: C
6.3.
\[
]-2,-1[\cup]-1,4[
\]
7.
Funções afins
Sejam \(k\) e \(p\) números reais. Considere as funções afins \(f\) e \(g\), de domínio \(IR\), definidas por:
De uma função \(f\), de domínio \([-4,5]\), sabe-se que:
\(f(-4)=6;\ f(2)=-1;\ f(5)=1\)
\(f\) é estritamente decrescente no intervalo \([-4,2]\);
\(f\) é estritamente crescente no intervalo \([2,5]\).
Quantas soluções poderá ter, no máximo, a equação \(f(x)=0\)?
(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3
A função \(f\) é estritamente decrescente no intervalo \([-4,2]\), \(f(-4)=6\) e \(f(2)=-1\), logo \(f\) tem no máximo um zero no intervalo \([-4,2]\).
A função \(f\) é estritamente crescente no intervalo \([2,5]\), \(f(2)=-1\) e \(f(5)=1\), logo \(f\) tem no máximo um zero no intervalo \([2,5]\).
Logo, \(f(x)=0\) tem no máximo duas soluções no intervalo \([-4,5]\).
OPÇÃO: C
9.
Procura, oferta e equilíbrio
Admita que, relativamente a um dado produto, as funções \(f\) e \(g\) traduzem o preço, em euros, em função da quantidade procurada e da quantidade oferecida pelo mercado, respetivamente.
São conhecidos os valores na tabela seguinte.
Sabe-se que os gráficos das funções \(f\) e \(g\) estão contidos nas retas \(r\) e \(s\), respetivamente, e estão parcialmente representados na figura seguinte.
9.1. Escreva as equações reduzidas das retas \(r\) e \(s\).
9.2. Designa-se por ponto de equilíbrio, o ponto \(E\) de interseção dos gráficos das funções \(f\) e \(g\). Determine as coordenadas do ponto de equilíbrio \(E\) e confirme a resposta recorrendo às capacidades gráficas da calculadora.
9.3. Observando a nova situação através da representação gráfica ao lado, podemos verificar que a linha da procura se iria deslocar 100 unidades para a direita \((f_1)\), gerando um excesso de procura e alterando o ponto de equilíbrio \((E_1)\).
Escreva a expressão algébrica de \(f_1\), e determine o valor exato das coordenadas \(E_1\).
9.4. Num modelo económico teórico, considere que o domínio de \(f_1\) é \([200,800]\) e o domínio de \(g\) é \([150,650]\). Considere \(f_2(x)=f_1(x)+k,\ k\in IR^+\). Determine os valores de \(k\) para os quais deixe de existir ponto de equilíbrio entre a procura e a oferta.
9.1. Reta \(r\): pontos \((700,10)\) e \((100,50)\).
10.3. A função \(g\) é uma translação horizontal associada ao vetor \(\vec v(1,0)\), seguida de uma translação vertical associada ao vetor \(\vec u(0,2)\).
As coordenadas do vértice da parábola de \(f\) são \((0,0)\).
A função \(g\) é uma translação horizontal associada ao vetor \(\vec v(3,0)\), logo, o vértice da função \(g\) tem coordenadas \((3,0)\).
OPÇÃO: D
12.
Inequação e trapézio
Considere a função \(f\), de domínio \(IR\), definida por
\[
f(x)=2x^2-12x+16
\]
Resolva os seguintes itens sem recorrer à calculadora.
12.1. Determine o conjunto-solução da inequação \(f(x)\ge -4\left(x-\dfrac{13}{2}\right)\).
12.2. Na figura, estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico da função \(f\), os pontos \(A\) e \(B\), a reta \(r\), o ponto \(C\), o ponto \(D\) e o trapézio \([ABCD]\).
a) Prove que as coordenadas do ponto \(C\) são \((3,-2)\).
Na figura está representada graficamente parte de uma função \(g\), definida por
\[
g(x)=20+8x-x^2
\]
Sabe-se que \(P\) se desloca sobre a representação gráfica de \(g\), no primeiro quadrante, \(A\) tem a mesma abcissa de \(P\), \(B\) é a interseção do gráfico de \(g\) com o semieixo positivo \(Ox\), e \(C\) é um vértice do retângulo \([ABCP]\).
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora gráfica, determine o perímetro do retângulo \([ABCP]\) que tem maior área.
Sugestão: comece por mostrar que \(a(x)=x^3-18x^2+60x+200,\ 0\le x<10\).
Temos que \(A\) e \(P\) têm a mesma abcissa, logo \(AP=g(x)=-x^2+8x+20\).
Considere a função \(g\), de domínio \([-5,5]\), definida por
\[
g(x)=-|x-1|+3
\]
16.1. Exprima \(g\) sem usar o símbolo módulo.
16.2. Indique o contradomínio de \(g\), os zeros de \(g\) e os intervalos de monotonia de \(g\).
16.3. Utilizando processos exclusivamente analíticos, resolva a inequação \(g(x)<0\).
16.4. Considere a função \(f\) definida, em \(IR\), por \(f(x)=a|x-b|+c\), com \(a,b,c\in IR\), cujo gráfico cartesiano está parcialmente representado no referencial \(Oxy\). Resolva, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a equação \(f(x)=g(x)\).
Seja \(f\) uma função quadrática definida por uma expressão do tipo
\[
f(x)=a(x-h)^2+k,\quad a,h,k\in IR
\]
Na figura, estão representados a parábola que representa a função \(f\) e o triângulo \([ABC]\).
Sabe-se que \(V(2,-1)\), a parábola interseta o eixo \(Oy\) no ponto \(A\), o ponto \(B\) pertence à parábola e tem ordenada igual à de \(A\), e a área de \([AVB]\) é \(4\).
17.1. Identifique o eixo de simetria da parábola e determine as coordenadas dos pontos \(A\) e \(B\).
17.2. Indique os valores de \(h\) e \(k\) e determine \(a\).
17.3. O ponto \(P\) pertence ao gráfico de \(f\), tem abcissa positiva e ordenada \(7\). Determine as coordenadas de \(P\).
17.1. O eixo de simetria é a abcissa do vértice da parábola, isto é, \(x=2\).
As coordenadas do ponto \(A\) são do tipo \((0,y_A)\) e as do ponto \(B\) são do tipo \((4,y_A)\).
Considere uma função quadrática \(f\) representada graficamente num referencial cartesiano por uma parábola de vértice de coordenadas \((5,1)\). Sabe-se que a função tem dois zeros distintos.
Qual das expressões pode definir a função \(f\)?
\((x-4)(x-6)\)
\(-(x-4,2)(x-6,2)\)
\((x-3)(7-x)\)
Opção I. falsa porque se trata de uma função com concavidade voltada para cima e, como o vértice é \((5,1)\), a função não podia ter zeros.
Opção II. falsa porque os zeros da função quadrática são \(4,2\) e \(6,2\), logo a abcissa do vértice seria:
\[
\frac{4,2+6,2}{2}=\frac{10,4}{2}=5,2\ne5
\]
Opção III. verdadeira:
\[
(x-3)(7-x)=-(x-3)(x-7)
\]
21.
Tangência
Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), parte da parábola que representa a função quadrática \(f\).
Sabe-se que:
\(0\) e \(4\) são zeros da função;
o ponto \(B(1,-3)\) pertence ao gráfico de \(f\).
Seja \(m\) um número real. Considere a função afim \(g(x)=mx-9\) e a reta \(r\) que a representa graficamente.
Determine para que valor de \(m\) a reta \(r\) é tangente à parábola da figura.
A função pode ser representada por \(f(x)=a(x-h)^2+k\).
