Funções - Exercícios Tipo Exame

Funções, gráficos, transformações, função módulo e função quadrática

📌 Resumo teórico

Generalidades

Função afim \(f(x)=ax+b\)

Reta de declive \(a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), com \(x_1\ne x_2\), e ordenada na origem \(b\). Se \(a\ne0\), o zero é \(-\dfrac{b}{a}\). Se \(a=0\), a função é constante: todos os reais são zeros quando \(b=0\), e não há zeros quando \(b\ne0\). É estritamente crescente se \(a>0\) e estritamente decrescente se \(a<0\). Retas não verticais com o mesmo declive são paralelas ou coincidentes.

Função quadrática

\[ f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k,\qquad a\ne0,\quad h=-\frac{b}{2a} \]

Função módulo

\(|x|=x\) se \(x\ge 0\) e \(|x|=-x\) se \(x\lt 0\). Para \(a\ne0\), \(y=a|x-h|+k\) tem vértice \((h,k)\); se \(a=0\), é constante. Para \(a\gt 0\): \(|x|\lt a\iff -a\lt x\lt a\) e \(|x|\gt a\iff x\lt -a\vee x\gt a\).

Transformações de gráficos

\(g(x)\)Transformação do gráfico de \(f\)
\(f(x)+k\)translação vertical de \(k\)
\(f(x-h)\)translação horizontal de \(h\)
\(-f(x)\) / \(f(-x)\)reflexão em \(Ox\) / em \(Oy\)
\(a\,f(x)\), \(a\gt 0\)dilatação (\(a\gt 1\)) ou contração (\(0\lt a\lt 1\)) vertical

Exercícios Tipo Exame

1.

Leitura de gráfico

Na figura está representada uma função, \(g\), de domínio \(\left[-2,2\right]\) e contradomínio \(\left[-3,3\right]\).

Sabe-se que:

  • \(a\in D_g\wedge b\in D_g\)
  • \(a<b\wedge g(a)\times g(b)<0\)

Em qual das opções existem duas afirmações falsas?

(A) \(\dfrac{g(a)}{g(b)}>0\wedge g(-1)<g\left(-\dfrac12\right)\) (B) \(g(a)+g(b)=g(a)\wedge g(-a)+g(b)>0\) (C) \(g(b)-g(a)<0\wedge g(a+b)>3\) (D) \(g(b)-g(a)=g(b)\wedge g(2+a)\ge0\)
Gráfico da função g

Se \(a<b\wedge g(a)\times g(b)<0\), então \(a<0\) e \(b>0\).

Como \(b>0\), então \(g(b)>0\). Como \(a<0\), então \(g(a)<0\), isto é, \(-g(a)>0\).

Assim, \(g(b)-g(a)>0\). Portanto, \(g(b)-g(a)<0\) é falso.

Como \(a\in[-2,0[\) e \(b\in]0,2]\), então \(a+b\in[-2,2]\) e \(g(a+b)\in[-3,3]\), logo \(g(a+b)\le3\).

Portanto, \(g(a+b)>3\) é falso.

OPÇÃO: C

2.

Função afim

Na figura estão representados os pontos \(A\) e \(B\) e o gráfico de uma função afim, \(f\).

Sabe-se que:

  • o ponto \(A\) tem coordenadas \(\left(-2,\dfrac{16}{5}\right)\);
  • o ponto \(B\) tem coordenadas \(\left(6,-\dfrac65\right)\);
  • tal como a figura indica, \(A\) está acima do gráfico de \(f\) e \(B\) está abaixo dele.

Qual das seguintes expressões algébricas pode representar \(f\)?

(A) \(\dfrac12x+\dfrac52\) (B) \(-\dfrac12x+\dfrac52\) (C) \(-\dfrac12x+2\) (D) \(-\dfrac12x+\dfrac32\)
Gráfico da função afim com os pontos A e B

A opção (A) é excluída porque o declive de \(f\) é negativo.

Opção (B): \(f(-2)=-\dfrac12(-2)+\dfrac52=\dfrac72\), e a ordenada de \(A\) é menor do que \(\dfrac72\).

Opção (C):

\[ f(6)=-\frac12\cdot6+2=-1 \qquad\text{e}\qquad f(-2)=-\frac12(-2)+2=3 \]

A ordenada de \(B\) é menor do que \(-1\) e a ordenada de \(A\) é maior do que \(3\).

A opção (D) também é excluída: \(f(6)=-\frac32<-\frac65\), o que colocaria \(B\) acima da reta. Só a opção (C) satisfaz ambas as posições indicadas.

OPÇÃO: C

3.

Distância num retângulo

No referencial cartesiano está representado um retângulo, \([OABC]\).

Sabe-se que:

  • os pontos \(A\) e \(B\) têm abcissa \(6\);
  • os pontos \(B\) e \(C\) têm ordenada \(3\).

Um ponto \(P\) parte do ponto \(O\) e desloca-se, no sentido positivo, sobre o eixo \(Ox\) até ao ponto \(A\).

Considere a função \(f\) que a \(x\), abcissa de \(P\), faz corresponder a distância de \(P\) a \(B\), sendo esta representada por \(f(x)\).

3.1. Calcule o número representado por \(f(6)-f(2)\).

3.2. Qual dos conjuntos representa o contradomínio da função \(f\)?

(A) \(\mathbb{R}_0^+\) (B) \(\left[3,3\sqrt5\right]\) (C) \([0,6]\) (D) \(\left[6,3\sqrt5\right]\)
Retângulo OABC e ponto P

Como \(P=(x,0)\) e \(B=(6,3)\), \(f(x)=\sqrt{(6-x)^2+9}\), com \(x\in[0,6]\).

3.1. Temos que \(f(6)=AB=3\).

Recorrendo ao Teorema de Pitágoras, podemos calcular \(PB\) quando a abcissa é \(2\).

\[ PA=6-2=4,\quad AB=3 \] \[ PB^2=PA^2+AB^2\Leftrightarrow PB^2=16+9\Leftrightarrow PB^2=25\Leftrightarrow PB=5 \]

Então, \(f(2)=5\) e \(\therefore f(6)-f(2)=3-5=-2\).

3.2. A maior distância de \(P\) a \(B\) é quando a abcissa da função é \(0\), isto é, \(f(0)\).

\[ PB^2=OA^2+AB^2\Leftrightarrow PB^2=36+9\Leftrightarrow PB^2=45 \]

A menor distância de \(P\) a \(B\) é quando a abcissa da função é \(6\), isto é, \(f(6)=3\).

\[ D'_f=\left[3,\sqrt{45}\right]=\left[3,\sqrt{9\times5}\right]=\left[3,3\sqrt5\right] \]

OPÇÃO: B

4.

Reta e coordenadas

A reta representada no referencial cartesiano é uma representação de parte da função \(f\).

Sabe-se que:

  • a reta interseta o eixo \(Oy\) no ponto de coordenadas \((0,-2)\);
  • o ponto de coordenadas \((-3,-6)\) pertence ao gráfico de \(f\).

O ponto \(A\) faz parte do gráfico da função \(f\) e tem ordenada \(2\). Determine as coordenadas do ponto \(A\).

Reta no referencial cartesiano

Como \((0,-2)\) faz parte da função, então \(f(x)=ax-2\).

\[ -6=-3a-2\Leftrightarrow 3a=4\Leftrightarrow a=\frac43 \] \[ f(x)=\frac43x-2 \]

Como \(A\) pertence à função e tem ordenada \(2\), então:

\[ \frac43x-2=2\Leftrightarrow \frac43x=4\Leftrightarrow x=3 \]

\(\therefore A(3,2)\)

5.

Gráficos de funções

Na figura estão representados graficamente as funções \(f\) e \(g\):

Gráficos das funções f e g

5.1. Determine o domínio e o contradomínio da função \(f\).

5.2. Indique o valor lógico das seguintes afirmações:

  1. A função \(f\) é decrescente no intervalo \([-1,3]\).
  2. \(1\) é um máximo relativo da função \(f\).
  3. \(f\) é positiva em \([-4,0]\).
  4. \(4\) é um maximizante de \(f\).
  5. Existe um elemento \(x\) tal que \(f(x)=-2\).

5.3. Sejam \(g(a)=2\) e \(g(3)=b\). Calcule o valor de \((a-b)(a+b)\).

5.4. Determine o conjunto dos valores de \(x\) que satisfazem a condição \(f(x)\times g(0)<0\).

5.1. \(D_f=[-4,4]\) e \(D'_f=[-4,3]\).

5.2.

  1. A função \(f\) é decrescente no intervalo \([-1,3]\). (V)
  2. \(1\) é um máximo relativo da função \(f\). (F)
  3. \(f\) é positiva em \([-4,0]\). (F)
  4. \(4\) é um maximizante de \(f\). (F) O maximizante absoluto é \(-4\), com \(f(-4)=3\); \(4\) é o minimizante absoluto, com \(f(4)=-4\).
  5. Existe um elemento \(x\) tal que \(f(x)=-2\). (V)

5.3. Temos que \(g(a)=2\Leftrightarrow a=3\) e \(g(3)=b\Leftrightarrow b=2\).

\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2=3^2-2^2=5 \]

5.4. Como \(g(0)=-1\), então:

\[ f(x)\times g(0)<0\Leftrightarrow -f(x)<0\Leftrightarrow f(x)>0\Leftrightarrow x\in[-4,0[ \]
6.

Domínio, contradomínio e monotonia

Na figura está representado, num referencial cartesiano, o gráfico de uma função \(f\), de domínio \([-2,7]\).

6.1. Escreva o conjunto dos valores de \(k\) para os quais a equação \(f(x)=k\) é impossível.

Apresente a sua resposta na forma de intervalo ou de união de intervalos.

6.2. Qual das seguintes afirmações é falsa?

(A) \(-1\) é um mínimo absoluto da função. (B) \(-1\) é um máximo relativo da função. (C) A função \(f\) é crescente em sentido lato. (D) A função \(f\) é decrescente em sentido lato em \([1,3]\).

6.3. Indique o conjunto-solução da condição \(f(x)<2\).

Gráfico da função f

6.1. O conjunto de imagens é \([-1,3]\). Assim, a equação é impossível para:

\[ ]-\infty,-1[\cup]3,+\infty[ \]

6.2. OPÇÃO: C. A função decresce entre \(-1\) e \(2\), pelo que não é crescente em sentido lato em todo o domínio. A opção (B) é verdadeira no sentido não estrito: no interior do patamar \(]2,3[\), o valor \(-1\) é também um máximo relativo. A opção (D) é verdadeira, pois em \([1,3]\) a função decresce e depois é constante.

6.3. Inclui-se \(x=-2\), pois \(f(-2)=0<2\); excluem-se \(-1\) e \(4\), onde \(f(x)=2\).

\[ [-2,-1[\cup]-1,4[ \]
7.

Funções afins

Sejam \(k\) e \(p\) números reais. Considere as funções afins \(f\) e \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por:

\[ f(x)=(2k+1)x-4p\quad\text{e}\quad g(x)=-3x+6 \]

Sabe-se que as retas que representam, num referencial cartesiano, as funções \(f\) e \(g\):

  • têm o mesmo declive;
  • intersetam o eixo \(Ox\) no mesmo ponto.

Determine os valores de \(k\) e \(p\).

Como as retas têm o mesmo declive, os coeficientes de \(x\) nas expressões de \(f\) e \(g\) são iguais:

\[ 2k+1=-3\Leftrightarrow 2k=-4\Leftrightarrow k=-2 \]

Interseção de \(g\) com o eixo \(Ox\):

\[ g(x)=0\Leftrightarrow -3x+6=0\Leftrightarrow x=2 \]

Assim, \(f(2)=0\):

\[ (2(-2)+1)\times2-4p=0\Leftrightarrow -6-4p=0\Leftrightarrow p=-\frac32 \]

\(\therefore k=-2\) e \(p=-\dfrac32\). Para estes valores, \(f(x)=g(x)=-3x+6\): as retas são coincidentes.

8.

Monotonia e zeros

De uma função \(f\), de domínio \([-4,5]\), sabe-se que:

  • \(f(-4)=6;\ f(2)=-1;\ f(5)=1\)
  • \(f\) é estritamente decrescente no intervalo \([-4,2]\);
  • \(f\) é estritamente crescente no intervalo \([2,5]\).

Quantas soluções poderá ter, no máximo, a equação \(f(x)=0\)?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

A função \(f\) é estritamente decrescente no intervalo \([-4,2]\), \(f(-4)=6\) e \(f(2)=-1\), logo \(f\) tem no máximo um zero no intervalo \([-4,2]\).

A função \(f\) é estritamente crescente no intervalo \([2,5]\), \(f(2)=-1\) e \(f(5)=1\), logo \(f\) tem no máximo um zero no intervalo \([2,5]\).

Logo, \(f(x)=0\) tem no máximo duas soluções no intervalo \([-4,5]\).

O máximo de dois zeros é possível, por exemplo ligando os três pontos dados por segmentos de reta. Sem continuidade, as mudanças de sinal, por si só, não garantem a existência de zeros.

OPÇÃO: C

9.

Procura, oferta e equilíbrio

Admita que, relativamente a um dado produto, as funções \(f\) e \(g\) traduzem o preço, em euros, em função da quantidade procurada e da quantidade oferecida pelo mercado, respetivamente.

São conhecidos os valores na tabela seguinte.

Tabela com preço, quantidade procurada e quantidade oferecida

Sabe-se que os gráficos das funções \(f\) e \(g\) estão contidos nas retas \(r\) e \(s\), respetivamente, e estão parcialmente representados na figura seguinte.

Retas da procura e da oferta

9.1. Escreva as equações reduzidas das retas \(r\) e \(s\).

9.2. Designa-se por ponto de equilíbrio, o ponto \(E\) de interseção dos gráficos das funções \(f\) e \(g\). Determine as coordenadas do ponto de equilíbrio \(E\) e confirme a resposta recorrendo às capacidades gráficas da calculadora.

9.3. Observando a nova situação através da representação gráfica ao lado, podemos verificar que a linha da procura se iria deslocar 100 unidades para a direita \((f_1)\), gerando um excesso de procura e alterando o ponto de equilíbrio \((E_1)\).

Nova situação da procura e da oferta

Escreva a expressão algébrica de \(f_1\), e determine o valor exato das coordenadas \(E_1\).

9.4. Num modelo económico teórico, considere que o domínio de \(f_1\) é \([200,800]\) e o domínio de \(g\) é \([150,650]\). Considere \(f_2(x)=f_1(x)+k,\ k\in \mathbb{R}^+\). Determine os valores de \(k\) para os quais deixe de existir ponto de equilíbrio entre a procura e a oferta.

9.1. Reta \(r\): pontos \((700,10)\) e \((100,50)\).

\[ f(x)=-\frac1{15}x+\frac{170}{3} \]

Reta \(s\): pontos \((150,10)\) e \((650,50)\).

\[ g(x)=\frac2{25}x-2 \]

9.2.

\[ f(x)=g(x)\Leftrightarrow -\frac1{15}x+\frac{170}{3}=\frac2{25}x-2 \] \[ -5x+4250=6x-150\Leftrightarrow -11x=-4400\Leftrightarrow x=400 \] \[ f(400)=-\frac1{15}\times400+\frac{170}{3}=30 \]

\(\therefore E(400,30)\)

Confirmação gráfica do ponto de equilíbrio

9.3. Pontos de \(f_1\), com a deslocação de 100 unidades para a direita:

\[ (700+100,10)=(800,10)\quad\text{e}\quad(100+100,50)=(200,50) \] \[ y=-\frac1{15}x+b,\qquad 50=-\frac1{15}\times200+b\Leftrightarrow b=\frac{190}{3} \] \[ f_1(x)=-\frac1{15}x+\frac{190}{3} \] \[ g(x)=f_1(x)\Leftrightarrow \frac2{25}x-2=-\frac1{15}x+\frac{190}{3} \] \[ 6x-150=-5x+4750\Leftrightarrow 11x=4900\Leftrightarrow x=\frac{4900}{11} \] \[ g\left(\frac{4900}{11}\right)=\frac2{25}\times\frac{4900}{11}-2=\frac{370}{11} \]

\(\displaystyle E_1\left(\frac{4900}{11},\frac{370}{11}\right)\)

9.4.

\[ f_2(x)=f_1(x)+k=-\frac1{15}x+\frac{190}{3}+k \] \[ g(x)=f_2(x)\Leftrightarrow \frac2{25}x-2=-\frac1{15}x+\frac{190}{3}+k \] \[ 6x-150=-5x+4750+75k\Leftrightarrow 11x=4900+75k \] \[ x=\frac{4900+75k}{11} \]

O domínio comum é \([200,650]\). Como \(k>0\), a abcissa calculada é maior do que \(4900/11>200\); deixa, portanto, de existir equilíbrio exatamente quando \(x>650\). Para \(k=30\), ainda existe equilíbrio em \((650,50)\).

\[ \frac{4900+75k}{11}>650\Leftrightarrow 4900+75k>7150\Leftrightarrow 75k>2250\Leftrightarrow k>30 \]
10.

Função quadrática

Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), parte da parábola que é o gráfico da função \(f\).

Sabe-se que:

  • a parábola contém o ponto de coordenadas \((-1,5)\);
  • os zeros de \(f\) são \(0\) e \(4\).

10.1. Mostre que a função \(f\) é definida por \(f(x)=(x-2)^2-4\).

10.2. Determine os valores de \(x\) que satisfazem a condição \(f(x)\ge5\).

10.3. Considere a função \(g\) definida por \(g(x)=2+f(x-1)\). Determine o contradomínio de \(g\) e os zeros de \(g\).

Parábola da função f

10.1. Como \(0\) e \(4\) são zeros da função, então:

\[ f(x)=a(x-0)(x-4)=ax(x-4) \] \[ f(-1)=5\Leftrightarrow a(-1)(-1-4)=5\Leftrightarrow a=1 \] \[ \begin{aligned} f(x)&=x(x-4)=x^2-4x\\ &=x^2-4x+2^2-2^2\\ &=(x-2)^2-4 \end{aligned} \]

c.q.m.

10.2.

\[ \begin{aligned} f(x)\ge5&\Leftrightarrow (x-2)^2-4\ge5\\ &\Leftrightarrow (x-2)^2\ge9 \end{aligned} \] \[ x-2\ge3\vee x-2\le-3\Leftrightarrow x\ge5\vee x\le-1 \] \[ x\in]-\infty,-1]\cup[5,+\infty[ \]
Representação gráfica da solução de f(x) maior ou igual a 5

10.3. A função \(g\) é uma translação horizontal associada ao vetor \(\vec v(1,0)\), seguida de uma translação vertical associada ao vetor \(\vec u(0,2)\).

a)

\[ D'_f=[-4,+\infty[ \qquad\Rightarrow\qquad D'_g=[-2,+\infty[ \]

b) A translação vertical também altera os zeros. Substituindo a expressão de \(f\):

\[ \begin{aligned} g(x)&=2+((x-1)-2)^2-4\\ &=(x-3)^2-2 \end{aligned} \] \[ g(x)=0\Leftrightarrow(x-3)^2=2 \] \[ x=3-\sqrt2\quad\vee\quad x=3+\sqrt2 \] \[ \text{C.S.}=\{3-\sqrt2,3+\sqrt2\} \]
11.

Translação de parábola

Sejam \(f\) e \(g\) as funções, de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por

\[ f(x)=x^2\quad\text{e}\quad g(x)=f(x-3) \]

Quais são as coordenadas do vértice da parábola que representa, num referencial cartesiano, a função \(g\)?

(A) \((0,-3)\) (B) \((0,3)\) (C) \((-3,0)\) (D) \((3,0)\)

As coordenadas do vértice da parábola de \(f\) são \((0,0)\).

A função \(g\) é uma translação horizontal associada ao vetor \(\vec v(3,0)\), logo, o vértice da função \(g\) tem coordenadas \((3,0)\).

OPÇÃO: D

12.

Inequação e trapézio

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

\[ f(x)=2x^2-12x+16 \]

Resolva os seguintes itens sem recorrer à calculadora.

12.1. Determine o conjunto-solução da inequação \(f(x)\ge -4\left(x-\dfrac{13}{2}\right)\).

12.2. Na figura, estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico da função \(f\), os pontos \(A\) e \(B\), a reta \(r\), o ponto \(C\), o ponto \(D\) e o trapézio \([ABCD]\).

A figura indica que \(A\) e \(B\) são as interseções com \(Ox\), \(C\) é o vértice da parábola, \(r\) é a reta vertical que passa por \(A\) e \(D\) pertence a \(r\) e tem a mesma ordenada de \(C\).

a) Prove que as coordenadas do ponto \(C\) são \((3,-2)\).

b) Determine a área do quadrilátero \([ABCD]\).

Trapézio ABCD e parábola

12.1.

\[ f(x)\ge -4\left(x-\frac{13}{2}\right) \Leftrightarrow 2x^2-12x+16\ge -4x+26 \] \[ \Leftrightarrow 2x^2-8x-10\ge0 \]

C.A.

\[ 2x^2-8x-10=0 \Leftrightarrow x=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\times2\times(-10)}}{4} \] \[ x=\frac{8\pm12}{4}\Leftrightarrow x=5\vee x=-1 \] \[ x\in]-\infty,-1]\cup[5,+\infty[ \]

12.2.a)

\[ f(x)=2x^2-12x+16=2(x^2-6x)+16 \] \[ =2(x^2-6x+3^2-3^2)+16=2(x-3)^2-18+16=2(x-3)^2-2 \]

Assim, \(C(3,-2)\). c.q.m.

12.2.b)

Os zeros de \(f\) são as abcissas de \(A\) e \(B\):

\[ 2x^2-12x+16=0\Leftrightarrow x^2-6x+8=0\Leftrightarrow x=2\vee x=4 \]

Logo, \(A(2,0)\), \(B(4,0)\), \(C(3,-2)\) e \(D(2,-2)\).

\[ A_{[ABCD]}=\frac{AB+CD}{2}\times AD=\frac{2+1}{2}\times2=3 \]

\(\therefore A_{[ABCD]}=3\ \text{u.a.}\)

13.

Área máxima de triângulo

Na figura está representada graficamente uma função afim, \(f\), definida por

\[ f(x)=16-2x \]

Sabe-se que \(P\) se desloca sobre a representação gráfica de \(f\), no primeiro quadrante, e que o triângulo \([OAP]\) é retângulo em \(A\).

Usando as capacidades gráficas da calculadora, determine a área máxima do triângulo \([OAP]\).

Sugestão: mostre que a área é dada por \(a(x)=8x-x^2,\ 0<x<8\).

Triângulo OAP sob uma função afim

\(OA=x\) e \(AP=f(x)=16-2x\).

\[ A_{[OAP]}=\frac{OA\times AP}{2}=\frac{x(16-2x)}{2}=\frac{16x-2x^2}{2}=-x^2+8x \]

A área máxima é \(16\ \text{u.a.}\), atingida em \(x=4\), com \(P=(4,8)\)

Calculadora com a área máxima do triângulo
14.

Retângulo de área máxima

Na figura está representada graficamente parte de uma função \(g\), definida por

\[ g(x)=20+8x-x^2 \]

Sabe-se que \(P\) se desloca sobre a representação gráfica de \(g\), no primeiro quadrante, \(A\) tem a mesma abcissa de \(P\), \(B\) é a interseção do gráfico de \(g\) com o semieixo positivo \(Ox\), e \(C\) é um vértice do retângulo \([ABCP]\).

Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora gráfica, determine o perímetro do retângulo \([ABCP]\) que tem maior área.

Sugestão: comece por mostrar que \(a(x)=x^3-18x^2+60x+200,\ 0<x<10\).

Retângulo ABCP sob a parábola

Temos que \(A\) e \(P\) têm a mesma abcissa, logo \(AP=g(x)=-x^2+8x+20\).

Para determinar \(B\):

\[ g(x_B)=0\Leftrightarrow -x^2+8x+20=0\Leftrightarrow x=-2\vee x=10 \]

Como \(x_B>0\), então \(x_B=10\) e \(AB=10-x\).

\[ A_{[ABCP]}=AB\times AP=(10-x)(-x^2+8x+20) \] \[ a(x)=x^3-18x^2+60x+200,\quad x\in]0,10[ \]

A calculadora indica que a maior área é \(256\ \text{u.a.}\) quando \(x=2\). O ponto \(x=0\) é excluído porque \(P\) pertence ao primeiro quadrante. Pode confirmar-se o máximo por \(256-a(x)=(x-2)^2(14-x)\ge0\) no domínio \(]0,10[\), com igualdade apenas em \(x=2\).

\[ P_{[ABCP]}=2(10-x)+2(-x^2+8x+20) \] \[ P_{[ABCP]}=2(10-2)+2(-2^2+16+20)=16+64=80 \]

\(\therefore P_{[ABCP]}=80\ \text{u.c.}\)

Calculadora com a área máxima do retângulo
15.

Função definida por ramos

Observe a figura onde se encontra representada, num referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico de uma função \(f\) de domínio \(\mathbb{R}\).

Sabe-se que:

  • para \(x<-3\), o gráfico de \(f\) é a semirreta que passa nos pontos \((-4,1)\) e \((-6,-2)\);
  • \(f(-3)=-4\);
  • para \(x>-3\), o gráfico de \(f\) é parte da parábola que passa nos pontos \((-2,0)\), \((0,-2)\) e \((2,0)\).

15.1. Defina analiticamente a função \(f\) por ramos.

15.2. Determine os zeros da função \(g\) definida por \(g(x)=f(x-1)\).

15.3. Indique o(s) intervalo(s) de maior amplitude em que, simultaneamente, \(f(x)<0\) e \(f\) é decrescente.

Função definida por semirreta, ponto isolado e parábola

15.1. Para \(x<-3\):

\[ a=\frac{1+2}{-4+6}=\frac32,\qquad y=\frac32x+b \] \[ -2=\frac32(-6)+b\Leftrightarrow b=7 \]

Para \(x>-3\): como \(-2\) e \(2\) são zeros da parábola, então \(V(0,-2)\).

\[ y=ax^2-2,\qquad 0=a2^2-2\Leftrightarrow a=\frac12 \] \[ f(x)= \begin{cases} \frac32x+7,&x<-3\\ -4,&x=-3\\ \frac12x^2-2,&x>-3 \end{cases} \]

c.q.m.

15.2.

\[ g(x)=f(x-1) \] \[ g(x)= \begin{cases} \frac32x+\frac{11}{2},&x<-2\\ -4,&x=-2\\ \frac12(x-1)^2-2,&x>-2 \end{cases} \] \[ \frac32x+\frac{11}{2}=0\wedge x<-2\Leftrightarrow x=-\frac{11}{3} \] \[ \begin{gathered} \frac12(x-1)^2-2=0,\quad x>-2\\ \Leftrightarrow (x-1)^2=4,\quad x>-2\\ \Leftrightarrow x=-1\vee x=3 \end{gathered} \] \[ \text{C.S.}=\left\{-\frac{11}{3},-1,3\right\} \]

15.3. No ramo parabólico, a função é negativa para \(-2<x<2\) e decrescente até \(x=0\), inclusive. O ramo afim é crescente. Assim, o intervalo de maior amplitude pedido é:

\[ ]-2,0] \]
16.

Função módulo

Considere a função \(g\), de domínio \([-5,5]\), definida por

\[ g(x)=-|x-1|+3 \]

16.1. Exprima \(g\) sem usar o símbolo módulo.

16.2. Indique o contradomínio de \(g\), os zeros de \(g\) e os intervalos de monotonia de \(g\).

16.3. Utilizando processos exclusivamente analíticos, resolva a inequação \(g(x)<0\).

16.4. Considere a função \(f\) definida, em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=a|x-b|+c\), com \(a,b,c\in \mathbb{R}\), cujo gráfico cartesiano está parcialmente representado no referencial \(Oxy\). Resolva, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a equação \(f(x)=g(x)\).

Gráfico de função módulo para o exercício 16

16.1.

\[ g(x)= \begin{cases} -x+4,&1\le x\le5\\ x+2,&-5\le x<1 \end{cases} \]

16.2.a) \(D'_g=[-3,3]\).

16.2.b)

\[ -|x-1|+3=0\Leftrightarrow |x-1|=3 \Leftrightarrow x-1=3\vee x-1=-3 \] \[ \text{C.S.}=\{-2,4\} \]

16.2.c) \(g\) é crescente em \([-5,1]\) e decrescente em \([1,5]\).

16.3.

\[ g(x)<0\Leftrightarrow -|x-1|+3<0\Leftrightarrow |x-1|>3 \] \[ x>4\vee x<-2 \] \[ x\in(]-\infty,-2[\cup]4,+\infty[)\cap[-5,5]=[-5,-2[\cup]4,5] \]

16.4. Pela figura, o vértice é \((2,0)\), logo \(b=2\) e \(c=0\). Como \(f(0)=2\), \(a|0-2|=2\Leftrightarrow a=1\). Assim, \(f(x)=|x-2|\). Representam-se os dois gráficos respeitando o domínio \([-5,5]\) de \(g\).

Gráficos de f(x)=|x-2| e g(x)=-|x-1|+3, com g restrita a [-5,5] e pontos fechados nos extremos; interseções (0,2) e (3,1)
\[ f(x)=g(x)\Leftrightarrow x=0\vee x=3 \] \[ \text{C.S.}=\{0,3\} \]
17.

Parábola e triângulo

Seja \(f\) uma função quadrática definida por uma expressão do tipo

\[ f(x)=a(x-h)^2+k,\quad a,h,k\in \mathbb{R} \]

Na figura, estão representados a parábola que representa a função \(f\) e o triângulo \([AVB]\).

Sabe-se que \(V(2,-1)\), a parábola interseta o eixo \(Oy\) no ponto \(A\), o ponto \(B\) pertence à parábola e tem ordenada igual à de \(A\), e a área de \([AVB]\) é \(4\).

17.1. Identifique o eixo de simetria da parábola e determine as coordenadas dos pontos \(A\) e \(B\).

17.2. Indique os valores de \(h\) e \(k\) e determine \(a\).

17.3. O ponto \(P\) pertence ao gráfico de \(f\), tem abcissa positiva e ordenada \(7\). Determine as coordenadas de \(P\).

Parábola e triângulo AVB

17.1. O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice da parábola: \(x=2\).

As coordenadas do ponto \(A\) são do tipo \((0,y_A)\) e as do ponto \(B\) são do tipo \((4,y_A)\).

\[ A_{[AVB]}=\frac{AB\times(y_A-(-1))}{2} \] \[ 4=\frac{4(y_A+1)}{2}\Leftrightarrow y_A+1=2\Leftrightarrow y_A=1 \]

\(\therefore A(0,1)\) e \(B(4,1)\).

17.2.

\[ V(2,-1)\Rightarrow f(x)=a(x-2)^2-1 \] \[ f(0)=1\Leftrightarrow a(0-2)^2-1=1\Leftrightarrow 4a=2\Leftrightarrow a=\frac12 \]

\(\therefore h=2,\ k=-1\) e \(a=\dfrac12\).

17.3.

\[ f(x)=7\Leftrightarrow \frac12(x-2)^2-1=7\Leftrightarrow (x-2)^2=16 \] \[ x-2=-4\vee x-2=4\Leftrightarrow x=-2\vee x=6 \]

Como \(x>0\), \(\therefore P(6,7)\).

18.

Estudo de função quadrática

Considere a função quadrática, \(f\), definida por

\[ f(x)=-2x^2+3x+2 \]

Estude a função \(f\) quanto aos zeros, ao sinal, à monotonia e aos extremos.

Zeros:

\[ f(x)=0\Leftrightarrow -2x^2+3x+2=0 \] \[ \begin{gathered} x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4(-2)(2)}}{-4}\\ \Leftrightarrow x=2\vee x=-\frac12 \end{gathered} \]

Sinal:

Valores de \(x\)Sinal de \(f(x)\)
\(]-\infty,-\frac12[\)\(-\)
\(-\frac12\)\(0\)
\(]-\frac12,2[\)\(+\)
\(2\)\(0\)
\(]2,+\infty[\)\(-\)

Monotonia e extremos:

\[ \begin{aligned} f(x)&=-2x^2+3x+2\\ &=-2\left(x-\frac34\right)^2+\frac{25}{8} \end{aligned} \]

Vértice da parábola: \(\left(\dfrac34,\dfrac{25}{8}\right)\).

Máximo absoluto da função: \(\dfrac{25}{8}\), atingido em \(x=\dfrac34\). Não existe mínimo absoluto.

A função é crescente em \(]-\infty,\dfrac34]\) e decrescente em \([\dfrac34,+\infty[\).

19.

Parábola e reta

Seja \(a\) um número real não nulo. Considere a função quadrática \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

\[ f(x)=a(x-1)(x+3) \]

19.1. Considere as proposições seguintes:

  1. O contradomínio da função \(f\) pode ser \([0,+\infty[\).
  2. O vértice da parábola que representa a função tem coordenadas \((1,3)\).

Justifique que as proposições I. e II. são falsas.

19.2. Considere \(g(x)=2x+7\). Determine para que valores de \(a\) os gráficos das funções \(f\) e \(g\) têm um único ponto em comum.

19.1. I. é falsa: o vértice tem ordenada \(f(-1)=-4a\). Se \(a>0\), a imagem é \([-4a,+\infty[\), com \(-4a<0\). Se \(a<0\), a imagem é \(]-\infty,-4a]\), limitada superiormente. Nenhum dos casos dá \([0,+\infty[\).

II. é falsa porque, sendo \(1\) e \(-3\) os zeros da função quadrática, então:

\[ x_V=\frac{-3+1}{2}=-1 \]

19.2. Queremos determinar os valores de \(a\) para os quais \(f(x)=g(x)\) tem uma única solução.

\[ a(x-1)(x+3)=2x+7 \] \[ a(x^2+2x-3)=2x+7 \] \[ ax^2+(2a-2)x-3a-7=0 \]

A equação só tem uma solução se o binómio discriminante for igual a zero:

\[ (2a-2)^2-4a(-3a-7)=0 \] \[ 4a^2-8a+4+12a^2+28a=0 \] \[ 16a^2+20a+4=0\Leftrightarrow 4a^2+5a+1=0 \] \[ a=\frac{-5\pm3}{8}\Leftrightarrow a=-1\vee a=-\frac14 \]
20.

Expressões de função quadrática

Considere uma função quadrática \(f\) representada graficamente num referencial cartesiano por uma parábola de vértice de coordenadas \((5,1)\). Sabe-se que a função tem dois zeros distintos.

Qual das expressões pode definir a função \(f\)?

  1. \((x-4)(x-6)\)
  2. \(-(x-4,2)(x-6,2)\)
  3. \(\frac14(x-3)(7-x)\)

Opção I. falsa: \((x-4)(x-6)=(x-5)^2-1\) tem vértice \((5,-1)\), diferente de \((5,1)\).

Opção II. falsa porque os zeros da função quadrática são \(4,2\) e \(6,2\), logo a abcissa do vértice seria:

\[ \frac{4,2+6,2}{2}=\frac{10,4}{2}=5,2\ne5 \]

Opção III. verdadeira: tem zeros distintos \(3\) e \(7\), e vértice \((5,1)\), pois:

\[ \begin{aligned} \frac14(x-3)(7-x)&=-\frac14\bigl((x-5)^2-4\bigr)\\ &=-\frac14(x-5)^2+1 \end{aligned} \]
21.

Tangência

Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), parte da parábola que representa a função quadrática \(f\).

Sabe-se que:

  • \(0\) e \(4\) são zeros da função;
  • o ponto \(B(1,-3)\) pertence ao gráfico de \(f\).

Seja \(m\) um número real. Considere a função afim \(g(x)=mx-9\) e a reta \(r\) que a representa graficamente.

Determine para que valores de \(m\) a reta \(r\) é tangente à parábola da figura.

Parábola com zeros 0 e 4, vértice (2,-4) e ponto B(1,-3)

A função pode ser representada por \(f(x)=a(x-h)^2+k\).

Seja \(V\) o vértice da parábola. Então:

\[ x_V=\frac{0+4}{2}=2 \]

Vamos determinar \(a\) e \(k\):

\[ f(0)=0\wedge f(1)=-3 \] \[ 4a+k=0\wedge a+k=-3 \] \[ k=-4a\wedge a-4a=-3\Leftrightarrow a=1\wedge k=-4 \] \[ f(x)=(x-2)^2-4 \]

Ponto de interseção da reta \(r\) com a parábola:

\[ f(x)=g(x)\Leftrightarrow (x-2)^2-4=mx-9 \] \[ x^2-(m+4)x+9=0 \]

A reta é tangente se o binómio discriminante for zero:

\[ [-(m+4)]^2-4\times9=0 \] \[ (m+4)^2-36=0\Leftrightarrow m^2+8m-20=0 \] \[ m=\frac{-8\pm\sqrt{64-4(-20)}}{2}\Leftrightarrow m=-10\vee m=2 \]
22.

Máximo absoluto

Seja \(a\) um número real não nulo. Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

\[ f(x)=a(x+4)(x+10) \]

Sabe-se que \(6\) é máximo absoluto da função \(f\). Qual é o valor de \(a\)?

Mostre todos os cálculos necessários.

Como \(6\) é máximo absoluto da função, então \(f\) é uma parábola com concavidade voltada para baixo e \(a<0\).

Seja \(V\) o vértice da parábola. Então \(V(x_V,6)\), assim:

\[ x_V=\frac{-4-10}{2}=-7 \] \[ a(x_V+4)(x_V+10)=6 \] \[ a(-7+4)(-7+10)=6\Leftrightarrow -9a=6\Leftrightarrow a=-\frac23 \]
23.

Parábola e função linear

Na figura, estão representadas, num referencial o.n. \(Oxy\), as funções, de domínio \(\mathbb{R}\), \(f\) e \(g\).

Sabe-se que:

  • \(f(x)=\dfrac14x^2\);
  • \(g\) é uma função linear;
  • o ponto \(A\) tem coordenadas \((0,2)\);
  • o ponto \(B\) pertence aos gráficos de \(f\) e \(g\) e tem abcissa positiva, como mostra a figura;
  • a área do triângulo \([OAB]\) é \(6\).

23.1. Mostre que o ponto \(B\) tem coordenadas \((6,9)\).

23.2. Determine, em \(\mathbb{R}\), o conjunto-solução da condição \(-f(x)\ge g(x)\).

Funções f e g e triângulo OAB

23.1. Como a área de \([OAB]\) é \(6\), então:

\[ A_{[OAB]}=6\Leftrightarrow \frac{OA\times x_B}{2}=6 \] \[ \frac{2x_B}{2}=6\Leftrightarrow x_B=6 \] \[ y_B=f(6)=\frac14\times6^2=9 \]

\(\therefore B(6,9)\). c.q.m.

23.2.

\[ g(x)=ax,\qquad a=\frac96=\frac32,\qquad g(x)=\frac32x \] \[ -f(x)\ge g(x)\Leftrightarrow -f(x)-g(x)\ge0 \] \[ f(x)+g(x)\le0\Leftrightarrow \frac14x^2+\frac32x\le0 \]

C.A.

\[ \frac14x^2+\frac32x=0\Leftrightarrow x\left(\frac14x+\frac32\right)=0 \] \[ x=0\vee x=-6 \] \[ x\in[-6,0] \]
24.

Função módulo por ramos

Considere a função \(g\) definida, em \(\mathbb{R}\), por

\[ g(x)=3|x-2|-6 \]

24.1. Qual das expressões pode definir a função \(g\)?

(A) \(\begin{cases}3x-12,&x\ge0\\-3x,&x<0\end{cases}\) (B) \(\begin{cases}3x-12,&x\ge2\\-3x,&x<2\end{cases}\) (C) \(\begin{cases}3x-12,&x\ge2\\-3x+12,&x<2\end{cases}\) (D) \(\begin{cases}3x-12,&x\ge0\\-3x+12,&x<0\end{cases}\)

24.2. Determine os zeros de \(g\).

24.1.

\[ 3|x-2|-6= \begin{cases} 3(x-2)-6,&x-2\ge0\\ 3(-x+2)-6,&x-2<0 \end{cases} \] \[ = \begin{cases} 3x-12,&x\ge2\\ -3x,&x<2 \end{cases} \]

OPÇÃO: B

24.2.

\[ 3|x-2|-6=0\Leftrightarrow 3|x-2|=6\Leftrightarrow |x-2|=2 \] \[ x-2=2\vee x-2=-2\Leftrightarrow x=4\vee x=0 \] \[ \text{C.S.}=\{0,4\} \]
25.

Equação impossível

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

\[ g(x)=|x-2|+2 \]

Qual das seguintes equações é impossível?

(A) \(g(x)=1\) (B) \(g(x)=2\) (C) \(g(x)=3\) (D) \(g(x)=4\)

(A)

\[ |x-2|+2=1\Leftrightarrow |x-2|=-1 \]

impossível em \(\mathbb{R}\).

(B)

\[ |x-2|+2=2\Leftrightarrow |x-2|=0\Leftrightarrow x=2 \]

possível em \(\mathbb{R}\).

(C)

\[ |x-2|+2=3\Leftrightarrow |x-2|=1\Leftrightarrow x=3\vee x=1 \]

possível em \(\mathbb{R}\).

(D)

\[ |x-2|+2=4\Leftrightarrow |x-2|=2\Leftrightarrow x=4\vee x=0 \]

possível em \(\mathbb{R}\).

OPÇÃO: A

26.

Gráfico de função módulo

Qual das seguintes opções poderá representar a função real de variável real definida por \(f(x)=|x-2|\)?

(A)
Opção A para o gráfico de f(x)=|x-2|
(B)
Opção B para o gráfico de f(x)=|x-2|
(C)
Opção C para o gráfico de f(x)=|x-2|
(D)
Opção D para o gráfico de f(x)=|x-2|

A função \(f\) é uma translação horizontal associada ao vetor \(\vec v(2,0)\) da função \(x\mapsto |x|\).

OPÇÃO: B