Função Definida por Ramos 1

1.1.

\(A(0,10)\ ;\ B(4,2)\) e \(C(8,0)\)

\[ m_{AB}=\frac{2-10}{4-0}=-2 \]

\[ AB:\ y=-2x+10 \]

\[ m_{BC}=\frac{0-2}{8-4}=-\frac12 \]

\[ \begin{aligned} BC:\ y&=-\frac12x+b\\ -\frac12\times8+b=0&\Leftrightarrow b=4 \end{aligned} \]

\[ f(x)= \begin{cases} -2x+10 & \text{se } 0\le x\le4\\ -\frac12x+4 & \text{se } 4<x\le8 \end{cases} \]

1.2.

a)

\[ f\left(\frac32\right)=-2\times\frac32+10=7 \]

b)

\[ f(5)=-\frac12\times5+4=\frac32 \]

1.3.

a)

\[ f(x)=4\Leftrightarrow -2x+10=4\Leftrightarrow x=3 \]

Como \(f\) é decrescente, \(f(x)\le4\Leftrightarrow x\ge3\Leftrightarrow x\in[3,8]\)

b)

\[ f(x)\ge2\Leftrightarrow x\in[0,4] \]

\[ \begin{aligned} f(x+2)\ge2 &\Leftrightarrow x\in[0-2,4-2]\\ &\Leftrightarrow x\in[-2,2] \end{aligned} \]

2.1.

Para \(x\le4\), \(f(x)=a(x-h)^2+k\), com \(V(h,k)\) e \(a<0\)

\[ f(x)=a(x-2)^2+8 \]

\[ \begin{aligned} f(4)=6 &\Leftrightarrow a(4-2)^2+8=6\\ &\Leftrightarrow 4a=-2\\ &\Leftrightarrow a=-\frac12 \end{aligned} \]

\[ f(x)=-\frac12(x-2)^2+8\quad \text{para }x\le4 \]

Para \(x>4\), \(f(x)=mx+b\)

\[ m=\frac{-2-2}{4-6}=2\Rightarrow f(x)=2x+b \]

\[ f(6)=2\Leftrightarrow 2=2\times6+b\Leftrightarrow b=-10 \]

\[ f(x)= \begin{cases} -\frac12(x-2)^2+8 & \text{se } x\le4\\ 2x-10 & \text{se } x>4 \end{cases} \]

2.2.

Para \(x\le4\)

\[ \begin{aligned} f(x)=0 &\Leftrightarrow -\frac12(x-2)^2+8=0\\ &\Leftrightarrow (x-2)^2=16\\ &\Leftrightarrow x-2=-4\vee x-2=4\\ &\Leftrightarrow x=-2\vee x=6\\ &\Leftrightarrow x=-2 \end{aligned} \]

Para \(x>4\)

\[ f(x)=0\Leftrightarrow 2x-10=0\Leftrightarrow x=5 \]

\[ \therefore\ \text{C.S.}=\{-2,5\} \]

2.3.

\(f\) é crescente em \(]-\infty,2]\cup]4,+\infty[\)

\(f\) é decrescente em \([2,4]\)

\(8\) é um máximo relativo em \(x=2\)

\(f\) não tem extremos absolutos

3.1.

\[ \begin{aligned} g(2)+g\left(\frac12\right) &=-3\times2+1\\ &\quad+2\left(\frac12\right)^2-4\\ &=-6+1+\frac12-4\\ &=-\frac{17}{2} \end{aligned} \]

3.2.

3.3.

Por observação do gráfico, \(g\) tem um único zero em

\[ \begin{aligned} 2x^2-4=0 &\Leftrightarrow x^2=2\\ &\Leftrightarrow x=\pm\sqrt2\\ &\Leftrightarrow x=-\sqrt2 \end{aligned} \]

Para que \(g\) tenha dois zeros distintos, o máximo relativo ou mínimo relativo tem que ser igual a zero.

Máximo relativo igual a zero:

Máximo relativo:

\[ g(1)=-2\Rightarrow g(1)+2=0 \]

Logo, \(a=2\)

Mínimo relativo igual a zero:

Mínimo relativo:

\[ g(0)=-4\Rightarrow g(0)+4=0 \]

Logo, \(a=4\)

Portanto \(a=2\vee a=4\)

\[ \begin{aligned} 1-x^2=0 &\Leftrightarrow x=\pm1\\ &\Leftrightarrow x=-1\quad (x\le0) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 4-x^2=0 &\Leftrightarrow x=\pm2\\ &\Leftrightarrow x=2\quad (x>0) \end{aligned} \]

\[ \text{C.S.}=\{-1,2\} \]

OPÇÃO: C

\[ \frac53<2 \]

\[ f\left(\frac53\right)=2\times\frac53+\frac13=\frac{11}{3} \]

OPÇÃO: B

6.1.

Como os depósitos são diferentes e o primeiro a ficar cheio é o mais pequeno, significa que a altura do depósito mais pequeno é igual a 0,5 metros.

A altura do depósito maior é

\[ \begin{aligned} h(80)-0,5 &=0,5+0,0125\times80\\ &\quad-0,5\\ &=1\ \text{metro} \end{aligned} \]

6.2.

\[ 100\ \text{litros}\longrightarrow 0,1\ \text{m}^3 \]

\[ \begin{aligned} V&=l^2\times h(t)\\ 0,1&=l^2\times h(2)\\ 0,1&=l^2\times(0,05\times2)\\ &\Leftrightarrow l^2=\frac{0,1}{0,1}\\ &\Leftrightarrow l^2=1\\ &\Leftrightarrow l=1\ \text{metro} \end{aligned} \]

6.3.

\[ 0,5+0,0125t=1,25 \]

\[ \Leftrightarrow\ 0,0125t=0,75 \]

\[ \Leftrightarrow\ t=\frac{0,75}{0,0125} \]

\[ \Leftrightarrow\ t=60\ \text{minutos} \]

7.1.

\[ \begin{aligned} 3p(5)&=3(35+20\times5)\\ &=3\times135\\ &=405 \end{aligned} \]

O preço a pagar é 405 €

7.2.

\[ \begin{aligned} 4(135+12t)=1020 &\Leftrightarrow\\ 540+48t&=1020\\ &\Leftrightarrow 48t=480\\ &\Leftrightarrow t=\frac{480}{48}\\ &\Leftrightarrow t=10 \end{aligned} \]

O número de dias de férias foram 10

7.3.

\(g(x)\) é uma translação horizontal, associada ao vetor \(\vec{u}(1,0)\), seguida de uma translação vertical associada ao vetor \(\vec{v}(0,2)\)

\[ \begin{aligned} D_f&=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\\ D'_f&=]-\infty,3]\cup\{5\} \end{aligned} \]

8.1.

\[ D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2+1\}=\mathbb{R}\setminus\{-1\} \]

OPÇÃO: C

8.2.

\[ \begin{aligned} D'_g &=]-\infty+2,3+2]\cup\{5+2\}\\ &=]-\infty,5]\cup\{7\} \end{aligned} \]

OPÇÃO: B

Declives:

\[ \begin{aligned} m_1&=\frac{4-0}{-2-2}=-1\\ m_2&=\frac{9-3}{5-2}=2 \end{aligned} \]

Ordenadas na origem:

\[ \begin{aligned} y_1=-x+b_1 &\Rightarrow 4=-(-2)+b_1\\ &\Leftrightarrow b_1=2 \end{aligned} \]

Assim, \(y_1=-x+2\)

\[ \begin{aligned} y_2=2x+b_2 &\Rightarrow 3=2\times2+b_2\\ &\Leftrightarrow b_2=-1 \end{aligned} \]

Assim, \(y_2=2x-1\)

\[ \therefore\ f(x)= \begin{cases} -x+2 & \text{se } -2<x\le2\\ 2x-1 & \text{se } 2<x\le5 \end{cases} \]

Parábola:

\[ a(x-h)^2+k,\quad V(h,k) \]

\[ V(-4,-5)\ ;\ a(x+4)^2-5 \]

\[ \text{ponto }(-2,-3) \]

\[ \Rightarrow\ a(-2+4)^2-5=-3 \]

\[ \Leftrightarrow\ 4a=2 \]

\[ \Leftrightarrow\ a=\frac12 \]

Assim a parte que corresponde à parábola é

\[ y_1=\frac12(x+4)^2-5 \]

1.º segmento de reta: \(y_2=a_2x+b_2\)

\[ \begin{aligned} a_2&=\frac{0-2}{-2+1}=2\\ b_2&=-2\times(-2)+0=4\\ y_2&=2x+4 \end{aligned} \]

2.º segmento de reta: \(y_3=a_3x+b_3\)

\[ \begin{aligned} a_3&=\frac{2-0}{-1-1}=-1\\ b_3&=1\times(1)-0=1\\ y_3&=-x+1 \end{aligned} \]

Semirreta: \(y_4=a_4x+b_4\)

\[ \begin{aligned} a_4&=\frac{-4-0}{1-3}=2\\ b_4&=-2\times(3)+0=-6\\ y_4&=2x-6 \end{aligned} \]