Função Definida por Ramos 1

1.1.

\(A(0,10)\ ;\ B(4,2)\) e \(C(8,0)\)

\[ m_{AB}=\frac{2-10}{4-0}=-2 \]

\[ AB:\ y=-2x+10 \]

\[ m_{BC}=\frac{0-2}{8-4}=-\frac12 \]

\[ \begin{aligned} BC:\ y&=-\frac12x+b\\ -\frac12\times8+b=0&\Leftrightarrow b=4 \end{aligned} \]

\[ f(x)= \begin{cases} -2x+10 & \text{se } 0\le x\le4\\ -\frac12x+4 & \text{se } 4<x\le8 \end{cases} \]

1.2.

a)

\[ f\left(\frac32\right)=-2\times\frac32+10=7 \]

b)

\[ f(5)=-\frac12\times5+4=\frac32 \]

1.3.

a)

\[ f(x)=4\Leftrightarrow -2x+10=4\Leftrightarrow x=3 \]

Como \(f\) é decrescente, \(f(x)\le4\Leftrightarrow x\ge3\Leftrightarrow x\in[3,8]\)

b)

\[ f(x)\ge2\Leftrightarrow x\in[0,4] \]

\[ \begin{aligned} f(x+2)\ge2 &\Leftrightarrow x\in[0-2,4-2]\\ &\Leftrightarrow x\in[-2,2] \end{aligned} \]

2.1.

Para \(x\le4\), \(f(x)=a(x-h)^2+k\), com \(V(h,k)\) e \(a<0\)

\[ f(x)=a(x-2)^2+8 \]

\[ \begin{aligned} f(4)=6 &\Leftrightarrow a(4-2)^2+8=6\\ &\Leftrightarrow 4a=-2\\ &\Leftrightarrow a=-\frac12 \end{aligned} \]

\[ f(x)=-\frac12(x-2)^2+8\quad \text{para }x\le4 \]

Para \(x>4\), \(f(x)=mx+b\)

\[ m=\frac{-2-2}{4-6}=2\Rightarrow f(x)=2x+b \]

\[ f(6)=2\Leftrightarrow 2=2\times6+b\Leftrightarrow b=-10 \]

\[ f(x)= \begin{cases} -\frac12(x-2)^2+8 & \text{se } x\le4\\ 2x-10 & \text{se } x>4 \end{cases} \]

2.2.

Para \(x\le4\)

\[ \begin{aligned} f(x)=0 &\Leftrightarrow -\frac12(x-2)^2+8=0\\ &\Leftrightarrow (x-2)^2=16\\ &\Leftrightarrow x-2=-4\vee x-2=4\\ &\Leftrightarrow x=-2\vee x=6\\ &\Leftrightarrow x=-2 \end{aligned} \]

Para \(x>4\)

\[ f(x)=0\Leftrightarrow 2x-10=0\Leftrightarrow x=5 \]

\[ \therefore\ \text{C.S.}=\{-2,5\} \]

2.3.

\(f\) é crescente em \(]-\infty,2]\) e em \(]4,+\infty[\), separadamente

\(f\) é decrescente em \([2,4]\)

\(8\) é um máximo relativo em \(x=2\)

\(f\) não tem extremos absolutos

3.1.

\[ \begin{aligned} g(2)+g\left(\frac12\right) &=-3\times2+1\\ &\quad+2\left(\frac12\right)^2-4\\ &=-6+1+\frac12-4\\ &=-\frac{17}{2} \end{aligned} \]

3.2.

3.3.

Por observação do gráfico, \(g\) tem um único zero em

\[ \begin{aligned} 2x^2-4=0 &\Leftrightarrow x^2=2\\ &\Leftrightarrow x=\pm\sqrt2\\ &\Leftrightarrow x=-\sqrt2 \end{aligned} \]

Os zeros de \(h\) satisfazem \(g(x)=-a\). Neste gráfico, uma reta horizontal interseta o gráfico de \(g\) em exatamente dois pontos apenas quando passa pelo máximo relativo, de ordenada \(-2\), ou pelo mínimo relativo, de ordenada \(-4\).

Máximo relativo igual a zero:

Máximo relativo:

\[ g(1)=-2\Rightarrow g(1)+2=0 \]

Logo, \(a=2\)

Mínimo relativo igual a zero:

Mínimo relativo:

\[ g(0)=-4\Rightarrow g(0)+4=0 \]

Logo, \(a=4\)

Portanto, \(a=2\) ou \(a=4\). Para \(a=2\), os zeros de \(h\) são \(-1\) e \(1\); para \(a=4\), são \(0\) e \(\frac53\).

\[ \begin{aligned} 1-x^2=0 &\Leftrightarrow x=\pm1\\ &\Leftrightarrow x=-1\quad (x\le0) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 4-x^2=0 &\Leftrightarrow x=\pm2\\ &\Leftrightarrow x=2\quad (x>0) \end{aligned} \]

\[ \text{C.S.}=\{-1,2\} \]

OPÇÃO: C

\[ \frac53<2 \]

\[ f\left(\frac53\right)=2\times\frac53+\frac13=\frac{11}{3} \]

OPÇÃO: B

6.1.

O depósito mais pequeno fica cheio em \(t=10\), pelo que a sua altura é \(h(10)=0,05\times10=0,5\) metros. O segundo ramo parte dessa altura e acrescenta \(0,0125\) metros por minuto durante os \(70\) minutos seguintes.

A altura do depósito maior é

\[ \begin{aligned} h(80)-0,5 &=0,5+0,0125(80-10)\\ &\quad-0,5\\ &=0,875\ \text{metros} \end{aligned} \]

6.2.

\[ 100\ \text{litros}\longrightarrow 0,1\ \text{m}^3 \]

\[ \begin{aligned} V&=l^2\times h(t)\\ 0,1&=l^2\times h(2)\\ 0,1&=l^2\times(0,05\times2)\\ &\Leftrightarrow l^2=\frac{0,1}{0,1}\\ &\Leftrightarrow l^2=1\\ &\Leftrightarrow l=1\ \text{metro} \end{aligned} \]

6.3.

\[ 0,5+0,0125(t-10)=1,25 \]

\[ \Leftrightarrow\ 0,0125(t-10)=0,75 \]

\[ \Leftrightarrow\ t=10+\frac{0,75}{0,0125} \]

\[ \Leftrightarrow\ t=70\ \text{minutos} \]

7.1.

\[ \begin{aligned} 3p(5)&=3(35+20\times5)\\ &=3\times135\\ &=405 \end{aligned} \]

O preço a pagar é 405 €

7.2.

\[ \begin{aligned} 4(135+12t)=1020 &\Leftrightarrow\\ 540+48t&=1020\\ &\Leftrightarrow 48t=480\\ &\Leftrightarrow t=\frac{480}{48}\\ &\Leftrightarrow t=10 \end{aligned} \]

O número de dias de férias foram 10

7.3.

\(g(x)\) é uma translação horizontal, associada ao vetor \(\vec{u}(1,0)\), seguida de uma translação vertical associada ao vetor \(\vec{v}(0,2)\)

\[ \begin{aligned} D_f&=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\\ D'_f&=]-\infty,3]\cup\{5\} \end{aligned} \]

8.1.

\[ D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2+1\}=\mathbb{R}\setminus\{-1\} \]

OPÇÃO: C

8.2.

\[ \begin{aligned} D'_g &=]-\infty,3+2]\cup\{5+2\}\\ &=]-\infty,5]\cup\{7\} \end{aligned} \]

OPÇÃO: B

Declives:

\[ \begin{aligned} m_1&=\frac{4-0}{-2-2}=-1\\ m_2&=\frac{9-3}{5-2}=2 \end{aligned} \]

Ordenadas na origem:

\[ \begin{aligned} y_1=-x+b_1 &\Rightarrow 4=-(-2)+b_1\\ &\Leftrightarrow b_1=2 \end{aligned} \]

Assim, \(y_1=-x+2\)

\[ \begin{aligned} y_2=2x+b_2 &\Rightarrow 3=2\times2+b_2\\ &\Leftrightarrow b_2=-1 \end{aligned} \]

Assim, \(y_2=2x-1\)

\[ \therefore\ f(x)= \begin{cases} -x+2 & \text{se } -2<x\le2\\ 2x-1 & \text{se } 2<x\le5 \end{cases} \]

Parábola:

\[ a(x-h)^2+k,\quad V(h,k) \]

\[ V(-4,-5)\ ;\ a(x+4)^2-5 \]

\[ \text{ponto }(-2,-3) \]

\[ \Rightarrow\ a(-2+4)^2-5=-3 \]

\[ \Leftrightarrow\ 4a=2 \]

\[ \Leftrightarrow\ a=\frac12 \]

Assim a parte que corresponde à parábola é

\[ y_1=\frac12(x+4)^2-5 \]

1.º segmento de reta: \(y_2=a_2x+b_2\)

\[ \begin{aligned} a_2&=\frac{0-2}{-2+1}=2\\ b_2&=-2\times(-2)+0=4\\ y_2&=2x+4 \end{aligned} \]

2.º segmento de reta: \(y_3=a_3x+b_3\)

\[ \begin{aligned} a_3&=\frac{2-0}{-1-1}=-1\\ b_3&=1\times(1)-0=1\\ y_3&=-x+1 \end{aligned} \]

Semirreta: \(y_4=a_4x+b_4\)

\[ \begin{aligned} a_4&=\frac{-4-0}{1-3}=2\\ b_4&=-2\times(3)+0=-6\\ y_4&=2x-6 \end{aligned} \]

11.1. Como \(7\in\,]0,7]\), usa-se o primeiro ramo:

\(\displaystyle p(7)=240+80\times7\) \(\displaystyle {}=800\)

O preço a pagar pelo aluguer da autocaravana será de \(800\) €.

11.2. Como o preço pago foi superior a \(800\) €, o aluguer ultrapassou os \(7\) dias. Assim:

\(\displaystyle p(d)=1580\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 800+60(d-7)=1580\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 60(d-7)=780\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow d-7=13\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow d=20\)

Em \(]-4,-1]\), \(f\) é definida por uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola de vértice \((-3,5)\):

\(\displaystyle f(x)=a\big(x-(-3)\big)^2+5\) \(\displaystyle {}=a(x+3)^2+5\)

O ponto \((-1,-3)\) pertence ao gráfico de \(f\):

\(\displaystyle -3=a(-1+3)^2+5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 4a=-8\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-2\)

Logo, \(f(x)=-2(x+3)^2+5\), para \(-4\lt x\le -1\).

Em \(]-1,4]\), \(f\) é definida por uma função afim cujo gráfico é uma reta que passa em \((-1,-3)\) e \((4,2)\), de declive:

\(\displaystyle m=\frac{-3-2}{-1-4}\) \(\displaystyle {}=\frac{-5}{-5}\) \(\displaystyle {}=1\)

Assim, \(f(x)=x+b\) e \(f(4)=2 \Leftrightarrow 4+b=2 \Leftrightarrow b=-2\). Logo, \(f(x)=x-2\), para \(-1\lt x\le 4\).

Em \(]4,9]\), \(f(x)=2\).

\[ \small f(x)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\,}l@{}} -2(x+3)^2+5 & \text{se } -4\lt x\le -1\\ x-2 & \text{se } -1\lt x\le 4\\ 2 & \text{se } 4\lt x\le 9 \end{array}\right. \]

13.1. Cálculos auxiliares:

• \(g(-3)=2\times(-3)+7=-6+7=1\), porque \(-3\lt -2\);
• \(g(0)=-15\);
• como \(-\sqrt2\ge -2\), \(g\big(-\sqrt2\big)=-2\big(-\sqrt2\big)^2\) \({}-12\times\big(-\sqrt2\big)-15\) \({}=-4+12\sqrt2-15\) \({}=-19+12\sqrt2\).

\(\displaystyle g(-3)-g(0)+g\big(-\sqrt2\big)\) \(\displaystyle {}=1-(-15)+\big(-19+12\sqrt2\big)\) \(\displaystyle {}=-3+12\sqrt2\)

13.2. Em \(]-\infty,-2[\):

\(\displaystyle 2x+7\lt -5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 2x\lt -12\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x\lt -6\)

Em \([-2,+\infty[\):

\(\displaystyle -2x^2-12x-15\lt -5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -2x^2-12x-10\lt 0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2+6x+5\gt 0\)

Cálculo auxiliar:

\(\displaystyle x^2+6x+5=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times5}}{2\times1}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-6\pm4}{2}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-5 \vee x=-1\)

A parábola \(y=x^2+6x+5\) tem a concavidade voltada para cima, logo é positiva para \(x\lt -5 \vee x\gt -1\). Com \(x\ge -2\), fica \(x\gt -1\).

13.3. Em \(]-2,0[\), \(g(x)=-2x^2-12x-15\). Pretende-se resolver:

\(\displaystyle g(x)=x^3\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -2x^2-12x-15=x^3\)

Na calculadora, representam-se \(y_1=-2x^2-12x-15\) e \(y_2=x^3\) no intervalo \(]-2,0[\) e determina-se o ponto de interseção dos dois gráficos.

14.1. \(D_f=[-3,2[\).

14.2.

a) Como \(-3\le-2\lt0\): \(f(-2)=-3\times(-2)+1=7\).

b) Como \(0\le0\lt2\): \(f(0)=2\times0-3=-3\).

c) \(f\left(\dfrac12\right)=2\times\dfrac12-3=-2\).

14.3.

14.4. \(D'_f=[-3,1[\,\cup\,]1,10]\).

15.1. a) \(3{,}72+0{,}71\times10=10{,}82\). O preço é \(10{,}82\) €.

b) \(3{,}72+0{,}71\times20+2{,}84\times5=32{,}12\). O preço é \(32{,}12\) €.

15.2.

Para \(x\gt20\): \(p(x)=3{,}72+20\times0{,}71\) \({}+2{,}84(x-20)\) \({}=2{,}84x-38{,}88\). Logo:

\[ p(x)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} 3{,}72+0{,}71x & \text{se } 0\le x\le 20\\ 2{,}84x-38{,}88 & \text{se } x\gt 20 \end{array}\right. \]

16.1. \(D_f=[-4,+\infty[\) e \(D'_f=[-3,+\infty[\).

\(D_g=[-2,3]\) e \(D'_g=[-1,2[\,\cup\,[3,8]\).

16.2. Função \(f\). Se \(x\in[-4,-1]\), substituindo \((-4,-3)\) e \((-1,2)\) em \(y=mx+b\):

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} -3=-4m+b\\ 2=-m+b \end{array}\right.\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} -3=-4m+2+m\\ b=2+m \end{array}\right.\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} m=\frac53\\ b=\frac{11}{3} \end{array}\right.\)

Se \(x\ge2\), substituindo \((2,2)\) e \((3,5)\) em \(y=mx+b\):

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} 2=2m+b\\ 5=3m+b \end{array}\right.\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} b=2-2m\\ 5=3m+2-2m \end{array}\right.\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} b=-4\\ m=3 \end{array}\right.\)

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} \frac53x+\frac{11}{3} & \text{se } -4\le x\le -1\\ 2 & \text{se } -1\lt x\lt 2\\ 3x-4 & \text{se } x\ge 2 \end{array}\right. \]

Função \(g\). Se \(x\in[-2,1[\), substituindo \((-2,-1)\) em \(y=mx+1\): \(-1=-2m+1 \Leftrightarrow m=1\), ou seja, \(y=x+1\).

Se \(x\in[1,3]\), substituindo \((1,3)\) e \((3,8)\) em \(y=mx+b\):

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} 3=m+b\\ 8=3m+b \end{array}\right.\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} b=3-m\\ 8=3m+3-m \end{array}\right.\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} b=\frac12\\ m=\frac52 \end{array}\right.\)

\[ g(x)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} x+1 & \text{se } -2\le x\lt 1\\ \frac52x+\frac12 & \text{se } 1\le x\le 3 \end{array}\right. \]

16.3.

\(\displaystyle f\left(-\frac53\right) =\frac53\times\left(-\frac53\right)+\frac{11}{3}\) \(\displaystyle {}=\frac89\)

\(\displaystyle g\left(\frac32\right) =\frac52\times\frac32+\frac12\) \(\displaystyle {}=\frac{17}{4}\)

16.4. Como \(\dfrac52\notin D'_g=[-1,2[\,\cup\,[3,8]\), a equação \(g(x)=\dfrac52\) não tem soluções.

17.1. \(D_h=[-5,+\infty[\); \(D'_h=]-\infty,4]\).

17.2. Por exemplo:

a) \(k=5\) (é maior do que o máximo, \(4\));

b) \(k=4\) (só o vértice tem ordenada \(4\));

c) \(k=\dfrac12\) (uma solução no arco de parábola, entre \(-5\) e \(-2\), e outra na semirreta).

17.3. Se \(x\in[-5,0[\), \(h(x)=a(x+2)^2+4\) e \(h(-5)=0\):

\(\displaystyle 9a+4=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-\frac49\)

Se \(x\in[0,+\infty[\), \(h(x)=mx+1\) e \(h(1)=-1\):

\(\displaystyle m+1=-1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow m=-2\)

\[ h(x)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} -\frac49(x+2)^2+4 & \text{se } -5\le x\lt 0\\ -2x+1 & \text{se } x\ge 0 \end{array}\right. \]

17.4.

\(\displaystyle h(-5)-h(0)\times h(1)-h(\pi)\) \(\displaystyle {}=0-1\times(-1)-(-2\pi+1)\) \(\displaystyle {}=1+2\pi-1\) \(\displaystyle {}=2\pi\)

18.1. Se \(x\le0\), \(f(x)=a(x+1)^2+5\). Como \(f(-5)=0\):

\(\displaystyle 16a+5=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-\frac{5}{16},\) \(\displaystyle \text{logo } f(x)=-\frac{5}{16}(x+1)^2+5\)

\(\displaystyle f(0) =-\frac{5}{16}+5\) \(\displaystyle {}=\frac{75}{16}\)

As coordenadas são \(\left(0,\dfrac{75}{16}\right)\).

18.2.

18.3. \(x\in\,]-\infty,-5]\,\cup\,]0,3]\).

18.4. Se \(x\gt0\), \(f(x)=mx-3\). Como \(f(3)=0\): \(3m-3=0 \Leftrightarrow m=1\), logo \(f(x)=x-3\).

\(\displaystyle x-3\ge5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x\ge8\)

Na parte parabólica, o maior valor é \(5\), atingido apenas em \(x=-1\).

19.1. \(D_g=]-\infty,9]\).

19.2. a) Resolve-se \(g(x)=0\) em cada ramo:

• \(-2x+12=0 \Leftrightarrow x=6\), mas \(6\) não é menor do que \(-4\);
• \(3x-\dfrac13=0 \Leftrightarrow x=\dfrac19\), e \(-4\le\dfrac19\lt3\);
• \(32-2x^2=0 \Leftrightarrow x=-4 \vee x=4\), e só \(4\in[3,9]\).

Zeros da função \(g\): \(\dfrac19\) e \(4\).

b) Resolve-se \(g(x)=14\) em cada ramo:

• \(-2x+12=14 \Leftrightarrow x=-1\), mas \(-1\) não é menor do que \(-4\);
• \(3x-\dfrac13=14 \Leftrightarrow x=\dfrac{43}{9}\), mas \(\dfrac{43}{9}\notin[-4,3[\);
• \(32-2x^2=14 \Leftrightarrow x=-3 \vee x=3\), e só \(3\in[3,9]\).

O único objeto cuja imagem é \(14\) é \(3\).

20.1. \(D_j=[-2,+\infty[\,\setminus\{0\}\); \(D'_j=]-3,+\infty[\).

20.2.

20.3. a) \(b\in\,]-\infty,-3]\)

b) \(b\in[0,3[\)

c) \(b\in\,]-3,0[\,\cup\,[3,+\infty[\)

21.1. Interseção com o eixo das ordenadas: \(h(0)=-0^2+9=9\); \((0,9)\).

Interseção com o eixo das abcissas:

\(\displaystyle h(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left(-x^2+9=0 \wedge x\le2\right)\) \(\displaystyle {}\vee \left(-4x+8=0 \wedge x\gt2\right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \big((x=3 \vee x=-3) \wedge x\le2\big)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x=2 \wedge x\gt2\right)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-3\)

Ponto \((-3,0)\).

21.2.

21.3. \(D'_h=]-\infty,9]\).

21.4.

\(\displaystyle h(x)=-2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left(-x^2+9=-2 \wedge x\le2\right)\) \(\displaystyle {}\vee \left(-4x+8=-2 \wedge x\gt2\right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(\left(x=\sqrt{11} \vee x=-\sqrt{11}\right) \wedge x\le2\right)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x=\frac52 \wedge x\gt2\right)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-\sqrt{11}\) \(\displaystyle {}\vee x=\frac52\)

22.1.

Para \(x\gt120\,000\): \(v(x)=820+0{,}03\times120\,000\) \({}+0{,}04(x-120\,000)\) \({}=0{,}04x-380\). Logo:

\[ v(x)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} 820+0{,}03x & \text{se } 0\le x\le 120\,000\\ 0{,}04x-380 & \text{se } x\gt 120\,000 \end{array}\right. \]

22.2.

\(\displaystyle v(115\,000) =820+0{,}03\times115\,000\) \(\displaystyle {}=4270\)

Se, num mês, o Alfredo efetuar vendas no valor de \(115\,000\) €, o seu salário ilíquido, nesse mês, será \(4270\) €.

22.3. No primeiro ramo, o vencimento não ultrapassa \(820+0{,}03\times120\,000=4420\) €, por isso usa-se o segundo ramo:

\(\displaystyle 0{,}04x-380\gt6000\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x\gt\frac{6000+380}{0{,}04}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x\gt159\,500\)

23.1.

\(\displaystyle f(-1) =-2\times(-1)\) \(\displaystyle {}+1\) \(\displaystyle {}=3\)

\(\displaystyle f(1) =-2\times1+1\) \(\displaystyle {}=-1\)

\(\displaystyle f(2) =2^2-3\times2\) \(\displaystyle {}=-2\)

23.2.

\(\displaystyle f(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (-2x+1\) \(\displaystyle {}=0 \wedge x\) \(\displaystyle {}\le1)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2-3x=0 \wedge x\gt1\right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(x=\frac12 \wedge x\le1\right)\) \(\displaystyle {}\vee \left((x=0 \vee x=3) \wedge x\gt1\right)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac12\) \(\displaystyle {}\vee x=3\)

23.3.

\(\displaystyle f(x)=-2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (-2x+1\) \(\displaystyle {}=-2 \wedge x\) \(\displaystyle {}\le1)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2-3x+2=0 \wedge x\gt1\right)\)

Cálculo auxiliar: \(x^2-3x+2=0\) \({}\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm1}2\) \({}\Leftrightarrow x=1\) \({}\vee x=2\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(x=\frac32 \wedge x\le1\right)\) \(\displaystyle {}\vee \left((x=1 \vee x=2) \wedge x\gt1\right)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=2\)

23.4. \(f(-2)=5\), \(f(1)=-1\); para \(x\gt1\) o gráfico é parte da parábola \(y=x^2-3x\), que parte do ponto \((1,-2)\) (não incluído) e passa em \((4,4)\).

24.1.

\(\displaystyle g(-3) =-(-3+3)^2\) \(\displaystyle {}+1\) \(\displaystyle {}=1\)

\(\displaystyle g\left(-\frac12\right)=-2;\) \(\displaystyle g(0)=3\times0-1=-1;\) \(\displaystyle g(2)=3\times2-1=5\)

24.2.

\(\displaystyle g(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left(-(x+3)^2+1=0 \wedge -3\le x\le-1\right)\) \(\displaystyle {}\vee (-2 =0 \wedge -1\) \(\displaystyle {}\lt x\) \(\displaystyle {}\lt0)\) \(\displaystyle {}\vee (3x-1=0 \wedge x\ge0)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left((x=-4 \vee x=-2) \wedge -3\le x\le-1\right)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x=\frac13 \wedge x\ge0\right)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-2\) \(\displaystyle {}\vee x=\frac13\)

24.3.

25.1. Em \([0,3[\): \(m=\dfrac{-1-2}{0-3}=1\) e \(2=1\times3+b\) \({}\Leftrightarrow b=-1\), logo \(y=x-1\).

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} -2 & \text{se } -3\le x\lt0\\ x-1 & \text{se } 0\le x\lt3 \end{array}\right. \]

25.2. Em \([-2,1]\): \(m=\dfrac{3-(-3)}{-2-1}=-2\) e \(3=-2\times(-2)+b\) \({}\Leftrightarrow b=-1\), logo \(y=-2x-1\).

Em \(]1,3]\): \(m=\dfrac{2-(-1)}{3-1}=\dfrac32\) e \(2=\dfrac32\times3+b\) \({}\Leftrightarrow b=-\dfrac52\), logo \(y=\dfrac32x-\dfrac52\).

\[ g(x)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} -2x-1 & \text{se } -2\le x\le1\\ \frac32x-\frac52 & \text{se } 1\lt x\le3 \end{array}\right. \]

25.3. Em \([2,4]\): \(m=\dfrac{1-(-1)}{4-2}=1\) e \(1=1\times4+b\) \({}\Leftrightarrow b=-3\), logo \(y=x-3\).

Em \([-3,2[\): \(y=a(x-0)^2+2\) e \(a(-3)^2+2=-\dfrac52\) \({}\Leftrightarrow a=-\dfrac12\), logo \(y=-\dfrac12x^2+2\).

\[ h(x)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} 2-\frac12x^2 & \text{se } -3\le x\lt2\\ x-3 & \text{se } 2\le x\le4 \end{array}\right. \]

25.4. Em \([-4,1[\), a parábola passa em \((0,-1)\): \(y=ax^2+bx-1\).

\(\displaystyle a(-4)^2+b(-4)-1\) \(\displaystyle {}=-1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 16a-4b=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow b=4a\)

\(\displaystyle a\times1^2+b\times1-1=\frac32\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a+b=\frac52\)

Logo, \(a+4a=\dfrac52\Leftrightarrow a=\dfrac12\) e \(b=4\times\dfrac12=2\). Portanto, \(y=\dfrac12x^2+2x-1\).

Em \([2,+\infty[\), a parábola tem zeros \(2\) e \(3\): \(y=a(x-2)(x-3)\). Como passa em \((4,2)\), \(a\times2\times1=2\Leftrightarrow a=1\), ou seja, \(y =(x-2)(x-3)\) \({}=x^2-5x+6\).

\[ i(x)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} \frac12x^2+2x-1 & \text{se } -4\le x\lt1\\ -1 & \text{se } x=1\\ x^2-5x+6 & \text{se } x\ge2 \end{array}\right. \]

26.1. Se \(k=-2\):

\[ h(x)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} -2x-1 & \text{se } x\lt1\\ x^2-3x & \text{se } x\ge1 \end{array}\right. \]

a)

\(\displaystyle h(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (-2x-1\) \(\displaystyle {}=0 \wedge x\) \(\displaystyle {}\lt1)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2-3x=0 \wedge x\ge1\right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(x=-\frac12 \wedge x\lt1\right)\) \(\displaystyle {}\vee \left((x=0 \vee x=3) \wedge x\ge1\right)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-\frac12\) \(\displaystyle {}\vee x=3\)

b) Para \(x\lt1\), o gráfico de \(h\) é parte de uma reta de declive negativo que interseta \(Ox\) no ponto de abcissa \(-\dfrac12\), pelo que \(h\) é positiva em \(\left]-\infty,-\dfrac12\right[\) e negativa em \(\left]-\dfrac12,1\right[\).

A parábola \(y=x^2-3x\) tem concavidade voltada para cima e zeros \(0\) e \(3\). No ramo \(x\ge1\), só se inclui o zero \(3\); assim, \(h\) é negativa em \([1,3[\) e positiva em \(]3,+\infty[\).

c)

\(\displaystyle h(x)\lt-2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (-2x-1\) \(\displaystyle {}\lt-2 \wedge x\) \(\displaystyle {}\lt1)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2-3x\lt-2 \wedge x\ge1\right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(x\gt\frac12 \wedge x\lt1\right)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2-3x+2\lt0 \wedge x\ge1\right)\)

Cálculo auxiliar: \(x^2-3x+2=0\) \({}\Leftrightarrow x=1\) \({}\vee x=2\); como a concavidade está voltada para cima, \(x^2-3x+2\lt0\) \({}\Leftrightarrow x\in\,]1,2[\).

\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac12\lt x\lt1\) \(\displaystyle {}\vee 1\lt x\lt2\)

26.2.

\(\displaystyle h(x)=1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (kx-1\) \(\displaystyle {}=1 \wedge x\) \(\displaystyle {}\lt1)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2-3x=1 \wedge x\ge1\right)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (kx=2 \wedge x\lt1)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2-3x-1=0 \wedge x\ge1\right)\)

\(x^2-3x-1=0\) \({}\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{13}}2\). Como \(\dfrac{3-\sqrt{13}}2\lt1\) e \(\dfrac{3+\sqrt{13}}2\gt1\), uma das soluções da equação é \(\dfrac{3+\sqrt{13}}2\).

Para haver exatamente duas soluções, a equação \(kx=2\) tem de ter uma solução inferior a \(1\): \(k\neq0\) e \(\dfrac2k\lt1\).

Se \(k\lt0\), então \(\dfrac2k\lt0\lt1\). Se \(k\gt0\), então \(\dfrac2k\lt1\Leftrightarrow k\gt2\).

27.1. Para \(x\lt3\) e próximo de \(3\), \(-x^2+4x\) toma valores próximos de \(-3^2+4\times3=3\). Se \(g(x)=2x\), então \(f(3)=2\times3=6\) e, perto de \(3\) e à sua esquerda, há objetos com imagem inferior a \(f(3)\). Logo, se \(g(x)=2x\), \(3\) não é minimizante relativo de \(f\).

Nas outras opções, \(f(3)\) é \(3\), \(2\) ou \(1\) e \(g\) é crescente, pelo que \(3\) é minimizante relativo. Opção (D).

27.2.

\(\displaystyle f(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left(-x^2+4x=0 \wedge x\lt3\right)\) \(\displaystyle {}\vee (x+1=0 \wedge x\ge3)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left((x=0 \vee x=4) \wedge x\lt3\right)\) \(\displaystyle {}\vee (x=-1 \wedge x\ge3)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=0\)

Opção (B).

27.3.

\(\displaystyle f(x)\lt3\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left(-x^2+4x\lt3 \wedge x\lt3\right)\) \(\displaystyle {}\vee \left(2(x-4)^2+1\lt3 \wedge x\ge3\right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(-x^2+4x-3\lt0 \wedge x\lt3\right)\) \(\displaystyle {}\vee \left((x-4)^2\lt1 \wedge x\ge3\right)\)

Cálculos auxiliares: \(-x^2+4x-3=0\) \({}\Leftrightarrow x=1\) \({}\vee x=3\) (concavidade voltada para baixo, logo \(-x^2+4x-3\lt0\) \({}\Leftrightarrow x\lt1\) \({}\vee x\gt3\)); \((x-4)^2=1\) \({}\Leftrightarrow x=3\) \({}\vee x=5\), logo \((x-4)^2\lt1\) \({}\Leftrightarrow 3\lt x\lt5\).

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left((x\lt1 \vee x\gt3) \wedge x\lt3\right)\) \(\displaystyle {}\vee (3\lt x\lt5 \wedge x\ge3)\)

27.4. a) Para \(x\lt3\), \(f\) tem um zero: \(-x^2+4x=0\wedge x\lt3\) \({}\Leftrightarrow x=0\).

Como \(g\) é quadrática, crescente para \(x\le6\) e decrescente para \(x\ge6\), \(g\) tem o seu máximo absoluto em \(x=6\) e o gráfico tem a concavidade voltada para baixo.

Como \(f(3)\) é positivo e \(f\) é crescente em \([3,6]\), \(f\) não tem zeros em \([3,6]\). Em \([6,+\infty[\), \(f\) é decrescente e toma valores negativos (concavidade voltada para baixo), pelo que tem apenas mais um zero, para \(x\gt6\), que é o zero de maior valor da função quadrática \(g\).

Logo, \(f\) tem exatamente dois zeros.

27.4. b) Por exemplo, \(g(x)=-(x-6)^2+10\): \(f(3)=g(3)=1\gt0\), e \(f(3)\) é mínimo relativo porque, à esquerda de \(3\), \(f\) toma valores próximos de \(3\).

28.1. a) Não. No trajeto de \(A\) para \(B\), a distância de \(P\) a \(A\) aumenta e, no trajeto de \(C\) para \(D\), a distância de \(P\) a \(A\) diminui.

b) A função \(d\) é crescente em \([0,2]\) e em \([3,+\infty[\) e é decrescente em \([2,3]\).

28.2. a) O comprimento do arco \(BD\) é \(\dfrac14\times2\pi\times2=\pi\).

Se o ponto demora \(1\) segundo a percorrer \(2\) unidades de comprimento, então percorre \(\pi\) unidades de comprimento em \(\dfrac\pi2\) segundos.

b) De \(A\) a \(B\), a distância aumenta \(2\) unidades por segundo: \(g(t)=2t\). No arco, a distância a \(A\) é o raio, \(2\). No regresso de \(D\) a \(A\), que começa no instante \(1+\dfrac\pi2\), a distância diminui \(2\) unidades por segundo:

\(\displaystyle g(t) =2\) \(\displaystyle {}-2\left[t-\left(1+\frac\pi2\right)\right]\) \(\displaystyle {}=4+\pi-2t\)

Assim:

\[ g(t)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} 2t & \text{se } 0\le t\lt1\\ 2 & \text{se } 1\le t\lt1+\frac\pi2\\ 4+\pi-2t & \text{se } 1+\frac\pi2\le t\le2+\frac\pi2 \end{array}\right. \]

29.1. Para \(6\) horas, a modalidade A custa \(35+7\times6=77\) euros e a modalidade B custa \(10\times6=60\) euros.

Para menos horas, a vantagem de B mantém-se: \(10t\le35+7t\) \({}\Leftrightarrow t\le\dfrac{35}3\).

29.2.

\(\displaystyle 35+7t\le10t\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 35\le3t\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow t\ge\frac{35}3\)

\(\displaystyle \frac{35}3\ \text{h} =11\ \text{h}+\frac23\ \text{h}\) \(\displaystyle {}=11\ \text{h}+\frac23\times60\ \text{min}\) \(\displaystyle {}=11\ \text{h}\ 40\ \text{min}\)

Opção (B).

29.3. a) Se \(t\gt7\), as primeiras \(7\) horas custam \(7\times7=49\) euros e cada hora seguinte custa \(5\) euros:

\[ C(t)=\left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} 20+7t & \text{se } 0\le t\le7\\ 69+5(t-7) & \text{se } t\gt7 \end{array}\right. \]

b) Na calculadora, representam-se as funções \(y=35+7t\) (modalidade A), \(y=10t\) (modalidade B) e \(y=C(t)\) (Runningfit, \(R\)).

O gráfico de \(C\) está sempre abaixo do da modalidade A. O ponto de interseção dos gráficos de \(C\) e da modalidade B tem abcissa \(6{,}(6)\) (\(20+7t=10t\) \({}\Leftrightarrow t=\dfrac{20}3\)):

\(\displaystyle 6{,}(6)\ \text{h} =6\ \text{h}+\frac23\ \text{h}\) \(\displaystyle {}=6\ \text{h}+\frac23\times60\ \text{min}\) \(\displaystyle {}=6\ \text{h}\ 40\ \text{min}\)

30.1. \(1{,}55\) km são \(15{,}5\) centenas de metros. O ponto está a \(21-15{,}5=5{,}5\) centenas de metros do pilar \([AE]\).

\(\displaystyle g(5{,}5) =f(5{,}5+7)\) \(\displaystyle {}=f(12{,}5)\) \(\displaystyle {}=-0{,}8\times12{,}5^2\) \(\displaystyle {}+16{,}8\times12{,}5 -78{,}4\) \(\displaystyle {}=6{,}6\)

30.2. \(80\) metros são \(8\) dezenas de metros. Começa-se por resolver \(f(u)=8\):

\(\displaystyle -0{,}8u^2+16{,}8u-78{,}4\) \(\displaystyle {}=8\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -0{,}8u^2 +16{,}8u\) \(\displaystyle {}-86{,}4\) \(\displaystyle {}=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow u^2-21u+108=0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow u=\frac{21\pm3}2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow u=9\) \(\displaystyle {}\vee u=12\)

No primeiro arco, \(x+7=9\) \({}\vee x+7=12\) \({}\Leftrightarrow x=2\) \({}\vee x=5\) (pertencem a \([0,7[\)); no arco central, \(x=9\vee x=12\) (pertencem a \([7,14]\)); no terceiro arco, \(x-7=9\) \({}\vee x-7=12\) \({}\Leftrightarrow x=16\) \({}\vee x=19\) (pertencem a \(]14,21]\)).

30.3.

\(\displaystyle f(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -0{,}8\left(x^2-21x+98\right)\) \(\displaystyle {}=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{21\pm7}2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=7\) \(\displaystyle {}\vee x=14\)

A abcissa do vértice é \(\dfrac{7+14}2=10{,}5\) e \(f(10{,}5)=9{,}8\). Como a distância do ponto mais alto de cada arco ao topo do tabuleiro é \(6\) metros (\(0{,}6\) dezenas de metros):

\[ 9{,}8+0{,}6=10{,}4 \]

O topo do tabuleiro está a \(10{,}4\) dezenas de metros, ou seja, \(104\) metros da superfície da água.

30.4.

\(\displaystyle g(x) \lt2{,}6 \wedge 14\) \(\displaystyle {}\lt x\) \(\displaystyle {}\le21\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow f(x-7)\) \(\displaystyle {}\lt2{,}6 \wedge 14\) \(\displaystyle {}\lt x\) \(\displaystyle {}\le21\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow -0{,}8(x-7)^2\) \(\displaystyle {}+16{,}8(x-7) -78{,}4\) \(\displaystyle {}\lt2{,}6 \wedge 14\) \(\displaystyle {}\lt x\) \(\displaystyle {}\le21\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow -0{,}8x^2 +28x\) \(\displaystyle {}-237{,}8\) \(\displaystyle {}\lt0 \wedge 14\) \(\displaystyle {}\lt x\) \(\displaystyle {}\le21\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2-35x+297{,}25\) \(\displaystyle {}\gt0 \wedge 14\) \(\displaystyle {}\lt x\) \(\displaystyle {}\le21\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =35^2-4\times297{,}25\) \({}=36\)

\(\displaystyle x^2-35x+297{,}25=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{35\pm6}2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=14{,}5\) \(\displaystyle {}\vee x=20{,}5\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow (x\lt14{,}5\) \(\displaystyle {}\vee x \gt20{,}5) \wedge 14\) \(\displaystyle {}\lt x\) \(\displaystyle {}\le21\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x\in\,]14\,;\,14{,}5[\,\) \(\displaystyle {}\cup\,]20{,}5\,;\,21]\)

30.5. Sim. Como cada arco tem \(700\) metros de largura e o navio tem \(65\) metros, pode considerar-se que o navio passa centrado num dos arcos. Basta calcular a altura do arco a \(32{,}5\) metros (\(0{,}325\) centenas de metros) do eixo de simetria do arco central e verificar se é superior a \(4\) dezenas de metros:

\(\displaystyle f(10{,}5-0{,}325)\) \(\displaystyle {}=f(10{,}175)\) \(\displaystyle {}=-0{,}8\times10{,}175^2\) \(\displaystyle {}+16{,}8\times10{,}175 -78{,}4\) \(\displaystyle {}=9{,}7155\)

31.1.

\(\displaystyle g(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (|x+1|\) \(\displaystyle {}=0 \wedge x\) \(\displaystyle {}\lt-1)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2+1=0 \wedge -1\le x\lt2\right)\) \(\displaystyle {}\vee (-3x+1\) \(\displaystyle {}=0 \wedge x\) \(\displaystyle {}\ge2)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow (x =-1 \wedge x\) \(\displaystyle {}\lt-1)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2=-1 \wedge -1\le x\lt2\right)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x=\frac13 \wedge x\ge2\right)\)

As três condições são impossíveis.

31.2.

31.3.

31.4.

No primeiro intervalo, \(0\) não é atingido; no terceiro, \(5\) não é atingido.

\(g\) é decrescente em \(]-\infty,-1[\), em \([-1,0]\) e em \([2,+\infty[\) e é crescente em \([0,2[\).

\(g\) tem mínimo relativo igual a \(1\) em \(x=0\) e máximo relativo igual a \(2\) em \(x=-1\). Não tem extremos absolutos. Há saltos: à esquerda de \(-1\), os valores aproximam-se de \(0\), mas \(g(-1)=2\); à esquerda de \(2\), aproximam-se de \(5\), mas \(g(2)=-5\).

31.5.

31.6. a)

\(\displaystyle g(x)-1=x\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (|x+1|-1\) \(\displaystyle {}=x \wedge x\) \(\displaystyle {}\lt-1)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2+1-1=x \wedge -1\le x\lt2\right)\) \(\displaystyle {}\vee (-3x+1-1\) \(\displaystyle {}=x \wedge x\) \(\displaystyle {}\ge2)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow (|x+1|\) \(\displaystyle {}=x+1 \wedge x\) \(\displaystyle {}\lt-1)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2-x=0 \wedge -1\le x\lt2\right)\) \(\displaystyle {}\vee (-4x=0 \wedge x\ge2)\)

Como \(|x+1|=x+1\) \({}\Leftrightarrow x\ge-1\), a primeira condição é impossível; a terceira também (\(x=0\) e \(x\ge2\)).

\(\displaystyle \Leftrightarrow (x=0\) \(\displaystyle {}\vee x=1) \wedge -1\le x\lt2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x\in\{0,1\}\)

31.6. b)

\(\displaystyle g(x)\lt2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (|x+1|\) \(\displaystyle {}\lt2 \wedge x\) \(\displaystyle {}\lt-1)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2+1\lt2 \wedge -1\le x\lt2\right)\) \(\displaystyle {}\vee (-3x+1\) \(\displaystyle {}\lt2 \wedge x\) \(\displaystyle {}\ge2)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow (-2\) \(\displaystyle {}\lt x+1\) \(\displaystyle {}\lt2 \wedge x\) \(\displaystyle {}\lt-1)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x^2\lt1 \wedge -1\le x\lt2\right)\) \(\displaystyle {}\vee \left(x\gt-\frac13 \wedge x\ge2\right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow (-3\lt x\lt-1)\) \(\displaystyle {}\vee (-1\lt x\lt1)\) \(\displaystyle {}\vee x\ge2\)