Função Quadrática 2 (Problemas)

Função quadrática e inequações do 2.º grau em contexto de problemas

Função Quadrática e Inequações do 2.º Grau 2 (Problemas)

1.

Projétil lançado verticalmente

Um projétil é lançado verticalmente com uma velocidade inicial de 29,4 m/s.

A altura do projétil relativamente ao solo, em metros, \(t\) segundos após o lançamento, é dada por

\[h(t)=-4{,}9t^2+29{,}4t+0{,}9\]

1.1. Qual é a altura do projétil no instante em que foi lançado.

1.2. Mostre que \(h(t)=-4{,}9(t-3)^2+45\)

1.3. Qual é a altura atingida pelo projétil decorridos 2 segundos? Existiu outro instante em que o projétil esteve à mesma altura? Se sim, qual?

1.4. Indique a altura máxima atingida pelo projétil bem como o instante em que ocorreu.

1.1.

\[h(0)=0{,}9\ \text{m}\]

1.2.

\[ \begin{aligned} h(t)&=-4{,}9t^2+29{,}4t+0{,}9\\ &=-4{,}9\left(t^2-\frac{29{,}4}{4{,}9}t\right)+0{,}9\\ &=-4{,}9(t^2-6t)+0{,}9\\ &=-4{,}9(t^2-6t+3^2-3^2)+0{,}9\\ &=-4{,}9(t-3)^2+4{,}9\times9+0{,}9\\ &=-4{,}9(t-3)^2+45\quad \text{c.q.m.} \end{aligned} \]

1.3.

\[ h(2)=-4{,}9(2-3)^2+45=40{,}1 \]

Sim, porque \(40{,}1<45\) e, como o eixo de simetria é igual a \(x=3\), então no instante 4 segundos o projetil vai estar a 40,1 metros de altura.

\[ h(4)=-4{,}9(4-3)^2+45=40{,}1 \]

1.4.

Por \(h(t)=-4{,}9(t-3)^2+45\) o vértice da função é \(V(3,45)\).

Como \(-4{,}9<0\), então a concavidade da parábola está voltada para baixo, assim 45 m, é a altura máxima no instante 3 segundos.

2.

Triângulo isósceles e retângulo

Na figura ao lado estão representados o triângulo isósceles \([ABC]\) e o retângulo \([DEFG]\).

Sabe-se que:

  • a base \([AB]\) do triângulo mede 6 unidades;
  • a altura do triângulo \([ABC]\) , relativa à base \([AB]\) , mede 4 unidades;
  • o lado \([DE]\) do retângulo está contido em \([AB]\);
  • os vértices \(F\) e \(G\) , do retângulo, pertencem a \([BC]\) e \([AC]\), respetivamente.

Seja \(x\) a distância do ponto \(A\) ao ponto \(D\) \((x\in]0,3[)\)

Triângulo isósceles ABC com retângulo DEFG inscrito

2.1. Mostre que a área do retângulo \([DEFG]\) , em função de \(x\) , é dada por \(A(x)=8x-\frac{8}{3}x^2\) .

2.2. Determine o valor de \(x\) para o qual a área do retângulo é máxima e calcule essa área.

2.3. Recorra à calculadora gráfica ou ao GeoGebra para determinar o conjunto de valores de \(x\) para os quais a área do retângulo \([DEFG]\) é igual ou inferior a \(\frac{9}{2}\) u.a.

Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

2.1.

\[ A_{[DEFG]}=\overline{DE}\times\overline{DG} \]

\[ \overline{DE}=6-2x \]

Seja \(M\) o ponto médio de \([AB]\) , então \([AMC]\) e \([ADG]\) são semelhantes.

\[ \text{Assim,}\quad \frac{\overline{GD}}{4}=\frac{x}{3}\Leftrightarrow\overline{GD}=\frac{4x}{3} \]

\[ \begin{aligned} A_{[DEFG]}&=(6-2x)\frac{4x}{3}\\ &=\frac{24x}{3}-\frac{8x^2}{3}\\ &=8x-\frac{8x^2}{3}\quad \text{c.q.m.} \end{aligned} \]

2.2.

\[ \begin{aligned} A(x)&=8x-\frac{8}{3}x^2\\ &=-\frac{8}{3}(x^2-3x)\\ &=-\frac{8}{3}\left(x^2-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2\right.\\ &\hphantom{=-\frac{8}{3}(}\left.-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)\\ &=-\frac{8}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{72}{12}\\ &=-\frac{8}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+6 \end{aligned} \]

Logo, o vértice da parábola é \(V\left(\frac{3}{2},6\right)\)

\[ \therefore\ 6\ \text{é máximo quando }x=\frac{3}{2} \]

2.3.

Gráfico da função área e da reta y igual a nove meios

Recorrendo ao GeoGebra, \(x\in\left]0,\frac{3}{4}\right]\cup\left[\frac{9}{4},3\right[\)

3.

Bola lançada na vertical

Lança-se uma bola, na vertical, de baixo para cima, a uma determinada altura do solo. Seja \(a\) a função que dá a altura, em metros, da bola ao chão, t segundos após o lançamento, até esta cair no solo e que é definida por:

\[a(t)=-5t^2+30t+2\]

3.1. De que altura, em relação ao solo, foi lançada a bola?

3.2. Quanto tempo demorou a bola a cair no solo? Apresente o resultado arredondado às centésimas.

3.3. Qual foi a altura máxima, em relação ao solo, atingida pela bola? Ao fim de quanto tempo após o lançamento foi atingida.

3.4. Durante quanto tempo a bola esteve a mais de 27 metros do solo?

3.1.

\[ a(0)=2 \]

3.2.

\[ \begin{aligned} a(t)=0&\Leftrightarrow -5t^2+30t+2=0\\ \Delta&=(-30)^2-4\times(-5)\times2\\ t&=\frac{-20\pm\sqrt{\Delta}}{2\times(-5)}\\ &\Leftrightarrow t\approx -0{,}07\vee t\approx 6{,}07 \end{aligned} \]

A bola demorou aproximadamente 6,07 segundos a cair no solo.

3.3.

\[ \frac{-0{,}07+6{,}07}{2}=3 \]

\(x\approx3\) é o eixo de simetria, logo \(a(3)=-5\times3^2+30\times3+2=-45+90+2=47\)

A bola atingiu 47 metros de altura máxima aos 3 segundos

3.4.

\[ \begin{aligned} a(t)>27\\ &\Leftrightarrow -5t^2+30t+2>27\\ &\Leftrightarrow -5t^2+30t-25>0 \end{aligned} \]

C.A.

\[-5t^2+30t-25=0\]

\[ \begin{aligned} \Delta&=900\\ &\quad -4(-5)(-25) \end{aligned} \]

\[ t=\frac{-30\pm\sqrt{\Delta}}{-20} \]

\[t=1\vee t=5\]

Como \(a<0\), então a concavidade está voltada para baixo.

\[ \therefore\ x\in]1,5[ \]

Logo a bola esteve a mais de 27 metros durante 4 segundos.

4.

Bola atirada a partir do solo

Uma bola, atirada verticalmente a partir do solo, regressa ao mesmo 3 segundos depois de ter atingido a altura máxima de 44,1 m.

Seja \(h\) a função quadrática que faz corresponder cada instante \(t\), em segundos, desde o momento em que a bola foi atirada, à distância a que a bola se encontra do solo.

4.1. Indica quanto tempo depois de ser atirada é que a bola atingiu o solo.

4.2. Escreve uma expressão analítica na forma \(h(t)=a(t-\alpha)(t-\beta)\) que defina a função \(h\), explicando o significado dos parâmetros \(\alpha\) e \(\beta\) no contexto da situação apresentada.

4.1.

Como a bola regressa ao solo 3 segundos depois de ter atingido a altura máxima, e como a função \(h\) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, significa que \(x=3\) é o eixo de simetria.

Portanto a bola regressa ao solo 6 segundos depois de ter sido atirada.

4.2.

\[ V(3;44{,}1) \]

\[ h(t)=a(t-3)^2+44{,}1 \]

Como \(h(6)=0\), então:

\[ \begin{aligned} a(6-3)^2+44{,}1=0 &\Leftrightarrow 9a=-44{,}1\\ &\Leftrightarrow a=-4{,}9 \end{aligned} \]

Assim, \(h(t)=-4{,}9(t-0)(t-6)\)

Os parâmetros \(\alpha=0\) e \(\beta=6\) são os instantes em que a bola está no solo.

5.

Retângulo num referencial

Na figura, estão representados, num referencial cartesiano \(Oxy\), os pontos \(A(3,0)\) e \(B(0,5)\), o segmento de reta \([AB]\) e o retângulo \([ORPQ]\).

Sabe-se que:

  • o ponto \(P\) está contido em \([AB]\) ;
  • os pontos \(Q\) e \(R\) pertencem ao eixo \(Ox\) e \(Oy\) , respetivamente.

Determine a área máxima que o retângulo \([ORPQ]\) pode ter e indique, para esse caso, quais são as suas dimensões.

Referencial cartesiano com o retângulo ORPQ

Sugestão: Comece por determinar uma expressão analítica da função afim cuja representação gráfica é a reta \(AB\).

Seja \(f\) a função afim da reta \(AB\).

\[ \begin{aligned} f(x)&=ax+b\\ a&=\frac{0-3}{5-0}\Leftrightarrow a=-\frac{5}{3} \end{aligned} \]

\[ f(x)=-\frac{5}{3}x+5 \]

Portanto o ponto \(P\) é do tipo \(P\left(x,-\frac{5}{3}x+5\right)\)

Seja \(g(x)\) a função que representa a área do retângulo \([ORPQ]\) em função de \(x\).

\[ \begin{aligned} g(x)&=x\left(-\frac{5}{3}x+5\right)\\ &=-\frac{5}{3}x^2+5x\\ &=-\frac{5}{3}(x^2-3x)\\ &=-\frac{5}{3}\left(x^2-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2\right.\\ &\hphantom{=-\frac{5}{3}(}\left.-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)\\ &=-\frac{5}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{45}{12}\\ &=-\frac{5}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{15}{4} \end{aligned} \]

Assim, \(V\left(\frac{3}{2},\frac{15}{4}\right)\), isto é, a área máxima de \([ORPQ]\) é \(\frac{15}{4}\) u.a.

As dimensões são:

\[ \overline{OQ}=\frac{3}{2} \]

\[ \begin{aligned} \overline{PQ} &=f\left(\frac{3}{2}\right)\\ &=-\frac{5}{3}\times\frac{3}{2}+5\\ &=-\frac{5}{2}+5=\frac{5}{2} \end{aligned} \]

6.

Arame, círculo e quadrado

Com um arame de um metro de comprimento pretende-se delimitar um círculo e um quadrado. Recorra à calculadora gráfica, para determinar qual deverá ser o perímetro de cada uma das figuras para que a soma das duas áreas seja menor possível.

Na reposta deve:

  • apresentar a expressão analítica que permite resolver o problema;
  • reproduzir, num referencial cartesiano, o gráfico dessa função e o(s) ponto(s) relevante(s), indicando as suas coordenadas com 4 casas decimais;
  • determinar o valor do perímetro que foi pedido, arredondado às centésimas.

A soma do perímetro do círculo com a o perímetro do quadrado é igual a 1 m.

Seja \(x\) o comprimento do lado do quadrado e \(r\) o raio do círculo.

\[ \begin{aligned} 2\pi r+4x=1 &\Leftrightarrow 2\pi r=1-4x\\ &\Leftrightarrow r=\frac{1-4x}{2\pi} \end{aligned} \]

Seja \(s(x)\) a função que a cada valor de \(x\in\left]0,\frac14\right[\) faz corresponder a soma das áreas do círculo e do quadrado.

\[ \begin{aligned} s(x)&=x^2+\pi r^2\\ &=x^2+\pi\left(\frac{1-4x}{2\pi}\right)^2 \end{aligned} \]

Recorrendo à calculadora GeoGebra

Gráfico da função soma das áreas no GeoGebra

Quando \(x\approx0{,}140\) a função \(s\) atinge o seu mínimo absoluto

\(P_{\text{quadrado}}=4\times0{,}14=0{,}56\)

\(P_{\text{círculo}}=1-P_{\text{quadrado}}=1-0{,}56=0{,}44\)

7.

Campeonato de futebol

Num campeonato de futebol, cada equipa tem de jogar 2 vezes com todas as outras (“em casa” e “fora de casa”). Seja \(n\) O número de equipas que jogam no campeonato e \(j(n)\) o número total de jogos a realizar.

7.1. Mostre que o número de jogos é dado pela expressão \(j(n)=n^2-n\) .

7.2. Quantos jogos tem um campeonato com 10 equipas.

7.3. Quantas equipas participaram num campeonato com 240 jogos?

7.1.

Cada uma das \(n\) equipas joga em casa contra as outras \(n-1\) equipas.

Logo, \(j(n)=n(n-1)=n^2-n\) c.q.m.

7.2.

\[ j(10)=10^2-10=90 \]

7.3.

\[ \begin{aligned} j(n)=240&\Leftrightarrow n^2-n=240\\ &\Leftrightarrow n^2-n-240=0\\ &\Leftrightarrow \Delta=(-1)^2-4(-240)\\ &\Leftrightarrow n=\frac{-1\pm\sqrt{\Delta}}{2}\\ &\Leftrightarrow n=-15\vee n=16 \end{aligned} \]

Como \(n\in IN\), \(n=16\)

8.

Área sombreada

Ma figura está representado um retângulo \([ABCD]\) em que \(\overline{AB}=8\ \text{cm}\) e \(\overline{BC}=5\ \text{cm}\) . Considere um ponto \(P\) que se desloca sobre o lado \([AB]\) do retângulo, de tal modo que \([PBQR]\) seja um quadrado de lado \(x\) cm.

Note que \(P\) nunca coincide com \(B\).

Seja \(f\) a função que a cada valor de \(x\) faz corresponder a área sombreada.

Retângulo ABCD com quadrado PBQR e área sombreada

8.1. Determine o domínio da função \(f\).

8.2. Mostre que \(f(x)=-x^2+40\) .

8.3. Determine os valores máximo e mínimo da área da parte sombreada da figura.

8.4. Determine o conjunto dos valores de \(x\) para os quais a área da parte sombreada é não inferior a 20.

8.1.

\[ \overline{AB}=8\quad \text{e}\quad \overline{BC}=5 \]

Como \([PBQR]\) é um quadrado de lado \(x\) , então \(D_f=]0,5]\)

8.2.

\[ \begin{aligned} f(x)&=A_{[ABCD]}-A_{[PRQB]}\\ &=8\times5-x^2\\ &=40-x^2\quad \text{c.q.m.} \end{aligned} \]

8.3.

A função \(f\) não tem máximo, porque a área sombreada aproxima-se da área do retângulo \([ABCD]\) à medida que \(x\) se aproxima de 0, como \(D_f=]0,5]\), \(x\) nunca é igual a 0.

O valor mínimo é \(f(5)=40-5^2=15\)

8.4.

\[ \begin{aligned} f(x)\ge20&\Leftrightarrow 40-x^2\ge20\\ &\Leftrightarrow -x^2+20\ge0 \end{aligned} \]

C.A.

\[ \begin{aligned} -x^2+20=0 &\Leftrightarrow \begin{cases} x=-\sqrt{20}\\ x=\sqrt{20} \end{cases}\\ &\Leftrightarrow x=\sqrt{20} \end{aligned} \]

\[x\in]0,5]\]

Como \(f\) tem a concavidade voltada para baixo, \(x\in\left]0,\sqrt{20}\right]\)

9.

Quadrilátero \(EFGH\)

O retângulo \([ABCD]\) da figura tem dimensões 6 e 4. Sobre os seus lados marcaram-se os pontos \(E\), \(F\), \(G\) e \(H\), tais que \(\overline{AE}=\overline{BF}=\overline{CG}=\overline{DH}=x\)

Retângulo ABCD com quadrilátero EFGH

Seja \(f\) a função que a cada valor de \(x\) faz corresponder a área do quadrilátero \([EFGH]\).

9.1. Mostre que \(f(x)=2x^2-10x+24\) .

Na resposta, apresente:

  • expressões, em função de \(x\), para \(\overline{AF}\) e \(\overline{DE}\) ;
  • expressões em função de \(x\), para as áreas dos triângulos \([AEF]\) e \([DEH]\);
  • a dedução da expressão \(f\).

9.2. Indique o menor valor que a área do quadrilátero \([EFGH]\) pode ter.

9.3. Indique o domínio e o contradomínio da função \(f\).

9.4. Há dois quadriláteros \([EFGH]\), diferentes, cuja área é 16. Determine, analiticamente, os comprimentos dos lados desses dois quadriláteros.

9.1.

\[ \overline{AF}=6-x\quad \text{e}\quad \overline{DE}=4-x \]

\[ \begin{aligned} A_{[AEF]}&=\frac{x(6-x)}{2} =\frac{6x-x^2}{2}\\ A_{[DEH]}&=\frac{x(4-x)}{2} =\frac{4x-x^2}{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} f(x)&=24-2\times\frac{6x-x^2}{2}\\ &\hphantom{=24}-2\times\frac{4x-x^2}{2}\\ &=24-6x+x^2-4x+x^2\\ &=2x^2-10x+24\quad \text{c.q.m.} \end{aligned} \]

9.2.

\[ \begin{aligned} f(x)&=2x^2-10x+24\\ &=2(x^2-5x)+24\\ &=2\left(x^2-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^2\right.\\ &\hphantom{=2(}\left.-\left(\frac{5}{2}\right)^2\right)+24\\ &=2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{50}{4}+24\\ &=2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{23}{2} \end{aligned} \]

Assim, \(V\left(\frac{5}{2},\frac{23}{2}\right)\) pelo que, a área mínima é \(\frac{23}{2}\), quando \(x=\frac{5}{2}\)

9.3.

\[ D_f=]0,4] \]

\[ A_{\text{máxima }[EFGH]}=4\times6=24 \]

Logo, \(D'_f=\left[\frac{23}{2},24\right]\)

9.4.

\[ \begin{aligned} f(x)=16&\Leftrightarrow 2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{23}{2}=16\\ &\Leftrightarrow 2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=16-\frac{23}{2}\\ &\Leftrightarrow 2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{9}{2}\\ &\Leftrightarrow \left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x-\frac{5}{2}=-\sqrt{\frac{9}{4}}\\ x-\frac{5}{2}=\sqrt{\frac{9}{4}} \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}\\ x=\frac{3}{2}+\frac{5}{2} \end{cases}\\ &\Leftrightarrow x=1\vee x=4 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \overline{EF}^{\,2}&=\overline{AF}^{\,2}+\overline{EA}^{\,2}\\ &\Leftrightarrow \overline{EF}=\sqrt{(6-x)^2+x^2}\\ &\Leftrightarrow \overline{EF}=\sqrt{x^2-12x+36+x^2}\\ &\Leftrightarrow \overline{EF}=\sqrt{2x^2-12x+36} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \overline{EH}^{\,2}&=\overline{ED}^{\,2}+\overline{DH}^{\,2}\\ &\Leftrightarrow \overline{EH}=\sqrt{(4-x)^2+x^2}\\ &\Leftrightarrow \overline{EH}=\sqrt{x^2-8x+16+x^2}\\ &\Leftrightarrow \overline{EH}=\sqrt{2x^2-8x+16} \end{aligned} \]

Para \(x=1\)

\[ \begin{aligned} \overline{EF}&=\sqrt{2-12+36}\\ &=\sqrt{26} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \overline{EH}&=\sqrt{2-8+16}\\ &=\sqrt{10} \end{aligned} \]

Para \(x=4\)

\[ \begin{aligned} \overline{EF}&=\sqrt{2\times16-12\times4+36}\\ &=\sqrt{20} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \overline{EH}&=\sqrt{2\times16-8\times4+16}\\ &=\sqrt{16}=4 \end{aligned} \]