Função Quadrática 2 (Problemas)

1.1.

\[h(0)=0{,}9\ \text{m}\]

1.2.

\[ \begin{aligned} h(t)&=-4{,}9t^2+29{,}4t+0{,}9\\ &=-4{,}9\left(t^2-\frac{29{,}4}{4{,}9}t\right)+0{,}9\\ &=-4{,}9(t^2-6t)+0{,}9\\ &=-4{,}9(t^2-6t+3^2-3^2)+0{,}9\\ &=-4{,}9(t-3)^2+4{,}9\times9+0{,}9\\ &=-4{,}9(t-3)^2+45\quad \text{c.q.m.} \end{aligned} \]

1.3.

\[ h(2)=-4{,}9(2-3)^2+45=40{,}1 \]

Sim. O eixo de simetria do gráfico é \(t=3\), pelo que os instantes \(t=2\) e \(t=4\) correspondem à mesma altura de \(40{,}1\) metros.

\[ h(4)=-4{,}9(4-3)^2+45=40{,}1 \]

1.4.

Por \(h(t)=-4{,}9(t-3)^2+45\) o vértice da função é \(V(3,45)\).

Como \(-4{,}9<0\), então a concavidade da parábola está voltada para baixo, assim 45 m, é a altura máxima no instante 3 segundos.

2.1.

\[ A_{[DEFG]}=\overline{DE}\times\overline{DG} \]

\[ \overline{DE}=6-2x \]

Seja \(M\) o ponto médio de \([AB]\) , então \([AMC]\) e \([ADG]\) são semelhantes.

\[ \text{Assim,}\quad \frac{\overline{GD}}{4}=\frac{x}{3}\Leftrightarrow\overline{GD}=\frac{4x}{3} \]

\[ \begin{aligned} A_{[DEFG]}&=(6-2x)\frac{4x}{3}\\ &=\frac{24x}{3}-\frac{8x^2}{3}\\ &=8x-\frac{8x^2}{3}\quad \text{c.q.m.} \end{aligned} \]

2.2.

\[ \begin{aligned} A(x)&=8x-\frac{8}{3}x^2\\ &=-\frac{8}{3}(x^2-3x)\\ &=-\frac{8}{3}\left(x^2-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2\right.\\ &\hphantom{=-\frac{8}{3}(}\left.-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)\\ &=-\frac{8}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{72}{12}\\ &=-\frac{8}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+6 \end{aligned} \]

Logo, o vértice da parábola é \(V\left(\frac{3}{2},6\right)\)

\[ \therefore\ 6\ \text{é máximo quando }x=\frac{3}{2} \]

2.3.

Recorrendo ao GeoGebra, \(x\in\left]0,\frac{3}{4}\right]\cup\left[\frac{9}{4},3\right[\)

3.1.

\[ a(0)=2 \]

3.2.

\[ \begin{aligned} a(t)=0&\Leftrightarrow -5t^2+30t+2=0\\ \Delta&=30^2-4\times(-5)\times2=940\\ t&=\frac{-30\pm\sqrt{940}}{2\times(-5)}\\ &\approx -0{,}07\quad\text{ou}\quad6{,}07 \end{aligned} \]

Exclui-se a raiz negativa, pois \(t\ge0\). A bola demorou aproximadamente 6,07 segundos a cair no solo.

3.3.

\[ t_V=-\frac{30}{2\times(-5)}=3 \]

O eixo de simetria é \(t=3\) e \(a(3)=-5\times3^2+30\times3+2=-45+90+2=47\).

A bola atingiu 47 metros de altura máxima aos 3 segundos.

3.4.

\[ \begin{aligned} a(t)>27\\ &\Leftrightarrow -5t^2+30t+2>27\\ &\Leftrightarrow -5t^2+30t-25>0 \end{aligned} \]

Como o coeficiente de \(t^2\) é \(-5<0\), a expressão é positiva entre os zeros.

\[ \therefore\ t\in]1,5[ \]

Logo a bola esteve a mais de 27 metros durante 4 segundos.

4.1.

A bola parte do solo e regressa ao solo. Pela simetria da parábola, o tempo de subida até à altura máxima é igual ao tempo de descida: 3 segundos. O eixo de simetria do gráfico é, portanto, \(t=3\).

A bola regressa ao solo 6 segundos depois de ter sido atirada.

4.2.

\[ V(3;44{,}1) \]

\[ h(t)=a(t-3)^2+44{,}1 \]

Como \(h(6)=0\), então:

\[ \begin{aligned} a(6-3)^2+44{,}1=0 &\Leftrightarrow 9a=-44{,}1\\ &\Leftrightarrow a=-4{,}9 \end{aligned} \]

Assim, \(h(t)=-4{,}9(t-0)(t-6)\), com \(t\in[0,6]\).

Os parâmetros \(\alpha=0\) e \(\beta=6\) são os instantes em que a bola está no solo.

Seja \(f\) a função afim da reta \(AB\).

\[ \begin{aligned} f(x)&=ax+b\\ a&=\frac{0-5}{3-0}=-\frac{5}{3} \end{aligned} \]

\[ f(x)=-\frac{5}{3}x+5 \]

Portanto, \(P\left(x,-\frac{5}{3}x+5\right)\), com \(x\in]0,3[\).

Seja \(g(x)\) a função que representa a área do retângulo \([ORPQ]\) em função de \(x\).

\[ \begin{aligned} g(x)&=x\left(-\frac{5}{3}x+5\right)\\ &=-\frac{5}{3}x^2+5x\\ &=-\frac{5}{3}(x^2-3x)\\ &=-\frac{5}{3}\left(x^2-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2\right.\\ &\hphantom{=-\frac{5}{3}(}\left.-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)\\ &=-\frac{5}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{45}{12}\\ &=-\frac{5}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{15}{4} \end{aligned} \]

Assim, \(V\left(\frac{3}{2},\frac{15}{4}\right)\), isto é, a área máxima de \([ORPQ]\) é \(\frac{15}{4}\) u.a.

As dimensões são:

\[ \overline{OQ}=\frac{3}{2} \]

\[ \begin{aligned} \overline{PQ} &=f\left(\frac{3}{2}\right)\\ &=-\frac{5}{3}\times\frac{3}{2}+5\\ &=-\frac{5}{2}+5=\frac{5}{2} \end{aligned} \]

A soma dos perímetros do círculo e do quadrado é igual a 1 m.

Seja \(x\) o comprimento do lado do quadrado e \(r\) o raio do círculo, ambos em metros.

\[ \begin{aligned} 2\pi r+4x=1 &\Leftrightarrow 2\pi r=1-4x\\ &\Leftrightarrow r=\frac{1-4x}{2\pi} \end{aligned} \]

Seja \(s(x)\) a função que a cada valor de \(x\in\left]0,\frac14\right[\) faz corresponder a soma das áreas do círculo e do quadrado.

\[ \begin{aligned} s(x)&=x^2+\pi r^2\\ &=x^2+\pi\left(\frac{1-4x}{2\pi}\right)^2 \end{aligned} \]

O gráfico de \(s(x)=x^2+\dfrac{(1-4x)^2}{4\pi}\), no domínio \(]0,\tfrac14[\), permite identificar o mínimo:

As coordenadas do mínimo, arredondadas a quatro casas decimais, são \((0{,}1400;\,0{,}0350)\), em metros e metros quadrados, respetivamente.

Analiticamente, \(x_{\min}=\dfrac1{\pi+4}\) e \(s_{\min}=\dfrac1{4(\pi+4)}\). Usando os valores sem arredondamento intermédio:

\(P_{\text{quadrado}}=\dfrac4{\pi+4}\approx0{,}56\ \text{m}\).

\(P_{\text{círculo}}=\dfrac{\pi}{\pi+4}\approx0{,}44\ \text{m}\).

7.1.

Cada uma das \(n\) equipas joga em casa contra as outras \(n-1\) equipas.

Logo, \(j(n)=n(n-1)=n^2-n\) c.q.m.

7.2.

\[ j(10)=10^2-10=90 \]

7.3.

\[ \begin{aligned} j(n)=240&\Leftrightarrow n^2-n=240\\ &\Leftrightarrow n^2-n-240=0\\ \Delta&=(-1)^2-4\times1\times(-240)=961\\ n&=\frac{1\pm\sqrt{961}}{2}\\ &\Leftrightarrow n=-15\vee n=16 \end{aligned} \]

Como \(n\) é um número natural, \(n=16\).

8.1.

\[ \overline{AB}=8\quad \text{e}\quad \overline{BC}=5 \]

Como \([PBQR]\) é um quadrado de lado \(x\) , então \(D_f=]0,5]\)

8.2.

\[ \begin{aligned} f(x)&=A_{[ABCD]}-A_{[PRQB]}\\ &=8\times5-x^2\\ &=40-x^2\quad \text{c.q.m.} \end{aligned} \]

8.3.

A função \(f\) não tem máximo, porque a área sombreada aproxima-se da área do retângulo \([ABCD]\) à medida que \(x\) se aproxima de 0, como \(D_f=]0,5]\), \(x\) nunca é igual a 0.

O valor mínimo é \(f(5)=40-5^2=15\)

8.4.

\[ \begin{aligned} f(x)\ge20&\Leftrightarrow 40-x^2\ge20\\ &\Leftrightarrow -x^2+20\ge0 \end{aligned} \]

Como \(f\) tem a concavidade voltada para baixo, \(x\in\left]0,\sqrt{20}\right]\)

9.1.

\[ \overline{AF}=6-x\quad \text{e}\quad \overline{DE}=4-x \]

\[ \begin{aligned} A_{[AEF]}&=\frac{x(6-x)}{2} =\frac{6x-x^2}{2}\\ A_{[DEH]}&=\frac{x(4-x)}{2} =\frac{4x-x^2}{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} f(x)&=24-2\times\frac{6x-x^2}{2}\\ &\hphantom{=24}-2\times\frac{4x-x^2}{2}\\ &=24-6x+x^2-4x+x^2\\ &=2x^2-10x+24\quad \text{c.q.m.} \end{aligned} \]

9.2.

\[ \begin{aligned} f(x)&=2x^2-10x+24\\ &=2(x^2-5x)+24\\ &=2\left(x^2-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^2\right.\\ &\hphantom{=2(}\left.-\left(\frac{5}{2}\right)^2\right)+24\\ &=2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{50}{4}+24\\ &=2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{23}{2} \end{aligned} \]

Assim, \(V\left(\frac{5}{2},\frac{23}{2}\right)\) pelo que, a área mínima é \(\frac{23}{2}\), quando \(x=\frac{5}{2}\)

9.3.

\[ D_f=[0,4] \]

A distância \(x\) pode variar de 0 até ao comprimento do lado menor, 4. O mínimo é \(\dfrac{23}{2}\), em \(x=\dfrac52\). Nos extremos do domínio, \(f(0)=24\) e \(f(4)=16\), pelo que:

\[ A_{\text{máxima }[EFGH]}=f(0)=24 \]

Logo, \(D'_f=\left[\frac{23}{2},24\right]\)

9.4.

\[ \begin{aligned} f(x)=16&\Leftrightarrow 2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{23}{2}=16\\ &\Leftrightarrow 2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=16-\frac{23}{2}\\ &\Leftrightarrow 2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{9}{2}\\ &\Leftrightarrow \left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\\ &\Leftrightarrow x-\frac52=-\frac32\ \vee\ x-\frac52=\frac32\\ &\Leftrightarrow x=1\vee x=4 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \overline{EF}^{\,2}&=\overline{AF}^{\,2}+\overline{EA}^{\,2}\\ &\Leftrightarrow \overline{EF}=\sqrt{(6-x)^2+x^2}\\ &\Leftrightarrow \overline{EF}=\sqrt{x^2-12x+36+x^2}\\ &\Leftrightarrow \overline{EF}=\sqrt{2x^2-12x+36} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \overline{EH}^{\,2}&=\overline{ED}^{\,2}+\overline{DH}^{\,2}\\ &\Leftrightarrow \overline{EH}=\sqrt{(4-x)^2+x^2}\\ &\Leftrightarrow \overline{EH}=\sqrt{x^2-8x+16+x^2}\\ &\Leftrightarrow \overline{EH}=\sqrt{2x^2-8x+16} \end{aligned} \]

Para \(x=1\)

\[ \begin{aligned} \overline{EF}&=\sqrt{2-12+36}\\ &=\sqrt{26} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \overline{EH}&=\sqrt{2-8+16}\\ &=\sqrt{10} \end{aligned} \]

Para \(x=4\)

\[ \begin{aligned} \overline{EF}&=\sqrt{2\times16-12\times4+36}\\ &=\sqrt{20} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \overline{EH}&=\sqrt{2\times16-8\times4+16}\\ &=\sqrt{16}=4 \end{aligned} \]

Por simetria em relação ao centro do retângulo, \(\overline{GH}=\overline{EF}\) e \(\overline{FG}=\overline{EH}\). Assim, para \(x=1\), os lados medem \(\sqrt{26},\sqrt{10},\sqrt{26},\sqrt{10}\); para \(x=4\), medem \(\sqrt{20},4,\sqrt{20},4\), pela ordem \(EF,FG,GH,HE\).

O gráfico da função \(h\) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, logo a ordenada do vértice corresponde à altura máxima atingida pelo projétil.

\(\displaystyle t_V=-\frac{30}{2\times(-5)}\) \(\displaystyle {}=\frac{-30}{-10}\) \(\displaystyle {}=3\)

\(\displaystyle h(3)=-5\times3^2+30\times3+5\) \(\displaystyle {}=-45+90+5\) \(\displaystyle {}=50\)

A altura máxima atingida pelo projétil foi de \(50\) metros. Opção (D).

Na calculadora, representam-se \(y_1=-2x^2-8x+10\) e \(y_2=4\) e determinam-se os pontos de interseção e o máximo de \(y_1\):

• \(A(-2-\sqrt7;\,4)\) e \(B(-2+\sqrt7;\,4)\), com abcissas aproximadamente \(-4{,}65\) e \(0{,}65\);
• \(C(-2,\,18)\), vértice da parábola; logo \(D(0,\,18)\).

As bases do trapézio são \([AB]\) e \([CD]\), e a altura é \(18-4=14\):

\(\displaystyle A_{[ABDC]}=\frac{2\sqrt7+2}{2}\times14\) \(\displaystyle {}=14(\sqrt7+1)\approx51{,}0405\ \text{u.a.}\)

12.1. \(h(0)=1\)

\(\displaystyle h(t)=1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -5t^2+14t+1\) \(\displaystyle {}=1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow t(-5t+14)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow t=0\) \(\displaystyle {}\vee t=\frac{14}5\)

12.2. A abcissa do vértice é \(\dfrac{0+\frac{14}5}{2}=\dfrac75\).

\(\displaystyle h\left(\frac75\right) =-5\left(\frac75\right)^2\) \(\displaystyle {}+14\times\frac75 +1\) \(\displaystyle {}=10{,}8\)

12.3. \(\Delta =14^2-4\times(-5)\times1\) \({}=216\)

\(\displaystyle h(t)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow t=\frac{-14\pm\sqrt{216}}{-10}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow t\approx-0{,}07\) \(\displaystyle {}\vee t\approx2{,}87\)

12.4.

\(\displaystyle h(t)\ge9\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -5t^2+14t+1\) \(\displaystyle {}\ge9\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -5t^2+14t-8\) \(\displaystyle {}\ge0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =14^2\) \({}-4\times(-5)\times(-8)\) \({}=36\)

\(\displaystyle -5t^2+14t-8=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow t=\frac{-14\pm6}{-10}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow t=0{,}8\) \(\displaystyle {}\vee t=2\)

Concavidade voltada para baixo: \(h(t)\ge9\) \({}\Leftrightarrow t\in[0{,}8\,;\,2]\).

13.1. O Senhor João foi para casa às \(22\) horas, ou seja, \(t=-2\).

\(\displaystyle T(-2) =-0{,}05\times4\) \(\displaystyle {}+1{,}15\times(-2) -4{,}5\) \(\displaystyle {}=-7\)

13.2. Quando o Senhor João ligou a energia da arca, a temperatura deixou de aumentar e passou a diminuir: esse instante corresponde ao máximo da função \(T\).

\(\displaystyle t_V =-\frac{1{,}15}{2\times(-0{,}05)}\) \(\displaystyle {}=11{,}5\)

\(\displaystyle T(11{,}5) =-0{,}05\times11{,}5^2\) \(\displaystyle {}+1{,}15\times11{,}5 -4{,}5\) \(\displaystyle {}=2{,}1125\)

13.3.

\(\displaystyle T(t)\le-1{,}5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -0{,}05t^2 +1{,}15t\) \(\displaystyle {}-4{,}5\) \(\displaystyle {}\le-1{,}5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -0{,}05t^2 +1{,}15t\) \(\displaystyle {}-3\) \(\displaystyle {}\le0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =1{,}15^2\) \({}-4\times(-0{,}05)\times(-3)\) \({}=0{,}7225\), \(\sqrt{0{,}7225}=0{,}85\)

\(\displaystyle -0{,}05t^2+1{,}15t-3\) \(\displaystyle {}=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow t=\frac{-1{,}15\pm0{,}85}{-0{,}1}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow t=3\) \(\displaystyle {}\vee t=20\)

Concavidade voltada para baixo: a expressão é não positiva fora do intervalo dos zeros, isto é, \(t\in\,]-\infty,3]\) \({}\cup[20,+\infty[\).

\(\displaystyle \left(]-\infty,3]\cup[20,+\infty[\right)\cap[-2,24]\) \(\displaystyle {}=[-2,3]\cup[20,24]\)

14.1. \(\overline{BP}=\overline{BQ}=10-x\), e os triângulos \([APD]\) e \([CQD]\) têm catetos \(x\) e \(10\).

\(\displaystyle A_{[DPSQ]} =A_{[ABCD]}\) \(\displaystyle {}-A_{[PBQS]} -2A_{[APD]}\)

\(\displaystyle =10^2 -(10-x)^2\) \(\displaystyle {}-2\times\frac{10x}2\) \(\displaystyle {}=20x-x^2-10x\) \(\displaystyle {}=10x-x^2\)

14.2.

\(\displaystyle -x^2+10x\) \(\displaystyle {}=-\left(x^2-10x\right)\) \(\displaystyle {}=-\left[(x-5)^2-25\right]\) \(\displaystyle {}=-(x-5)^2+25\)

14.3.

\(\displaystyle -(x-5)^2+25\gt21\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -(x-5)^2+4\gt0\)

Cálculo auxiliar:

\(\displaystyle -(x-5)^2+4=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (x-5)^2=4\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x-5=-2\) \(\displaystyle {}\vee x-5=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=3\) \(\displaystyle {}\vee x=7\)

Concavidade voltada para baixo: a expressão é positiva entre os zeros.

15.1. A outra dimensão do jardim é \(\dfrac{36-2x}2=18-x\) e a área da zona relvada é

\(\displaystyle (x-4)(18-x-4)\) \(\displaystyle {}=(x-4)(14-x)\) \(\displaystyle {}=-x^2+18x-56\)

15.2.

\(\displaystyle -x^2+18x-56\) \(\displaystyle {}=-\left(x^2-18x\right)-56\) \(\displaystyle {}=-\left[(x-9)^2-81\right]-56\) \(\displaystyle {}=-(x-9)^2+25\)

15.3.

\(\displaystyle A(x)\lt21\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -x^2+18x-56\) \(\displaystyle {}\lt21\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -x^2+18x-77\) \(\displaystyle {}\lt0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =18^2\) \({}-4\times(-1)\times(-77)\) \({}=16\)

\(\displaystyle -x^2+18x-77=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-18\pm4}{-2}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=7\) \(\displaystyle {}\vee x=11\)

Concavidade voltada para baixo: a expressão é negativa fora do intervalo dos zeros. Como \(x\in\,]4,14[\):

16.1. \(f(x) =-\dfrac14\left(x^2-16\right)\) \({}+5\) \({}=-\dfrac14x^2+9\). O gráfico de \(f\) é simétrico em relação ao eixo \(Oy\), logo \(Q(-x,f(x))\): \(\overline{PQ}=2x\) e \(\overline{PS}=f(x)\).

\(\displaystyle g(x) =2\left(2x+f(x)\right)\) \(\displaystyle {}=4x-\frac12\left(x^2-16\right)+10\) \(\displaystyle {}=4x-\frac12x^2+8+10\) \(\displaystyle {}=-\frac12x^2+4x+18\)

Como \(P\) está no primeiro quadrante, \(x\gt0\) e \(f(x)\gt0\Leftrightarrow x^2\lt36\); logo, \(x\in\,]0,6[\).

16.2.

\(\displaystyle -\frac12x^2+4x+18\) \(\displaystyle {}=-\frac12\left(x^2-8x\right)+18\) \(\displaystyle {}=-\frac12\left[(x-4)^2-16\right]+18\) \(\displaystyle {}=-\frac12(x-4)^2+26\)

16.3.

\(\displaystyle g(x)\ge24\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -\frac12x^2+4x+18\) \(\displaystyle {}\ge24\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -\frac12x^2+4x-6\) \(\displaystyle {}\ge0\)

Cálculo auxiliar:

\(\displaystyle -\frac12x^2+4x-6=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2-8x+12=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{8\pm4}2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=2\) \(\displaystyle {}\vee x=6\)

Concavidade voltada para baixo: a expressão é não negativa entre os zeros. Como \(x\in\,]0,6[\):

17.1. O vértice da parábola é \((50,16)\) e o ponto \((100,0)\) pertence-lhe:

\(\displaystyle y=a(x-50)^2+16\) \(\displaystyle \text{e}\) \(\displaystyle a(100-50)^2+16=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-\frac{16}{2500}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-0{,}0064\)

\(\displaystyle y =-0{,}0064\left(x^2-100x+2500\right)\) \(\displaystyle {}+16\) \(\displaystyle {}=-0{,}0064x^2+0{,}64x\)

17.2.

\(\displaystyle -0{,}0064\times16^2\) \(\displaystyle {}+0{,}64\times16\) \(\displaystyle {}=8{,}6016\)

\(\displaystyle 16-8{,}6016\) \(\displaystyle {}=7{,}3984\approx7{,}4\)

17.3. As embarcações têm \(6\) m de altura e a folga é de, pelo menos, \(1\) m. Condição:

\(\displaystyle -0{,}0064x^2+0{,}64x\) \(\displaystyle {}\ge7\)

Na calculadora, representam-se \(y_1 =-0{,}0064x^2\) \({}+0{,}64x\) e \(y_2=7\) e determinam-se os pontos de interseção.

C.S. \(=[12{,}5\,;\,87{,}5]\)

\[ 87{,}5-12{,}5=75 \]

18.1.

\(\displaystyle a\times6^2+b\times6+c\) \(\displaystyle {}=10{,}4\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 36a+6b+c\) \(\displaystyle {}=10{,}4\) \(\displaystyle \text{(I)}\)

\(\displaystyle a\times11^2+b\times11+c\) \(\displaystyle {}=19{,}4\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 121a+11b+c\) \(\displaystyle {}=19{,}4\) \(\displaystyle \text{(II)}\)

\(\displaystyle a\times26^2+b\times26+c\) \(\displaystyle {}=10{,}4\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 676a+26b+c\) \(\displaystyle {}=10{,}4\) \(\displaystyle \text{(III)}\)

De (I) e (III): \(640a+20b=0\) \({}\Leftrightarrow b=-32a\).

Substituindo em (II): \(121a-352a+c=19{,}4\) \({}\Leftrightarrow c=19{,}4+231a\).

Substituindo em (I): \(36a -192a +19{,}4\) \({}+231a\) \({}=10{,}4\) \({}\Leftrightarrow 75a=-9\) \({}\Leftrightarrow a=-0{,}12\).

Assim, \(b =-32\times(-0{,}12)\) \({}=3{,}84\) e \(c =19{,}4\) \({}+231\times(-0{,}12)\) \({}=-8{,}32\).

18.2. a) Na calculadora, o máximo de \(y_1 =-0{,}12x^2 +3{,}84x\) \({}-8{,}32\) é atingido no ponto \((16\,;\,22{,}4)\).

18.2. b) Condição: \(-0{,}12x^2 +3{,}84x\) \({}-8{,}32\) \({}\ge15{,}8\). Representam-se \(y_1\) e \(y_2=15{,}8\) e determinam-se os pontos de interseção: \(x\approx8{,}58\) e \(x\approx23{,}42\).

\(\displaystyle 23{,}42-8{,}58\) \(\displaystyle {}=14{,}84\approx14{,}8\)

18.2. c) O ponto final é o zero maior: \(y=0\) \({}\Leftrightarrow x\approx2{,}34\) \({}\vee x\approx29{,}66\), logo o ponto final tem abcissa \(29{,}66\).

O ponto inicial tem ordenada \(7\) e está no ramo crescente: \(y=7\) \({}\Leftrightarrow x\approx4{,}67\) \({}\vee x\approx27{,}33\), logo o ponto inicial tem abcissa \(4{,}67\).

\(\displaystyle 29{,}66-4{,}67\) \(\displaystyle {}=24{,}99\approx25\)

Como o quadrado e o círculo têm dimensões positivas, \(x\in]0,1[\). O quadrado \([FHBI]\) tem lado \(1-x\), logo o raio do círculo é \(\dfrac{1-x}2\).

\(\displaystyle A(x) =1 -x^2\) \(\displaystyle {}-\pi\left(\frac{1-x}2\right)^2\) \(\displaystyle {}=1 -x^2\) \(\displaystyle {}-\frac\pi4\left(1-2x+x^2\right)\)

\(\displaystyle =-\frac{4+\pi}4x^2 +\frac\pi2x\) \(\displaystyle {}+\frac{4-\pi}4\)

O coeficiente de \(x^2\) é negativo, logo a área é máxima na abcissa do vértice:

\(\displaystyle x =-\frac{\frac\pi2}{2\times\left(-\frac{4+\pi}4\right)}\) \(\displaystyle {}=\frac{\frac\pi2}{\frac{4+\pi}2}\) \(\displaystyle {}=\frac\pi{\pi+4}\)

20.1. Os quatro quadrados têm área \(4x^2\). Cada triângulo tem base \(14-2x\) e altura \(\dfrac{10-2x}2=5-x\).

\(\displaystyle A(x) =4x^2\) \(\displaystyle {}+2\times\frac{(14-2x)(5-x)}2\) \(\displaystyle {}=4x^2\) \(\displaystyle {}+(14-2x)(5-x)\) \(\displaystyle {}=6x^2-24x+70\)

20.2.

\(\displaystyle A(x) =6\left(x^2-4x\right)+70\) \(\displaystyle {}=6\left[(x-2)^2-4\right]+70\) \(\displaystyle {}=6(x-2)^2+46\)

20.3. A área total da placa é \(14\times10=140\ \text{cm}^2\), logo a área da parte em madeira é \(140-A(x)\).

\(\displaystyle A(x)=140-A(x)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 2\left(6x^2-24x+70\right)\) \(\displaystyle {}=140\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 12x^2-48x=0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow 12x(x-4)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=0\) \(\displaystyle {}\vee x=4\)

21.1. \(R\) pertence a \(s\) e tem ordenada \(-2\): \(-2=\dfrac14x_R-1\) \({}\Leftrightarrow x_R=-4\).

\(Q\left(x,-\dfrac34x+7\right)\) e \(P\left(x,\dfrac14x-1\right)\). A base \([PQ]\) mede

\(\displaystyle \overline{PQ} =-\frac34x +7\) \(\displaystyle {}-\left(\frac14x-1\right)\) \(\displaystyle {}=-x+8\)

e a altura relativa a essa base é a distância de \(R\) à reta \(PQ\): \(x-(-4)=x+4\).

\(\displaystyle A(x) =\frac{(-x+8)(x+4)}2\) \(\displaystyle {}=\frac{-x^2+4x+32}2\) \(\displaystyle {}=-\frac{x^2}2+2x+16\)

Como \(A\) tem abcissa \(0\) e \(B\) tem abcissa \(8\) (\(-\dfrac34x+7=\dfrac14x-1\) \({}\Leftrightarrow x=8\)), \(x\in\,]0,8[\).

21.2.

\(\displaystyle A(x) =-\frac12\left(x^2-4x\right)\) \(\displaystyle {}+16\) \(\displaystyle {}=-\frac12\left[(x-2)^2-4\right]+16\) \(\displaystyle {}=-\frac12(x-2)^2+18\)

21.3.

\(\displaystyle A(x)\lt17{,}5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -\frac{x^2}2+2x+16\) \(\displaystyle {}\lt17{,}5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -\frac{x^2}2+2x-1{,}5\) \(\displaystyle {}\lt0\)

Cálculo auxiliar:

\(\displaystyle -\frac{x^2}2+2x-1{,}5=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{4\pm2}2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=1\) \(\displaystyle {}\vee x=3\)

Concavidade voltada para baixo: a expressão é negativa fora do intervalo dos zeros. Como \(x\in\,]0,8[\):

22.1. \(\overline{BC}=a-x\).

\(\displaystyle g(x) =\frac{x\times2x}2\) \(\displaystyle {}+\frac{(a-x)^2}2\) \(\displaystyle {}=x^2+\frac{a^2-2ax+x^2}2\) \(\displaystyle {}=\frac32x^2-ax+\frac{a^2}2\)

Completando o quadrado:

\(\displaystyle g(x) =\frac32\left(x^2-\frac23ax\right)\) \(\displaystyle {}+\frac{a^2}2\) \(\displaystyle {}=\frac32\left[\left(x-\frac a3\right)^2-\frac{a^2}9\right]+\frac{a^2}2\) \(\displaystyle {}=\frac32\left(x-\frac a3\right)^2+\frac{a^2}3\)

A abcissa do vértice, \(\dfrac a3\), pertence a \(]0,a[\), pelo que o mínimo de \(g\) é \(\dfrac{a^2}3\).

Nos extremos do domínio (que não são atingidos): se \(x=0\), a expressão vale \(\dfrac{a^2}2\); se \(x=a\), vale \(a^2\). Assim, \(g(x)\ge\dfrac{a^2}3\) e \(g(x)\) é sempre inferior a \(a^2\).

22.2.

\(\displaystyle \frac{a^2}3=48\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a^2=144\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=12\) \(\displaystyle (a\gt0)\)