Função Quadrática - Calculadora Gráfica | Matemática A

📌 Como resolver com a calculadora gráfica

Os exercícios desta ficha são originais e seguem o formato dos itens de calculadora dos exames nacionais (em particular, do item 14 da 2.ª fase de 2026): um contexto real, uma condição dada por palavras que é preciso traduzir numa equação ou inequação e a resolução gráfica com a calculadora.

1. Primeiro, a equação (ou a condição)

«excede em \(p\%\)» ou «aumentou \(p\%\)»: multiplicar por \(1+\frac{p}{100}\); «diminuiu \(p\%\)»: multiplicar por \(1-\frac{p}{100}\);
«passado \(\Delta t\)»: comparar \(f(t+\Delta t)\) com \(f(t)\);
«difere de \(k\) em menos de \(\varepsilon\)»: \(|f(t)-k|\lt\varepsilon\);
identificar o domínio em que a variável faz sentido no contexto do problema.

Se o enunciado tiver parâmetros positivos (por exemplo, \(a\), \(c\) ou \(h\)), dividindo ambos os membros da equação por eles, estes desaparecem.

2. Função quadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\), com \(a\ne0\)

O vértice tem abcissa \(x_V=-\dfrac{b}{2a}\): se \(a\lt0\), \(f(x_V)\) é o máximo; se \(a\gt0\), é o mínimo. Os zeros obtêm-se pela fórmula resolvente, \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

3. Na calculadora

Representar \(y_1\) e \(y_2\) numa janela adequada ao domínio do problema e usar as ferramentas de interseção, máximo, mínimo ou zero.

4. Na resposta

apresentar a equação (ou a condição) que permite resolver o problema;
reproduzir, num referencial, o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinalar o(s) ponto(s) relevante(s);
indicar as coordenadas desses pontos com o arredondamento pedido e só no fim responder no contexto.

1. O túnel e o camião

Tipo exame · originalResposta aberta · calculadora

Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), a secção de um túnel e, no seu interior, a secção de um camião.

Sabe-se que:

o arco do túnel é parte do gráfico da função \(f\), definida por \(f(x)=h-\dfrac{h}{c^2}\,x^2\), com \(x\in[-c,c]\), sendo \(h\) e \(c\) números reais positivos;
a secção do camião é o retângulo \([ABCD]\); os vértices \(A\) e \(B\) pertencem ao eixo \(Ox\) e são simétricos relativamente ao eixo \(Oy\), e os vértices \(C\) e \(D\) pertencem ao arco do túnel;
a área da secção do túnel é igual a \(\dfrac{4ch}{3}\).

Designando por \(k\) o quociente entre a largura do camião e a largura do túnel ao nível do solo, a área da secção do camião é dada por

A(k)=2ch\,k\,(1-k^2),\qquad k\in\,]0,1[

Sabe-se ainda que a altura do camião é superior a metade da altura máxima do túnel.

Determine, recorrendo à calculadora, o quociente entre a largura do camião e a largura do túnel, sabendo que a área da secção do camião é igual a metade da área da secção do túnel.

Apresente o resultado arredondado às centésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

1.º passo - Equação

Metade da área da secção do túnel é \(\dfrac12\times\dfrac{4ch}{3}=\dfrac{2ch}{3}\):

2ch\,k\,(1-k^2)=\dfrac{2ch}{3}\) \(\Leftrightarrow k\,(1-k^2)=\dfrac13

(dividindo ambos os membros por \(2ch\gt0\), os parâmetros \(c\) e \(h\) desaparecem).

2.º passo - Condição sobre a altura

A semilargura do camião é \(k\,c\), pelo que a sua altura é \(f(kc)=h-\dfrac{h}{c^2}\,k^2c^2=h\,(1-k^2)\):

h\,(1-k^2)\gt\dfrac{h}{2}\) \(\Leftrightarrow k^2\lt\dfrac12\) \(\Leftrightarrow k\lt\dfrac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707\quad(k\gt0)

3.º passo - Gráficos na calculadora

\(y_1=x\,(1-x^2)\) e \(y_2=\frac13\), com \(x\in\,]0,1[\):

Pontos de interseção: \((0{,}395\,;\,0{,}333)\) e \((0{,}742\,;\,0{,}333)\). Como \(k\lt0{,}707\), só serve o primeiro.

O quociente entre a largura do camião e a largura do túnel é, aproximadamente, \(0{,}39\).

2. O barco na baía

Tipo exame · originalCalculadora · mínimo

Na figura, está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), em que a unidade é o quilómetro, parte da linha de costa de uma baía. Admita que essa linha de costa é parte do gráfico da função \(g\), definida por \(g(x)=0{,}1x^2\), com \(x\in[-10,10]\).

Um barco, representado pelo ponto \(B\), de coordenadas \((3,7)\), encontra-se no interior da baía. Por causa de uma avaria, o barco tem de se dirigir, em linha reta, para o ponto da costa mais próximo.

Determine, recorrendo à calculadora, a distância do barco a esse ponto da costa.

Apresente o resultado em quilómetros, arredondado às centésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma expressão que dê a distância do barco a um ponto da costa de abcissa \(x\);
represente, em referencial cartesiano, o gráfico da função visualizado na calculadora e assinale o ponto relevante;
apresente as coordenadas do ponto da costa mais próximo do barco, arredondadas às centésimas.

1.º passo - Distância a um ponto da costa

Um ponto da costa tem coordenadas \(P(x\,,\,0{,}1x^2)\), com \(x\in[-10,10]\). A distância de \(B(3,7)\) a \(P\) é

d(x)=\sqrt{(x-3)^2+\left(0{,}1x^2-7\right)^2}

2.º passo - Mínimo na calculadora

\(y_1=\sqrt{(x-3)^2+(0{,}1x^2-7)^2}\), com \(x\in[-10,10]\), e a ferramenta de mínimo:

O mínimo é atingido no ponto de coordenadas \((6{,}55\,;\,4{,}47)\).

3.º passo - Ponto da costa

\(g(6{,}55)=0{,}1\times6{,}55^2\approx4{,}29\), logo o ponto da costa mais próximo do barco é, aproximadamente, \((6{,}55\,;\,4{,}29)\).

A distância do barco ao ponto da costa mais próximo é, aproximadamente, \(4{,}47\) km.

3. Os automóveis no cruzamento

Tipo exame · originalCalculadora · módulo

Duas estradas retilíneas e perpendiculares cruzam-se no ponto \(O\).

Num certo instante, um automóvel, \(A\), que estava parado no cruzamento, arranca e afasta-se de \(O\) ao longo de uma das estradas. Nesse mesmo instante, um automóvel, \(B\), que circula na outra estrada com velocidade constante, encontra-se a \(120\) metros do cruzamento e aproxima-se dele.

Admita que, \(t\) segundos após esse instante:

a distância, em metros, do automóvel \(A\) ao cruzamento é dada por \(a(t)=t^2\);
a distância, em metros, do automóvel \(B\) ao cruzamento é dada por \(b(t)=|120-15t|\).

(Considere os automóveis como pontos.)

3.1. Mostre que a distância, em metros, entre os dois automóveis, \(t\) segundos após esse instante, é dada por \(D(t)=\sqrt{t^4+225t^2-3600t+14\,400}\).

3.2. Determine, recorrendo à calculadora, durante quanto tempo, nos primeiros \(12\) segundos, a distância entre os dois automóveis foi inferior a \(80\) metros.

Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma condição que lhe permita resolver o problema;
represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale os pontos relevantes;
apresente as abcissas desses pontos arredondadas às centésimas.

3.1

Como as estradas são perpendiculares, o triângulo de vértices \(O\), \(A\) e \(B\) é retângulo em \(O\). Pelo Teorema de Pitágoras, e como \(|u|^2=u^2\):

\(D(t)^2=a(t)^2+b(t)^2=t^4+(120-15t)^2\)

=t^4+14\,400-3600t+225t^2

Como \(D(t)\gt0\), \(D(t)=\sqrt{t^4+225t^2-3600t+14\,400}\).

3.2 - Condição

D(t)\lt80\), com \(t\in[0,12]

3.2 - Gráficos na calculadora

\(y_1=\sqrt{x^4+225x^2-3600x+14\,400}\) e \(y_2=80\), com \(x\in[0,12]\):

Pontos de interseção: \((2{,}69\,;\,80)\) e \((8{,}88\,;\,80)\). A distância é inferior a \(80\) m entre estes dois instantes.

3.2 - Duração

8{,}88-2{,}69=6{,}19\approx6{,}2

A distância entre os automóveis foi inferior a \(80\) metros durante, aproximadamente, \(6{,}2\) segundos.

4. A venda de trotinetes elétricas

Tipo exame · originalCalculadora

Uma empresa vende trotinetes elétricas.

Admita que, de acordo com um estudo de mercado, o número de trotinetes que a empresa prevê vender por mês, em função do preço, \(p\), em centenas de euros, de cada trotinete, é dado por

N(p)=1200-6p^2,\qquad 8\le p\le14

4.1. Determine, por processos analíticos, o preço de cada trotinete para o qual a empresa prevê vender \(384\) trotinetes por mês. Apresente o resultado em euros, arredondado às unidades. (A calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos.)

4.2. Sabe-se que existe um único preço para o qual o valor total que se prevê obter, por mês, com a venda das trotinetes é igual a \(5000\) centenas de euros.

Determine esse preço, recorrendo à calculadora.

Apresente o resultado em euros, arredondado às unidades.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação;
apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), arredondada(s) às centésimas.

4.1

N(p)=384\Leftrightarrow1200-6p^2=384\) \(\Leftrightarrow6p^2=816\) \(\Leftrightarrow p^2=136

Como \(p\gt0\), \(p=\sqrt{136}\approx11{,}66\) (que pertence a \([8,14]\)), ou seja, cerca de \(1166\) euros.

4.2 - Equação

O valor total da venda é o preço de cada trotinete vezes o número de trotinetes vendidas, \(p\times N(p)\), em centenas de euros:

p\times N(p)=5000\Leftrightarrow p\left(1200-6p^2\right)=5000\), com \(p\in[8,14]

4.2 - Gráficos na calculadora

\(y_1=x\left(1200-6x^2\right)\) e \(y_2=5000\), com \(x\in[8,14]\):

O ponto de interseção tem coordenadas \((11{,}21\,;\,5000)\): o preço é \(11{,}21\) centenas de euros.

4.1. Cerca de \(1166\) euros.
4.2. O preço é, aproximadamente, \(1121\) euros.

5. O drone e a bola

Tipo exame · originalCalculadora

Numa demonstração, uma bola é lançada verticalmente, de baixo para cima, a partir de um ponto situado a \(1{,}5\) metros do solo.

Admita que, \(t\) segundos após o lançamento, e até atingir o solo, a altura da bola, em metros, é dada por

h(t)=1{,}5+14t-4{,}9t^2

Um drone, parado no ar, filma o lançamento. Na figura, está representada a situação num referencial o.n. \(Oxy\), em que a unidade é o metro: o eixo \(Ox\) representa o solo, a bola desloca-se ao longo do eixo \(Oy\) e o drone está no ponto \(D\), de coordenadas \((4,10)\).

(Considere a bola e o drone como pontos.)

5.1. Determine, por processos analíticos, a altura máxima atingida pela bola.

5.2. Existe um instante a partir do qual, passado um segundo, a distância da bola ao drone aumentou \(50\%\).

Determine, recorrendo à calculadora, esse instante.

Apresente o resultado em segundos, arredondado às centésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

5.1

O gráfico de \(h\) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo; o máximo é atingido no vértice:

t_V=-\dfrac{14}{2\times(-4{,}9)}=\dfrac{10}{7}\) \(\qquad h\left(\dfrac{10}{7}\right)=1{,}5+14\times\dfrac{10}{7}-4{,}9\times\dfrac{100}{49}=1{,}5+20-10=11{,}5

5.2 - Distância da bola ao drone

No instante \(t\), a bola está no ponto \((0\,,\,h(t))\); a sua distância ao drone, \(D(4,10)\), é

d(t)=\sqrt{16+\big(h(t)-10\big)^2}

5.2 - Equação

Aumentar \(50\%\) é multiplicar por \(1{,}5\). A bola atinge o solo quando \(h(t)=0\), ou seja, em \(t\approx2{,}96\) s; logo, \(t_0\in[0\,;\,1{,}96]\):

d(t_0+1)=1{,}5\,d(t_0)

5.2 - Gráficos na calculadora

\(y_1=d(x+1)\) e \(y_2=1{,}5\,d(x)\), com \(d(x)=\sqrt{16+\left(1{,}5+14x-4{,}9x^2-10\right)^2}\) e \(x\in[0\,;\,1{,}96]\):

O ponto de interseção tem coordenadas \((1{,}57\,;\,6{,}35)\).

5.1. A altura máxima atingida pela bola é \(11{,}5\) metros.
5.2. O instante procurado é, aproximadamente, \(t_0=1{,}57\) segundos.

Nesse instante, a bola acabou de passar pela altura máxima (em \(t\approx1{,}43\) s) e começou a descer, afastando-se do drone.

6. A temperatura numa estufa

Tipo exame · originalCalculadora · módulo

Numa estufa, a temperatura, em graus Celsius, \(t\) horas após as \(6\) horas de um certo dia, é dada, aproximadamente, por

T(t)=-0{,}3t^2+4{,}8t+10,\qquad t\in[0,16]

A temperatura ideal para as plantas desta estufa é \(25\ ^\circ\text{C}\). Considera-se que as plantas estão em condições favoráveis quando a temperatura difere da temperatura ideal em menos de \(2\ ^\circ\text{C}\).

6.1. Determine, por processos analíticos, a temperatura máxima atingida na estufa, nesse dia, e a hora a que ocorreu.

6.2. Determine, recorrendo à calculadora, durante quanto tempo, nesse dia, as plantas estiveram em condições favoráveis.

Apresente o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma condição que lhe permita resolver o problema;
represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale os pontos relevantes;
apresente as abcissas desses pontos arredondadas às centésimas.

6.1

t_V=-\dfrac{4{,}8}{2\times(-0{,}3)}=8\) \(\qquad T(8)=-0{,}3\times64+4{,}8\times8+10=29{,}2

O máximo ocorre \(8\) horas após as \(6\) horas, ou seja, às \(14\) horas.

6.2 - Condição

«A temperatura difere de \(25\ ^\circ\text{C}\) em menos de \(2\ ^\circ\text{C}\)» traduz-se por:

|T(t)-25|\lt2\), com \(t\in[0,16]

6.2 - Gráficos na calculadora

\(y_1=\left|-0{,}3x^2+4{,}8x-15\right|\) e \(y_2=2\), com \(x\in[0,16]\):

Pontos de interseção: \((3{,}45\,;\,2)\), \((5{,}29\,;\,2)\), \((10{,}71\,;\,2)\) e \((12{,}55\,;\,2)\). A condição verifica-se para \(t\in\,]3{,}45\,;\,5{,}29[\,\cup\,]10{,}71\,;\,12{,}55[\).

6.2 - Duração

\((5{,}29-3{,}45)+(12{,}55-10{,}71)=1{,}84+1{,}84=3{,}68\) h

\(0{,}68\times60\approx41\) min

6.1. A temperatura máxima foi \(29{,}2\ ^\circ\text{C}\), às \(14\) horas.
6.2. As plantas estiveram em condições favoráveis durante, aproximadamente, \(3\) horas e \(41\) minutos.

A condição \(|T(t)-25|\lt2\) é equivalente a \(23\lt T(t)\lt27\): o tempo favorável divide-se em dois períodos, um de manhã (com a temperatura a subir) e outro ao fim da tarde (com a temperatura a descer).

7. O triângulo sob a parábola

Tipo exame · originalCalculadora

Na figura, estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico da função \(f\), definida por \(f(x)=-x^2+6x\), e os triângulos \([OVA]\) e \([OPQ]\).

Sabe-se que:

\(V\) é o vértice da parábola que é o gráfico de \(f\);
\(A\) é o ponto, distinto da origem, em que o gráfico de \(f\) interseta o eixo \(Ox\);
o ponto \(P\) desloca-se sobre o gráfico de \(f\), entre a origem e o ponto \(V\), nunca coincidindo com nenhum deles;
o ponto \(Q\) é a projeção ortogonal do ponto \(P\) sobre o eixo \(Ox\);
\(x\) é a abcissa do ponto \(P\).

7.1. Mostre que a área do triângulo \([OPQ]\) é dada, em função de \(x\), por \(A(x)=3x^2-\dfrac{x^3}{2}\), com \(x\in\,]0,3[\).

7.2. Determine, recorrendo à calculadora, a abcissa do ponto \(P\) para a qual a área do triângulo \([OPQ]\) é igual a \(40\%\) da área do triângulo \([OVA]\).

Apresente o resultado arredondado às centésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

7.1

O vértice tem abcissa \(-\dfrac{6}{2\times(-1)}=3\), logo \(P\) entre \(O\) e \(V\) significa \(x\in\,]0,3[\). Como \(P(x\,,\,f(x))\) e \(Q(x,0)\), o triângulo \([OPQ]\) é retângulo em \(Q\), com catetos \(\overline{OQ}=x\) e \(\overline{PQ}=f(x)=-x^2+6x\):

A(x)=\dfrac{x\left(-x^2+6x\right)}{2}=\dfrac{6x^2-x^3}{2}=3x^2-\dfrac{x^3}{2}

7.2 - Área do triângulo [OVA]

\(f(x)=0\Leftrightarrow x(-x+6)=0\Leftrightarrow x=0\vee x=6\), logo \(A(6,0)\); \(f(3)=9\), logo \(V(3,9)\).

A_{[OVA]}=\dfrac{6\times9}{2}=27\) \(\qquad40\%\times27=10{,}8

7.2 - Equação e gráficos

3x^2-\dfrac{x^3}{2}=10{,}8\), com \(x\in\,]0,3[

\(y_1=3x^2-\frac{x^3}{2}\) e \(y_2=10{,}8\), com \(x\in\,]0,3[\):

O ponto de interseção tem coordenadas \((2{,}48\,;\,10{,}8)\).

A abcissa do ponto \(P\) é, aproximadamente, \(2{,}48\).

8. A caixa sem tampa

Tipo exame · originalCalculadora · inequação

De uma folha de cartão quadrada, com \(a\) centímetros de lado, sendo \(a\) um número real positivo, recortaram-se, nos quatro cantos, quadrados iguais. Dobrando as abas pelas linhas a tracejado, obteve-se uma caixa sem tampa, com a forma de um paralelepípedo retângulo, como se ilustra na figura.

Designe por \(x\) o quociente entre o lado de cada quadrado recortado e o lado da folha \(\left(x\in\,]0\,;\,0{,}5[\right)\).

8.1. Mostre que o volume da caixa, em centímetros cúbicos, é dado por \(V(x)=a^3x\,(1-2x)^2\).

8.2. Determine, recorrendo à calculadora, os valores de \(x\) para os quais o volume da caixa é superior a \(6\%\) do volume de um cubo com \(a\) centímetros de aresta.

Apresente o resultado na forma de intervalo de números reais, com os extremos arredondados às centésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma condição que lhe permita resolver o problema;
represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale os pontos relevantes.

8.1

Cada quadrado recortado tem lado \(a\,x\), que é a altura da caixa. A base da caixa é um quadrado de lado \(a-2ax=a\,(1-2x)\):

V(x)=\big[a\,(1-2x)\big]^2\times a\,x=a^3x\,(1-2x)^2

8.2 - Condição

O volume do cubo é \(a^3\); \(6\%\) desse volume é \(0{,}06\,a^3\):

a^3x\,(1-2x)^2\gt0{,}06\,a^3\) \(\Leftrightarrow x\,(1-2x)^2\gt0{,}06

(dividindo ambos os membros por \(a^3\gt0\), o parâmetro \(a\) desaparece).

8.2 - Gráficos na calculadora

\(y_1=x\,(1-2x)^2\) e \(y_2=0{,}06\), com \(x\in\,]0\,;\,0{,}5[\):

Pontos de interseção: \((0{,}09\,;\,0{,}06)\) e \((0{,}26\,;\,0{,}06)\). O gráfico de \(y_1\) está acima da reta entre estes dois pontos.

\(x\in\,]0{,}09\,;\,0{,}26[\): o lado dos quadrados recortados deve estar entre, aproximadamente, \(9\%\) e \(26\%\) do lado da folha.