Função Quadrática 1

1.1. O gráfico de \(f\) tem vértice \((0,0)\) e passa por \((1,1)\), pelo que \(f(x)=x^2\). O gráfico de \(g\) mantém o vértice e passa por \((3,3)\), logo \(g(x)=\dfrac13x^2\). Há uma contração vertical de fator \(\dfrac13\):

\[g(x)=\frac13 f(x)\]

1.2. O gráfico de \(h\) mantém o vértice \((0,0)\) e passa por \((1,3)\). Como \(f(1)=1\), há uma dilatação vertical de fator \(3\):

\[h(x)=3f(x)\]

1.3. O vértice passa de \((0,0)\) para \((1,-2)\). Assim, o gráfico foi deslocado uma unidade para a direita e duas unidades para baixo:

\[i(x)=f(x-1)-2\]

1.4. O gráfico fica com concavidade voltada para baixo e o vértice passa para \((-1,3)\). Logo, reflete-se em relação ao eixo \(Ox\), desloca-se uma unidade para a esquerda e três unidades para cima:

\[j(x)=-f(x+1)+3\]

2.1.

\[ 2x^2-8=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=-2 \vee x=2 \]

2.2.

2.3. Como \(f(x)=2(x-0)^2-8\), o vértice é \(V(0,-8)\) e o eixo de simetria é \(x=0\).

2.4. A parábola tem concavidade voltada para cima, por isso decresce até ao vértice e cresce depois do vértice.

2.5. O valor mínimo é \(-8\). Logo, \(D'_f=[-8,+\infty[\).

2.6. Como \(D'_f=[-8,+\infty[\), então \(-f(x)\in]-\infty,8]\) e \(-f(x)+1\in]-\infty,9]\).

3.1. A função cresce em \(]-\infty,0]\) e decresce em \([0,+\infty[\). Tem máximo absoluto \(0\), atingido para \(x=0\), e não tem mínimo.

3.2. Como \(h(x)=-x^2\), o coeficiente de \(x^2\) é negativo. Numa função quadrática \(ax^2+bx+c\), quando \(a<0\), a parábola tem concavidade voltada para baixo. Portanto, o gráfico de \(h\) tem concavidade voltada para baixo.

A forma canónica \(a(x-h)^2+k\) mostra diretamente que o vértice é \((h,k)\). Assim, \(V=(2,-3)\).

Numa expressão \(y=a(x-h)^2+k\), o eixo de simetria é \(x=h\). Para o eixo ser \(x=-4\), a expressão deve ter \((x+4)^2\).

O contradomínio \([-4,+\infty[\) mostra que a parábola tem mínimo \(-4\), portanto \(a>0\) e \(k=-4\).

Se \(3\) é o único zero, então \(f(3)=0\) e a parábola é tangente ao eixo \(Ox\). Os valores \(f(1)\) e \(f(0)\) têm o mesmo sinal e não são nulos. Logo, \(f(1)\times f(0)>0\).

Função \(f\).

\[ -2(x-3)^2+8=0 \Leftrightarrow (x-3)^2=4 \Leftrightarrow x=1 \vee x=5 \]

Como a concavidade é voltada para baixo, \(f(x)>0\) em \(]1,5[\) e \(f(x)<0\) em \(]-\infty,1[\cup]5,+\infty[\).

Função \(g\). Como \(2(x+1)^2+5>0\), a função não tem zeros e é sempre positiva.

Função \(h\). Como \(-\sqrt2\,(x-1)^2=0\) apenas para \(x=1\), a função tem um único zero. Além disso, \(h(x)<0\) para \(x\ne1\) e \(h(1)=0\).

Função \(f\). \(f(x)=(x-2)(x-4)\) e \(f(x)=(x-3)^2-1\).

• Contradomínio: \([-1,+\infty[\).
• Eixo: \(x=3\).
• Zeros: \(2\) e \(4\).
• Sinal: positiva em \(]-\infty,2[\cup]4,+\infty[\), negativa em \(]2,4[\).
• Monotonia: decrescente em \(]-\infty,3]\) e crescente em \([3,+\infty[\).
• Extremo: mínimo \(-1\), para \(x=3\).

Função \(g\). \(g(x)=-(x+2)^2+4\).

• Contradomínio: \(]-\infty,4]\).
• Eixo: \(x=-2\).
• Zeros: \(-4\) e \(0\).
• Sinal: positiva em \(]-4,0[\), negativa em \(]-\infty,-4[\cup]0,+\infty[\).
• Monotonia: crescente em \(]-\infty,-2]\) e decrescente em \([-2,+\infty[\).
• Extremo: máximo \(4\), para \(x=-2\).

Função \(h\). \(h(x)=-2(x-2)^2+7\).

\[ -2x^2+8x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{4-\sqrt{14}}2 \vee x=\frac{4+\sqrt{14}}2 \]

• Contradomínio: \(]-\infty,7]\).
• Eixo: \(x=2\).
• Sinal: positiva entre os zeros e negativa fora desse intervalo.
• Monotonia: crescente em \(]-\infty,2]\) e decrescente em \([2,+\infty[\).
• Extremo: máximo \(7\), para \(x=2\).

O vértice tem abcissa:

\[ x_V=-\frac{6}{2(-2)}=\frac32 \]

Logo, a ordenada do vértice é:

\[ f\left(\frac32\right)=-2\left(\frac32\right)^2+6\left(\frac32\right)+k=\frac92+k \]

11.1. Como a concavidade é voltada para baixo, o contradomínio é \(]-\infty,\frac92+k]\). Assim:

\[ \frac92+k=\frac12 \Leftrightarrow k=-4 \]

11.2. Para ter dois zeros distintos, é necessário \(\Delta>0\):

\[ \Delta=6^2-4(-2)k=36+8k>0 \Leftrightarrow k>-\frac92 \]

12.1. Como \(2\) é máximo absoluto, o contradomínio é \(D'_f=]-\infty,2]\).

12.2. A transformação \(g(x)=f(x-1)+2\) desloca o gráfico de \(f\) uma unidade para a direita e duas unidades para cima. O vértice de \(f\), \((1,2)\), passa para \((2,4)\).

Assim, \(g\) é crescente em \(]-\infty,2]\), decrescente em \([2,+\infty[\), tem máximo absoluto \(4\), para \(x=2\), e não tem mínimo.

12.3. Os zeros de \(h\) satisfazem \(2x=-1\) ou \(2x=3\). Logo, os zeros são \(-\frac12\) e \(\frac32\). Como \(h(x)=-f(2x)\), o sinal fica trocado:

13.1. \(2x^2-8x=2x(x-4)\). Como a concavidade é voltada para cima, \(f(x)\le0\) entre os zeros.

13.2. \(g(x)=x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\). Como a concavidade é voltada para cima, \(g(x)>0\) fora dos zeros.

13.3.

\[ x^2+4x-12>-x^2+4x-4 \Leftrightarrow 2x^2-8>0 \Leftrightarrow x^2>4 \]

13.4.

\[ 2x^2-8x\le x^2+4x-20 \Leftrightarrow x^2-12x+20\le0 \]

Os zeros são \(2\) e \(10\). Como a concavidade é voltada para cima, a inequação verifica-se entre os zeros.

14.1. Os zeros são \(-2\) e \(3\). Como o produto é não positivo entre os zeros, \(S=[-2,3]\).

14.2. \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Como a concavidade é voltada para cima, \(S=]-\infty,2]\cup[3,+\infty[\).

16.1. Os pontos são \((-3,-5)\) e \((3,-5)\).

16.2. Os zeros são \(-2\) e \(2\).

16.3. A reta horizontal \(y=k\) corta a parábola em dois pontos quando está abaixo do máximo. Como o máximo é \(4\), tem-se \(k<4\).

16.4.

16.5. A função é crescente em \(]-\infty,0]\) e decrescente em \([0,+\infty[\). Tem máximo absoluto \(4\), para \(x=0\), e não tem mínimo.

16.6. \(g(x)>0\) em \(]-2,2[\).

17.1. \(a(0)=6\). Como \(\frac43x^2+6>0\), a função não tem zeros.

17.2. \(b(0)=-9\). Os zeros verificam \(4x^2-9=0\), logo \(x=-\frac32\) ou \(x=\frac32\).

17.3. \(c(0)=16\). Como \(c(x)=(x-4)^2\), o zero é \(x=4\).

Para construir cada gráfico, usa-se o gráfico original e transforma-se o domínio e os pontos principais \((0,0)\), \((2,2)\) e \((4,0)\).

18.1. Como \(g(x)=f(x)+1\), o gráfico de \(f\) é deslocado uma unidade para cima.

18.2. Como \(h(x)=f(x+5)\), o gráfico de \(f\) é deslocado cinco unidades para a esquerda.

18.3. Como \(i(x)=f(x-1)\), o gráfico de \(f\) é deslocado uma unidade para a direita.

18.4. Como \(j(x)=-f(x)\), o gráfico de \(f\) é refletido em relação ao eixo \(Ox\).

18.5. Como \(l(x)=f(-x)\), o gráfico de \(f\) é refletido em relação ao eixo \(Oy\).

18.6. Como \(m(x)=2f(x)\), as ordenadas do gráfico de \(f\) são multiplicadas por \(2\).

18.7. Como \(n(x)=\frac{f(x)}2\), as ordenadas do gráfico de \(f\) são divididas por \(2\).

18.8. Como \(o(x)=f(2x)\), o gráfico de \(f\) sofre uma contração horizontal de razão \(\frac12\).

18.9. Como \(p(x)=f\left(\frac x2\right)\), o gráfico de \(f\) sofre uma dilatação horizontal de razão \(2\).

18.10. Como \(q(x)=f(x-2)+1\), o gráfico de \(f\) é deslocado duas unidades para a direita e uma unidade para cima.

19.1. A função é \(f(x)=\frac12x^2+(k-1)x+2\). Para ter um só zero, \(\Delta=0\):

\[ (k-1)^2-4\cdot\frac12\cdot2=0 \Leftrightarrow (k-1)^2=4 \]

19.2. a) Para \(k=-3\), \(f(x)=\frac12x^2-4x+2\).

\[ \frac12x^2-4x+2=0 \Leftrightarrow x^2-8x+4=0 \]

\[ x=\frac{8\pm\sqrt{64-16}}2=4\pm2\sqrt3 \]

19.2. b) Como a concavidade é voltada para cima:

19.2. c)

\[ \frac12x^2-4x+2=-6 \Leftrightarrow x^2-8x+16=0 \Leftrightarrow (x-4)^2=0 \]

O ponto é \((4,-6)\). Há uma única solução porque \(-6\) é o valor mínimo da função.

20.1. Os pontos \(A\) e \(B\) são os zeros de \(f\):

\[ -x^2+4x+5=0 \Leftrightarrow x^2-4x-5=0 \Leftrightarrow x=-1 \vee x=5 \]

Assim, \(A(-1,0)\) e \(B(5,0)\).

20.2. \(f(x)=-(x-2)^2+9\). Logo, o máximo é \(9\) e \(D'_f=]-\infty,9]\).

20.3. O ponto \(C\) é o vértice, \(C(2,9)\). A base é \(\overline{AB}=6\) e a altura é \(9\).

\[ A_{[ABC]}=\frac{6\cdot9}{2}=27 \]

22.1. Como os zeros são \(-6\) e \(2\), \(f(x)=a(x+6)(x-2)\). O eixo é \(x=-2\), e o máximo é \(f(-2)=32\):

\[ f(-2)=a(4)(-4)=-16a=32 \Leftrightarrow a=-2 \]

22.2. a) Como a parábola tem concavidade voltada para baixo, \(f(x)\ge0\) entre os zeros: \([-6,2]\).

22.2. b)

\[ -2x^2-8x+24<14 \Leftrightarrow x^2+4x-5>0 \]

\((x+5)(x-1)>0\), logo:

23.1. Como os zeros são \(-3\) e \(2\), \(f(x)=a(x+3)(x-2)\). Usando o ponto \((0,-6)\):

\[ -6=a(3)(-2) \Leftrightarrow a=1 \]

23.2. A abcissa do vértice é o ponto médio dos zeros:

\[ x_V=\frac{-3+2}{2}=-\frac12 \]

\[ y_V=f\left(-\frac12\right)=\frac14-\frac12-6=-\frac{25}{4} \]

23.3. Como a concavidade é voltada para cima, o contradomínio é \(\left[-\frac{25}{4},+\infty\right[\). O extremo é o mínimo \(-\frac{25}{4}\), atingido para \(x=-\frac12\).

23.4.

\[ f(-2)=(-2)^2+(-2)-6=4-2-6=-4 \]

Logo, \((-2,-4)\) pertence ao gráfico de \(f\).

Como a concavidade é voltada para cima, para o contradomínio ser \(\mathbb{R}_0^+=[0,+\infty[\), o valor mínimo tem de ser \(0\). Isso acontece quando a parábola é tangente ao eixo \(Ox\), isto é, quando \(\Delta=0\):

\[ \Delta=(-m)^2-4\cdot1\cdot1=m^2-4=0 \]

25.1.

\[ 3x^2-6x+5=3(x^2-2x)+5=3\big((x-1)^2-1\big)+5=3(x-1)^2+2 \]

25.2. Pela forma canónica, o vértice é \(V(1,2)\) e o eixo de simetria é \(x=1\).

25.3. Como a concavidade é voltada para cima, o valor mínimo é \(2\). Logo, \(D'_f=[2,+\infty[\).

25.4. A função é decrescente em \(]-\infty,1]\) e crescente em \([1,+\infty[\). Tem mínimo absoluto \(2\), atingido para \(x=1\), e não tem máximo.

Como o vértice da parábola tem coordenadas \((-1,6)\), a função pode ser definida por uma expressão do tipo \(f(x)=a(x+1)^2+6\).

O ponto \((0,4)\) pertence ao gráfico de \(f\), pelo que \(f(0)=4\):

\(\displaystyle a(0+1)^2+6=4\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-2\)

Logo:

\(\displaystyle f(x)=-2(x+1)^2+6\) \(\displaystyle {}=-2(x^2+2x+1)+6\) \(\displaystyle {}=-2x^2-4x-2+6\) \(\displaystyle {}=-2x^2-4x+4\)

Opção (B).

27.1.

\(\displaystyle x_V=-\frac{3}{2\times1}\) \(\displaystyle {}=-\frac32\)

\(\displaystyle y_V=f\left(-\frac32\right)\) \(\displaystyle {}=\left(-\frac32\right)^2\) \(\displaystyle {}+3\times\left(-\frac32\right)-4\) \(\displaystyle {}=\frac94-\frac92-4\) \(\displaystyle {}=-\frac{25}{4}\)

Logo, \(V\left(-\dfrac32,-\dfrac{25}{4}\right)\).

27.2.

Discriminante de \(x^2+3x-4\): \(\Delta=3^2-4\times1\times(-4)\) \({}=25\).

\(\displaystyle f(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2+3x-4=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\times1}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-3\pm5}{2}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-4 \vee x=1\)

Os zeros de \(f\) são \(-4\) e \(1\).

27.3.

\(\displaystyle f(x)\gt g(x)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2+3x-4\gt 2x+2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2+x-6\gt 0\)

Cálculo auxiliar:

Discriminante: \(\Delta=1^2-4\times1\times(-6)\) \({}=25\).

\(\displaystyle x^2+x-6=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2\times1}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm5}{2}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-3 \vee x=2\)

Como a parábola \(y=x^2+x-6\) tem a concavidade voltada para cima, é positiva fora do intervalo dos zeros: \(x\lt -3 \vee x\gt 2\).

Os pontos pedidos têm coordenadas do tipo \((x,x^2)\). Assim:

\(\displaystyle f(x)=x^2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2=2x+15\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2-2x-15=0\)

Discriminante: \(\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-15)\) \({}=64\).

\(\displaystyle x^2-2x-15=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2\times1}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{2\pm8}{2}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-3 \vee x=5\)

\(\left(-3,(-3)^2\right)=(-3,9)\) e \(\left(5,5^2\right)=(5,25)\).

29.1. Vértice: \((0,0)\); eixo de simetria: o eixo \(Oy\), de equação \(x=0\).

29.2. \(D'_f=[0,+\infty[\).

29.3.

A função \(f\) é decrescente em \(]-\infty,0]\) e crescente em \([0,+\infty[\).

29.4. Como \(0\lt\dfrac14\lt1\), o gráfico de \(f\) é imagem do gráfico de \(y=x^2\) por uma contração vertical de coeficiente \(\dfrac14\).

29.5. \(g(x)=-\dfrac14x^2\).

29.6.

\(\displaystyle f(-1)+g(-1)\) \(\displaystyle {}=\frac14\times(-1)^2\) \(\displaystyle {}+\left(-\frac14\right)\times(-1)^2\) \(\displaystyle {}=\frac14-\frac14\) \(\displaystyle {}=0\)

30.1.

\(\displaystyle g(-3)=6\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -f(-3)=6\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -a(-3)^2=6\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -9a=6\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-\frac23\)

30.2.

\(\displaystyle f(x)=-\frac32\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -\frac23x^2=-\frac32\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2=\frac94\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac32\) \(\displaystyle {}\vee x=-\frac32\)

Como a abcissa é o dobro da ordenada, \(P\left(x,\dfrac x2\right)\).

\(\displaystyle x\times\frac x2=8\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2=16\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=4\) \(\displaystyle {}\vee x=-4\)

As condições sobre as coordenadas dão os candidatos \(P(4,2)\) e \(P(-4,-2)\). Como \(a\gt0\), tem-se \(h(x)=ax^2\ge0\), pelo que o segundo candidato não pertence ao gráfico. Assim, \(P=(4,2)\) e:

\(\displaystyle h(4)=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a\times4^2=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=\frac18\)

O valor \(a=\dfrac18\) é positivo e satisfaz todas as condições: \(4=2\times2\) e \(4\times2=8\).

32.1. Função \(f\): \(D_f=\mathbb{R}\); \(D'_f=[0,+\infty[\).

Mínimo: \(0\) (em \(x=-3\)).

Função \(g\): \(D_g=\mathbb{R}\); \(D'_g=]-\infty,0]\).

Máximo: \(0\) (em \(x=2\)).

32.2. O vértice do gráfico de \(f\) é \((-3,0)\), logo \(f(x)=a(x+3)^2\). Como \(f(0)=4\):

\(\displaystyle a(0+3)^2=4\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=\frac49,\) \(\displaystyle \text{logo } f(x)=\frac49(x+3)^2\)

O vértice do gráfico de \(g\) é \((2,0)\), logo \(g(x)=a(x-2)^2\). Como \(g(-1)=-3\):

\(\displaystyle a(-1-2)^2=-3\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-\frac13,\) \(\displaystyle \text{logo } g(x)=-\frac13(x-2)^2\)

32.3. O gráfico de \(f\) obtém-se a partir do gráfico de \(y=x^2\) através de uma translação que aplica o ponto \(O\) no ponto \((-3,0)\) e de uma contração vertical de coeficiente \(\dfrac49\).

33.1. \(i(x)=a\left(x-\sqrt3\right)^2\). Como \(i(0)=1\):

\(\displaystyle a\left(0-\sqrt3\right)^2=1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 3a=1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=\frac13,\) \(\displaystyle \text{logo } i(x)=\frac13\left(x-\sqrt3\right)^2\)

33.2.

A função \(i\) é decrescente em \(\left]-\infty,\sqrt3\right]\) e crescente em \(\left[\sqrt3,+\infty\right[\).

33.3.

\(\displaystyle i\left(-\sqrt3\right) =\frac13\left(-2\sqrt3\right)^2\) \(\displaystyle {}=\frac13\times12\) \(\displaystyle {}=4\)

Opção (B).

34.1. O vértice é \((0,3)\). Como o ponto \(A(-2,-9)\) está abaixo do vértice, a concavidade é voltada para baixo e \(3\) é o máximo. Logo, \(D'_f=]-\infty,3]\).

34.2.

A função \(f\) é crescente em \(]-\infty,0]\) e decrescente em \([0,+\infty[\).

34.3. \(f(x)=ax^2+3\) e \(f(-2)=-9\):

\(\displaystyle a(-2)^2+3=-9\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 4a=-12\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-3,\) \(\displaystyle \text{logo } f(x)=-3x^2+3\)

\(\displaystyle f(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -3x^2+3=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2=1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=1\) \(\displaystyle {}\vee x=-1\)

Os zeros da função \(f\) são \(-1\) e \(1\).

34.4.

A função \(f\) é positiva em \(]-1,1[\) e negativa em \(]-\infty,-1[\,\cup\,]1,+\infty[\). Como se viu em 34.2, é crescente em \(]-\infty,0]\) e decrescente em \([0,+\infty[\).

35.1. \(f(x)=a(x+3)^2+4\) e \(f(0)=0\):

\(\displaystyle 9a+4=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-\frac49,\) \(\displaystyle \text{logo } f(x)=-\frac49(x+3)^2+4\)

35.2. \(g(x)=a(x+2)^2-3\) e \(g(0)=2\):

\(\displaystyle 4a-3=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=\frac54,\) \(\displaystyle \text{logo } g(x)=\frac54(x+2)^2-3\)

35.3. \(h(x)=a(x-1)^2+5\) e \(h(-2)=2\):

\(\displaystyle 9a+5=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-\frac13,\) \(\displaystyle \text{logo } h(x)=-\frac13(x-1)^2+5\)

36.1. Os zeros são \(-1\) e \(5\), logo o eixo de simetria é a reta paralela ao eixo \(Oy\) que passa no ponto \((2,0)\), isto é, \(x=\dfrac{-1+5}{2}=2\). Vértice: \((2,9)\).

36.2. Como \(0\) e \(4\) são simétricos em relação ao eixo \(x=2\), \(g(0)=g(4)\); logo, \(g(0)-g(4)=0\).

36.3. \(g(x)=a(x-2)^2+9\). Como \(g(-1)=0\):

\(\displaystyle a(-3)^2+9=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-1,\) \(\displaystyle \text{logo } g(x)=-(x-2)^2+9\)

Como \(g(0)=5\), então \(A(0,5)\).

\(\displaystyle g(x)=5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -(x-2)^2+9=5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (x-2)^2=4\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=4\) \(\displaystyle {}\vee x=0\)

Logo, \(B(4,5)\) e \(C(4,0)\).

\(\displaystyle A_{[OABC]} =4\times5\) \(\displaystyle {}=20\)

\(f(x)=a(x-3)^2+2\) e \(f(4)=0\):

\(\displaystyle a(4-3)^2+2=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-2\)

\(\displaystyle f(x) =-2(x-3)^2+2\) \(\displaystyle {}=-2(x^2-6x+9)+2\) \(\displaystyle {}=-2x^2+12x-16\)

Opção (C).

Como \(f\) tem um único zero, o vértice da parábola pertence ao eixo \(Ox\): é o ponto \((-3,0)\). Como \(a\lt0\), a concavidade é voltada para baixo e \(0\) é o máximo de \(f\).

Logo, \(D'_f=]-\infty,0]\). Opção (D).

\(\displaystyle -3x^2+4x+c\) \(\displaystyle {}=-3\left(x^2-\frac43x+\frac49\right)\) \(\displaystyle {}+\frac43+c\) \(\displaystyle {}=-3\left(x-\frac23\right)^2+\frac43+c\)

O eixo de simetria é a reta paralela ao eixo \(Oy\) que passa no ponto \(\left(\dfrac23,0\right)\). Como a concavidade é voltada para baixo, \(f\) é crescente em \(\left]-\infty,\dfrac23\right]\) e decrescente em \(\left[\dfrac23,+\infty\right[\), e \(f\left(\dfrac23\right)\) é o máximo de \(f\).

Por isso, as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Para \(c=1\), tem-se \(f(x)=-3\left(x-\dfrac23\right)^2+\dfrac73\), pelo que \(D'_f=\left]-\infty,\dfrac73\right]\). Logo, a afirmação (II) é falsa.

40.1. \(\Delta=3^2-4\times1\times(-5)\) \({}=29\gt0\). Duas soluções.

40.2.

\(\displaystyle 2x^2=-\frac12x-1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 4x^2+x+2=0\)

\(\Delta=1^2-4\times4\times2\) \({}=-31\lt0\). Nenhuma solução.

40.3.

\(\displaystyle -\frac16\left(3x^2+3\right)=x\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -\frac12x^2-\frac12=x\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -x^2-2x-1=0\)

\(\Delta=(-2)^2\) \({}-4\times(-1)\times(-1)\) \({}=0\). Uma solução.

40.4.

\(\displaystyle 3\left(x-\frac23\right)^2\) \(\displaystyle {}=-\frac{x(2-x)}{3}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 3x^2-4x+\frac43\) \(\displaystyle {}=-\frac{2x}{3}+\frac{x^2}{3}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 8x^2-10x+4=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 4x^2-5x+2=0\)

\(\Delta=(-5)^2-4\times4\times2\) \({}=-7\lt0\). Nenhuma solução.

\(\displaystyle y =-(3x+h)^2+1\) \(\displaystyle {}=-\left[3\left(x+\frac h3\right)\right]^2+1\) \(\displaystyle {}=-9\left(x+\frac h3\right)^2+1\)

O eixo de simetria da parábola tem equação \(x=-\dfrac h3\). Assim:

\(\displaystyle -\frac h3=-\frac29\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow h=\frac23\)

Opção (A).

Os dois pontos têm a mesma ordenada, logo são simétricos em relação ao eixo da parábola. O eixo tem equação

\(\displaystyle x =\frac{-2+4}{2}\) \(\displaystyle {}=1\)

Como o vértice da parábola \(y=a(x+h)^2+k\) é o ponto \((-h,k)\), o eixo tem equação \(x=-h\). Logo, \(-h=1\Leftrightarrow h=-1\).

Opção (B).

Resolvem-se as duas alíneas em conjunto, completando o quadrado.

\(\displaystyle f(x) =2x^2-4x\) \(\displaystyle {}=2\left(x^2-2x\right)\) \(\displaystyle {}=2\left(x^2-2x+1-1\right)\) \(\displaystyle {}=2\left[(x-1)^2-1\right]\) \(\displaystyle {}=2(x-1)^2-2\)

Logo, \(f(x)=2(x-1)^2-2\) e \(V(1,-2)\).

\(\displaystyle g(x) =-x^2+6x-4\) \(\displaystyle {}=-\left(x^2-6x\right)-4\) \(\displaystyle {}=-\left[(x-3)^2-9\right]-4\) \(\displaystyle {}=-(x-3)^2+5\)

Logo, \(g(x)=-(x-3)^2+5\) e \(V(3,5)\).

\(\displaystyle h(x) =-x^2-x+1\) \(\displaystyle {}=-\left(x^2+x\right)+1\) \(\displaystyle {}=-\left[\left(x+\frac12\right)^2-\frac14\right]+1\) \(\displaystyle {}=-\left(x+\frac12\right)^2+\frac54\)

Logo, \(h(x)=-\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac54\) e \(V\left(-\dfrac12,\dfrac54\right)\).

\(\displaystyle i(x) =3x^2+2x-1\) \(\displaystyle {}=3\left(x^2+\frac23x\right)-1\) \(\displaystyle {}=3\left[\left(x+\frac13\right)^2-\frac19\right]-1\) \(\displaystyle {}=3\left(x+\frac13\right)^2-\frac43\)

Logo, \(i(x)=3\left(x+\dfrac13\right)^2-\dfrac43\) e \(V\left(-\dfrac13,-\dfrac43\right)\).

44.1. \(\Delta =(-1)^2\) \({}-4\times(-1)\times6\) \({}=25\)

\(\displaystyle h(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -x^2-x+6=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{1\pm5}{-2}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-3\) \(\displaystyle {}\vee x=2\)

Os zeros de \(h\) são \(-3\) e \(2\). Como a parábola tem a concavidade voltada para baixo:

\(h\) é positiva em \(]-3,2[\) e negativa em \(]-\infty,-3[\,\cup\,]2,+\infty[\).

44.2. A abcissa do vértice é \(\dfrac{-3+2}{2}=-\dfrac12\). Logo, \(h\) é crescente em \(\left]-\infty,-\dfrac12\right]\) e decrescente em \(\left[-\dfrac12,+\infty\right[\).

44.3. \(h\) tem máximo absoluto em \(x=-\dfrac12\):

\(\displaystyle h\left(-\frac12\right) =-\left(-\frac12\right)^2\) \(\displaystyle {}-\left(-\frac12\right) +6\) \(\displaystyle {}=-\frac14+\frac12+6\) \(\displaystyle {}=\frac{25}4\)

45.1. \(V(2,-3)\), pelo que \(f(x)=a(x-2)^2-3\).

\(\displaystyle f(4)=1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a(4-2)^2-3=1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=1\)

45.2. \(V(-2,3)\), pelo que \(g(x)=a(x+2)^2+3\).

\(\displaystyle g(-4)=1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a(-4+2)^2+3\) \(\displaystyle {}=1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-\frac12\)

45.3. \(V(3,1)\), pelo que \(h(x)=a(x-3)^2+1\).

\(\displaystyle h(4)=3\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a(4-3)^2+1=3\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=2\)

45.4. \(V(1,4)\), pelo que \(i(x)=a(x-1)^2+4\).

\(\displaystyle i(2)=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a(2-1)^2+4=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-2\)

45.5. \(V(0,-1)\), pelo que \(j(x)=ax^2-1\).

\(\displaystyle j(-3)=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a(-3)^2-1=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=\frac13\)

45.6. \(V(-1,-1)\), pelo que \(k(x)=a(x+1)^2-1\).

\(\displaystyle k(-4)=-3\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a(-4+1)^2-1\) \(\displaystyle {}=-3\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-\frac29\)

46.1.

\(\displaystyle f(x) =x^2-2x+3\) \(\displaystyle {}=\left(x^2-2x+1-1\right)+3\) \(\displaystyle {}=(x-1)^2-1+3\) \(\displaystyle {}=(x-1)^2+2\)

\(V(1,2)\)

46.2.

\(\displaystyle g(x) =x^2+6x+6\) \(\displaystyle {}=(x+3)^2-9+6\) \(\displaystyle {}=(x+3)^2-3\)

\(V(-3,-3)\)

46.3.

\(\displaystyle h(x) =4x^2+4x+1\) \(\displaystyle {}=4\left(x^2+x\right)+1\) \(\displaystyle {}=4\left[\left(x+\frac12\right)^2-\frac14\right]+1\) \(\displaystyle {}=4\left(x+\frac12\right)^2\)

\(V\left(-\dfrac12,0\right)\)

46.4.

\(\displaystyle i(x) =9x^2-6x\) \(\displaystyle {}=9\left(x^2-\frac23x\right)\) \(\displaystyle {}=9\left[\left(x-\frac13\right)^2-\frac19\right]\) \(\displaystyle {}=9\left(x-\frac13\right)^2-1\)

\(V\left(\dfrac13,-1\right)\)

47.1. \(V(-1,3)\)

47.2. Como a reta de equação \(x=-1\) é eixo de simetria do gráfico de \(f\) e \(f(0)=-1\), também \(f(-2)=-1\) (os pontos \(0\) e \(-2\) são simétricos em relação a \(-1\)). Logo, o conjunto-solução da equação \(f(x)=-1\) é \(\{-2,0\}\).

47.3. \(V(-1,3)\), pelo que \(f(x)=a(x+1)^2+3\).

\(\displaystyle f(0)=-1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a(0+1)^2+3\) \(\displaystyle {}=-1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-4\)

48.1. Como \(g\) tem mínimo absoluto em \(x=3\), a equação do eixo de simetria é \(x=3\).

48.2. \(5\) é um zero de \(g\); o seu simétrico em relação a \(3\) é \(3-2=1\). Os pontos de interseção com \(Ox\) são \((5,0)\) e \((1,0)\).

48.3. \(g(x)=a(x-3)^2+k\)

\(\displaystyle g(7)=6\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a(7-3)^2+k=6\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 16a+k=6\) \(\displaystyle \text{(I)}\)

\(\displaystyle g(5)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a(5-3)^2+k=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow k=-4a\) \(\displaystyle \text{(II)}\)

Substituindo (II) em (I): \(16a-4a=6\) \({}\Leftrightarrow a=\dfrac12\) e \(k=-4\times\dfrac12=-2\).

49.1. Como \(h(0)=h(-2)\), o eixo de simetria tem equação \(x=\dfrac{0+(-2)}{2}=-1\).

49.2. \(h(x)=a(x+1)^2+k\)

\(\displaystyle h(0)=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a+k=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow k=2-a\) \(\displaystyle \text{(I)}\)

\(\displaystyle h(3)=7h(1)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 16a+k\) \(\displaystyle {}=7(4a+k)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 12a+6k=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 2a+k=0\) \(\displaystyle \text{(II)}\)

Substituindo (I) em (II): \(2a+2-a=0\) \({}\Leftrightarrow a=-2\) e \(k=2-(-2)=4\).

Como \(f(-2)=f(6)\), o eixo de simetria tem equação \(x=\dfrac{-2+6}{2}=2\). Como \(D'_f=[0,+\infty[\), o vértice é \((2,0)\) e a concavidade está voltada para cima.

A. Falsa: a função tem um único zero, \(2\).

B. Verdadeira: a abcissa do vértice é \(2\) e a concavidade está voltada para cima.

C. Falsa: \(f\) é positiva em \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

D. Falsa: o eixo de simetria é a reta de equação \(x=2\).

E. Verdadeira.

F. Falsa: \(f(2)=0\) e \(f(-6)\gt0\), logo \(f(-6)-f(2)\) \({}=f(-6)\) \({}\neq0\).

G. Verdadeira: como \(V(2,0)\), \(f(x)=a(x-2)^2+0\), com \(a\gt0\).

\(\displaystyle x^2\ge25\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2-5^2\ge0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (x-5)(x+5)\ge0\)

A parábola \(y=x^2-25\) tem a concavidade voltada para cima e zeros \(-5\) e \(5\); é não negativa fora do intervalo \(]-5,5[\):

\(\displaystyle x^2\ge25\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x\le-5\) \(\displaystyle {}\vee x\ge5\)

Opção (B).

52.1. Cálculo auxiliar: \(\Delta =7^2-4\times2\times(-4)\) \({}=81\)

\(\displaystyle 2x^2+7x-4=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-7\pm9}{4}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-4\) \(\displaystyle {}\vee x=\frac12\)

A parábola tem a concavidade voltada para cima, logo é positiva fora do intervalo dos zeros.

52.2.

\(\displaystyle x^2-5x+1\lt-3\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2-5x+4\lt0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =(-5)^2-4\times1\times4\) \({}=9\)

\(\displaystyle x^2-5x+4=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{5\pm3}{2}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=1\) \(\displaystyle {}\vee x=4\)

Concavidade voltada para cima: a expressão é negativa entre os zeros.

52.3.

\(\displaystyle 3x(x-1)+3\le7x\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 3x^2-3x+3-7x\) \(\displaystyle {}\le0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 3x^2-10x+3\le0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =(-10)^2-4\times3\times3\) \({}=64\)

\(\displaystyle 3x^2-10x+3=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{10\pm8}{6}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac13\) \(\displaystyle {}\vee x=3\)

Concavidade voltada para cima: a expressão é não positiva entre os zeros (inclusive).

52.4.

\(\displaystyle 2(x+2)^2\ge3x+11\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 2x^2 +8x +8 -3x\) \(\displaystyle {}-11\) \(\displaystyle {}\ge0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 2x^2+5x-3\ge0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =5^2-4\times2\times(-3)\) \({}=49\)

\(\displaystyle 2x^2+5x-3=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm7}{4}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-3\) \(\displaystyle {}\vee x=\frac12\)

Concavidade voltada para cima: a expressão é não negativa fora do intervalo dos zeros.

52.5.

\(\displaystyle -x(x+1)+2(x-1)\) \(\displaystyle {}\lt-1\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -x^2 -x +2x -2\) \(\displaystyle {}+1\) \(\displaystyle {}\lt0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -x^2+x-1\lt0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =1^2\) \({}-4\times(-1)\times(-1)\) \({}=-3\) \({}\lt0\); a equação \(-x^2+x-1=0\) é impossível.

A parábola tem a concavidade voltada para baixo e não tem zeros, logo a expressão é sempre negativa.

52.6.

\(\displaystyle (x-3)^2\gt2x^2+4x-2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2 -6x +9 -2x^2\) \(\displaystyle {}-4x +2\) \(\displaystyle {}\gt0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -x^2-10x+11\) \(\displaystyle {}\gt0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =(-10)^2\) \({}-4\times(-1)\times11\) \({}=144\)

\(\displaystyle -x^2-10x+11=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{10\pm12}{-2}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-11\) \(\displaystyle {}\vee x=1\)

Concavidade voltada para baixo: a expressão é positiva entre os zeros.

53.1. \(\Delta =(-1)^2\) \({}-4\times(-3)\times2\) \({}=25\)

\(\displaystyle f(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -3x^2-x+2=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{1\pm5}{-6}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-1\) \(\displaystyle {}\vee x=\frac23\)

53.2. a)

\(\displaystyle f(x)\lt-2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -3x^2-x+2\) \(\displaystyle {}\lt-2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -3x^2-x+4\lt0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =(-1)^2\) \({}-4\times(-3)\times4\) \({}=49\)

\(\displaystyle -3x^2-x+4=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{1\pm7}{-6}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-\frac43\) \(\displaystyle {}\vee x=1\)

Concavidade voltada para baixo: a expressão é negativa fora do intervalo dos zeros.

53.2. b)

\(\displaystyle f(x)\ge-8\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -3x^2-x+2\) \(\displaystyle {}\ge-8\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -3x^2-x+10\ge0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =(-1)^2\) \({}-4\times(-3)\times10\) \({}=121\)

\(\displaystyle -3x^2-x+10=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{1\pm11}{-6}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-2\) \(\displaystyle {}\vee x=\frac53\)

Concavidade voltada para baixo: a expressão é não negativa entre os zeros (inclusive).

Como a função tem máximo absoluto, a parábola que a representa tem a concavidade voltada para baixo.

Como o eixo de simetria tem equação \(x=-1\) e \(g(-3)=-4\), também \(g(1)=-4\) (\(-3\) e \(1\) são simétricos em relação a \(-1\)).

Assim, \(g(x)\lt-4\) \({}\Leftrightarrow x\in\,]-\infty,-3[\,\) \({}\cup\,]1,+\infty[\).

Opção (A).

55.1. O mínimo de \(g\) é \(2\). Para que a função \(g(x)-k\) tenha exatamente um zero, o gráfico de \(g\) tem de se deslocar verticalmente \(2\) unidades para baixo, isto é, \(k=2\).

Opção (D).

55.2. O eixo de simetria do gráfico de \(f\) é a reta \(x=-2\). O gráfico de \(y=f(x+k)\) obtém-se do de \(f\) por uma translação horizontal, e o seu eixo é a reta \(x=-2-k\). Assim, \(-2-k=1\) \({}\Leftrightarrow k=-3\): o gráfico de \(f\) desloca-se \(3\) unidades para a direita. Como a concavidade está voltada para cima, \(f(x-3)\) é crescente em \([1,+\infty[\).

Opção (A).

55.3. Da figura: \(f(x)=a(x+2)^2+1\) com \(f(0)=3\), logo \(4a+1=3\Leftrightarrow a=\dfrac12\); \(g(x)=b(x+2)^2+2\) com \(g(0)=6\), logo \(b=1\); \(h(x)=c(x-3)^2\) com \(h(1)=-2\), logo \(4c=-2\Leftrightarrow c=-\dfrac12\).

\(\displaystyle 2f(x) =2\left[\frac12(x+2)^2+1\right]\) \(\displaystyle {}=(x+2)^2+2\) \(\displaystyle {}=g(x)\)

\(\displaystyle -f(x-5)+1\) \(\displaystyle {}=-\left[\frac12(x-3)^2+1\right]+1\) \(\displaystyle {}=-\frac12(x-3)^2\) \(\displaystyle {}=h(x)\)

As duas afirmações são verdadeiras. Opção (D).

55.4. \(g(x)=(x+2)^2+2\), logo \(g(x-1)=(x+1)^2+2\); \(h(x)=-\dfrac12(x-3)^2\).

\(\displaystyle g(x-1)-4\) \(\displaystyle {}\ge h(x)-3x+7\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (x+1)^2+2-4\) \(\displaystyle {}\ge-\frac12(x-3)^2-3x+7\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow x^2+2x-1\) \(\displaystyle {}\ge-\frac12x^2 +3x -\frac92 -3x\) \(\displaystyle {}+7\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \frac32x^2+2x-\frac72\ge0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 3x^2+4x-7\ge0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =4^2-4\times3\times(-7)\) \({}=100\)

\(\displaystyle 3x^2+4x-7=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-4\pm10}{6}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-\frac73\) \(\displaystyle {}\vee x=1\)

Concavidade voltada para cima: a expressão é não negativa fora do intervalo dos zeros.

56.1.

\(\displaystyle g(x) =2f(x+1)-1\) \(\displaystyle {}=2\left(-2x^2+3\right)-1\) \(\displaystyle {}=-4x^2+5\)

\(V(0,5)\). Opção (C).

56.2.

\(\displaystyle h(x) =-f(x-5)-1\) \(\displaystyle {}=-\Big[-2(x-6)^2\) \(\displaystyle {}+3\Big]-1\) \(\displaystyle {}=2(x-6)^2-4\)

\(D'_h=[-4,+\infty[\). Opção (A).

56.3.

(A) \(f(x)-2=0\) \({}\Leftrightarrow -2(x-1)^2+1\) \({}=0\) \({}\Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac12\): equação possível.

(B) \(4-f(x-1)=0\) \({}\Leftrightarrow -2(x-2)^2+3\) \({}=4\) \({}\Leftrightarrow (x-2)^2=-\dfrac12\): equação impossível.

(C) \(3-f(x)=0\) \({}\Leftrightarrow 2(x-1)^2=0\) \({}\Leftrightarrow (x-1)^2=0\): equação possível.

(D) \(f(x-1)-1=0\) \({}\Leftrightarrow -2(x-2)^2+2\) \({}=0\) \({}\Leftrightarrow (x-2)^2=1\): equação possível.

Em (B), também se pode ver que o máximo de \(f\) é \(3\), logo \(f(x-1)\le3\lt4\). Opção (B).

57.1. O gráfico de \(f\) obtém-se do gráfico de \(g\) por um deslocamento vertical de duas unidades para cima, logo \(D'_f=[0,+\infty[\). O mínimo \(0\) só é atingido no vértice, pelo que \(f\) tem apenas um zero.

Algebricamente: \(g(x)=a(x-1)^2-2\), \(f(x)=a(x-1)^2\) e \(f(x)=0\Leftrightarrow x=1\). Opção (B).

57.2.

\(b=1\), porque a reta de equação \(x=1\) é eixo de simetria do gráfico de \(g\);

\(c=-2\), porque \(D'_g=[-2,+\infty[\) (\(-2\) é o mínimo de \(g\));

\(a\gt0\), porque \(g\) tem mínimo, ou seja, a concavidade está voltada para cima.

58.1. \(g(x) =x^2-2ax+a^2\) \({}=(x-a)^2\), pelo que \(g(x)=0\Leftrightarrow x=a\), com \(a\in[-1,2]\).

(A) \(g(x+2)=(x+2-a)^2\) tem o zero \(a-2\in[-3,0]\); por exemplo, se \(a=-1\), o zero é \(-3\in[-5,-2]\).

(B) \(g(x)-4=(x-a)^2-4\) tem os zeros \(a-2\) e \(a+2\), com \(a-2\in[-3,0]\); por exemplo, se \(a=-1\), \(-3\in[-5,-2]\).

(C) \(g(x-2)=(x-2-a)^2\) tem o zero \(a+2\in[1,4]\), que nunca pertence a \([-5,-2]\).

(D) \(-g(x+4)\) \({}=-(x+4-a)^2\) tem o zero \(a-4\in[-5,-2]\).

Opção (C).

58.2. \(h(x)=(x+4-a)^2-4\). O eixo de simetria do gráfico de \(g\) é \(x=a\); o gráfico de \(h\) obtém-se deslocando o de \(g\) \(4\) unidades para a esquerda e \(4\) unidades para baixo. Assim:

\(\displaystyle a-4=-6\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=-2\)

Opção (D).

59.1.

\(\displaystyle h(x) =x\left(a-\frac xa\right)+b\) \(\displaystyle {}=-\frac{x^2}a+ax+b\) \(\displaystyle {}=-\frac1a\left(x^2-a^2x\right)+b\)

\(\displaystyle =-\frac1a\Big[\left(x-\frac{a^2}2\right)^2\) \(\displaystyle {}-\frac{a^4}4\Big]+b\) \(\displaystyle {}=-\frac1a\left(x-\frac{a^2}2\right)^2 +\frac{a^3}4\) \(\displaystyle {}+b\)

Como o gráfico de \(h\) tem a concavidade voltada para baixo, \(-\dfrac1a\lt0\), ou seja, \(a\gt0\).

Como \(h\) tem máximo igual a \(5\) e maximizante igual a \(2\), tem-se \(\dfrac{a^2}2=2\) e \(\dfrac{a^3}4+b=5\).

\(\displaystyle \frac{a^2}2=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a^2=4\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow a=2\) \(\displaystyle (a\gt0)\)

\(\displaystyle \frac{2^3}4+b=5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow b=3\)

59.2. \(h(x) =x\left(2-\dfrac x2\right)+3\) \({}=2x-\dfrac{x^2}2+3\)

\(\displaystyle h(x)+129\le x\left(\frac{3x}4-2\right)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 2x-\frac{x^2}2+132\) \(\displaystyle {}\le\frac{3x^2}4-2x\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{3x^2}4 +\frac{x^2}2 -4x\) \(\displaystyle {}-132\) \(\displaystyle {}\ge0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 5x^2-16x-528\) \(\displaystyle {}\ge0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =(-16)^2\) \({}-4\times5\times(-528)\) \({}=10\,816\) \({}=104^2\)

\(\displaystyle 5x^2-16x-528=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{16\pm104}{10}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-\frac{44}5\) \(\displaystyle {}\vee x=12\)

Concavidade voltada para cima: a expressão é não negativa fora do intervalo dos zeros.

60.1. Se \(b=3\):

\(\displaystyle g(x) =\left(2k^2-6k-8\right)x^2\) \(\displaystyle {}+(3k+3)x +c\)

Uma função quadrática não é crescente em todo o \(\mathbb{R}\). Assim, \(g\) é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\) se e só se o coeficiente de \(x^2\) for nulo e o coeficiente de \(x\) for positivo.

\(\displaystyle 2k^2-6k-8=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow k^2-3k-4=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow k=\frac{3\pm5}{2}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow k=-1\) \(\displaystyle {}\vee k=4\)

Por outro lado, \(3k+3\gt0\Leftrightarrow k\gt-1\). Para \(k=-1\), \(g(x)=c\) é constante, pelo que esse valor fica excluído. Para \(k=4\), \(g(x)=15x+c\) é estritamente crescente.

60.2. a) Se \(k=0\): \(g(x) =(-8x+b)x+c\) \({}=-8x^2+bx+c\).

\(\displaystyle g(x) =-8\left(x^2-\frac b8x\right)\) \(\displaystyle {}+c\) \(\displaystyle {}=-8\Big[\left(x-\frac b{16}\right)^2\) \(\displaystyle {}-\left(\frac b{16}\right)^2\Big]+c\) \(\displaystyle {}=-8\left(x-\frac b{16}\right)^2\) \(\displaystyle {}+8\left(\frac b{16}\right)^2 +c\)

O máximo é atingido em \(x=\dfrac b{16}\). Assim:

\(\displaystyle \frac b{16}=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow b=32\)

\(\displaystyle 8\left(\frac{32}{16}\right)^2+c=24\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow c=24-32\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow c=-8\)

60.2. b) \(g(x)=-8x^2+32x-8\)

\(\displaystyle g(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -8x^2+32x-8\) \(\displaystyle {}=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2-4x+1=0\)

\(\Delta =(-4)^2-4\times1\times1\) \({}=12\)

\(\displaystyle x=\frac{4\pm\sqrt{12}}2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=2-\sqrt3\) \(\displaystyle {}\vee x=2+\sqrt3\)

60.2. c)

\(\displaystyle g(x)\lt8(x+1)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -8x^2+32x-8\) \(\displaystyle {}\lt8x+8\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -8x^2+24x-16\) \(\displaystyle {}\lt0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2-3x+2\gt0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta=(-3)^2-4\times2=1\)

\(\displaystyle x^2-3x+2=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{3\pm1}2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=1\) \(\displaystyle {}\vee x=2\)

Concavidade voltada para cima: \(x^2-3x+2\) é positiva fora do intervalo dos zeros.

\(\displaystyle f(x)\ge c\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow ax^2+x+c\ge c\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow ax^2+x\ge0\)

\(\displaystyle ax^2+x=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x(ax+1)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=0\) \(\displaystyle {}\vee x=-\frac1a\)

Como o conjunto-solução da inequação \(f(x)\ge c\) é \([0,2]\), a parábola \(y=ax^2+x\) tem a concavidade voltada para baixo e \(-\dfrac1a=2\Leftrightarrow a=-\dfrac12\).

\(\displaystyle f(x) =-\frac12x^2+x+c\) \(\displaystyle {}=-\frac12\left(x^2-2x\right)+c\) \(\displaystyle {}=-\frac12\left[(x-1)^2-1\right]+c\) \(\displaystyle {}=-\frac12(x-1)^2+\frac12+c\)

62.1. A parábola que é o gráfico de \(h_1(x)=f(x+5)\) obtém-se deslocando a parábola que é o gráfico de \(f\) cinco unidades para a esquerda.

A parábola que é o gráfico de \(h_2(x) =\dfrac12h_1(x)\) \({}=\dfrac12f(x+5)\) obtém-se da anterior por uma contração vertical de coeficiente \(\dfrac12\) (as ordenadas dos pontos são multiplicadas por \(\dfrac12\)).

Finalmente, a parábola que é o gráfico de \(h(x) =-h_2(x)\) \({}=-\dfrac12f(x+5)\) obtém-se da anterior por uma reflexão em relação ao eixo das abcissas.

62.2.

\(\displaystyle h(x) =-\frac12f(x+5)\) \(\displaystyle {}=-\frac12\Big[-2(x+5)^2\) \(\displaystyle {}+8(x+5) -4\Big]\) \(\displaystyle {}=(x+5)^2 -4(x+5)\) \(\displaystyle {}+2\)

\(\displaystyle =x^2 +10x +25 -4x\) \(\displaystyle {}-20 +2\) \(\displaystyle {}=x^2+6x+7\) \(\displaystyle {}=(x+3)^2-9+7\) \(\displaystyle {}=(x+3)^2-2\)

Logo, \(a=1\), \(p=-3\) e \(k=-2\).

62.3.

\(\displaystyle h(x)\gt f(x)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2+6x+7\) \(\displaystyle {}\gt-2x^2+8x-4\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 3x^2-2x+11\gt0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =(-2)^2-4\times3\times11\) \({}=-128\) \({}\lt0\); a equação \(3x^2-2x+11=0\) é impossível.

A parábola \(y=3x^2-2x+11\) tem a concavidade voltada para cima e não tem zeros, logo \(3x^2-2x+11\gt0\) para todo o \(x\in\mathbb{R}\). Assim, \(h(x)\gt f(x)\), \(\forall x\in\mathbb{R}\).

62.4. a)

\(\displaystyle f(x)+1\ge x\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -2x^2+8x-4+1\) \(\displaystyle {}\ge x\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -2x^2+7x-3\ge0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =7^2\) \({}-4\times(-2)\times(-3)\) \({}=25\)

\(\displaystyle -2x^2+7x-3=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-7\pm5}{-4}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac12\) \(\displaystyle {}\vee x=3\)

Concavidade voltada para baixo: a expressão é não negativa entre os zeros (inclusive).

62.4. b) \(f(-x) =-2x^2 -8x\) \({}-4\)

\(\displaystyle h(x)\gt f(-x)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x^2+6x+7\) \(\displaystyle {}\gt-2x^2-8x-4\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 3x^2+14x+11\gt0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =14^2-4\times3\times11\) \({}=64\)

\(\displaystyle 3x^2+14x+11=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-14\pm8}{6}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-\frac{11}3\) \(\displaystyle {}\vee x=-1\)

Concavidade voltada para cima: a expressão é positiva fora do intervalo dos zeros.

62.5.

\(\displaystyle f(x) =-2x^2+8x-4\) \(\displaystyle {}=-2\left(x^2-4x\right)-4\) \(\displaystyle {}=-2\left[(x-2)^2-4\right]-4\) \(\displaystyle {}=-2(x-2)^2+4\)

O máximo de \(f\) é \(4\) e o mínimo de \(h\) é \(-2\). Logo, as ordenadas de \(C\) e de \(A\) são \(4\) e \(-2\), respetivamente. O enunciado não fixa as suas abcissas, mas a área depende apenas das alturas dos triângulos de base \([BD]\): \(4\) e \(2\).

Na figura, escolhem-se os vértices das parábolas, \(C(2,4)\) e \(A(-3,-2)\), para representar uma configuração possível.

\(\displaystyle f(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (x-2)^2=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=2-\sqrt2\) \(\displaystyle {}\vee x=2+\sqrt2\)

Logo, \(B\left(2-\sqrt2,0\right)\).

\(\displaystyle h(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow (x+3)^2=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-3-\sqrt2\) \(\displaystyle {}\vee x=-3+\sqrt2\)

Logo, \(D\left(-3+\sqrt2,0\right)\).

\(\overline{BD} =2 -\sqrt2\) \({}-\left(-3+\sqrt2\right)\) \({}=5-2\sqrt2\)

\(\displaystyle A_{[ABCD]} =A_{[ABD]}+A_{[BCD]}\) \(\displaystyle {}=\frac{\overline{BD}\times|y_A|}2+\frac{\overline{BD}\times y_C}2\)

\(\displaystyle =\frac{\left(5-2\sqrt2\right)\times(2+4)}2\) \(\displaystyle {}=15-6\sqrt2\)

63.1. Se \(a=b=c\):

\(\displaystyle g(x) =ax^2+ax+a\) \(\displaystyle {}=a\left(x^2+x+1\right)\) \(\displaystyle {}=a\left[\left(x+\frac12\right)^2-\frac14+1\right]\) \(\displaystyle {}=a\left(x+\frac12\right)^2+\frac{3a}4\)

O vértice da parábola que é o gráfico de \(g\) é \(\left(-\dfrac12,\dfrac{3a}4\right)\).

A. Falsa. Se \(a\lt0\), o gráfico de \(g\) tem a concavidade voltada para baixo, pelo que \(g\) é crescente em \(\left]-\infty,-\dfrac12\right]\).

B. Verdadeira. Como \(V\left(-\dfrac12,\dfrac{3a}4\right)\), \(\dfrac{3a}4\) é extremo absoluto e relativo de \(g\).

C. Verdadeira. \(g(x)=0\) \({}\Leftrightarrow a\left(x^2+x+1\right)=0\) \({}\Leftrightarrow x^2+x+1=0\) (pois \(a\neq0\)), e \(\Delta =1^2-4\times1\times1\) \({}=-3\) \({}\lt0\): equação impossível.

63.2. \(g(x)=-4x^2+4x+7\)

a) \(\Delta =4^2-4\times(-4)\times7\) \({}=128\), \(\sqrt{128}=8\sqrt2\)

\(\displaystyle g(x)=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-4\pm8\sqrt2}{-8}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac12-\sqrt2\) \(\displaystyle {}\vee x=\frac12+\sqrt2\)

b) \(y+x=1\Leftrightarrow y=1-x\)

\(\displaystyle g(x)=1-x\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -4x^2+4x+7\) \(\displaystyle {}=1-x\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -4x^2+5x+6=0\)

\(\Delta =5^2-4\times(-4)\times6\) \({}=121\)

\(\displaystyle x=\frac{-5\pm11}{-8}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-\frac34\) \(\displaystyle {}\vee x=2\)

Se \(x=2\), \(y=1-2=-1\); se \(x=-\dfrac34\), \(y=1+\dfrac34=\dfrac74\).

c)

\(\displaystyle g(x) =-4\left(x^2-x\right)+7\) \(\displaystyle {}=-4\left[\left(x-\frac12\right)^2-\frac14\right]+7\) \(\displaystyle {}=-4\left(x-\frac12\right)^2+8\)

\(g\) é crescente em \(\left]-\infty,\dfrac12\right]\), é decrescente em \(\left[\dfrac12,+\infty\right[\) e tem máximo absoluto (e relativo) igual a \(8\) em \(x=\dfrac12\). Não tem mínimos.

d) Dilatação vertical de coeficiente \(4\); reflexão em relação ao eixo das abcissas; deslocamento horizontal de meia unidade para a direita; deslocamento vertical de oito unidades para cima.

e)

\(\displaystyle 2g(x)+1\lt-6x\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow 2\left(-4x^2+4x+7\right)\) \(\displaystyle {}+1\) \(\displaystyle {}\lt-6x\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -8x^2+14x+15\) \(\displaystyle {}\lt0\)

Cálculo auxiliar: \(\Delta =14^2\) \({}-4\times(-8)\times15\) \({}=676\) \({}=26^2\)

\(\displaystyle -8x^2+14x+15=0\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac{-14\pm26}{-16}\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=-\frac34\) \(\displaystyle {}\vee x=\frac52\)

Concavidade voltada para baixo: a expressão é negativa fora do intervalo dos zeros.

O vértice do gráfico de \(f\) é \((0,-1)\) e a concavidade está voltada para baixo, pelo que \(f(x)=ax^2-1\), com \(a\lt0\).

64.1. (A) é verdadeira, porque o máximo de \(f\) é \(-1\lt0\). (B) é verdadeira: \(g(x)=-ax^2\) e \(g(0)=0\). (C) é verdadeira, porque a concavidade está voltada para baixo e a abcissa do vértice é \(0\).

(D) é falsa: o eixo de simetria do gráfico de \(h\) é \(x=1\) e o contradomínio mantém-se \(]-\infty,-1]\), pelo que \(h\) é crescente em \(]-\infty,1]\) e decrescente em \([1,+\infty[\). Não é decrescente em \([-1,+\infty[\).

Opção (D).

64.2. Na figura, a parábola tem a concavidade voltada para cima e o vértice tem ambas as coordenadas negativas.

(A) \(f(x-3)-1\) \({}=a(x-3)^2-2\) e (C) \(f(x-3)-3\) \({}=a(x-3)^2-4\) têm a concavidade voltada para baixo.

(D) \(-f(x+3)-1\) \({}=-a(x+3)^2\) tem o vértice \((-3,0)\), no eixo \(Ox\).

\(\displaystyle -f(x+3)-3\) \(\displaystyle {}=-\left(a(x+3)^2-1\right)-3\) \(\displaystyle {}=-a(x+3)^2-2\)

Em (B), o vértice é \((-3,-2)\) e a concavidade está voltada para cima, pois \(-a\gt0\).

Opção (B).