Função Quadrática 1 | Matemática A

1.

Transformações de uma função

Considere a função \(f\) cujo gráfico está representado na figura ao lado. Os gráficos seguintes foram obtidos por transformação da função \(f\), obtendo-se as funções \(g\), \(h\), \(i\) e \(j\).

Escreva a transformação a \(f\) para obter os gráficos das funções \(g\), \(h\), \(i\) e \(j\).

1.1. O gráfico de \(g\) é mais largo do que o de \(f\), mantendo o vértice. Logo, há uma contração vertical:

\[g(x)=\frac12 f(x)\]

1.2. O gráfico de \(h\) é mais estreito do que o de \(f\), mantendo o vértice. Logo, há uma dilatação vertical:

\[h(x)=2f(x)\]

1.3. O vértice passa de \((0,0)\) para \((1,-2)\). Assim, o gráfico foi deslocado uma unidade para a direita e duas unidades para baixo:

\[i(x)=f(x-1)-2\]

1.4. O gráfico fica com concavidade voltada para baixo e o vértice passa para \((-1,3)\). Logo, reflete-se em relação ao eixo \(Ox\), desloca-se uma unidade para a esquerda e três unidades para cima:

\[j(x)=-f(x+1)+3\]

2.

Função \(f(x)=2x^2-8\)

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=2x^2-8\).

2.1. Determine analiticamente os zeros da função \(f\).

2.2. Construa uma tabela de sinal da função \(f\).

2.3. Indique as coordenadas do vértice e a equação do eixo de simetria do gráfico da função \(f\).

2.4. Construa uma tabela de monotonia da função \(f\).

2.5. Indique o contradomínio da função \(f\).

2.6. Seja \(h(x)=-f(x)+1\). Qual é o contradomínio de \(h\)?

(A) \([-9,+\infty[\)

(B) \([-7,+\infty[\)

(C) \(]-\infty,9]\)

(D) \(]-\infty,7]\)

2.1.

\[ 2x^2-8=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=-2 \vee x=2 \]

2.2.

\(x\)	\(]-\infty,-2[\)	\(-2\)	\(]-2,2[\)	\(2\)	\(]2,+\infty[\)
\(f(x)\)	+	0	-	0	+

2.3. Como \(f(x)=2(x-0)^2-8\), o vértice é \(V(0,-8)\) e o eixo de simetria é \(x=0\).

2.4. A parábola tem concavidade voltada para cima, por isso decresce até ao vértice e cresce depois do vértice.

\(x\)	\(-\infty\)	\(0\)	\(+\infty\)
\(f(x)\)	\(\searrow\)	\(-8\)	\(\nearrow\)

2.5. O valor mínimo é \(-8\). Logo, \(D'_f=[-8,+\infty[\).

2.6. Como \(D'_f=[-8,+\infty[\), então \(-f(x)\in]-\infty,8]\) e \(-f(x)+1\in]-\infty,9]\).

Opção: C

3.

Função \(h(x)=-x^2\)

Considere a função \(h\) definida em \(\mathbb{R}\) por \(h(x)=-x^2\).

3.1. Indique os intervalos de monotonia e os extremos da função.

3.2. Mostre analiticamente que o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo.

3.1. A função cresce em \(]-\infty,0]\) e decresce em \([0,+\infty[\). Tem máximo absoluto \(0\), atingido para \(x=0\), e não tem mínimo.

3.2. Como \(h(x)=-x^2\), o coeficiente de \(x^2\) é negativo. Numa função quadrática \(ax^2+bx+c\), quando \(a<0\), a parábola tem concavidade voltada para baixo. Portanto, o gráfico de \(h\) tem concavidade voltada para baixo.

4.

Coordenadas do vértice

As coordenadas do vértice de uma parábola definida por \(f(x)=-(x-2)^2-3\) são:

(A) \((-2,-3)\)

(B) \((2,-3)\)

(C) \((-2,3)\)

(D) \((2,3)\)

A forma canónica \(a(x-h)^2+k\) mostra diretamente que o vértice é \((h,k)\). Assim, \(V=(2,-3)\).

Opção: B

5.

Eixo \(x=-4\)

Qual das seguintes expressões define uma parábola cujo eixo de simetria tem equação \(x=-4\)?

(A) \(y=3(x-2)^2+4\)

(B) \(y=3(x+2)^2-4\)

(C) \(y=3(x-4)^2+2\)

(D) \(y=3(x+4)^2+2\)

Numa expressão \(y=a(x-h)^2+k\), o eixo de simetria é \(x=h\). Para o eixo ser \(x=-4\), a expressão deve ter \((x+4)^2\).

Opção: D

6.

Vértice, eixo e contradomínio

Indique as coordenadas do vértice, a equação do eixo de simetria e o respetivo contradomínio.

6.1. \(f(x)=3x^2+1\)

6.2. \(g(x)=-(x-2)^2-2\)

6.3. \(h(x)=2(x-1)^2+1\)

6.4. \(i(x)=-\frac12(x-4)^2-3\)

6.5. \(j(x)=(2x+4)^2+8\)

6.6. \(k(x)=2(3x-4)^2-5\)

Função	Vértice	Eixo	Contradomínio
6.1.	\((0,1)\)	\(x=0\)	\([1,+\infty[\)
6.2.	\((2,-2)\)	\(x=2\)	\(]-\infty,-2]\)
6.3.	\((1,1)\)	\(x=1\)	\([1,+\infty[\)
6.4.	\((4,-3)\)	\(x=4\)	\(]-\infty,-3]\)
6.5.	\((-2,8)\)	\(x=-2\)	\([8,+\infty[\)
6.6.	\(\left(\frac43,-5\right)\)	\(x=\frac43\)	\([-5,+\infty[\)

7.

Parâmetros e contradomínio

Seja \(f\) uma função quadrática de contradomínio \([-4,+\infty[\), definida por \(f(x)=a(x+1)^2+k\), com \(a\ne0\) e \(k\in\mathbb{R}\).

Qual dos seguintes valores podem ser assumidos por \(a\) e \(k\)?

(A) \(a=2\) e \(k=4\)

(B) \(a=-2\) e \(k=4\)

(C) \(a=-2\) e \(k=-4\)

(D) \(a=2\) e \(k=-4\)

O contradomínio \([-4,+\infty[\) mostra que a parábola tem mínimo \(-4\), portanto \(a>0\) e \(k=-4\).

Opção: D

8.

Único zero

Sabe-se que \(3\) é o único zero de uma função quadrática \(f\). Pode concluir-se que:

(A) \(f(1)\times f(0)=0\)

(B) \(f(1)\times f(3)\ne0\)

(C) \(f(1)\times f(0)>0\)

(D) \(f(1)\times f(0)<0\)

Se \(3\) é o único zero, então \(f(3)=0\) e a parábola é tangente ao eixo \(Ox\). Os valores \(f(1)\) e \(f(0)\) têm o mesmo sinal e não são nulos. Logo, \(f(1)\times f(0)>0\).

Opção: C

9.

Zeros e variação de sinal

Estude as funções \(f\), \(g\) e \(h\) quanto à existência de zeros e variação de sinal.

\[ f(x)=-2(x-3)^2+8,\qquad g(x)=2(x+1)^2+5,\qquad h(x)=-\sqrt2\,(x-1)^2 \]

Função \(f\).

\[ -2(x-3)^2+8=0 \Leftrightarrow (x-3)^2=4 \Leftrightarrow x=1 \vee x=5 \]

Como a concavidade é voltada para baixo, \(f(x)>0\) em \(]1,5[\) e \(f(x)<0\) em \(]-\infty,1[\cup]5,+\infty[\).

Função \(g\). Como \(2(x+1)^2+5>0\), a função não tem zeros e é sempre positiva.

Função \(h\). Como \(-\sqrt2\,(x-1)^2=0\) apenas para \(x=1\), a função tem um único zero. Além disso, \(h(x)<0\) para \(x\ne1\) e \(h(1)=0\).

10.

Estudo completo de funções

Estude as funções \(f\), \(g\) e \(h\) quanto ao contradomínio, eixo de simetria, zeros, sinal, monotonia e extremos.

\[ f(x)=x^2-6x+8,\qquad g(x)=-x^2-4x,\qquad h(x)=-2x^2+8x-1 \]

Função \(f\). \(f(x)=(x-2)(x-4)\) e \(f(x)=(x-3)^2-1\).

Contradomínio: \([-1,+\infty[\).
Eixo: \(x=3\).
Zeros: \(2\) e \(4\).
Sinal: positiva em \(]-\infty,2[\cup]4,+\infty[\), negativa em \(]2,4[\).
Monotonia: decrescente em \(]-\infty,3]\) e crescente em \([3,+\infty[\).
Extremo: mínimo \(-1\), para \(x=3\).

Função \(g\). \(g(x)=-(x+2)^2+4\).

Contradomínio: \(]-\infty,4]\).
Eixo: \(x=-2\).
Zeros: \(-4\) e \(0\).
Sinal: positiva em \(]-4,0[\), negativa em \(]-\infty,-4[\cup]0,+\infty[\).
Monotonia: crescente em \(]-\infty,-2]\) e decrescente em \([-2,+\infty[\).
Extremo: máximo \(4\), para \(x=-2\).

Função \(h\). \(h(x)=-2(x-2)^2+7\).

\[ -2x^2+8x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{4-\sqrt{14}}2 \vee x=\frac{4+\sqrt{14}}2 \]

Contradomínio: \(]-\infty,7]\).
Eixo: \(x=2\).
Sinal: positiva entre os zeros e negativa fora desse intervalo.
Monotonia: crescente em \(]-\infty,2]\) e decrescente em \([2,+\infty[\).
Extremo: máximo \(7\), para \(x=2\).

11.

Família \(f(x)=-2x^2+6x+k\)

Considere a família de funções \(f\), tais que \(f(x)=-2x^2+6x+k\), \(k\in\mathbb{R}\). Determine \(k\) de modo que:

11.1. o contradomínio da função \(f\) seja \(]-\infty,\frac12]\);

11.2. a função \(f\) tenha dois zeros distintos.

O vértice tem abcissa:

\[ x_V=-\frac{6}{2(-2)}=\frac32 \]

Logo, a ordenada do vértice é:

\[ f\left(\frac32\right)=-2\left(\frac32\right)^2+6\left(\frac32\right)+k=\frac92+k \]

11.1. Como a concavidade é voltada para baixo, o contradomínio é \(]-\infty,\frac92+k]\). Assim:

\[ \frac92+k=\frac12 \Leftrightarrow k=-4 \]

11.2. Para ter dois zeros distintos, é necessário \(\Delta>0\):

\[ \Delta=6^2-4(-2)k=36+8k>0 \Leftrightarrow k>-\frac92 \]

12.

Função representada graficamente

No referencial da figura está representada a função \(f\).

Sabe-se que:

\(-1\) e \(3\) são zeros de \(f\);
\(2\) é máximo absoluto de \(f\);
o ponto \((-3,-6)\) pertence ao gráfico de \(f\).

12.1. Determine o contradomínio de \(f\).

12.2. Seja \(g(x)=f(x-1)+2\). Estude \(g\) quanto à monotonia e extremos.

12.3. Seja \(h(x)=-f(2x)\). Estude \(h\) quanto ao sinal.

12.1. Como \(2\) é máximo absoluto, o contradomínio é \(D'_f=]-\infty,2]\).

12.2. A transformação \(g(x)=f(x-1)+2\) desloca o gráfico de \(f\) uma unidade para a direita e duas unidades para cima. O vértice de \(f\), \((1,2)\), passa para \((2,4)\).

Assim, \(g\) é crescente em \(]-\infty,2]\), decrescente em \([2,+\infty[\), tem máximo absoluto \(4\), para \(x=2\), e não tem mínimo.

12.3. Os zeros de \(h\) satisfazem \(2x=-1\) ou \(2x=3\). Logo, os zeros são \(-\frac12\) e \(\frac32\). Como \(h(x)=-f(2x)\), o sinal fica trocado:

\(x\)	\(]-\infty,-\frac12[\)	\(-\frac12\)	\(]-\frac12,\frac32[\)	\(\frac32\)	\(]\frac32,+\infty[\)
\(h(x)\)	+	0	-	0	+

13.

Condições sob a forma de intervalos

Considere \(f(x)=2x^2-8x\), \(g(x)=x^2+4x-12\) e \(h(x)=-x^2+4x-4\).

Determine, sob a forma de intervalo ou reunião de intervalos, os valores de \(x\) para os quais:

13.1. \(f(x)\le0\)

13.2. \(g(x)>0\)

13.3. \(g(x)>h(x)\)

13.4. \(f(x)\le g(x)-8\)

13.1. \(2x^2-8x=2x(x-4)\). Como a concavidade é voltada para cima, \(f(x)\le0\) entre os zeros.

\([0,4]\)

13.2. \(g(x)=x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\). Como a concavidade é voltada para cima, \(g(x)>0\) fora dos zeros.

\(]-\infty,-6[\cup]2,+\infty[\)

13.3.

\[ x^2+4x-12>-x^2+4x-4 \Leftrightarrow 2x^2-8>0 \Leftrightarrow x^2>4 \]

\(]-\infty,-2[\cup]2,+\infty[\)

13.4.

\[ 2x^2-8x\le x^2+4x-20 \Leftrightarrow x^2-12x+20\le0 \]

Os zeros são \(2\) e \(10\). Como a concavidade é voltada para cima, a inequação verifica-se entre os zeros.

\([2,10]\)

14.

Inequações

Resolva, em \(\mathbb{R}\), cada uma das inequações.

14.1. \((x-3)(x+2)\le0\)

14.2. \(x^2-5x+6\ge0\)

14.1. Os zeros são \(-2\) e \(3\). Como o produto é não positivo entre os zeros, \(S=[-2,3]\).

14.2. \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Como a concavidade é voltada para cima, \(S=]-\infty,2]\cup[3,+\infty[\).

15.

Estudo de várias funções quadráticas

Relativamente às funções quadráticas a seguir definidas, indique as coordenadas do vértice e o eixo da parábola, os zeros, a concavidade, os intervalos de monotonia, o extremo absoluto e o contradomínio.

15.1. \(f(x)=3\left(x-\frac12\right)^2\)

15.2. \(g(x)=2(x-3)^2+1\)

15.3. \(h(x)=2-(x-1)^2\)

15.4. \(i(x)=-2(x+3)^2-1\)

15.5. \(j(x)=-5(x-4)^2-1\)

15.6. \(k(x)=2x^2+1\)

15.7. \(l(x)=-6+(x+4)^2\)

15.8. \(m(x)=-2x^2+3x-1\)

15.9. \(n(x)=3x^2+2x\)

Item	Vértice e eixo	Zeros	Concavidade	Monotonia	Extremo e contradomínio
15.1.	\(V(\frac12,0)\), \(x=\frac12\)	\(\frac12\)	para cima	dec. \(]-\infty,\frac12]\); cresc. \([\frac12,+\infty[\)	mín. \(0\); \([0,+\infty[\)
15.2.	\(V(3,1)\), \(x=3\)	não tem	para cima	dec. \(]-\infty,3]\); cresc. \([3,+\infty[\)	mín. \(1\); \([1,+\infty[\)
15.3.	\(V(1,2)\), \(x=1\)	\(1-\sqrt2\), \(1+\sqrt2\)	para baixo	cresc. \(]-\infty,1]\); dec. \([1,+\infty[\)	máx. \(2\); \(]-\infty,2]\)
15.4.	\(V(-3,-1)\), \(x=-3\)	não tem	para baixo	cresc. \(]-\infty,-3]\); dec. \([-3,+\infty[\)	máx. \(-1\); \(]-\infty,-1]\)
15.5.	\(V(4,-1)\), \(x=4\)	não tem	para baixo	cresc. \(]-\infty,4]\); dec. \([4,+\infty[\)	máx. \(-1\); \(]-\infty,-1]\)
15.6.	\(V(0,1)\), \(x=0\)	não tem	para cima	dec. \(]-\infty,0]\); cresc. \([0,+\infty[\)	mín. \(1\); \([1,+\infty[\)
15.7.	\(V(-4,-6)\), \(x=-4\)	\(-4-\sqrt6\), \(-4+\sqrt6\)	para cima	dec. \(]-\infty,-4]\); cresc. \([-4,+\infty[\)	mín. \(-6\); \([-6,+\infty[\)
15.8.	\(V(\frac34,\frac18)\), \(x=\frac34\)	\(\frac12\), \(1\)	para baixo	cresc. \(]-\infty,\frac34]\); dec. \([\frac34,+\infty[\)	máx. \(\frac18\); \(]-\infty,\frac18]\)
15.9.	\(V(-\frac13,-\frac13)\), \(x=-\frac13\)	\(-\frac23\), \(0\)	para cima	dec. \(]-\infty,-\frac13]\); cresc. \([-\frac13,+\infty[\)	mín. \(-\frac13\); \([-\frac13,+\infty[\)

16.

Leitura de gráfico

Considere a função \(g\), definida em \(\mathbb{R}\), representada na figura.

16.1. Indique o(s) ponto(s) do gráfico cuja ordenada é \(-5\).

16.2. Indique os zeros da função.

16.3. Determine os valores de \(k\) de modo que \(g(x)=k\) tenha duas soluções.

16.4. Construa um quadro de sinais da função \(g\).

16.5. Indique os intervalos de monotonia e os extremos da função.

16.6. Indique os valores de \(x\) para os quais \(g(x)>0\).

16.1. Os pontos são \((-3,-5)\) e \((3,-5)\).

16.2. Os zeros são \(-2\) e \(2\).

16.3. A reta horizontal \(y=k\) corta a parábola em dois pontos quando está abaixo do máximo. Como o máximo é \(4\), tem-se \(k<4\).

16.4.

\(x\)	\(]-\infty,-2[\)	\(-2\)	\(]-2,2[\)	\(2\)	\(]2,+\infty[\)
\(g(x)\)	-	0	+	0	-

16.5. A função é crescente em \(]-\infty,0]\) e decrescente em \([0,+\infty[\). Tem máximo absoluto \(4\), para \(x=0\), e não tem mínimo.

16.6. \(g(x)>0\) em \(]-2,2[\).

17.

Imagem de zero e zeros

Determine a imagem de zero e os zeros das seguintes funções:

17.1. \(a(x)=\frac43x^2+6\)

17.2. \(b(x)=4x^2-9\)

17.3. \(c(x)=x^2-8x+16\)

17.1. \(a(0)=6\). Como \(\frac43x^2+6>0\), a função não tem zeros.

17.2. \(b(0)=-9\). Os zeros verificam \(4x^2-9=0\), logo \(x=-\frac32\) ou \(x=\frac32\).

17.3. \(c(0)=16\). Como \(c(x)=(x-4)^2\), o zero é \(x=4\).

18.

Transformações de gráfico

Na figura ao lado está representado o gráfico de uma função \(f\) de domínio \([0,4]\). Represente o gráfico de cada uma das funções seguintes.

18.1. \(g(x)=f(x)+1\)

18.2. \(h(x)=f(x+5)\)

18.3. \(i(x)=f(x-1)\)

18.4. \(j(x)=-f(x)\)

18.5. \(l(x)=f(-x)\)

18.6. \(m(x)=2f(x)\)

18.7. \(n(x)=\frac{f(x)}2\)

18.8. \(o(x)=f(2x)\)

18.9. \(p(x)=f\left(\frac x2\right)\)

18.10. \(q(x)=f(x-2)+1\)

Para construir cada gráfico, usa-se o gráfico original e transforma-se o domínio e os pontos principais \((0,0)\), \((2,2)\) e \((4,0)\).

18.1. Como \(g(x)=f(x)+1\), o gráfico de \(f\) é deslocado uma unidade para cima.

18.2. Como \(h(x)=f(x+5)\), o gráfico de \(f\) é deslocado cinco unidades para a esquerda.

18.3. Como \(i(x)=f(x-1)\), o gráfico de \(f\) é deslocado uma unidade para a direita.

18.4. Como \(j(x)=-f(x)\), o gráfico de \(f\) é refletido em relação ao eixo \(Ox\).

18.5. Como \(l(x)=f(-x)\), o gráfico de \(f\) é refletido em relação ao eixo \(Oy\).

18.6. Como \(m(x)=2f(x)\), as ordenadas do gráfico de \(f\) são multiplicadas por \(2\).

18.7. Como \(n(x)=\frac{f(x)}2\), as ordenadas do gráfico de \(f\) são divididas por \(2\).

18.8. Como \(o(x)=f(2x)\), o gráfico de \(f\) sofre uma contração horizontal de razão \(\frac12\).

18.9. Como \(p(x)=f\left(\frac x2\right)\), o gráfico de \(f\) sofre uma dilatação horizontal de razão \(2\).

18.10. Como \(q(x)=f(x-2)+1\), o gráfico de \(f\) é deslocado duas unidades para a direita e uma unidade para cima.

Item	Transformação	Domínio	Pontos principais do gráfico transformado
18.1.	Desloca 1 unidade para cima.	\([0,4]\)	\((0,1)\), \((2,3)\), \((4,1)\)
18.2.	Desloca 5 unidades para a esquerda.	\([-5,-1]\)	\((-5,0)\), \((-3,2)\), \((-1,0)\)
18.3.	Desloca 1 unidade para a direita.	\([1,5]\)	\((1,0)\), \((3,2)\), \((5,0)\)
18.4.	Reflete no eixo \(Ox\).	\([0,4]\)	\((0,0)\), \((2,-2)\), \((4,0)\)
18.5.	Reflete no eixo \(Oy\).	\([-4,0]\)	\((-4,0)\), \((-2,2)\), \((0,0)\)
18.6.	Dilatação vertical de razão \(2\).	\([0,4]\)	\((0,0)\), \((2,4)\), \((4,0)\)
18.7.	Contração vertical de razão \(\frac12\).	\([0,4]\)	\((0,0)\), \((2,1)\), \((4,0)\)
18.8.	Contração horizontal de razão \(\frac12\).	\([0,2]\)	\((0,0)\), \((1,2)\), \((2,0)\)
18.9.	Dilatação horizontal de razão \(2\).	\([0,8]\)	\((0,0)\), \((4,2)\), \((8,0)\)
18.10.	Desloca 2 unidades para a direita e 1 unidade para cima.	\([2,6]\)	\((2,1)\), \((4,3)\), \((6,1)\)

19.

Parâmetro \(k\)

Seja \(f\) a função definida por \(f(x)=\frac12x^2+kx+2-x\).

19.1. Determine os valores de \(k\), de modo que \(f\) tenha um só zero.

19.2. Considere \(k=-3\).

a) Determine os zeros da função \(f\).

b) Construa o quadro de sinais de \(f\).

c) Determine as coordenadas do(s) ponto(s) do gráfico de \(f\) que têm ordenada \(-6\). O que pode concluir quanto à(s) solução(ões) obtida(s)?

19.1. A função é \(f(x)=\frac12x^2+(k-1)x+2\). Para ter um só zero, \(\Delta=0\):

\[ (k-1)^2-4\cdot\frac12\cdot2=0 \Leftrightarrow (k-1)^2=4 \]

\(k=-1\) ou \(k=3\)

19.2. a) Para \(k=-3\), \(f(x)=\frac12x^2-4x+2\).

\[ \frac12x^2-4x+2=0 \Leftrightarrow x^2-8x+4=0 \]

\[ x=\frac{8\pm\sqrt{64-16}}2=4\pm2\sqrt3 \]

19.2. b) Como a concavidade é voltada para cima:

\(x\)	\(]-\infty,4-2\sqrt3[\)	\(4-2\sqrt3\)	\(]4-2\sqrt3,4+2\sqrt3[\)	\(4+2\sqrt3\)	\(]4+2\sqrt3,+\infty[\)
\(f(x)\)	+	0	-	0	+

19.2. c)

\[ \frac12x^2-4x+2=-6 \Leftrightarrow x^2-8x+16=0 \Leftrightarrow (x-4)^2=0 \]

O ponto é \((4,-6)\). Há uma única solução porque \(-6\) é o valor mínimo da função.

20.

Triângulo isósceles \([ABC]\)

No referencial o.n. \(Oxy\) da figura está representada a função \(f(x)=-x^2+4x+5\) e o triângulo isósceles \([ABC]\).

20.1. Indique as coordenadas dos pontos \(A\) e \(B\).

20.2. Indique o contradomínio da função \(f\).

20.3. Determine a área do triângulo \([ABC]\).

20.1. Os pontos \(A\) e \(B\) são os zeros de \(f\):

\[ -x^2+4x+5=0 \Leftrightarrow x^2-4x-5=0 \Leftrightarrow x=-1 \vee x=5 \]

Assim, \(A(-1,0)\) e \(B(5,0)\).

20.2. \(f(x)=-(x-2)^2+9\). Logo, o máximo é \(9\) e \(D'_f=]-\infty,9]\).

20.3. O ponto \(C\) é o vértice, \(C(2,9)\). A base é \(\overline{AB}=6\) e a altura é \(9\).

\[ A_{[ABC]}=\frac{6\cdot9}{2}=27 \]

21.

Inequações do 2.º grau

Resolva cada uma das inequações:

21.1. \(x^2-6>0\)

21.2. \(x^2-2x\le0\)

21.3. \(2x^2+x+1<0\)

21.4. \(4x^2+4x+1>0\)

21.5. \(-(x-2)^2+6x\le24\)

21.6. \(3x-x^2>18-6x\)

Item	Resolução	Solução
21.1.	\(x^2>6\)	\(]-\infty,-\sqrt6[\cup]\sqrt6,+\infty[\)
21.2.	\(x(x-2)\le0\)	\([0,2]\)
21.3.	\(\Delta=1-8=-7<0\) e \(a>0\)	\(\varnothing\)
21.4.	\((2x+1)^2>0\)	\(\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac12\right\}\)
21.5.	\(-x^2+10x-28\le0 \Leftrightarrow x^2-10x+28\ge0\), sempre verdadeiro	\(\mathbb{R}\)
21.6.	\(-x^2+9x-18>0 \Leftrightarrow (x-3)(x-6)<0\)	\(]3,6[\)

22.

Zeros e máximo

Relativamente a uma função quadrática \(f\), sabe-se que \(-6\) e \(2\) são os seus zeros e que \(32\) é o máximo.

22.1. Determine uma expressão analítica da função \(f\).

22.2. Determine o conjunto dos valores de \(x\) para os quais:

a) \(f(x)\ge0\) b) \(f(x)<14\)

22.1. Como os zeros são \(-6\) e \(2\), \(f(x)=a(x+6)(x-2)\). O eixo é \(x=-2\), e o máximo é \(f(-2)=32\):

\[ f(-2)=a(4)(-4)=-16a=32 \Leftrightarrow a=-2 \]

\(f(x)=-2(x+6)(x-2)=-2x^2-8x+24\)

22.2. a) Como a parábola tem concavidade voltada para baixo, \(f(x)\ge0\) entre os zeros: \([-6,2]\).

22.2. b)

\[ -2x^2-8x+24<14 \Leftrightarrow x^2+4x-5>0 \]

\((x+5)(x-1)>0\), logo:

\(]-\infty,-5[\cup]1,+\infty[\)

23.

Expressão analítica a partir dos zeros

Seja \(f\) uma função quadrática tal que:

\(-3\) e \(2\) são zeros da função;
o ponto \((0,-6)\) pertence ao gráfico da função.

23.1. Determine a expressão analítica da função.

23.2. Indique as coordenadas do vértice da parábola.

23.3. Indique o contradomínio da função e o respetivo extremo.

23.4. Verifique se o ponto \((-2,-4)\) pertence ao gráfico de \(f\).

23.1. Como os zeros são \(-3\) e \(2\), \(f(x)=a(x+3)(x-2)\). Usando o ponto \((0,-6)\):

\[ -6=a(3)(-2) \Leftrightarrow a=1 \]

\(f(x)=(x+3)(x-2)=x^2+x-6\)

23.2. A abcissa do vértice é o ponto médio dos zeros:

\[ x_V=\frac{-3+2}{2}=-\frac12 \]

\[ y_V=f\left(-\frac12\right)=\frac14-\frac12-6=-\frac{25}{4} \]

\(V\left(-\frac12,-\frac{25}{4}\right)\)

23.3. Como a concavidade é voltada para cima, o contradomínio é \(\left[-\frac{25}{4},+\infty\right[\). O extremo é o mínimo \(-\frac{25}{4}\), atingido para \(x=-\frac12\).

23.4.

\[ f(-2)=(-2)^2+(-2)-6=4-2-6=-4 \]

Logo, \((-2,-4)\) pertence ao gráfico de \(f\).

24.

Contradomínio \(\mathbb{R}_0^+\)

Seja \(f(x)=x^2-mx+1\). Determine o(s) valor(es) de \(m\) para o(s) qual(ais) a função tem contradomínio \(\mathbb{R}_0^+\).

Como a concavidade é voltada para cima, para o contradomínio ser \(\mathbb{R}_0^+=[0,+\infty[\), o valor mínimo tem de ser \(0\). Isso acontece quando a parábola é tangente ao eixo \(Ox\), isto é, quando \(\Delta=0\):

\[ \Delta=(-m)^2-4\cdot1\cdot1=m^2-4=0 \]

\(m=-2\) ou \(m=2\)

25.

Forma canónica

Seja \(f(x)=3x^2-6x+5\).

25.1. Mostre que \(f(x)=3(x-1)^2+2\).

25.2. Indique as coordenadas do vértice e o eixo de simetria.

25.3. Determine o contradomínio da função.

25.4. Indique os intervalos de monotonia e os extremos.

25.1.

\[ 3x^2-6x+5=3(x^2-2x)+5=3\big((x-1)^2-1\big)+5=3(x-1)^2+2 \]

25.2. Pela forma canónica, o vértice é \(V(1,2)\) e o eixo de simetria é \(x=1\).

25.3. Como a concavidade é voltada para cima, o valor mínimo é \(2\). Logo, \(D'_f=[2,+\infty[\).

25.4. A função é decrescente em \(]-\infty,1]\) e crescente em \([1,+\infty[\). Tem mínimo absoluto \(2\), atingido para \(x=1\), e não tem máximo.

Função Quadrática e Inequações do 2.º Grau