\(|x|=a\) com \(a\lt0\) é impossível; \(|x|=0\) equivale a \(x=0\); \(|x|\lt a\) com \(a\le0\) é impossível; \(|x|\gt a\) com \(a\lt0\) é universal em \(\mathbb{R}\); \(|x|\gt0\) equivale a \(x\ne0\). A equivalência \(|A|=|B|\Leftrightarrow A=B\vee A=-B\) é válida para quaisquer números reais \(A\) e \(B\).
Gráficos
para \(a\ne0\), \(y=a|x-h|+k\) tem gráfico em "V" (ou "V" invertido, se \(a\lt0\)) com vértice \((h,k)\); se \(a=0\), é a função constante \(y=k\);
\(y=|f(x)|\): conserva-se o domínio de \(f\), mantém-se a parte do gráfico sobre ou acima de \(Ox\) e reflete-se a parte abaixo em relação a \(Ox\); o conjunto de imagens é um subconjunto de \([0,+\infty[\), não necessariamente todo esse intervalo;
\(y=f(|x|)\): conserva-se a parte do gráfico de \(f\) com \(x\ge0\) e acrescenta-se a sua reflexão em relação a \(Oy\). O domínio é \(\{x\in\mathbb{R}:|x|\in D_f\}\).
Funções - Função Módulo 1
1.
Contradomínio e módulo
Considere uma função \(f\) de domínio \(\mathbb{R}\) e de contradomínio \([-6,2]\)
Indique o contradomínio das funções definidas pelas seguintes expressões.
1.1. \(g(x)=|f(x)|\)
1.2. \(h(x)=-|f(x)|+2\)
1.1.
O gráfico de \(g\) obtém-se a partir do gráfico de \(f\), mantendo os pontos de ordenada não negativa e transformando os pontos de ordenada negativa em pontos de ordenada positiva por reflexão em relação ao eixo \(Ox\).
Para \(x\le0\), o gráfico é parte de uma parábola de concavidade voltada para baixo, com vértice \(V(-2,1)\). Assim, \(1\) é um máximo relativo, em \(x=-2\). Em \(x=0\), \(f(0)=-3\) é um mínimo relativo: os valores próximos à esquerda são superiores a \(-3\) e, à direita, \(f(x)=x-2>-2>-3\).
\(f\) é estritamente crescente em \(]-\infty,-2]\) e em \([0,+\infty[\), separadamente, e estritamente decrescente em \([-2,0]\).
O ramo \(x>0\) é crescente e não contém extremos relativos. Pode incluir-se \(0\) no intervalo de crescimento, pois \(f(0)=-3<f(x)\) para todo o \(x>0\). A função tem apenas os dois extremos relativos indicados e não tem extremos absolutos.
Graficamente:
6.3.
A função \(g\) obtém-se a partir do gráfico da função \(f\) por reflexão em relação ao eixo \(Oy\).
Como os zeros de \(f\) são \(-3\), \(-1\) e \(2\), os zeros de \(g\) são \(-2\), \(1\) e \(3\).
7.
Equações e condições
Considere a função \(f\), definida em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=-2|x+1|+6\)
7.1. Defina analiticamente, a função \(f\) sem utilizar módulos.
Gráficos de \(f(x)=g(|x|)\) e de \(g(x)\), coincidentes para \(x\ge0\).
11.
Função módulo em intervalo
Considere a função \(g\), de domínio \([-5,5]\), definida por \(g(x)=-|x-1|+3\).
11.1. Exprima \(g\) sem usar o símbolo de módulo.
11.2. Indique:
a) o contradomínio de \(g\);
b) os zeros de \(g\);
c) os intervalos de monotonia de \(g\).
11.3. Utilizando processos exclusivamente analíticos, resolva a inequação \(g(x)<0\).
11.4. Considere a função \(f\) definida, em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=a|x-b|+c\), com \(a,b\) e \(c\in \mathbb{R}\), cujo gráfico cartesiano está parcialmente representado no referencial \(Oxy\) da figura que se segue.
Resolva, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a equação \(f(x)=g(x)\).
11.1.
\(g(x)=\)
{
\(-x+4\)
se \(1\le x\le5\)
\(x+2\)
se \(-5\le x<1\)
11.2.
a) \(D'_g=[-3,3]\)
b)
\[
g(x)=0\Leftrightarrow |x-1|=3
\]
\[
\Leftrightarrow x=4\vee x=-2
\]
\(\text{C.S.}=\{-2,4\}\)
c) \(g\) é crescente em \([-5,1]\) e decrescente em \([1,5]\)
Ponto \(A\): no ramo \(x\ge\frac12\), \(-2x+4=2\Leftrightarrow x=1\), logo \(A(1,2)\). A outra solução de \(f(x)=2\), \(x=0\), pertence ao ramo crescente e não corresponde a \(A\).
Ponto \(D\): no ramo \(x\ge5\), \(x-5=2\Leftrightarrow x=7\), logo \(D(7,2)\). A solução \(x=3\) de \(g(x)=2\) pertence ao outro ramo.
\[
\overline{AD}=|x_D-x_A|=|7-1|=6
\]
Ponto \(B\): no ramo \(x\ge\frac12\), \(-2x+4=0\Leftrightarrow x=2\), logo \(B(2,0)\). O outro zero de \(f\), \(-1\), não pertence a este ramo.
Ponto \(C\): \(g(x)=0\Rightarrow x=5\), logo \(C(5,0)\)
Seja \(f\) a função definida por \(f(x)=-4|x|+2\).
16.1. Determine o valor de: a) \(f(-3)\); b) \(f\left(\dfrac13\right)\); c) \(f\left(-\dfrac32\right)\).
16.2. Usando as potencialidades gráficas da calculadora, determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de \(f\) com o da função \(g\) definida por \(g(x)=|x|\).
16.1.
a) \(f(-3)=-4\times|-3|+2=-10\)
b) \(f\left(\dfrac13\right)=-4\times\left|\dfrac13\right|+2=\dfrac23\)
c) \(f\left(-\dfrac32\right)=-4\times\left|-\dfrac32\right|+2=-4\)
16.2. Na calculadora, representam-se \(y_1=-4|x|+2\) e \(y_2=|x|\) e determinam-se os pontos de interseção dos dois gráficos.
Os pontos de interseção dos dois gráficos têm coordenadas \((-0{,}4;\,0{,}4)\) e \((0{,}4;\,0{,}4)\).
Cálculos auxiliares: \(x^2-x-6=0\) \({}\Leftrightarrow x=\dfrac{1\pm5}2\) \({}\Leftrightarrow x=-2\) \({}\vee x=3\); \(x^2+x-6=0\) \({}\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm5}2\) \({}\Leftrightarrow x=-3\) \({}\vee x=2\). As duas parábolas têm a concavidade voltada para cima.
e) \(g\) é positiva em \(]-3,10]\setminus\{0,5\}\) e é negativa em \(]-\infty,-3[\).
f) \(g\) é crescente em \(]-\infty,-2[\) e em \([0,5[\), é decrescente em \([-2,0]\) e é constante em \(]5,10]\).
\(g\) tem mínimo relativo igual a \(0\) em \(x=0\) e igual a \(5\) em cada \(x\in\,]5,10]\), e tem máximo relativo (e absoluto) igual a \(5\) em cada \(x\in\,]5,10]\). No ramo constante, os extremos relativos são não estritos. Em \(x=-2\), não há extremo relativo, pois há valores próximos superiores à esquerda e inferiores à direita. Não existe mínimo absoluto.
