Função Módulo 1

Função módulo, gráficos, equações e inequações com módulo

Funções - Função Módulo 1

1.

Contradomínio e módulo

Considere uma função \(f\) de domínio \(IR\) e de contradomínio \([-6,2]\)

Indique o contradomínio das funções definidas pelas seguintes expressões.

1.1. \(g(x)=|f(x)|\)

1.2. \(h(x)=-|f(x)|+2\)

1.1.

O gráfico de \(g\) obtém-se a partir do gráfico de \(f\), mantendo os pontos de ordenada não negativa e transformando os pontos de ordenada negativa em pontos de ordenada positiva pela reflexão do eixo \(Ox\).

Portanto \(D'_g=[0,6]\)

1.2.

\[ -|f(x)|\quad\Rightarrow\quad [0,6]\mapsto[-6,0] \]

Translação vertical associada ao vetor \(\vec{u}(0,2)\)

\[ [-6,0]+2=[-4,2] \]

Logo, \(D'_h=[-4,2]\)

2.

Expressão sem módulos

Considere a função \(g\), definida em \(IR\), pela expressão \(g(x)=|2+x|+x-1\)

Defina, analiticamente, a função \(g\) sem utilizar módulos.

\(g(x)=\)
{
\(2+x+x-1\)
se \(x\ge-2\)
\(-(2+x)+x-1\)
se \(x<-2\)
\(g(x)=\)
{
\(2x+1\)
se \(x\ge-2\)
\(-3\)
se \(x<-2\)
3.

Gráfico de módulo

Na figura está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico de uma função de domínio \(IR\).

Qual das funções seguintes poderá definir a função representada?

(A) \(f(x)=-|x-a|+a\) (B) \(g(x)=|x-a|-a\) (C) \(h(x)=|x-a|+a\) (D) \(j(x)=-|x-a|-a\)
Gráfico de uma função módulo com vértice em a a

(A)

\(f(0)=-|0-a|+a=-a+a=0\) Correto

\(f(a)=-|a-a|+a=a\) Correto

(B) \(f(0)=|0-a|-a=0\) Correto, mas \(f(a)=|a-a|-a=-a\) Errado

(C) \(f(0)=|0-a|+a=2a\) Errado

(D) \(f(0)=-|0-a|-a=-2a\) Errado

OPÇÃO: A

4.

Interseção de gráficos

Considere as funções \(f\) e \(g\), definidas em \(IR\), por \(f(x)=x\) e \(g(x)=|x^2-1|\)

Os gráficos de \(f\) e \(g\) têm dois pontos em comum.

A soma das abcissas desses dois pontos é igual a:

(A) \(-\sqrt5\) (B) \(1\) (C) \(-1\) (D) \(\sqrt5\)
\(g(x)=|x^2-1|=\)
{
\(x^2-1\)
se \(x\le-1\vee x\ge1\)
\(-x^2+1\)
se \(-1<x<1\)

(I)

\[ \begin{aligned} x^2-1=x &\Leftrightarrow x^2-x-1=0\\ &\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt5}{2} \end{aligned} \]

(II)

\[ \begin{aligned} -x^2+1=x &\Leftrightarrow -x^2-x+1=0\\ &\Leftrightarrow x=\frac{-1+\sqrt5}{2} \end{aligned} \]

\[ \frac{1+\sqrt5}{2}+\frac{-1+\sqrt5}{2}=\sqrt5 \]

OPÇÃO: D

5.

Representações gráficas

Represente graficamente as seguintes funções:

5.1. \(f(x)=|2x-3|\) 5.2. \(g(x)=|x^2-9|\) 5.3. \(h(x)=|x|+3\)
Gráficos das funções f e g
Gráfico da função h
6.

Função definida por ramos

Considere a função \(f\) definida por

\[ f(x)= \begin{cases} -(x+2)^2+1 & \text{se } x\le0\\ |x|-2 & \text{se } x>0 \end{cases} \]

6.1. Determine, analiticamente, os zeros da função \(f\)

6.2. Estude a função quanto à monotonia e existência de extremos relativos.

6.3. Considere a função \(g\) definida por \(g(x)=f(-x)\). Indique os zeros da função \(g\)

6.1.

\[ f(x)=0 \]

\[ \Leftrightarrow\ \bigl(-(x+2)^2+1=0\wedge x\le0\bigr) \]

\[ \vee\ \bigl(|x|-2=0\wedge x>0\bigr) \]

\[ \Leftrightarrow\ x=-3\vee x=-1\vee x=2 \]

\[ \text{C.S.}=\{-3,-1,2\} \]

6.2.

Para \(x\le0\) temos uma parábola com a concavidade voltada para baixo em que o vértice é \(V(-2,1)\), logo 1 é um máximo relativo da função e, \(f(0)=-(0+2)^2+1=-3\) é um mínimo relativo.

Assim, \(f\) é crescente em \(]-\infty,-2]\) e decrescente em \([-2,0]\)

Para \(x>0\), \(f(x)=x-2\) é uma função afim, com declive igual a 1, portanto crescente em \(IR^+\) e \(f\) não tem extremos relativos.

Graficamente:

Gráfico da função f para o estudo da monotonia

6.3.

A função \(g\) obtém-se a partir do gráfico da função \(f\) pela reflexão de \(Oy\).

Como os zeros de \(f\) são \(-3\), \(-1\) e \(2\), os zeros de \(g\) são \(-2\), \(1\) e \(3\).

7.

Equações e condições

Considere a função \(f\), definida em \(IR\), por \(f(x)=-2|x+1|+6\)

7.1. Defina analiticamente, a função \(f\) sem utilizar módulos.

7.2. Determine os zeros de \(f\)

7.3. Resolva as condições:

a) \(f(x)=-4\)

b) \(f(x)\le2\)

c) \(f(x)>1\)

7.1.

\(f(x)=\)
{
\(-2(x+1)+6\)
se \(x\ge-1\)
\(-2(-x-1)+6\)
se \(x<-1\)
\(f(x)=\)
{
\(-2x+4\)
se \(x\ge-1\)
\(2x+8\)
se \(x<-1\)

7.2.

\[ \begin{aligned} f(x)=0&\Leftrightarrow -2|x+1|+6=0\\ &\Leftrightarrow |x+1|=3\\ &\Leftrightarrow x=2\vee x=-4 \end{aligned} \]

\(\text{C.S.}=\{-4,2\}\)

7.3.

a)

\[ \begin{aligned} f(x)=-4&\Leftrightarrow -2|x+1|+6=-4\\ &\Leftrightarrow |x+1|=5\\ &\Leftrightarrow x=4\vee x=-6 \end{aligned} \]

\(\text{C.S.}=\{-6,4\}\)

b)

\[ f(x)\le2\Leftrightarrow |x+1|\ge2 \]

\[ x\in]-\infty,-3]\cup[1,+\infty[ \]

c)

\[ \begin{aligned} f(x)>1&\Leftrightarrow -2|x+1|+6>1\\ &\Leftrightarrow |x+1|<\frac52 \end{aligned} \]

\[ x\in\left]-\frac72,\frac32\right[ \]

8.

Inequações com módulo

Represente sob a forma de intervalos ou união de intervalos o conjunto-solução de cada uma das condições em \(IR\).

8.1. \(|1-4x|<3\) 8.2. \(|4x+1|\ge5\) 8.3. \(|2x|-6>2\) 8.4. \(|x^2-3x+1|\le5\) 8.5. \(|x^2-4x+5|>1\) 8.6. \(|x^2-x-4|>2\)

8.1.

\[ |1-4x|<3\Leftrightarrow -3<1-4x<3 \]

\[ x\in\left]-\frac12,1\right[ \]

8.2.

\[ |4x+1|\ge5 \]

\[ \Leftrightarrow 4x+1\ge5\vee4x+1\le-5 \]

\[ x\in\left]-\infty,-\frac32\right]\cup[1,+\infty[ \]

8.3.

\[ |2x|-6>2\Leftrightarrow |2x|>8 \]

\[ x\in]-\infty,-4[\cup]4,+\infty[ \]

8.4.

\[ |x^2-3x+1|\le5 \]

\[ \Leftrightarrow x^2-3x-4\le0\wedge x^2-3x+6\ge0 \]

\[ x^2-3x-4=0\Leftrightarrow x=-1\vee x=4 \]

\[ x\in[-1,4] \]

8.5.

\[ |x^2-4x+5|>1 \]

\[ \Leftrightarrow x^2-4x+4>0\vee x^2-4x+6<0 \]

\[ x\in IR\setminus\{2\} \]

8.6.

\[ |x^2-x-4|>2 \]

\[ \Leftrightarrow x^2-x-6>0\vee x^2-x-2<0 \]

\[ x\in]-\infty,-2[\cup]-1,2[\cup]3,+\infty[ \]

9.

Conjuntos em extensão

Considere os conjuntos: \(A=\{x\in IN: |x-2|\le4\}\) e \(B=\{x\in IN: |x-7|<2\}\)

Represente em extensão:

9.1. \(A\cap B\) 9.2. \(A\cup B\)

\[ A:\ |x-2|\le4\Leftrightarrow x\in\{1,2,3,4,5,6\} \]

\[ B:\ |x-7|<2\Leftrightarrow x\in\{6,7,8\} \]

9.1. \(A\cap B=\{6\}\)

9.2. \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)

10.

Transformações com módulo

Considere a função quadrática \(g\) representada graficamente na figura.

Sabe-se que o gráfico de \(g\) tem vértice \(V(2,-2)\) e que \(g(4)=g(0)=2\)

10.1. Represente graficamente as funções \(f\) e \(h\) definidas por \(f(x)=g(|x|)\) e \(h(x)=|g(x)|\).

10.2. Indique o conjunto solução das condições:

a) \(g(x)>2\)

b) \(g(|x|)=g(x)\)

Gráfico da função quadrática g

10.1.

Comecemos por definir \(g\):

\[ g(x)=a(x-h)^2+k,\quad V(h,k) \]

\[ g(x)=a(x-2)^2-2 \]

\[ g(0)=2\Leftrightarrow a(0-2)^2-2=2 \]

\[ \Leftrightarrow a=1 \]

\[ g(x)=(x-2)^2-2 \]

\[ f(x)=g(|x|)=(|x|-2)^2-2 \]

Gráfico da função f igual a g de módulo de x

\[ h(x)=|g(x)|=|(x-2)^2-2| \]

Gráfico da função h igual ao módulo de g de x

10.2.

a)

\[ g(x)>2\Leftrightarrow (x-2)^2-2>2 \]

\[ (x-2)^2-4=0\Leftrightarrow x=0\vee x=4 \]

\[ x\in]-\infty,0[\cup]4,+\infty[ \]

b)

\[ (|x|-2)^2-2=(x-2)^2-2 \]

\[ \Leftrightarrow -4|x|=-4x\Leftrightarrow |x|=x \]

\[ x\in IR_0^+ \]

Interseção das funções f e h
11.

Função módulo em intervalo

Considere a função \(g\), de domínio \([-5,5]\), definida por \(g(x)=-|x-1|+3\).

11.1. Exprima \(g\) sem usar o símbolo de módulo.

11.2. Indique:

a) o contradomínio de \(g\);

b) os zeros de \(g\);

c) os intervalos de monotonia de \(g\).

11.3. Utilizando processos exclusivamente analíticos, resolva a inequação \(g(x)<0\).

11.4. Considere a função \(f\) definida, em \(IR\), por \(f(x)=a|x-b|+c\), com \(a,b\) e \(c\in IR\), cujo gráfico cartesiano está parcialmente representado no referencial \(Oxy\) da figura que se segue.

Gráfico parcial da função f

Resolva, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a equação \(f(x)=g(x)\).

11.1.

\(g(x)=\)
{
\(-x+4\)
se \(1\le x\le5\)
\(x+2\)
se \(-5\le x<1\)

11.2.

a) \(D'_g=[-3,3]\)

b)

\[ g(x)=0\Leftrightarrow |x-1|=3 \]

\[ \Leftrightarrow x=4\vee x=-2 \]

\(\text{C.S.}=\{-2,4\}\)

c) \(g\) é crescente em \([-5,1]\) e decrescente em \([1,5]\)

11.3.

\[ g(x)<0\Leftrightarrow -|x-1|+3<0 \]

\[ \Leftrightarrow |x-1|>3 \]

\[ x\in(]-\infty,-2[\cup]4,+\infty[)\cap[-5,5] \]

\[ x\in[-5,-2[\cup]4,5] \]

11.4.

\[ \begin{aligned} f(x)&=a|x-b|+c\\ &=a|x-2|+0=a|x-2| \end{aligned} \]

\[ f(0)=2\Leftrightarrow a|0-2|=2\Leftrightarrow a=1 \]

\[ f(x)=|x-2| \]

Calculadora com a interseção das funções f e g

Recorrendo à calculadora: \(f1(x)=g(x)\) e \(f2(x)=f(x)\)

\[ f(x)=g(x)\Leftrightarrow x=0\vee x=3 \]

\(\text{C.S.}=\{0,3\}\)

12.

Interseções analíticas

Considere, num referencial, as representações gráficas das funções \(f\) e \(g\), definidas por:

\[ f(x)=-\frac12|x|+1\quad \text{e}\quad g(x)=x^2-4 \]

Utilizando processos exclusivamente analíticos, determine as abcissas dos pontos de interseção dos dois gráficos.

Sugestão: comece por definir \(f\) por ramos.

\(f(x)=\)
{
\(-\frac12x+1\)
se \(x\ge0\)
\(\frac12x+1\)
se \(x<0\)

Para \(x\ge0\):

\[ -\frac12x+1=x^2-4 \]

\[ \Leftrightarrow 2x^2+x-10=0 \]

\[ x=2 \]

Para \(x<0\):

\[ \frac12x+1=x^2-4\Leftrightarrow 2x^2-x-10=0 \]

\[ x=-2 \]

\[ \text{C.S.}=\{-2,2\} \]

13.

Área de trapézio

Considere as funções \(f\) e \(g\) definidas por:

\[ f(x)=3-|1-2x|\quad \text{e}\quad g(x)=|x-5| \]

13.1. Define por ramos as funções \(f\) e \(g\).

13.2. Na figura estão representadas as funções \(f\) e \(g\).

Gráfico das funções f e g com trapézio ABCD

Sabe-se que:

  • \(A\) e \(B\) pertencem ao gráfico de \(f\);
  • \(C\) e \(D\) pertencem ao gráfico de \(g\);
  • \(A\) e \(D\) têm ordenada 2;
  • \(B\) e \(C\) pertencem a \(Ox\).

Determine a área do trapézio \([ABCD]\)

13.1.

\(f(x)=\)
{
\(2x+2\)
se \(x\le\frac12\)
\(-2x+4\)
se \(x>\frac12\)
\(g(x)=\)
{
\(x-5\)
se \(x\ge5\)
\(-x+5\)
se \(x<5\)

13.2.

\[ A_{[ABCD]}=\frac{\overline{AD}+\overline{BC}}{2}\times y_A \]

Ponto \(A\): \(f(x)=2\Rightarrow x=1\), logo \(A(1,2)\)

Ponto \(D\): \(g(x)=2\Rightarrow x=7\), logo \(D(7,2)\)

\[ \overline{AD}=|x_D-x_A|=|7-1|=6 \]

Ponto \(B\): \(f(x)=0\Rightarrow x=2\), logo \(B(2,0)\)

Ponto \(C\): \(g(x)=0\Rightarrow x=5\), logo \(C(5,0)\)

\[ \overline{BC}=|x_C-x_B|=|5-2|=3 \]

\[ y_A=2 \]

\[ \therefore\ A_{[ABCD]}=\frac{6+3}{2}\times2=9\ \text{u.a.} \]

14.

Zeros de função módulo

Considere a função \(g\) tal que:

\[ g(x)=|2x+1|-x \]

14.1. Defina a função \(g\) por ramos.

14.2. Determine os zeros da função \(g\).

14.1.

\(g(x)=\)
{
\(x+1\)
se \(x\ge-\frac12\)
\(-3x-1\)
se \(x<-\frac12\)

14.2.

\[ \left(x+1=0\wedge x\ge-\frac12\right) \]

\[ \vee\left(-3x-1=0\wedge x<-\frac12\right) \]

Condição impossível em ambos os casos.

Portanto \(g\) não tem zeros.

\[ \text{C.S.}=\varnothing \]