Zeros, declive, reta, interseções, monotonia e modelos lineares
Salvo indicação em contrário, considera-se o domínio \(\mathbb{R}\).
O gráfico é uma reta de declive \(a\) e ordenada na origem \(b\) (interseta \(Oy\) em \((0,b)\)). Casos particulares: \(b=0\) — função linear (reta que passa na origem); \(a=0\) — função constante.
| \(a\gt 0\) | \(a\lt 0\) | \(a=0\) | |
|---|---|---|---|
| Monotonia | estritamente crescente | estritamente decrescente | constante |
| Zero | \(x=-\dfrac{b}{a}\) | nenhum (se \(b\ne 0\)) ou todos (se \(b=0\)) | |
| Sinal | negativa antes do zero, positiva depois | positiva antes do zero, negativa depois | sinal de \(b\) |
Se o domínio for um subconjunto de \(\mathbb{R}\), representa-se apenas a parte da reta correspondente a esse domínio. Os zeros são as soluções de \(ax+b=0\) que pertencem ao domínio.
Seja \(f\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=ax+b\), com \(a<0\).
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) \(f\) não tem zeros.
(B) \(f\) tem um único zero.
(C) \(f\) tem dois zeros.
(D) \(f\) tem um número infinito de zeros.
Como se trata de uma função afim com declive diferente de zero, a função \(f\) tem um único zero.
De uma função afim \(g\), sabe-se que o seu zero é \(1\) e que \(g(-3)=8\).
Uma expressão analítica de \(g\) é:
(A) \(g(x)=2x-2\)
(B) \(g(x)=-4x+4\)
(C) \(g(x)=2(1-x)\)
(D) \(g(x)=(2x+4)(x-1)\)
Como \(1\) é zero de \(g\), então \((1,0)\) é ponto da função. Como \(g(-3)=8\), então \((-3,8)\) também é ponto da função.
\[ a=\frac{8-0}{-3-1}=\frac8{-4}=-2 \]
\[ y=-2x+b,\quad 0=-2\cdot1+b \Leftrightarrow b=2 \]
Logo, \(g(x)=-2x+2=2(1-x)\).
Considere as funções definidas por \(f(x)=2x+b\), \(g(x)=ax-2\) e \(h(x)=x+3\).
3.1. Verifique que o ponto de coordenadas \((1,4)\) pertence ao gráfico de \(h\).
3.2. O ponto de coordenadas \((1,4)\) pertence ao gráfico de \(f\). Determine o valor de \(b\).
3.3. Para o valor de \(b\) obtido em 3.2, determine o valor de \(a\) para o qual os gráficos das três funções se intersetam num mesmo ponto.
3.1. \(h(1)=1+3=4\). Portanto, \((1,4)\) pertence ao gráfico de \(h\).
3.2. \(f(1)=4 \Leftrightarrow 2\cdot1+b=4 \Leftrightarrow b=2\).
3.3. Para os três gráficos se intersetarem no mesmo ponto, \(g\) também tem de passar por \((1,4)\):
\(g(1)=4 \Leftrightarrow a\cdot1-2=4 \Leftrightarrow a=6\).
Relativamente a uma função afim \(g\), sabe-se que:
4.1. Determine a expressão analítica de \(g\).
4.2. Determine analiticamente os zeros de \(g\).
Os pontos \((1,-1)\) e \((-1,-7)\) pertencem ao gráfico de \(g\).
\[ a=\frac{-7-(-1)}{-1-1}=\frac{-6}{-2}=3 \]
\[ -1=3\cdot1+b \Leftrightarrow b=-4 \]
4.1. \(g(x)=3x-4\).
4.2.
\(g(x)=0 \Leftrightarrow 3x-4=0 \Leftrightarrow x=\dfrac43\).
Na figura está representada uma reta, gráfico da função \(f\), e os pontos \(A\) e \(B\), de interseção do gráfico com os eixos \(Oy\) e \(Ox\), respetivamente.
Sabe-se que:
5.1. Determine as coordenadas dos pontos \(A\) e \(B\).
5.2. Determine a expressão da função \(f\).
5.1. Como a ordenada de \(A\) é o dobro da abcissa de \(B\), tem-se \(OA=2OB\).
\[ A_{[OAB]}=\frac{OA\cdot OB}{2}=4 \Leftrightarrow \frac{2OB\cdot OB}{2}=4 \Leftrightarrow OB^2=4 \Leftrightarrow OB=2 \]
Assim, \(OA=4\), pelo que \(A(0,4)\) e \(B(2,0)\).
5.2. Usando \(A(0,4)\) e \(B(2,0)\):
\[ a=\frac{0-4}{2-0}=-2 \]
Logo, \(f(x)=-2x+4\).
Considere as funções \(g\) e \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por \(g(x)=2x-3\) e \(h(x)=\dfrac{x}{4}+\dfrac12\).
6.1. Calcule os zeros de \(g\) e \(h\).
6.2. Determine as coordenadas de \(I\), ponto de interseção dos gráficos de \(g\) e \(h\).
6.3. Sejam \(G\) e \(H\) os pontos de interseção, respetivamente, dos gráficos de \(g\) e \(h\) com o eixo \(Oy\). Determine a área do triângulo \([GHI]\).
6.1.
\(g(x)=0 \Leftrightarrow 2x-3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac32\).
\(h(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{4}+\dfrac12=0 \Leftrightarrow x=-2\).
6.2.
\[ 2x-3=\frac{x}{4}+\frac12 \Leftrightarrow 8x-12=x+2 \Leftrightarrow 7x=14 \Leftrightarrow x=2 \]
Então \(y=2\cdot2-3=1\), logo \(I(2,1)\).
6.3. \(G(0,-3)\) e \(H\left(0,\frac12\right)\), logo \(GH=\frac72\). A distância de \(I\) ao eixo \(Oy\) é \(2\).
\[ A_{[GHI]}=\frac{\frac72\cdot2}{2}=\frac72 \]
Considere as funções \(f\) e \(g\), definidas por \(f(x)=\dfrac{5-3x}{2}\) e \(g(x)=ax+1\).
7.1. Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de \(f\) com os eixos coordenados.
7.2. Indique os valores de \(a\) de modo que:
a) o gráfico de \(g\) seja uma reta paralela ao gráfico de \(f\);
b) a função \(g\) seja estritamente crescente;
c) a função \(g\) não tenha zeros.
7.1.
No eixo \(Oy\), \(x=0\): \(f(0)=\frac52\), logo \(\left(0,\frac52\right)\).
No eixo \(Ox\), \(f(x)=0\):
\[ \frac{5-3x}{2}=0 \Leftrightarrow 5-3x=0 \Leftrightarrow x=\frac53 \]
Logo, \(\left(\frac53,0\right)\).
7.2. a) Como \(f(x)=-\frac32x+\frac52\), o declive de \(f\) é \(-\frac32\). Assim, \(a=-\frac32\).
7.2. b) Para \(g\) ser estritamente crescente, \(a>0\), isto é, \(a\in]0,+\infty[\).
7.2. c) Para \(g(x)=ax+1\) não ter zeros, tem de ser constante não nula. Logo, \(a=0\).
Para um certo número real \(k\), seja a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=k(x+k)-6\).
8.1. Justifique que \(f\) é uma função afim.
8.2. Determine \(k\), sabendo que:
a) \(1\) é um zero de \(f\);
b) \(1\) é um zero de \(f\) e \(f\) é estritamente decrescente.
8.1.
\[ f(x)=k(x+k)-6=kx+k^2-6 \]
É uma função definida por uma expressão do tipo \(f(x)=ax+b\), com \(a=k\) e \(b=k^2-6\). Portanto, \(f\) é uma função afim.
8.2. a)
\[ f(1)=0 \Leftrightarrow k(1+k)-6=0 \Leftrightarrow k^2+k-6=0 \Leftrightarrow k=-3 \vee k=2 \]
8.2. b) A função \(f\) é estritamente decrescente se e só se o declive for negativo, isto é, se \(k<0\). Dos valores encontrados na alínea anterior, apenas \(k=-3\) satisfaz essa condição.
Considere a função \(f\), definida em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=(2k+3)x+k\), com \(k\in\mathbb{R}\).
Determine os valores de \(k\) de modo que:
9.1. \(f(3)=0\);
9.2. o conjunto dos valores de \(x\) para os quais \(f(x)<0\) seja exatamente \(]-\infty,2[\);
9.3. a imagem de \(-2\) seja \(5\);
9.4. \(f\) seja estritamente decrescente;
9.5. o gráfico de \(f\) interseta o eixo \(Oy\) no ponto de ordenada \(3\).
9.1. \(f(3)=0 \Leftrightarrow (2k+3)\cdot3+k=0 \Leftrightarrow 7k+9=0 \Leftrightarrow k=-\frac97\).
9.2. Ter \(]-\infty,2[\) como conjunto de negatividade significa que a função afim é estritamente crescente e que \(2\) é o seu zero.
\(f(2)=0 \Leftrightarrow (2k+3)\cdot2+k=0 \Leftrightarrow 5k+6=0 \Leftrightarrow k=-\frac65\).
Como \(2k+3=\frac35>0\), este valor serve.
9.3. \(f(-2)=5 \Leftrightarrow (2k+3)(-2)+k=5 \Leftrightarrow -3k=11 \Leftrightarrow k=-\frac{11}{3}\).
9.4. \(f\) é estritamente decrescente se e só se \(2k+3<0\), isto é, \(k<-\frac32\).
9.5. No eixo \(Oy\), \(x=0\). Assim, \(f(0)=k=3\).
Seja \(f\) a função de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\dfrac{2x-4}{5}\).
10.1. Mostre que \(f\) é estritamente crescente em todo o seu domínio.
10.2. Mostre que a função \(f\) não tem máximo nem mínimo.
10.3. Desenhe um esboço do gráfico da função \(f\).
10.1.
\[ f(x)=\frac{2x-4}{5}=\frac25x-\frac45 \]
É uma função afim com declive positivo, logo é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\).
10.2. Como \(f\) é uma função afim não constante, de domínio \(\mathbb{R}\), o seu contradomínio é \(\mathbb{R}\). Portanto, não tem máximo nem mínimo.
10.3. Um esboço do gráfico de \(f\) é:
Considere as funções \(f\) e \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por \(f(x)=2x+3\) e \(g(x)=-x+2\).
Seja \(A\) o ponto de interseção dos gráficos das duas funções, \(B\) o ponto de interseção do gráfico de \(f\) com o eixo \(Ox\), \(C\) o ponto de interseção do gráfico de \(g\) com o eixo \(Ox\) e \(D\) um ponto com a mesma abcissa de \(C\) e a mesma ordenada de \(A\).
Determine o valor da área do trapézio \([ABCD]\).
Ponto \(A\):
\[ 2x+3=-x+2 \Leftrightarrow 3x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac13 \]
\(f\left(-\frac13\right)=2\left(-\frac13\right)+3=\frac73\), logo \(A\left(-\frac13,\frac73\right)\).
Ponto \(B\): \(2x+3=0 \Leftrightarrow x=-\frac32\), logo \(B\left(-\frac32,0\right)\).
Ponto \(C\): \(-x+2=0 \Leftrightarrow x=2\), logo \(C(2,0)\).
Ponto \(D\): tem abcissa de \(C\) e ordenada de \(A\), logo \(D\left(2,\frac73\right)\).
\[ BC=\left|2-\left(-\frac32\right)\right|=\frac72,\quad AD=\left|2-\left(-\frac13\right)\right|=\frac73,\quad CD=\frac73 \]
\[ A_{[ABCD]}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CD =\frac{\frac72+\frac73}{2}\cdot\frac73 =\frac{245}{36} \]
Seja \(f\) uma função, de domínio \([-2,3[\), definida por \(f(x)=-2x+1\).
12.1. Determine:
a) a imagem de \(-1\) por \(f\);
b) o objeto cuja imagem por \(f\) é zero;
c) o contradomínio de \(f\).
12.2. Indique o valor lógico de cada afirmação e corrija as falsas.
I. \(f\) é decrescente no seu domínio.
II. A função \(f\) é linear.
III. \(-5\) é o mínimo absoluto de \(f\).
12.1. a) \(f(-1)=-2(-1)+1=3\).
12.1. b) \(f(x)=0 \Leftrightarrow -2x+1=0 \Leftrightarrow x=\frac12\).
12.1. c) A função é decrescente. Como \(f(-2)=5\) e, ao aproximar \(x\) de \(3\), \(f(x)\) aproxima-se de \(-5\), sem o atingir, tem-se \(D'_f=]-5,5]\).
12.2.
I. Verdadeira.
II. Falsa. A função não é linear, pois a sua expressão não é do tipo \(f(x)=ax\); a ordenada na origem é \(1\).
III. Falsa. A função não tem mínimo absoluto: os seus valores aproximam-se de \(-5\), mas não o atingem. O máximo absoluto é \(5\), atingido em \(x=-2\).
A velocidade do som depende da temperatura do ar.
A relação entre a temperatura \(t\), em ºC, e a velocidade do som, \(v\), em \(\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\), pode ser representada por \(v=0,5t+b\), onde \(b\) é um número real.
13.1. Determine \(b\), sabendo que, a \(20\,^\circ\text{C}\), a velocidade do som é \(343,4\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\).
13.2. Determine a velocidade do som quando a temperatura do ar é \(10\,^\circ\text{C}\).
13.3. Determine a temperatura do ar num instante em que a velocidade do som é \(349,2\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\).
13.1. \(343,4=0,5\cdot20+b \Leftrightarrow b=333,4\).
13.2. \(v=0,5\cdot10+333,4=338,4\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\).
13.3. \(349,2=0,5t+333,4 \Leftrightarrow t=31,6\,^\circ\text{C}\).
O gráfico representa, de forma linear, a evolução do preço médio de um apartamento, em milhares de euros, entre 2000 e 2019.
A variável \(x\) representa o número de anos decorridos desde o início de 2000.
14.1. De acordo com o gráfico e com a situação descrita, qual é o significado das coordenadas dos pontos \(A\) e \(B\)?
14.2. Determine o declive da reta \(AB\) e interprete o seu significado. Apresente o resultado em euros, arredondado às unidades.
14.3. Usando o declive obtido, em milhares de euros, com aproximação às centésimas, escreva uma equação aproximada da reta \(AB\).
14.4. De acordo com o modelo aproximado obtido em 14.3, em que ano o preço médio foi de \(100\,000\) euros?
14.5. Supondo que esse modelo aproximado se mantém válido, determine o preço médio previsto em 2030.
14.1. O ponto \(A\) significa que, no ano 2000, o preço médio de um apartamento era \(77,46\) mil euros. O ponto \(B\) significa que, no ano 2019, o preço médio era \(200,7\) mil euros.
14.2.
\[ m=\frac{200,7-77,46}{19-0}=\frac{123,24}{19}\approx6,486 \]
Significa que o preço médio aumentou, aproximadamente, \(6486\) euros por ano.
14.3. Com \(m\approx6,49\) e ordenada na origem \(77,46\), o modelo aproximado é \(y=6,49x+77,46\).
14.4. \(6,49x+77,46=100 \Leftrightarrow x=\frac{22,54}{6,49}\approx3,47\). O valor é atingido cerca de \(3,47\) anos após o início de 2000, portanto durante 2003.
14.5. Em 2030, \(x=30\): \(y=6,49\cdot30+77,46=272,16\). Segundo o modelo aproximado, o preço médio previsto é \(272,16\) mil euros.
Escreva uma expressão analítica de uma função afim \(f\) tal que:
15.1. \(f\) tem um zero em \(x=3\) e é estritamente crescente.
15.2. \(f\) é negativa em \(]2,+\infty[\) e \(f(1)=1\).
15.1. Por exemplo, \(f(x)=x-3\).
15.2. Pretende-se uma expressão que satisfaça as condições. Podemos escolher uma função com zero em \(2\), passando por \((2,0)\) e por \((1,1)\):
\[ a=\frac{0-1}{2-1}=-1 \]
Usando \((1,1)\): \(1=-1\cdot1+b \Leftrightarrow b=2\). Assim, uma resposta possível é \(f(x)=-x+2\): tem-se \(f(1)=1\) e, para todo o \(x>2\), \(f(x)<0\).
As condições não obrigam a que \(2\) seja o zero: por exemplo, \(f(x)=-2x+3\) também as satisfaz.
Os alunos do 12.º ano de uma escola resolveram vender camisolas para angariar fundos para uma viagem de finalistas.
Sabe-se que:
16.1. Determine o número mínimo de camisolas que é necessário vender para conseguirem ter lucro.
16.2. Quanto dinheiro conseguem angariar se venderem \(100\) camisolas? Justifique.
Seja \(f(x)=ax+b\) o lucro, em euros, em que \(x\) é o número de camisolas vendidas e toma valores inteiros não negativos. Os pontos \((20,-120)\) e \((50,210)\) pertencem ao gráfico.
\[ a=\frac{210-(-120)}{50-20}=\frac{330}{30}=11 \]
\[ 210=11\cdot50+b \Leftrightarrow b=-340 \]
Logo, \(f(x)=11x-340\).
16.1. Para haver lucro, \(f(x)>0\):
\[ 11x-340>0 \Leftrightarrow x>\frac{340}{11}\approx30,91 \]
São necessárias, no mínimo, \(31\) camisolas.
16.2.
\[ f(100)=11\cdot100-340=760 \]
Conseguem angariar \(760\) euros.
Seja \(f\) uma função afim definida, em \(\mathbb{R}\), por:
\(\displaystyle f(x)=(2-k)x+k^2-4\) \(\displaystyle k\in\mathbb{R}\)
O valor de \(k\) para o qual \(f\) é estritamente decrescente e a ordenada na origem da reta que a representa é \(5\) é:
A função é estritamente decrescente se e só se o declive for negativo, e a ordenada na origem é \(f(0)=k^2-4\).
\(\displaystyle 2-k\lt 0 \wedge k^2-4=5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow k\gt 2 \wedge k^2=9\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow k\gt 2\) \(\displaystyle {}\wedge (k=-3 \vee k=3)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow k=3\)
Opção (B).
Na figura estão representadas, num referencial cartesiano, parte dos gráficos das funções afins \(f\), \(g\) e \(h\).
Sabe-se que:
Determine, sem recorrer à calculadora, o valor exato da área do triângulo \([ABC]\).
Declive da reta que representa graficamente a função \(h\):
\(\displaystyle m=\frac{0-(-12)}{12-0}\) \(\displaystyle {}=\frac{12}{12}\) \(\displaystyle {}=1\)
Como a reta interseta o eixo \(Oy\) no ponto de ordenada \(-12\), tem-se \(b=-12\). Assim, \(h(x)=x-12\).
O ponto \(A\) tem ordenada \(2\) e pertence ao gráfico de \(f\):
\(\displaystyle f(x)=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -4x+8=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac32\) \(\displaystyle \text{logo } A\left(\frac32,2\right)\)
O ponto \(B\) tem ordenada \(2\) e pertence ao gráfico de \(h\):
\(\displaystyle h(x)=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x-12=2\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=14\) \(\displaystyle \text{logo } B(14,2)\)
O ponto \(C\) resulta da interseção dos gráficos de \(f\) e de \(h\):
\(\displaystyle f(x)=h(x)\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -4x+8=x-12\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -5x=-20\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=4\)
\(f(4)=-4\times4+8=-8\), logo \(C(4,-8)\).
A base \([AB]\) mede \(\overline{AB}=14-\dfrac32=\dfrac{25}{2}\) e a altura é a distância de \(C\) à reta \(y=2\), isto é, \(2-(-8)=10\).
\(\displaystyle A_{[ABC]}=\frac{\frac{25}{2}\times10}{2}\) \(\displaystyle {}=\frac{125}{2}\ \text{u.a.}\)
Na figura estão representadas as funções \(f\), \(g\), \(h\), \(i\) e \(j\).
A cada função faça corresponder a respetiva expressão analítica que faz parte do conjunto \(A\).
Conjunto \(A\)
\(y=\dfrac43x+2\) \(y=-2x\) \(y=\dfrac12x\) \(y=-\dfrac43x-2\) \(y=2\) \(y=-\dfrac43x+2\) \(y=2x+\dfrac43\)
\(i\) é constante, logo \(i:\ y=2\).
\(h\) é crescente e passa na origem, logo \(h:\ y=\dfrac12x\) (a reta \(y=-2x\) também passa na origem, mas é decrescente).
\(j\) é crescente e interseta o eixo \(Oy\) no mesmo ponto que \(i\), de ordenada \(2\), logo \(j:\ y=\dfrac43x+2\).
\(f\) e \(g\) são retas paralelas e decrescentes, com declive \(-\dfrac43\); \(g\) passa no ponto \((0,2)\) e \(f\) interseta o eixo \(Oy\) num ponto de ordenada negativa.
Na figura está representada, graficamente, a função afim \(f\). Os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) pertencem ao gráfico de \(f\).
Sabe-se que:
20.1. Represente a função \(f\) através de uma expressão.
20.2. Determine as coordenadas dos pontos \(C\) e \(D\).
20.3. O ponto de coordenadas \(\left(-\dfrac13,6\right)\) pertence ao gráfico de \(f\)? Justifique.
20.1. Seja \(f(x)=ax+b\). Como \(A\) e \(B\) pertencem ao gráfico de \(f\):
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} a\times2+b=-3\\ a\times3+b=-6 \end{array}\right.\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} b=-3-2a\\ 3a-3-2a=-6 \end{array}\right.\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{\ \ }l@{}} b=3\\ a=-3 \end{array}\right.\)
Logo, \(f(x)=-3x+3\).
20.2.
\(\displaystyle f\left(-\frac43\right) =-3\times\left(-\frac43\right)+3\) \(\displaystyle {}=7\)
Logo, \(C\left(-\dfrac43,7\right)\).
\(\displaystyle f(x)=-5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow -3x+3=-5\) \(\displaystyle {}\Leftrightarrow x=\frac83\)
Logo, \(D\left(\dfrac83,-5\right)\).
20.3.
\(\displaystyle f\left(-\frac13\right) =-3\times\left(-\frac13\right)+3\) \(\displaystyle {}=4\)
Como \(4\neq6\), o ponto \(\left(-\dfrac13,6\right)\) não pertence ao gráfico de \(f\).