Zeros, declive, reta, interseções, monotonia e modelos lineares
Seja \(f\) uma função definida por \(f(x)=ax+b\), com \(a<0\).
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) \(f\) não tem zeros.
(B) \(f\) tem um único zero.
(C) \(f\) tem dois zeros.
(D) \(f\) tem um número infinito de zeros.
Como se trata de uma função afim com declive diferente de zero, a função \(f\) tem um único zero.
De uma função afim \(g\), sabe-se que o seu zero é \(1\) e que \(g(-3)=8\).
Uma expressão analítica de \(g\) é:
(A) \(g(x)=2x-2\)
(B) \(g(x)=-4x+4\)
(C) \(g(x)=2(1-x)\)
(D) \(g(x)=(2x+4)(x-1)\)
Como \(1\) é zero de \(g\), então \((1,0)\) é ponto da função. Como \(g(-3)=8\), então \((-3,8)\) também é ponto da função.
\[ a=\frac{8-0}{-3-1}=\frac8{-4}=-2 \]
\[ y=-2x+b,\quad 0=-2\cdot1+b \Leftrightarrow b=2 \]
Logo, \(g(x)=-2x+2=2(1-x)\).
Considere as funções definidas por \(f(x)=2x+b\), \(g(x)=ax-2\) e \(h(x)=x+3\).
3.1. Verifique que o ponto de coordenadas \((1,4)\) pertence ao gráfico de \(h\).
3.2. O ponto de coordenadas \((1,4)\) pertence ao gráfico de \(f\). Determine o valor de \(b\).
3.3. Determine o valor de \(a\) para o qual os gráficos das três funções se intersetam.
3.1. \(h(1)=1+3=4\). Portanto, \((1,4)\) pertence ao gráfico de \(h\).
3.2. \(f(1)=4 \Leftrightarrow 2\cdot1+b=4 \Leftrightarrow b=2\).
3.3. Para os três gráficos se intersetarem no mesmo ponto, \(g\) também tem de passar por \((1,4)\):
\(g(1)=4 \Leftrightarrow a\cdot1-2=4 \Leftrightarrow a=6\).
Relativamente a uma função afim \(g\), sabe-se que:
4.1. Determine a expressão analítica de \(g\).
4.2. Determine analiticamente os zeros de \(g\).
Os pontos \((1,-1)\) e \((-1,-7)\) pertencem ao gráfico de \(g\).
\[ a=\frac{-7-(-1)}{-1-1}=\frac{-6}{-2}=3 \]
\[ -1=3\cdot1+b \Leftrightarrow b=-4 \]
4.1. \(g(x)=3x-4\).
4.2.
\(g(x)=0 \Leftrightarrow 3x-4=0 \Leftrightarrow x=\dfrac43\).
Na figura está representada uma reta, gráfico da função \(f\), e os pontos \(A\) e \(B\), de interseção do gráfico com os eixos \(Oy\) e \(Ox\), respetivamente.
Sabe-se que:
5.1. Determine as coordenadas dos pontos \(A\) e \(B\).
5.2. Determine a expressão da função \(f\).
5.1. Como a ordenada de \(A\) é o dobro da abcissa de \(B\), tem-se \(OA=2OB\).
\[ A_{[OAB]}=\frac{OA\cdot OB}{2}=4 \Leftrightarrow \frac{2OB\cdot OB}{2}=4 \Leftrightarrow OB^2=4 \Leftrightarrow OB=2 \]
Assim, \(OA=4\), pelo que \(A(0,4)\) e \(B(2,0)\).
5.2. Usando \(A(0,4)\) e \(B(2,0)\):
\[ a=\frac{0-4}{2-0}=-2 \]
Logo, \(f(x)=-2x+4\).
Considere as funções \(g\) e \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por \(g(x)=2x-3\) e \(h(x)=\dfrac{x}{4}+\dfrac12\).
6.1. Calcule os zeros de \(g\) e \(h\).
6.2. Determine as coordenadas de \(I\), ponto de interseção dos gráficos de \(g\) e \(h\).
6.3. Sejam \(G\) e \(H\) os pontos de interseção, respetivamente, dos gráficos de \(g\) e \(h\) com o eixo \(Oy\). Determine a área do triângulo \([GHI]\).
6.1.
\(g(x)=0 \Leftrightarrow 2x-3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac32\).
\(h(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{4}+\dfrac12=0 \Leftrightarrow x=-2\).
6.2.
\[ 2x-3=\frac{x}{4}+\frac12 \Leftrightarrow 8x-12=x+2 \Leftrightarrow 7x=14 \Leftrightarrow x=2 \]
Então \(y=2\cdot2-3=1\), logo \(I(2,1)\).
6.3. \(G(0,-3)\) e \(H\left(0,\frac12\right)\), logo \(GH=\frac72\). A distância de \(I\) ao eixo \(Oy\) é \(2\).
\[ A_{[GHI]}=\frac{\frac72\cdot2}{2}=\frac72 \]
Considere as funções \(f\) e \(g\), definidas por \(f(x)=\dfrac{5-3x}{2}\) e \(g(x)=ax+1\).
7.1. Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de \(f\) com os eixos coordenados.
7.2. Indique os valores de \(a\) de modo que:
a) o gráfico de \(g\) seja uma reta paralela ao gráfico de \(f\);
b) a função \(g\) seja crescente;
c) a função \(g\) não tenha zeros.
7.1.
No eixo \(Oy\), \(x=0\): \(f(0)=\frac52\), logo \(\left(0,\frac52\right)\).
No eixo \(Ox\), \(f(x)=0\):
\[ \frac{5-3x}{2}=0 \Leftrightarrow 5-3x=0 \Leftrightarrow x=\frac53 \]
Logo, \(\left(\frac53,0\right)\).
7.2. a) Como \(f(x)=-\frac32x+\frac52\), o declive de \(f\) é \(-\frac32\). Assim, \(a=-\frac32\).
7.2. b) Para \(g\) ser crescente, \(a>0\), isto é, \(a\in]0,+\infty[\).
7.2. c) Para \(g(x)=ax+1\) não ter zeros, tem de ser constante não nula. Logo, \(a=0\).
Para um certo número real \(k\), seja a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=k(x+k)-6\).
8.1. Justifique que \(f\) é uma função afim.
8.2. Determine \(k\), sabendo que:
a) \(1\) é um zero de \(f\);
b) \(1\) é um zero de \(f\) e \(f\) é decrescente.
8.1.
\[ f(x)=k(x+k)-6=kx+k^2-6 \]
É uma função definida por uma expressão do tipo \(f(x)=ax+b\), com \(a=k\) e \(b=k^2-6\). Portanto, \(f\) é uma função afim.
8.2. a)
\[ f(1)=0 \Leftrightarrow k(1+k)-6=0 \Leftrightarrow k^2+k-6=0 \Leftrightarrow k=-3 \vee k=2 \]
8.2. b) A função \(f\) é decrescente se o declive for negativo, isto é, se \(k<0\). Dos valores encontrados na alínea anterior, apenas \(k=-3\) satisfaz essa condição.
Considere a função \(f\), definida em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=(2k+3)x+k\), com \(k\in\mathbb{R}\).
Determine os valores de \(k\) de modo que:
9.1. \(f(3)=0\);
9.2. a função \(f\) seja negativa apenas em \(]-\infty,2[\);
9.3. a imagem de \(-2\) seja \(5\);
9.4. \(f\) seja decrescente;
9.5. o gráfico de \(f\) interseta o eixo \(Oy\) no ponto de ordenada \(3\).
9.1. \(f(3)=0 \Leftrightarrow (2k+3)\cdot3+k=0 \Leftrightarrow 7k+9=0 \Leftrightarrow k=-\frac97\).
9.2. A função ser negativa apenas em \(]-\infty,2[\) significa que é crescente e que \(2\) é zero da função.
\(f(2)=0 \Leftrightarrow (2k+3)\cdot2+k=0 \Leftrightarrow 5k+6=0 \Leftrightarrow k=-\frac65\).
Como \(2k+3=\frac35>0\), este valor serve.
9.3. \(f(-2)=5 \Leftrightarrow (2k+3)(-2)+k=5 \Leftrightarrow -3k=11 \Leftrightarrow k=-\frac{11}{3}\).
9.4. \(f\) é decrescente se \(2k+3<0\), isto é, \(k<-\frac32\).
9.5. No eixo \(Oy\), \(x=0\). Assim, \(f(0)=k=3\).
Seja \(f\) a função definida por \(f(x)=\dfrac{2x-4}{5}\).
10.1. Mostre que \(f\) é estritamente crescente em todo o seu domínio.
10.2. Mostre que a função \(f\) não tem máximo nem mínimo.
10.3. Desenhe um esboço do gráfico da função \(f\).
10.1.
\[ f(x)=\frac{2x-4}{5}=\frac25x-\frac45 \]
É uma função afim com declive positivo, logo é crescente em \(\mathbb{R}\).
10.2. Como \(f\) é uma função afim de domínio \(\mathbb{R}\), o seu gráfico é uma reta e o contradomínio é \(\mathbb{R}\). Portanto, não tem máximo nem mínimo.
10.3. Um esboço do gráfico de \(f\) é:
Considere as funções \(f\) e \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por \(f(x)=2x+3\) e \(g(x)=-x+2\).
Seja \(A\) o ponto de interseção dos gráficos das duas funções, \(B\) o ponto de interseção do gráfico de \(f\) com o eixo \(Ox\), \(C\) o ponto de interseção do gráfico de \(g\) com o eixo \(Ox\) e \(D\) um ponto com a mesma abcissa de \(C\) e a mesma ordenada de \(A\).
Determine o valor da área do trapézio \([ABCD]\).
Ponto \(A\):
\[ 2x+3=-x+2 \Leftrightarrow 3x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac13 \]
\(f\left(-\frac13\right)=2\left(-\frac13\right)+3=\frac73\), logo \(A\left(-\frac13,\frac73\right)\).
Ponto \(B\): \(2x+3=0 \Leftrightarrow x=-\frac32\), logo \(B\left(-\frac32,0\right)\).
Ponto \(C\): \(-x+2=0 \Leftrightarrow x=2\), logo \(C(2,0)\).
Ponto \(D\): tem abcissa de \(C\) e ordenada de \(A\), logo \(D\left(2,\frac73\right)\).
\[ BC=\left|2-\left(-\frac32\right)\right|=\frac72,\quad AD=\left|2-\left(-\frac13\right)\right|=\frac73,\quad CD=\frac73 \]
\[ A_{[ABCD]}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CD =\frac{\frac72+\frac73}{2}\cdot\frac73 =\frac{245}{36} \]
Seja \(f\) uma função, de domínio \([-2,3[\), definida por \(f(x)=-2x+1\).
12.1. Determine:
a) a imagem de \(-1\) por \(f\);
b) o objeto cuja imagem por \(f\) é zero;
c) o contradomínio de \(f\).
12.2. Indique o valor lógico de cada afirmação e corrija as falsas.
I. \(f\) é decrescente no seu domínio.
II. A função \(f\) é linear.
III. \(-5\) é o mínimo absoluto de \(f\).
12.1. a) \(f(-1)=-2(-1)+1=3\).
12.1. b) \(f(x)=0 \Leftrightarrow -2x+1=0 \Leftrightarrow x=\frac12\).
12.1. c) A função é decrescente. Como \(f(-2)=5\) e, ao aproximar \(x\) de \(3\), \(f(x)\) aproxima-se de \(-5\), sem o atingir, tem-se \(D'_f=]-5,5]\).
12.2.
I. Verdadeira.
II. Falsa. A função não é linear, pois a sua expressão não é do tipo \(f(x)=ax\); a ordenada na origem é \(1\).
III. Falsa. \(-5\) não é mínimo absoluto porque não pertence ao contradomínio.
Considere a função \(f\), definida em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=(2k+3)x+k\), com \(k\in\mathbb{R}\).
Determine os valores \(k\) tais que:
13.1. \(f(3)=0\);
13.2. a função \(f\) seja negativa apenas em \(]-\infty,2[\);
13.3. a imagem de \(-2\) seja \(5\);
13.4. \(f\) seja decrescente;
13.5. o gráfico de \(f\) intersete o eixo \(Oy\) no ponto de ordenada \(3\).
13.1. \(k=-\frac97\).
13.2. O zero é \(2\) e o declive é positivo. Como \(f(2)=0 \Leftrightarrow 5k+6=0\), obtém-se \(k=-\frac65\).
13.3. \(f(-2)=5 \Leftrightarrow k=-\frac{11}{3}\).
13.4. \(f\) é decrescente se \(2k+3<0\), isto é, \(k\in]-\infty,-\frac32[\).
13.5. \(f(0)=3 \Leftrightarrow k=3\).
A velocidade do som depende da temperatura do ar.
A relação entre a temperatura \(t\), em ºC, e a velocidade do som, \(v\), em \(\text{ms}^{-1}\), pode ser representada por \(v=0,5t+b\), onde \(b\) é um número real.
14.1. Determine \(b\), sabendo que, a \(20\,^\circ\text{C}\), a velocidade do som é \(343,4\ \text{ms}^{-1}\).
14.2. Determine a velocidade do som quando a temperatura do ar é \(10\,^\circ\text{C}\).
14.3. Determine a temperatura do ar num instante em que a velocidade do som é \(349,2\ \text{ms}^{-1}\).
14.1. \(343,4=0,5\cdot20+b \Leftrightarrow b=333,4\).
14.2. \(v=0,5\cdot10+333,4=338,4\ \text{ms}^{-1}\).
14.3. \(349,2=0,5t+333,4 \Leftrightarrow t=31,6\,^\circ\text{C}\).
O gráfico representa, de forma linear, a evolução do preço médio de um apartamento, em milhares de euros, entre 2000 e 2019.
15.1. De acordo com o gráfico e com a situação descrita, qual é o significado das coordenadas dos pontos \(A\) e \(B\)?
15.2. Determine o declive da reta \(AB\) e interprete o seu significado. Apresente o resultado em euros, arredondado às unidades.
15.3. Usando o declive obtido, em milhares de euros, com aproximação às centésimas, escreva a equação reduzida da reta \(AB\).
15.4. De acordo com este modelo, em que ano o preço médio foi de \(100\,000\) euros?
15.5. Supondo que o modelo se mantém válido, determine o preço médio em 2030.
15.1. O ponto \(A\) significa que, no ano 2000, o preço médio de um apartamento era \(77,46\) mil euros. O ponto \(B\) significa que, no ano 2019, o preço médio era \(200,7\) mil euros.
15.2.
\[ m=\frac{200,7-77,46}{19-0}=\frac{123,24}{19}\approx6,486 \]
Significa que o preço médio aumentou, aproximadamente, \(6486\) euros por ano.
15.3. Com \(m\approx6,49\) e ordenada na origem \(77,46\), a equação é \(y=6,49x+77,46\).
15.4. \(6,49x+77,46=100 \Leftrightarrow x\approx3,47\). Portanto, em 2003.
15.5. Em 2030, \(x=30\): \(y=6,49\cdot30+77,46=272,16\). O preço médio previsto é \(272,16\) mil euros.
Escreva uma expressão analítica de uma função afim \(f\) tal que:
16.1. \(f\) tem um zero em \(x=3\) e é crescente.
16.2. \(f\) é negativa em \(]2,+\infty[\) e \(f(1)=1\).
16.1. Por exemplo, \(f(x)=x-3\).
16.2. Se \(f\) é negativa em \(]2,+\infty[\), então o declive é negativo e \(2\) é o zero de \(f\). Logo, \((2,0)\) e \((1,1)\) são pontos do gráfico.
\[ a=\frac{0-1}{2-1}=-1 \]
Usando \((1,1)\): \(1=-1\cdot1+b \Leftrightarrow b=2\). Assim, \(f(x)=-x+2\).
Os alunos do 12.º ano de uma escola resolveram vender camisolas para angariar fundos para uma viagem de finalistas.
Sabe-se que:
17.1. Determine o número mínimo de camisolas que é necessário vender para conseguirem ter lucro.
17.2. Quanto dinheiro conseguem angariar se venderem \(100\) camisolas? Justifique.
Seja \(f(x)=ax+b\), em que \(x\) é o número de camisolas vendidas. Os pontos \((20,-120)\) e \((50,210)\) pertencem ao gráfico.
\[ a=\frac{210-(-120)}{50-20}=\frac{330}{30}=11 \]
\[ 210=11\cdot50+b \Leftrightarrow b=-340 \]
Logo, \(f(x)=11x-340\).
17.1. Para haver lucro, \(f(x)>0\):
\[ 11x-340>0 \Leftrightarrow x>\frac{340}{11}\approx30,91 \]
São necessárias, no mínimo, \(31\) camisolas.
17.2.
\[ f(100)=11\cdot100-340=760 \]
Conseguem angariar \(760\) euros.