Resoluções — Estatística Tipo Exame (10.º ano)

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1.1 — Percentagem com custo $\ge 20$ €

No diagrama de caule-e-folhas há 20 registos. Os custos $\ge 20$ € correspondem aos caules 2, 3, 4 e 5: $9 + 0 + 4 + 2 = 15$ presentes.

\dfrac{15}{20} \times 100 = 75\%

1.2 — Média e desvio-padrão

Na calculadora gráfica, introduzimos cada valor distinto numa lista (V1) e a respetiva frequência absoluta noutra (N1):

Calculadora — lista de valores e frequências (parte 1)

Calculadora — lista de valores e frequências (parte 2)

O menu de estatísticas devolve:

Calculadora — média e desvio-padrão dos presentes

$\overline{x} = 26{,}8$ €; $\;\sigma \approx 12{,}43$ €

1.3 — Comentário ao diagrama

A afirmação é verdadeira. Recorrendo novamente à calculadora, obtêm-se os quartis e a mediana corretos:

Calculadora — quartis e mediana dos presentes

Q_1 = 18$; $\;\tilde{x} = 23$; $\;Q_3 = 40

No diagrama da Helena, a mediana aparece em $\approx 21$ e $Q_1$ em $\approx 19$, valores que não correspondem aos obtidos a partir do diagrama de caule-e-folhas.

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2.1 — Tabela completa

A partir do histograma das frequências relativas acumuladas (10 %, 25 %, 50 %, 80 %, 100 %), obtém-se a frequência relativa de cada classe por diferença, e a marca de classe é o ponto médio.

Preço (€)	Marca	Freq. relativa (%)	Freq. rel. acum. (%)
$[700, 800[$	750	10	10
$[800, 900[$	850	15	25
$[900, 1000[$	950	25	50
$[1000, 1100[$	1050	30	80
$[1100, 1200[$	1150	20	100

2.2 — Preço certo: 980 €

Calculando a média com as marcas de classe:

$\overline{x} = 750\cdot 0{,}1 + 850\cdot 0{,}15 + 950\cdot 0{,}25 + 1050\cdot 0{,}30 + 1150\cdot 0{,}20 = 985$ €

Como $985 \approx 980$, em média os preços aproximam-se do valor correto.

A classe com maior frequência (classe modal) é $[1000, 1100[$. Como $980 \notin [1000, 1100[$, o preço certo não pertence à classe modal.

2.3 — Classe do 3.º quartil

O 3.º quartil corresponde a uma frequência relativa acumulada de 75 %. Como 75 % está entre 50 % e 80 %, $Q_3$ pertence à classe $[1000, 1100[$.

Resposta: (C) $[1000, 1100[$

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3.1 — Média

Usando as marcas de classe (15, 45, 75, 105) e as frequências (6, 14, 21, 9):

$\overline{x} = \dfrac{15\cdot 6 + 45\cdot 14 + 75\cdot 21 + 105\cdot 9}{50} = \dfrac{3240}{50} = 64{,}8$ min

3.2 — Mediana

A mediana corresponde à abcissa cuja frequência absoluta acumulada é $25$. Lendo no gráfico, obtém-se aproximadamente 65 minutos:

Mediana assinalada no gráfico cumulativo (≈ 65 minutos)

3.3 — Alunos com tempo > 100 min

Lendo no gráfico, com $x = 100$, a frequência absoluta acumulada é aproximadamente $43$. Logo, demoraram mais de 100 minutos cerca de $50 - 43 = \mathbf{7}$ alunos.

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4.1 — Médias

Inserindo os valores nas duas listas da calculadora gráfica:

Calculadora — estatísticas a uma variável para as duas provas

80 m barreiras: $\overline{x} \approx 13{,}27$ s 100 m: $\overline{y} \approx 13{,}25$ s

4.2 — Reta de regressão

Recorrendo à regressão linear da calculadora (com $x$ = 80 m barreiras e $y$ = 100 m):

a \approx 0{,}471$; $\;b \approx 7{,}008$; $\;r \approx 0{,}944

Equação: $y = 0{,}471\,x + 7{,}008$.

4.3 — Tipo de correlação

Como $r \approx 0{,}944$ (positivo e próximo de 1), trata-se de uma correlação positiva forte.

Resposta: (D) positiva forte

4.4 — Estimativa para $x = 13{,}20$

$y = 0{,}471 \times 13{,}20 + 7{,}008 \approx 13{,}22$ s

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5.1 — Médias e desvios-padrão

Inserindo as duas listas (temperatura e latitude) na calculadora:

Calculadora — estatísticas a uma variável para temperatura e latitude

Temperatura: $\overline{x} \approx 15{,}9 \approx 16$ ºC; $\;\sigma \approx 3{,}9 \approx 4$ ºC Latitude: $\overline{y} \approx 47{,}9 \approx 48$º; $\;\sigma \approx 6{,}2 \approx 6$º

5.2 — Correlação

Recorrendo à regressão linear na calculadora obtém-se o coeficiente de correlação linear:

Calculadora — regressão linear temperatura/latitude, r ≈ −0,94

r \approx -0{,}94

Como $r$ é próximo de $-1$, existe correlação linear negativa forte: quanto maior a latitude (mais a norte), menor é a temperatura média anual.

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6.1 — Percentagens por departamento

Marketing:

Mulheres admitidas: $\dfrac{7}{7+1} = \dfrac{7}{8} = 87{,}5\%$ Homens admitidos: $\dfrac{40}{40+10} = \dfrac{40}{50} = 80\%$

Editorial:

Mulheres admitidas: $\dfrac{13}{13+12} = \dfrac{13}{25} = 52\%$ Homens admitidos: $\dfrac{13}{13+20} = \dfrac{13}{33} \approx 39{,}4\%$

Em ambos os departamentos, a percentagem de mulheres admitidas é superior à de homens.

6.2 — Percentagens globais

Mulheres admitidas: $\dfrac{20}{20+13} = \dfrac{20}{33} \approx 60{,}6\%$ Homens admitidos: $\dfrac{53}{53+30} = \dfrac{53}{83} \approx 63{,}9\%$

Globalmente, a percentagem de mulheres admitidas é inferior à dos homens.

6.3 — Paradoxo de Simpson

O número de homens e mulheres admitidos e não admitidos por departamento é muito distinto: no marketing, com taxas de admissão muito altas (80–87 %), candidataram-se 50 homens e apenas 8 mulheres; no editorial, com taxas mais baixas (≈ 40–52 %), as candidaturas estão mais equilibradas. Quando se juntam ambos os departamentos, o peso muito maior dos homens no marketing (onde quase todos são admitidos) puxa a taxa global masculina para cima. É o paradoxo de Simpson: a tendência observada em cada grupo inverte-se quando os grupos são combinados.

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7.1 — Semanas com o mesmo número de hóspedes

O gráfico apresenta valores acumulados. O número de hóspedes da semana $n$ é a diferença entre o acumulado da semana $n$ e o da semana $n-1$:

Semana	1	2	3	4	5	6	7	8
Hóspedes	28	35	54	60	75	75	80	85

Nas semanas 5 e 6 o número de hóspedes foi igual (75 em cada uma).

7.2 — Previsão para a semana 9

Na semana 8 estiveram no hotel 85 hóspedes. Uma diminuição de 20 % corresponde a 80 % do valor da semana 8:

$85 \times 0{,}8 = 68$ hóspedes

7.3 — Gráfico vs. slogan

No histograma a amplitude das classes é 15, ou seja, os dados foram agrupados em quinzenas. Quinzena a quinzena, o número de hóspedes está a aumentar, mas a forma como os dados estão agrupados não permite concluir que diariamente o número de hóspedes tenha aumentado. Logo, a mensagem do slogan («todos os dias») não é compatível com o gráfico apresentado.

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Análise do diagrama

Do diagrama lemos os principais valores:

x_{\min} \approx 18{,}3$; $\;Q_1 \approx 18{,}6$; $\;\tilde{x} \approx 19{,}1$; $\;Q_3 \approx 19{,}6$; $\;x_{\max} \approx 21{,}1

O percentil 70 verifica $Q_3 \ge P_{70} \ge \tilde{x}$, ou seja, $19{,}1 \le P_{70} \le 19{,}6$. Das opções, apenas 19,4 está nesse intervalo.

Resposta: (B) 19,4

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9.1 — Média

Lendo o gráfico (frequências por valor): 0 → 2; 1 → 2; 2 → 4; 3 → 2; 4 → 1; 8 → 1. Total: 12 meses.

Soma $= 0\cdot 2 + 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3\cdot 2 + 4\cdot 1 + 8\cdot 1 = 28$ $\overline{x} = \dfrac{28}{12} \approx 2{,}3$ acidentes/mês

9.2 — Substituição do registo errado

A mediana atual é 2 (média do 6.º e 7.º valores ordenados). Se substituirmos o 8 por um valor $v$, a soma passa a $28 - 8 + v = 20 + v$, e queremos $\dfrac{20+v}{12} = 2 \;\Leftrightarrow\; v = 4$.

Observando o gráfico, ao trocar o 8 por 4 a distribuição fica simétrica em relação a 2, ficando a média igual à mediana.

Resposta: (A) 4

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10.1 — Tipo de correlação

À medida que $x$ aumenta, $y$ diminui: a correlação linear é negativa.

10.2 — Coeficiente de correlação

Inserindo as duas listas na calculadora gráfica e selecionando o modelo de regressão linear:

Calculadora — regressão linear sobrecolchões: y = −0,654x + 11,374; r ≈ −0,962

r \approx -0{,}962

10.3 — Reta de regressão e previsão

A mesma operação devolve a equação da reta de regressão:

y = -0{,}654\,x + 11{,}374

Para $x = 8$ camadas:

$y = -0{,}654 \times 8 + 11{,}374 \approx 6{,}1$ cm

Portanto, a espessura prevista do sobrecolchão é, aproximadamente, 6,1 cm.

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Frequência absoluta da classe $[18, 28[$

Do histograma de frequências acumuladas, a classe $[18, 28[$ tem 15 funcionários.

Cálculo do ângulo

\dfrac{15}{150} \times 360^\circ = 36^\circ

Resposta: (D) 36º

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Frequências absolutas por região

LVT: $[18,28[: 15;\; [28,38[: 60;\; [38,48[: 45;\; [48,58[: 20;\; [58,68[: 10$. Algarve: $30, 25, 30, 10, 5$.

Tabela final (total = 250 funcionários)

Classe	$f_a$ (LVT + Algarve)	$F_a$	$f_r$	$F_r$
$[18, 28[$	$15+30=45$	45	$45/250 = 0{,}18$	$18\%$
$[28, 38[$	$60+25=85$	130	$0{,}34$	$52\%$
$[38, 48[$	$45+30=75$	205	$0{,}30$	$82\%$
$[48, 58[$	$20+10=30$	235	$0{,}12$	$94\%$
$[58, 68[$	$10+5=15$	250	$0{,}06$	$100\%$
Total	250	—	1,00	100 %

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Análise das opções

No gráfico, o declive da reta é positivo, pelo que $a > 0$ — restam (A) ou (D). O coeficiente de correlação tem o mesmo sinal do declive, logo $r > 0$. Apenas (D) satisfaz ambas as condições.

Resposta: (D) $r = 0{,}89$; $y = 0{,}03\,x - 0{,}86$

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14.1 — Média e NPS

Construímos uma tabela de frequências absolutas (Detratores 0–6: 0, 34, 25, 9, 0, 22, 30; Neutros 7,8: 124, 170; Promotores 9,10: 369, 297). Total: $120 + 294 + 666 = 1080$ clientes.

Tabela de pontuações e número de clientes

Inserindo os valores (V1) e as frequências (N1) na calculadora:

Calculadora — lista de pontuações e frequências

$\overline{x} \approx 8{,}26$ pontos

Como $8{,}26 < 9$, o grau de satisfação não está na Zona de excelência pelo critério da média.

Pelo método NPS, calculam-se as percentagens de cada grupo:

Tabela com percentagens de Detratores, Neutros e Promotores

\%\text{Promotores} = \dfrac{666}{1080}\times 100 \approx 61{,}67\%$ $\%\text{Detratores} = \dfrac{120}{1080}\times 100 \approx 11{,}11\%$ $\text{NPS} \approx 61{,}67 - 11{,}11 \approx 50{,}56\% \;(\approx 51\%)

$51\%$ está na Zona de qualidade (51 % a 75 %), não na de excelência. Pelos dois métodos, o grau de satisfação não atinge a Zona de excelência.

14.2 — Texto com opções

I. Moda dos Detratores: o valor com maior frequência absoluta. 0→0; 1→34; 2→25; 3→9; 4→0; 5→22; 6→30. O máximo é em $1$ (34 clientes).

II. Neutros: $124 + 170 = 294$. Percentagem: $\dfrac{294}{1080}\times 100 \approx 27\%$.

III. Com 1080 valores ordenados, a mediana é a média do 540.º e 541.º. As frequências acumuladas: até pontuação 6 → 120; até 7 → 244; até 8 → 414; até 9 → 783. Os valores 540 e 541 estão ambos em pontuação 9. Mediana $= 9$.

IV. Os Promotores representam $61{,}67\%$, correspondendo a um setor de $0{,}6167 \times 360^\circ \approx 222^\circ$ → opção c).

Gráfico circular com setor dos Promotores marcado em 222°

I → a) 1

II → c) 27

III → b) 9

IV → c) 222º

14.3 — Mínimo de Neutros a passar a Promotores

Na nova amostra (1000 clientes): Promotores = 723 ($72{,}3\%$); Detratores = 8 %. NPS atual:

\text{NPS} = 72{,}3 - 8 = 64{,}3\%

Para entrar na Zona de excelência, o NPS tem de ser superior a $75\%$. Faltam $75 - 64{,}3 = 10{,}7$ pontos percentuais. Cada Neutro que passa a Promotor acrescenta $\tfrac{1}{1000} = 0{,}1\%$ a $\%\text{Promotores}$ (sem alterar Detratores). Logo, para superar 75 %:

\dfrac{10{,}7}{0{,}1} = 107 \;\Rightarrow\; \text{mínimo } 108 \text{ clientes}

São necessários, no mínimo, 108 clientes Neutros a passar a Promotores.

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Reta de regressão

Inserindo as listas $x$ (30; 24; 22,5; 18; 12; 8; 3) e $y$ (0,5; 1; 2; 4; 8; 9; 12) na calculadora gráfica:

Calculadora — listas X1/Y1 com os dados da bilheteira

Calculadora — equação de regressão y = −0,459x + 12,913; r ≈ −0,983

y = -0{,}459\,x + 12{,}913$; $\;\;r \approx -0{,}983

Estimativa para $x = 6$ horas

$y = -0{,}459 \times 6 + 12{,}913 \approx 10{,}16 \approx 10$ horas

Uma pessoa que tenha estado seis horas na fila antes da abertura terá demorado, aproximadamente, 10 horas a adquirir o bilhete após a abertura.

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Cálculo na calculadora gráfica

Inserindo os 12 valores numa lista (V1):

Calculadora — lista com o número de sócios em cada jogo

Calculadora — média e desvio-padrão do número de sócios

Média: $\overline{x} = 26\,193{,}33$ sócios Desvio-padrão: $\sigma \approx 8\,725{,}84$ sócios

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17.1 — Justificação das três afirmações falsas

(i) Sabendo que a média dos 10 valores é $166{,}5$, a soma é $10 \times 166{,}5 = 1665$. Somando os valores conhecidos: $165+166+166+168+170+170+160+160+168 = 1493$. Logo, $P = 1665 - 1493 = 172$ pulsações/min, valor que não pertence ao intervalo $[169, 171]$. A primeira afirmação é falsa.

(ii) Ordenando os 10 valores (160, 160, 165, 166, 166, 168, 168, 170, 170, 172), a mediana é a média do 5.º e 6.º: $\tilde{x} = \dfrac{166+168}{2} = 167$ pulsações/min. Confirma-se na calculadora:

Calculadora — lista das frequências cardíacas e respetivas estatísticas (mediana ≠ 170)

Logo, a mediana não é 170 e a segunda afirmação é falsa.

(iii) Observando o diagrama, à medida que a temperatura ambiente sobe, a frequência cardíaca também aumenta — a correlação é positiva, pelo que não pode ser $-0{,}85$. A terceira afirmação é também falsa.

17.2 — A temperatura 31,7 ºC em 2006

Em 2006 a frequência cardíaca foi de 165 pulsações por minuto. Aplicando a reta para $x = 31{,}7$:

$y = 0{,}71 \times 31{,}7 + 147{,}1 \approx 169{,}6$ pulsações/min

Como $169{,}6$ é muito superior a $165$, o valor de $31{,}7$ ºC não é uma temperatura admissível para a maratona de 2006.

Resoluções de Estatística — Tipo Exame — 10.º ano