Exercícios Tipo Exame — Estatística

A Helena, dirigente de uma associação regional de atletismo participante no campeonato nacional de Desporto Escolar, aproveitou o período dos saldos no comércio tradicional de Vila Rica para comprar presentes para oferecer aos atletas da sua região.

O diagrama de caule-e-folhas seguinte apresenta os 20 registos do custo, em euros, dos 20 presentes que comprou.

1.1. Qual é a percentagem de presentes com custo de, pelo menos, 20 €?

1.2. Recorrendo à calculadora gráfica, determine o valor da média \(\overline{x}\) e o valor do desvio-padrão \(\sigma\) do custo dos presentes que a Helena comprou. Apresente o valor do desvio-padrão arredondado às centésimas. Apresente a(s) lista(s) que introduziu na calculadora para obter \(\sigma\).

1.3. A Helena construiu o seguinte diagrama de extremos e quartis para apresentar os dados do diagrama de caule-e-folhas.

«A Helena enganou-se nos cálculos necessários para fazer corretamente o diagrama.» Comente a afirmação.

1.1 — Percentagem com custo \(\ge 20\) €

No diagrama de caule-e-folhas há 20 registos. Os custos \(\ge 20\) € correspondem aos caules 2, 3, 4 e 5: \(9 + 0 + 4 + 2 = 15\) presentes.

\(\dfrac{15}{20} \times 100 = 75\%\)

1.2 — Média e desvio-padrão

Na calculadora gráfica, introduzimos cada valor distinto numa lista (V1) e a respetiva frequência absoluta noutra (N1):

O menu de estatísticas devolve:

\(\overline{x} = 26{,}8\) €; \(\;\;\sigma \approx 12{,}43\) €

1.3 — Comentário ao diagrama

A afirmação é verdadeira. Recorrendo novamente à calculadora, obtemos os quartis e a mediana corretos:

\(Q_1 = 18\); \(\;\tilde{x} = 23\); \(\;Q_3 = 40\)

No diagrama da Helena, a mediana aparece em \(\approx 21\) e \(Q_1\) em \(\approx 19\), o que não corresponde aos valores corretos calculados a partir do diagrama de caule-e-folhas.

A equipa responsável pelo sistema informático do campeonato nacional de Desporto Escolar vai colocar 10 computadores portáteis com ligação à Internet numa zona do recinto destinado às provas de Boccia. Antes da compra dos computadores, analisaram a variação do preço de um determinado modelo de computador portátil ao longo de 40 semanas.

Observe a tabela de frequências relativas simples e o respetivo histograma de frequências acumuladas que traduzem a variação do preço em euros.

2.1. Copie e complete a tabela.

2.2. Sabendo que o preço certo daquele computador portátil é 980 €:

• indique se, em média, os preços indicados se aproximaram do valor correto;
• verifique se o preço certo daquele computador pertence à classe modal.

2.3. Em que classe se encontra o terceiro quartil?

Um professor perguntou a 50 alunos do 10.º ano quanto tempo demoraram a fazer o último trabalho de casa. Obtiveram-se os resultados seguintes.

3.1. Mostre que a média do tempo que demoraram a fazer o trabalho de casa é, aproximadamente, 64,8 minutos.

O professor utilizou os dados para construir o seguinte gráfico de frequências acumuladas e correspondente função cumulativa.

3.2. Utilize o gráfico para fazer uma estimativa para a mediana do tempo que os alunos demoraram a fazer o trabalho de casa e assinale esse valor no gráfico.

3.3. Utilize o gráfico para estimar quantos alunos demoraram mais de 100 minutos a realizar o trabalho de casa.

3.1 — Média

Usando as marcas de classe (15, 45, 75, 105) e as frequências (6, 14, 21, 9):

\(\overline{x} = \dfrac{15\cdot 6 + 45\cdot 14 + 75\cdot 21 + 105\cdot 9}{50} = \dfrac{3240}{50} = 64{,}8\) min

3.2 — Mediana

A mediana corresponde à abcissa cuja frequência absoluta acumulada é \(25\). Lendo no gráfico, obtém-se aproximadamente 65 minutos:

3.3 — Alunos com tempo > 100 min

Lendo no gráfico, com \(x = 100\), a frequência absoluta acumulada é aproximadamente \(43\). Logo, demoraram mais de 100 minutos cerca de \(50 - 43 = \mathbf{7}\) alunos.

Na tabela seguinte, registam-se os resultados, em segundos, de 7 atletas que competiram em 2 provas de juvenis femininos, no campeonato nacional de Desporto Escolar.

Recorrendo às potencialidades da calculadora gráfica, responda às questões que se seguem.

4.1. Calcule, com arredondamento à centésima do segundo, a média dos resultados de cada uma das provas.

4.2. Admita o modelo em que a associação entre as variáveis «resultado na prova dos 80 m barreiras \((x)\)» e «resultado na prova dos 100 m \((y)\)» é, aproximadamente, linear. Considere a equação \(y = ax + b\) da reta de regressão linear. Indique os valores de \(a\), de \(b\) e do coeficiente de correlação linear \(r\), com arredondamento às milésimas.

4.3. Tendo em conta o valor do coeficiente de correlação linear obtido, podemos afirmar que a correlação entre as variáveis é:

4.4. Faça uma estimativa, com arredondamento à centésima do segundo, do resultado de um atleta na prova dos 100 m, sabendo que realizou a prova dos 80 metros barreiras em 13,20 segundos.

4.1 — Médias

Inserindo os valores nas duas listas da calculadora gráfica:

80 m barreiras: \(\overline{x} \approx 13{,}27\) s
100 m: \(\overline{y} \approx 13{,}25\) s

4.2 — Reta de regressão

Recorrendo agora à regressão linear da calculadora (com \(x\) = 80 m barreiras e \(y\) = 100 m):

\(a \approx 0{,}471\); \(\;b \approx 7{,}008\); \(\;r \approx 0{,}944\)

Equação: \(y = 0{,}471\,x + 7{,}008\).

4.3 — Tipo de correlação

Como \(r \approx 0{,}944\) (positivo e próximo de 1), trata-se de uma correlação positiva forte.

Resposta: (D) positiva forte

4.4 — Estimativa para \(x = 13{,}20\)

\(y = 0{,}471 \times 13{,}20 + 7{,}008 \approx 13{,}22\) s

A temperatura média anual e a latitude de algumas capitais dos países da União Europeia são, aproximadamente, as que estão registadas na tabela.

Recorrendo às capacidades da calculadora gráfica, responda às questões que se seguem.

5.1. Calcule a média e o desvio-padrão das variáveis temperatura e latitude. Apresente o resultado arredondado às unidades.

5.2. Averigue se existe algum tipo de correlação entre as duas variáveis.

5.1 — Médias e desvios-padrão

Inserindo as duas listas (temperatura e latitude) na calculadora:

Temperatura: \(\overline{x} \approx 15{,}9 \approx 16\) ºC; \(\;\sigma \approx 3{,}9 \approx 4\) ºC
Latitude: \(\overline{y} \approx 47{,}9 \approx 48\)º; \(\;\sigma \approx 6{,}2 \approx 6\)º

5.2 — Correlação

Recorrendo à regressão linear na calculadora obtém-se o coeficiente de correlação linear:

\(r \approx -0{,}94\)

Como \(r\) é próximo de \(-1\), existe correlação linear negativa forte: quanto maior a latitude (mais a norte), menor é a temperatura média anual.

Um grupo de comunicação tem vários departamentos, entre os quais o departamento de marketing e o departamento editorial.

Apresentam-se, a seguir, duas tabelas referentes à admissão de pessoal que decorreu no ano passado. As tabelas de candidatos a trabalhar nesses departamentos estão organizadas por sexo, departamento e decisão de admissão.

6.1. Mostre que a percentagem de mulheres admitidas, relativamente ao total de mulheres candidatas, é superior, para cada um dos departamentos, à percentagem de homens admitidos relativamente ao total de homens candidatos.

«Como consequência, os homens sentem-se discriminados neste concurso de trabalho…»

6.2. Na tabela seguinte reuniram-se os candidatos, no total, admitidos e não admitidos.

Mostre que a percentagem de mulheres admitidas relativamente ao total de mulheres candidatas é menor que a percentagem de homens admitidos relativamente ao total de homens candidatos.

«Como consequência, as mulheres sentem-se discriminadas neste concurso de trabalho…»

6.3. Explique porque é que, paradoxalmente, cada concurso por departamento favorece as mulheres e no global o concurso favorece os homens.

Após oito semanas da inauguração de um hotel, foi feito um estudo sobre a sua ocupação, tendo sido apresentado o seguinte gráfico do número total de hóspedes acumulado.

7.1. Em duas das semanas consideradas, o número de hóspedes foi igual. Identifique essas semanas, justificando.

7.2. A Direção do hotel prevê uma diminuição de 20 % no número de hóspedes para a semana 9, em relação ao número de hóspedes da semana 8. Determine o número previsto de hóspedes para a semana 9.

7.3. O sector de Marketing, na comemoração do 60.º dia de abertura do hotel, lançou uma campanha, com a divulgação do gráfico e do slogan apresentados a seguir.

Na sua opinião, o tipo de gráfico apresentado é compatível com o slogan? Fundamente a sua opinião.

As temperaturas anuais máximas, em média, no município de Bragança, de 2000 a 2023, estão representadas no diagrama de extremos e quartis seguinte.

Qual das opções pode ser \(P_{70}\) (percentil 70) do conjunto de dados?

Numa empresa, em cada mês, é registado o número de acidentes de trabalho. Em relação ao último ano, os acidentes de trabalho estão representados no seguinte gráfico de pontos.

9.1. Em média, quantos acidentes de trabalho houve por mês? Apresente o resultado arredondado às décimas.

9.2. Houve uma certificação dos dados e concluiu-se que o registo de oito acidentes de trabalho num dado mês está errado. Foi feita a correção e a média do número de acidentes por mês passou a ser igual à mediana do conjunto de dados. Em vez de oito acidentes de trabalho, o valor correto deverá ser:

Vários são os fatores que contribuem para uma vida saudável, entre outros, a alimentação, o exercício físico e o sono. A qualidade do descanso, durante o sono, pode ser melhorada com os chamados sobrecolchões, também conhecidos por toppers, que são acessórios para colocar por cima do colchão, proporcionando maior conforto durante o sono.

Num teste a um conjunto de sobrecolchões foram registados dados relativos a: número de camadas \((x)\) e espessura \((y)\). Na tabela são apresentados os resultados.

Na figura está representado o diagrama de dispersão correspondente ao conjunto de dados.

10.1. Que tipo de correlação linear identifica?

10.2. Determine o coeficiente de correlação linear. Apresente o resultado arredondado às milésimas.

10.3. Considere \(x\) a variável independente ou explanatória e \(y\) a variável dependente ou resposta e determine, neste caso, uma equação da reta de regressão linear. A partir dela preveja um valor da espessura de um sobrecolchão com oito camadas. Apresente o resultado arredondado às décimas.

10.1 — Tipo de correlação

À medida que \(x\) aumenta, \(y\) diminui: a correlação linear é negativa.

10.2 — Coeficiente de correlação

Inserindo as duas listas na calculadora gráfica e selecionando o modelo de regressão linear:

\(r \approx -0{,}962\)

10.3 — Reta de regressão e previsão

A mesma operação devolve a equação da reta de regressão:

\(y = -0{,}654\,x + 11{,}374\)

Para \(x = 8\) camadas:

\(y = -0{,}654 \times 8 + 11{,}374 \approx 6{,}1\) cm

Portanto, a espessura prevista do sobrecolchão é, aproximadamente, 6,1 cm.

A ParaPagar tem 150 funcionários na região de Lisboa e Vale do Tejo, cujas idades se apresentam no histograma de frequências absolutas acumuladas representado na figura, organizadas nas classes \([18, 28[\), \([28, 38[\), …, \([58, 68[\).

Considere que, com os dados apresentados no histograma da figura, será construído um gráfico circular, em que cada setor corresponde ao número de funcionários da região Lisboa e Vale do Tejo, de acordo com as suas idades. A amplitude do ângulo ao centro, em graus, correspondente ao setor circular relativo ao número de funcionários cuja idade pertence à classe \([18, 28[\) será:

Na tabela, apresentam-se, organizadas por classes, as idades dos 100 funcionários da ParaPagar da região do Algarve.

Apresente a tabela de frequências relativas acumuladas para as idades dos 250 funcionários da ParaPagar — 150 da região de Lisboa e Vale do Tejo e 100 da região do Algarve. Na sua resposta, mantenha as classes utilizadas.

O diagrama de dispersão representado na figura mostra uma forte associação linear positiva entre o preço das viagens de avião vendidas na agência de viagens Ir&Voltar, num determinado período de tempo, e as horas de voo despendidas na viagem de ida e volta.

Em cada uma das opções seguintes são dados um valor de \(r\) (coeficiente de correlação linear) e a equação de uma reta. Em qual das opções poderão estar representados o valor de \(r\) e uma equação da reta de regressão linear da distribuição representada na figura anterior?

A Net Promoter Score (NPS) é um dos indicadores mais utilizados para aferir o grau de satisfação dos clientes relativamente a uma empresa. Para calcular o NPS, um conjunto de clientes responde à questão:

«Numa escala de 0 a 10, recomendaria a nossa empresa a um amigo?» — em que 0 representa «nada provável» e 10 «extremamente provável».

Recolhidas as respostas, os clientes são divididos em três grupos: Promotores (9 ou 10 pontos), Neutros (7 ou 8 pontos) e Detratores (entre 0 e 6 pontos). De seguida, aplica-se a fórmula:

O valor de NPS pode variar entre \(-100\%\) e \(100\%\). Na tabela apresenta-se a escala de classificação do grau de satisfação, de acordo com o NPS arredondado às unidades:

A empresa de cruzeiros LZD recolheu as pontuações de 1080 clientes:

14.1. Atualmente, a empresa de cruzeiros LZD recorre ao cálculo do NPS para aferir o grau de satisfação dos seus clientes, mas anteriormente recorria ao cálculo da média das pontuações atribuídas pelos clientes. Admita que uma média de pontuações igual ou superior a 9 pontos corresponde a um grau de satisfação numa Zona de excelência. Prove que o grau de satisfação dos clientes não se encontra na Zona de excelência, independentemente da forma de aferição. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve duas casas decimais. Na sua resposta, apresente:

• a média das pontuações atribuídas pelos clientes;
• o valor do NPS.

14.2. Complete o texto seguinte, selecionando a opção adequada a cada espaço. Escreva na folha de respostas cada um dos números I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde.

• A moda das pontuações atribuídas pelos Detratores é I.
• Os clientes Neutros representam, com arredondamento às unidades, aproximadamente II % da amostra.
• A mediana das pontuações atribuídas pelos 1080 clientes é III.
• Os resultados obtidos estão organizados no gráfico circular IV, no qual se apresenta a amplitude, em graus, de um dos setores.

14.3. Analisados os resultados obtidos numa outra amostra composta por 1000 clientes da empresa LZD, conclui-se que 723 são clientes Promotores. Admita que os clientes Detratores representam 8 % da amostra. Determine, para esta amostra, o número mínimo de clientes Neutros que teriam de passar a Promotores para que a empresa LZD se classificasse na Zona de excelência, de acordo com o resultado NPS obtido.

14.1 — Média e NPS

Construímos uma tabela de frequências absolutas (Detratores 0–6: 0, 34, 25, 9, 0, 22, 30; Neutros 7,8: 124, 170; Promotores 9,10: 369, 297). Total: \(120 + 294 + 666 = 1080\) clientes.

Inserindo os valores (V1) e as frequências (N1) na calculadora:

\(\overline{x} \approx 8{,}26\) pontos

Como \(8{,}26 < 9\), o grau de satisfação não está na Zona de excelência pelo critério da média.

Pelo método NPS, calculam-se as percentagens de cada grupo:

\(\%\text{Promotores} = \dfrac{666}{1080}\times 100 \approx 61{,}67\%\)
\(\%\text{Detratores} = \dfrac{120}{1080}\times 100 \approx 11{,}11\%\)
\(\text{NPS} \approx 61{,}67 - 11{,}11 \approx 50{,}56\% \;(\approx 51\%)\)

\(51\%\) está na Zona de qualidade (51 % a 75 %), não na de excelência. Pelos dois métodos, o grau de satisfação não atinge a Zona de excelência.

14.2 — Texto com opções

I. A moda entre os Detratores é o valor com maior frequência absoluta. Vendo a tabela: 0→0; 1→34; 2→25; 3→9; 4→0; 5→22; 6→30. O máximo é em \(1\) (34 clientes).

II. Neutros: \(124 + 170 = 294\). Percentagem: \(\dfrac{294}{1080}\times 100 \approx 27\%\).

III. Com 1080 valores ordenados, a mediana é a média do 540.º e 541.º. As frequências acumuladas: até pontuação 6 → 120; até 7 → 244; até 8 → 414; até 9 → 783. Os valores 540 e 541 estão ambos em pontuação 9. Mediana \(= 9\).

IV. Promotores representam \(61{,}67\%\), correspondendo a um setor de \(0{,}6167 \times 360^\circ \approx 222^\circ\) → opção c).

I → a) 1

II → c) 27

III → b) 9

IV → c) 222º

14.3 — Mínimo de Neutros a passar a Promotores

Na nova amostra (1000 clientes): Promotores = 723 (\(72{,}3\%\)), Detratores = 8 %. NPS atual:

\(\text{NPS} = 72{,}3 - 8 = 64{,}3\%\)

Para entrar na Zona de excelência, o NPS tem de ser superior a \(75\%\). Faltam \(75 - 64{,}3 = 10{,}7\) pontos percentuais. Cada Neutro que passa a Promotor acrescenta \(\tfrac{1}{1000} = 0{,}1\%\) a \(\%\text{Promotores}\) (sem alterar Detratores). Logo, para superar 75 %:

\(\dfrac{10{,}7}{0{,}1} = 107 \;\Rightarrow\; \text{mínimo } 108 \text{ clientes}\)

São necessários, no mínimo, 108 clientes Neutros a passar a Promotores.

A venda de bilhetes para o concerto da banda BigBand gerou tanta procura que, na véspera do primeiro dia de venda, se formou fila para a aquisição de bilhetes à porta da bilheteira. Ao longo do primeiro dia de venda dos bilhetes, as pessoas foram questionadas sobre o número de horas que permaneceram na fila antes da abertura da bilheteira \((x)\) e sobre o tempo, em horas, que decorreu desde a abertura da bilheteira até terem adquirido os bilhetes \((y)\). A tabela apresenta as respostas dadas por sete das pessoas questionadas: A, B, C, D, E, F e G.

Admita que a relação entre as variáveis \(x\) e \(y\) é bem aproximada por uma regressão linear, na forma \(y = ax + b\). Determine qual poderá ter sido o tempo que decorreu desde a abertura da bilheteira até a aquisição dos bilhetes por parte de uma pessoa que tenha estado seis horas na fila antes da abertura da bilheteira. Apresente o resultado em horas, arredondado às unidades. Na sua resposta, apresente a equação da reta de regressão, com os valores de \(a\) e de \(b\) arredondados com três casas decimais.

Reta de regressão

Inserindo as listas \(x\) (30; 24; 22,5; 18; 12; 8; 3) e \(y\) (0,5; 1; 2; 4; 8; 9; 12) na calculadora gráfica:

\(y = -0{,}459\,x + 12{,}913\); \(\;\;r \approx -0{,}983\)

Estimativa para \(x = 6\) horas

\(y = -0{,}459 \times 6 + 12{,}913 \approx 10{,}16 \approx 10\) horas

Logo, uma pessoa que tenha estado seis horas na fila antes da abertura terá demorado, aproximadamente, 10 horas a adquirir o bilhete após a abertura da bilheteira.

Nos 12 últimos jogos da equipa de futebol do Grupo Desportivo de Altivo (GDA), registou-se o número de sócios do clube desportivo GDA que foram assistir ao jogo. A seguir, apresentam-se os dados registados.

Determine a média e o desvio-padrão dos dados registados. Apresente os resultados com arredondamento às centésimas. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

Cálculo na calculadora gráfica

Inserindo os 12 valores numa lista (V1):

Média: \(\overline{x} = 26\,193{,}33\) sócios
Desvio-padrão: \(\sigma \approx 8\,725{,}84\) sócios

A maratona é a última prova em diversos encontros desportivos. Existem diversos estudos estatísticos sobre esta prova, que envolvem dados como o tempo de conclusão da prova, a frequência cardíaca dos atletas no final da prova ou as condições climatéricas.

Na tabela seguinte estão parcialmente registados os dados referentes à frequência cardíaca do atleta vencedor da maratona, no momento em que acaba a prova, nas edições do encontro Desportivo Internacional dos últimos dez anos.

Sabe-se ainda que:

• a média dos valores constantes da tabela é \(166{,}5\);
• \(P\) representa as pulsações por minuto do atleta que venceu a maratona na edição de 2012.

Na figura está representado o diagrama de dispersão da temperatura ambiente, em graus Celsius (ºC), e da frequência cardíaca, em pulsações por minuto, dos atletas referidos na tabela anterior, no final da prova.

17.1. Considere as seguintes afirmações:

1. O atleta vencedor em 2012 terminou a maratona com uma frequência cardíaca entre 169 e 171 pulsações por minuto.
2. A mediana das frequências cardíacas é 170 pulsações por minuto.
3. O coeficiente de correlação linear entre a temperatura ambiente e a frequência cardíaca dos atletas pode ser \(-0{,}85\).

Elabore uma pequena composição na qual justifique, com base nos dados apresentados, que as três afirmações são falsas.

17.2. A reta de equação \(y = 0{,}71\,x + 147{,}1\) é a que melhor se ajusta ao diagrama de dispersão apresentado na figura, em que \(y\) representa a frequência cardíaca do atleta vencedor, em pulsações por minuto, e \(x\) representa a temperatura ambiente no final da prova, em ºC. Conclua, atendendo à reta ajustada ao diagrama, se 31,7 ºC será um valor admissível da temperatura ambiente registada no final da maratona, no ano de 2006.

17.1 — Justificação das três afirmações falsas

(i) Sabendo que a média dos 10 valores é \(166{,}5\), a soma é \(10 \times 166{,}5 = 1665\). Somando os valores conhecidos: \(165+166+166+168+170+170+160+160+168 = 1493\). Logo, \(P = 1665 - 1493 = 172\) pulsações/min, valor que não pertence ao intervalo \([169, 171]\). A primeira afirmação é falsa.

(ii) Ordenando os 10 valores (160, 160, 165, 166, 166, 168, 168, 170, 170, 172), a mediana é a média do 5.º e 6.º: \(\tilde{x} = \dfrac{166+168}{2} = 167\) pulsações/min. Confirma-se na calculadora:

Logo, a mediana não é 170 e a segunda afirmação é falsa.

(iii) Observando o diagrama, à medida que a temperatura ambiente sobe, a frequência cardíaca também aumenta — a correlação é positiva, pelo que não pode ser \(-0{,}85\). A terceira afirmação é também falsa.

17.2 — A temperatura 31,7 ºC em 2006

Em 2006 a frequência cardíaca foi de 165 pulsações por minuto. Aplicando a reta para \(x = 31{,}7\):

\(y = 0{,}71 \times 31{,}7 + 147{,}1 \approx 169{,}6\) pulsações/min

Como \(169{,}6\) é muito superior a \(165\), o valor de \(31{,}7\) ºC não é uma temperatura admissível para a maratona de 2006.