Estatística - Medidas de Localização

Está representado um conjunto de 15 dados, sendo um deles \(b\). Sabe-se que o valor mínimo e o valor máximo são 10 e 16, respetivamente.

Indique um valor a atribuir a \(b\) de modo que a distribuição seja:

1.1. unimodal;

1.2. bimodal;

1.3. plurimodal.

As idades, em anos, dos encarregados de educação dos alunos de uma turma estão organizadas na tabela.

Determine, arredondada às unidades, a idade média dos encarregados de educação.

O número de bicicletas existentes em cada família de um conjunto de alunos está representado no gráfico.

Qual é o número médio de bicicletas por família?

Considere a amostra relativa às alturas, em centímetros, de 20 crianças.

4.1. Construa uma tabela de frequências absolutas simples, agrupando os dados em classes de amplitude 5, e acrescente uma coluna com as marcas das classes.

4.2. Calcule um valor aproximado da altura média das crianças.

O número de películas para telemóveis vendidas por dia, numa loja, durante o mês de dezembro, está representado no diagrama de caule-e-folhas.

5.1. Recorra à calculadora e determine o número médio de películas vendidas por dia. Apresente o resultado arredondado às centésimas.

5.2. Construa uma tabela de frequências absolutas simples, agrupando os dados em classes, sendo a primeira \([10,20[\), e indique as marcas das classes.

5.3. Calcule um valor aproximado da média, arredondado às centésimas, e compare-o com o resultado de 5.1.

O Tomás fez duas sequências de rotações de uma roda numerada de 1 a 8.

Na primeira sequência, a soma das pontuações foi 54 e a média por rotação foi 4,5. Na segunda sequência, rodou 16 vezes a roda e obteve média 5,25.

Determine, no conjunto das duas sequências, a pontuação média por rotação. Apresente o resultado arredondado às décimas.

A média dos salários líquidos mensais dos técnicos de manutenção de uma empresa é 1160 EUR.

7.1. Indique a nova média se cada salário tiver:

a) um aumento de 50 EUR;   b) um aumento de 5%;   c) uma redução de 1%.

7.2. A equipa tem 8 elementos. No final do mês, saem dois colaboradores, cada um com salário de 1040 EUR, e entra um novo colaborador com salário de 860 EUR. Determine a nova média, arredondada às centésimas.

Um conjunto de alunos foi questionado sobre o número de computadores existentes nas suas casas.

8.1. Complete a tabela com as frequências absolutas acumuladas.

8.2. Determine a mediana do conjunto de dados.

Um grupo de pessoas indicou o número de bolos que comeu nos últimos 15 dias. Os dados foram apresentados no gráfico de frequências absolutas acumuladas.

Determine a mediana do conjunto de dados.

Uma loja de computadores registou as vendas de computadores em 2023, segundo o respetivo preço.

10.1. Classifique a variável em estudo.

10.2. Indique a moda.

10.3. Determine o valor médio das vendas, aproximado às centésimas.

Uma empresa fez um estudo sobre as idades dos jovens que nela trabalham. Os resultados constam do gráfico de barras de frequências relativas acumuladas.

Determine a idade média dos jovens que trabalham na empresa.

Vinte analistas financeiros efetuaram uma previsão sobre o valor ganho, em euros, por ação de uma empresa no próximo ano.

12.1. Complete a tabela.

12.2. Determine o ganho médio por ação.

12.3. Construa um histograma de frequências absolutas.

12.4. Indique a classe modal e um valor aproximado da moda.

12.5. Construa o gráfico da função cumulativa.

12.6. A partir da função cumulativa, indique valores aproximados da mediana, do terceiro quartil e do percentil 20.

12.1 - Tabela completa

Classe	Marca	\(f_a\)	\(F_a\)	\(F_r\) acum. (%)
\([6,8[\)	7	3	3	15
\([8,10[\)	9	9	12	60
\([10,12[\)	11	5	17	85
\([12,14[\)	13	2	19	95
\([14,16[\)	15	1	20	100

12.2 - Ganho médio

\(\overline{x}\approx\dfrac{7\cdot3+9\cdot9+11\cdot5+13\cdot2+15\cdot1}{20}=\dfrac{198}{20}=9{,}9\) EUR

12.3 e 12.4 - Histograma e moda

A classe modal é \([8,10[\). Pela construção gráfica indicada no histograma, obtém-se uma moda aproximada de \(9{,}2\) EUR.

12.5 - Função cumulativa

12.6 - Mediana

A mediana é \(P_{50}\), situado na classe \([8,10[\). Por interpolação linear:

\(\dfrac{50-15}{60-15}=\dfrac{x-8}{2}\Rightarrow x=8+2\cdot\dfrac{35}{45}\approx9{,}6\)

Terceiro quartil

\(Q_3=P_{75}\), situado na classe \([10,12[\).

\(\dfrac{75-60}{85-60}=\dfrac{x-10}{2}\Rightarrow x=10+2\cdot\dfrac{15}{25}=11{,}2\)

Percentil 20

\(P_{20}\) situa-se na classe \([8,10[\).

\(\dfrac{20-15}{60-15}=\dfrac{x-8}{2}\Rightarrow x=8+2\cdot\dfrac{5}{45}\approx8{,}2\)

Mediana \(\approx9{,}6\); \(Q_3\approx11{,}2\); \(P_{20}\approx8{,}2\).

A escola da Beatriz organiza um jantar de Natal. Os valores, em euros, angariados pelas 25 turmas foram os seguintes.

13.1. Determine a amplitude do conjunto de dados.

13.2. Determine a amplitude interquartil.

13.3. Construa um diagrama de extremos e quartis.

13.1 - Amplitude

O valor mínimo é 50 EUR e o valor máximo é 200 EUR.

\(A=200-50=150\) EUR

13.2 - Quartis e amplitude interquartil

Ordenando os 25 valores, obtém-se \(Q_1=80\), mediana \(=120\) e \(Q_3=145\).

\(AIQ=Q_3-Q_1=145-80=65\) EUR

13.3 - Diagrama

Resumo de cinco números: \(50,\ 80,\ 120,\ 145,\ 200\).

O professor Manuel aplicou aos alunos do 9.º ano um questionário de autoavaliação e reuniu os dados na tabela.

Construa um diagrama de extremos e quartis relativo à autoavaliação dos alunos.

Passo 1 - Frequências acumuladas

Classificação	1	2	3	4	5
\(f_a\)	2	8	35	25	20
\(F_a\)	2	10	45	70	90

Passo 2 - Extremos, quartis e mediana

Há 90 observações. As posições centrais são 45 e 46, correspondendo a 3 e 4; logo, a mediana é 3,5. O primeiro quartil é 3 e o terceiro quartil é 4.

\(x_{\min}=1,\quad Q_1=3,\quad \widetilde{x}=3{,}5,\quad Q_3=4,\quad x_{\max}=5\)

Passo 3 - Diagrama

A idade, em anos, dos funcionários de um laboratório de certificação ambiental consta do diagrama de caule-e-folhas.

15.1. Determine a moda e a mediana.

15.2. Determine o primeiro e o terceiro quartis.

15.3. Construa um diagrama de extremos e quartis.

15.1 - Moda

A idade 21 aparece três vezes, mais do que qualquer outra idade.

Moda: \(21\) anos.

15.1 - Mediana

Existem 22 dados. A mediana é a média dos valores nas posições 11 e 12, que são 32 e 33.

\(\widetilde{x}=\dfrac{32+33}{2}=32{,}5\) anos

15.2 - Quartis

A mediana dos primeiros 11 valores é 21 e a mediana dos últimos 11 valores é 45.

\(Q_1=21,\qquad Q_3=45\)

15.3 - Diagrama

Resumo de cinco números: \(18,\ 21,\ 32{,}5,\ 45,\ 71\).

Na figura estão representados os diagramas de extremos e quartis relativos às classificações da Maria e do Manuel na disciplina de Matemática.

16.1. Qual dos dois alunos tem classificação máxima mais elevada?

16.2. Qual dos dois alunos tem maior classificação mediana?

16.3. Qual dos dois alunos tem classificações com menor amplitude interquartil?

A ParaPagar tem 150 funcionários na região de Lisboa e Vale do Tejo, cujas idades estão organizadas nas classes \([18,28[\), \([28,38[\), \([38,48[\), \([48,58[\) e \([58,68[\).

17.1. Num gráfico circular, qual é a amplitude do ângulo ao centro correspondente aos funcionários com idade na classe \([18,28[\)?

17.2. Na tabela apresentam-se as idades dos 100 funcionários da região do Algarve. Construa uma tabela de frequências relativas acumuladas para os 250 funcionários das duas regiões, mantendo as classes.