Medidas de Dispersão | Matemática A

1. Idades dos elementos de um elenco

1

O grupo cénico e cultural de Algures irá apresentar uma peça de teatro. A idade de cada elemento do elenco consta da tabela.

1.1. Qual é a média das idades?

1.2. Qual é o desvio-padrão amostral? Apresente o resultado às centésimas.

1.3. Se daqui a um ano a mesma peça voltar à cena, com o mesmo elenco, qual será a média e qual será o desvio-padrão?

1.1 - Média

A soma das 12 idades é 216.

\(\overline{x}=\dfrac{216}{12}=18\) anos

1.2 - Desvio-padrão amostral

A soma dos quadrados dos desvios em relação à média é 2304.

s=\sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}=\sqrt{\dfrac{2304}{11}}\approx14{,}47

1.3 - Daqui a um ano

Somar 1 a todas as idades soma 1 à média, mas não altera as distâncias de cada valor à média. Assim, o desvio-padrão mantém-se.

Nova média: \(19\) anos. Novo desvio-padrão: \(14{,}47\) anos.

2. Classificações num teste de conhecimentos

2

Entre os candidatos a um emprego foi realizado um teste. As classificações estão parcialmente organizadas na tabela.

Classificação	\(f_a\)	\(F_a\)
\([0,20[\)	5
\([20,40[\)	12
\([40,60[\)		25
\([60,80[\)	20
\([80,100[\)		50

2.1. Complete a tabela.

2.2. Calcule valores aproximados da média e do desvio-padrão amostral.

2.3. Construa um diagrama de extremos e quartis.

2.1 - Tabela completa

Classe	Marca	\(f_a\)	\(F_a\)	\(F_r\) acum.
\([0,20[\)	10	5	5	10%
\([20,40[\)	30	12	17	34%
\([40,60[\)	50	8	25	50%
\([60,80[\)	70	20	45	90%
\([80,100[\)	90	5	50	100%

2.2 - Média e desvio-padrão

Usamos as marcas das classes como valores representativos.

\overline{x}\approx\dfrac{10\cdot5+30\cdot12+50\cdot8+70\cdot20+90\cdot5}{50}=53{,}2

s\approx24{,}03

2.3 - Quartis por interpolação

\(Q_1=P_{25}\) está em \([20,40[\):

Q_1=20+20\cdot\dfrac{25-10}{34-10}=32{,}5

A mediana corresponde ao final da classe \([40,60[\), pelo que \(Q_2=60\).

\(Q_3=P_{75}\) está em \([60,80[\):

Q_3=60+20\cdot\dfrac{75-50}{90-50}=72{,}5

Diagrama de extremos e quartis das classificações

Resumo aproximado: \(0,\ 32{,}5,\ 60,\ 72{,}5,\ 100\).

3. Número de dias passados na praia

3

A diretora de turma do Bernardo questionou os alunos sobre o número de dias que tinham estado na praia durante as férias de verão.

Histograma do número de dias passados na praia

Determine um valor aproximado do desvio-padrão amostral, arredondado às milésimas.

Passo 1 - Marcas e frequências

Marca	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5
\(f_a\)	12	6	2	2	3

Passo 2 - Média aproximada

\overline{x}\approx\dfrac{2{,}5\cdot12+7{,}5\cdot6+12{,}5\cdot2+17{,}5\cdot2+22{,}5\cdot3}{25}=8{,}1

Passo 3 - Desvio-padrão

s=\sqrt{\dfrac{\sum f_i(x_i-\overline{x})^2}{25-1}}=\sqrt{\dfrac{1216}{24}}\approx7{,}118

Desvio-padrão aproximado: \(7{,}118\) dias.

4. Comprimento de trutas

4

Uma empresa de aquacultura mediu uma amostra de trutas do tanque cinco. Os comprimentos, em centímetros, são:

4.1. Determine a variância amostral.

4.2. Determine o desvio-padrão amostral.

4.3. Complete uma tabela de frequências com as classes \([20,25[\), \([25,30[\), \([30,35[\) e \([35,40[\).

4.1 - Média e variância

\overline{x}=\dfrac{347}{12}\approx28{,}9167

s^2=\dfrac{\sum(x_i-\overline{x})^2}{11}=\dfrac{214{,}9167}{11}\approx19{,}54

4.2 - Desvio-padrão

\(s=\sqrt{19{,}54}\approx4{,}42\) cm

4.3 - Tabela de frequências

Comprimento (cm)	\(f_a\)
\([20,25[\)	1
\([25,30[\)	4
\([30,35[\)	6
\([35,40[\)	1

5. Saltos em comprimento do Manuel

5

Considere os comprimentos, em metros, dos saltos do Manuel nas nove tentativas de um treino.

5.1. Qual é a medida de localização mais adequada para caracterizar os dados? Porquê?

5.2. Qual é a medida de dispersão mais adequada para evidenciar a variabilidade observada? Porquê?

5.1 - Medida de localização

Os valores 2,03 m e 2,10 m são muito inferiores aos restantes e puxam a média para baixo. A mediana é resistente a esses valores atípicos.

A medida de localização mais adequada é a mediana.

5.2 - Medida de dispersão

Para quantificar a variabilidade global e refletir o forte afastamento dos dois saltos mais curtos, pode usar-se o desvio-padrão, que considera todos os valores e as suas distâncias à média.

A medida escolhida é o desvio-padrão.

6. Sócios presentes nos jogos do GDA

6

Nos últimos 12 jogos da equipa de futebol do Grupo Desportivo de Altivo, registou-se o número de sócios que assistiram a cada jogo:

15 680	17 549	14 746	19 418	20 353	22 222
28 763	26 894	34 370	37 174	38 108	39 043

Determine a média e o desvio-padrão amostral, arredondados às centésimas.

Média

A soma dos 12 registos é 314 320.

\overline{x}=\dfrac{314\,320}{12}=26\,193{,}33

Desvio-padrão amostral

s=\sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\overline{x})^2}{11}}\approx9\,113{,}84

Média: \(26\,193{,}33\) sócios. Desvio-padrão: \(9\,113{,}84\) sócios.

7. Temperaturas na Madeira e nos Açores

7

As temperaturas mensais, em graus Celsius, registadas no mesmo dia e à mesma hora nas regiões autónomas da Madeira e dos Açores estão representadas num diagrama de caule-e-folhas duplo.

Madeira	Caule	Açores
9 9 9 8	1	6 7 7 7 8 8
6 6 5 4 3 2 1 0	2	0 1 3 5 5 6

7.1. Determine a média de cada região, aproximada às décimas.

7.2. Associe cada diagrama de extremos e quartis à respetiva região.

Dois diagramas de extremos e quartis, d1 e d2

7.3. Compare a distribuição dos dados.

7.4. Determine um valor aproximado do desvio-padrão amostral em cada região.

7.1 - Médias

Madeira: \(\overline{x}_M=\dfrac{262}{12}\approx21{,}8^\circ\text{C}\) Açores: \(\overline{x}_A=\dfrac{243}{12}\approx20{,}3^\circ\text{C}\)

7.2 - Associação dos diagramas

Na Madeira, a temperatura mínima é 18 ºC; nos Açores, é 16 ºC. Logo, \(d1\) corresponde à Madeira e \(d2\) aos Açores.

7.3 - Comparação

As temperaturas da Madeira têm centro mais elevado e estão mais concentradas. Nos Açores, a amplitude e a amplitude interquartil são maiores, indicando maior variabilidade.

7.4 - Desvios-padrão

Madeira: \(s_M=\sqrt{\dfrac{93{,}6667}{11}}\approx2{,}92^\circ\text{C}\) Açores: \(s_A=\sqrt{\dfrac{146{,}25}{11}}\approx3{,}65^\circ\text{C}\)

As temperaturas dos Açores apresentam maior dispersão.

8. Comparação de dois histogramas

8

Considere os histogramas seguintes.

Associe a cada histograma a média e o desvio-padrão respetivos: médias 16,2 e 7,47; desvios-padrão 4,85 e 2,42.

Comparar os centros

O histograma 1 está concentrado em valores mais altos, sobretudo entre 12 e 20. Por isso, tem a maior média: 16,2.

O histograma 2 concentra-se mais perto dos valores baixos e tem média 7,47.

Comparar a dispersão

O histograma 1 está mais concentrado, pelo que tem o menor desvio-padrão. O histograma 2 espalha-se por quase todo o intervalo.

Histograma 1: média \(16{,}2\), desvio-padrão \(2{,}42\).
Histograma 2: média \(7{,}47\), desvio-padrão \(4{,}85\).

9. Idades numa banda filarmónica

9

No histograma representam-se as frequências absolutas das idades dos elementos da banda filarmónica de S. Cipriano.

Histograma das idades dos elementos da banda

9.1. Quantos elementos tem a banda?

9.2. Elabore uma tabela de frequências absolutas e relativas, simples e acumuladas, incluindo as marcas das classes.

9.3. Obtenha estimativas da média, do desvio-padrão, do percentil 25 e da mediana.

9.1 - Número de elementos

\(15+12+10+7+5+4=53\)

9.2 - Tabela

Classe	Marca	\(f_a\)	\(F_a\)	\(f_r\)	\(F_r\)
\([10,20[\)	15	15	15	28,30%	28,30%
\([20,30[\)	25	12	27	22,64%	50,94%
\([30,40[\)	35	10	37	18,87%	69,81%
\([40,50[\)	45	7	44	13,21%	83,02%
\([50,60[\)	55	5	49	9,43%	92,45%
\([60,70[\)	65	4	53	7,55%	100%

9.3 a) - Média e desvio-padrão

\(\overline{x}\approx32{,}55\) anos; \(\quad\sigma\approx15{,}77\) anos

9.3 b) - Percentil 25

\(P_{25}\) pertence à classe \([10,20[\). A frequência acumulada sobe de 0% para 28,30%.

P_{25}=10+10\cdot\dfrac{25}{28{,}30}\approx18{,}83

Mediana

\(P_{50}\) pertence à classe \([20,30[\).

P_{50}=20+10\cdot\dfrac{50-28{,}30}{50{,}94-28{,}30}\approx29{,}58

\(P_{25}\approx18{,}83\) anos; mediana \(\approx29{,}58\) anos.

10. Cálculo sem ferramentas estatísticas

10

Considere o conjunto de dados: \(10,\ 10,\ 20,\ 10,\ 30\).

Determine a mediana, a média, a variância e o desvio-padrão populacionais.

Mediana

Ordenando: \(10,10,10,20,30\). O valor central é 10.

Média

\overline{x}=\dfrac{10+10+20+10+30}{5}=16

Variância

\sigma^2=\dfrac{3(10-16)^2+(20-16)^2+(30-16)^2}{5}=\dfrac{320}{5}=64

Desvio-padrão

\sigma=\sqrt{64}=8

Mediana \(=10\); média \(=16\); variância \(=64\); desvio-padrão \(=8\).

11. Idades dos alunos do terceiro ciclo

11

Idade	11	12	13	14	15	16
\(f_a\)	2	153	152	171	17	5

Determine a média e o desvio-padrão das idades, arredondados às milésimas.

Existem \(500\) alunos.

\overline{x}=\dfrac{11\cdot2+12\cdot153+13\cdot152+14\cdot171+15\cdot17+16\cdot5}{500}=13{,}126

\sigma\approx0{,}935

Média: \(13{,}126\) anos. Desvio-padrão: \(0{,}935\) anos.

12. Idades dos participantes num evento

12

Idade	14	15	16	17	18	19
\(f_a\)	5	16	17	21	15	3

Obtenha estimativas, às centésimas, para a média e o desvio-padrão das idades dos alunos da escola, com base nesta amostra.

A amostra tem \(77\) alunos.

\(\overline{x}\approx16{,}44\) anos

Como os dados constituem uma amostra usada para estimar a população, usa-se o desvio-padrão amostral:

\(s\approx1{,}30\) anos

Estimativas: média \(16{,}44\) anos e desvio-padrão \(1{,}30\) anos.

13. Idades num jardim de infância

13

Numa sala de um jardim de infância observaram-se as seguintes idades:

Idade	3	4	5	6
\(f_a\)	1	3	12	4

13.1. Acrescente as frequências absolutas e relativas acumuladas.

13.2. Determine a mediana.

13.3. Determine a média, a variância e o desvio-padrão populacionais.

13.4. Considerando a sala uma amostra representativa, estime a média e o desvio-padrão do jardim de infância.

13.5. Para todas as crianças, as frequências das idades 3, 4, 5 e 6 são, respetivamente, 2, 15, 40 e 18. Verifique que \(P_{25}\), \(P_{50}\) e \(P_{75}\) são iguais.

13.1 - Tabela completa

Idade	\(f_a\)	\(F_a\)	\(f_r\)	\(F_r\)
3	1	1	0,05	0,05
4	3	4	0,15	0,20
5	12	16	0,60	0,80
6	4	20	0,20	1,00

13.2 - Mediana

Há 20 dados. Os valores nas posições 10 e 11 são ambos 5.

Mediana: \(5\) anos.

13.3 - Medidas da sala

\overline{x}=4{,}95;\qquad\sigma^2\approx0{,}55;\qquad\sigma\approx0{,}74

13.4 - Estimativas para a população

\widehat{\mu}=4{,}95;\qquad s\approx0{,}76

13.5 - Percentis

Nas 75 crianças, as frequências acumuladas são 2, 17, 57 e 75. As posições dos percentis 25, 50 e 75 situam-se entre a 18.ª e a 57.ª observações, todas com idade 5.

\(P_{25}=P_{50}=P_{75}=5\) anos.

14. Participantes numa aula de crossfit

14

As idades dos participantes estão representadas no diagrama de caule-e-folhas.

Caule	Folhas
1	8 8 8
2	0 5 6 6
3	3 4 4 7
4	2 2 3
5	4 8

14.1. Quantas modas tem a distribuição?

(A) Nenhuma

(B) Uma

(C) Duas

(D) Mais de duas

14.2. Qual é a mediana?

(A) 34

(B) 8,5

(C) 33

(D) 33,5

14.3. Calcule a média e o desvio-padrão populacional.

14.4. Usando a aula como amostra, estime a média e o desvio-padrão dos clientes do ginásio.

14.5. Represente os dados num histograma com classes de amplitude 10.

14.1 - Moda

A idade 18 aparece três vezes, mais do que qualquer outra.

Resposta: (B). Existe uma moda: 18 anos.

14.2 - Mediana

Há 16 dados. Os valores centrais são o 8.º e o 9.º: 33 e 34.

\widetilde{x}=\dfrac{33+34}{2}=33{,}5

Resposta: (D) 33,5.

14.3 - População observada

\(\overline{x}=33{,}0;\qquad\sigma\approx12{,}1\) anos

14.4 - Estimativas

\(\widehat{\mu}=33{,}0;\qquad s\approx12{,}5\) anos

14.5 - Histograma

Classe	\([10,20[\)	\([20,30[\)	\([30,40[\)	\([40,50[\)	\([50,60[\)
\(f_a\)	3	4	4	3	2

15. Massas dos alunos de uma turma

15

As massas, em quilogramas, dos 30 alunos de uma turma são:

40,1 41,1 42,0 42,3 46,5 47,2 48,9 55,0 55,7 56,6 56,7 57,5 57,9 58,8 60,0 61,8 62,9 62,9 63,4 66,8 67,6 68,0 69,2 70,2 72,4 72,8 76,1 78,4 81,2 85,6

15.1. Determine a média e o desvio-padrão populacional.

15.2. Proponha estimativas para a média e o desvio-padrão dos alunos do 10.º ano da escola.

15.3. Determine \(P_{25}\), \(P_{50}\) e \(P_{75}\).

15.4. Qual é a maior ordem do percentil inferior a 67,6 kg?

15.5. Agrupe os dados em classes de amplitude 10 kg, começando em 40 kg, e construa uma tabela de frequências.

15.1 - Medidas da turma

\overline{x}\approx60{,}85\text{ kg};\qquad\sigma\approx12{,}01\text{ kg}

15.2 - Estimativas para o 10.º ano

\widehat{\mu}\approx60{,}85\text{ kg};\qquad s\approx12{,}21\text{ kg}

15.3 - Percentis

P_{25}=55{,}0\text{ kg};\quad P_{50}=60{,}9\text{ kg};\quad P_{75}=69{,}2\text{ kg}

15.4 - Ordem do percentil

Existem 20 valores inferiores a 67,6 kg.

\dfrac{20}{30}\cdot100\approx66{,}67\%

A maior ordem pedida é 66.

15.5 - Dados agrupados

Classe	\(f_a\)	\(F_a\)	\(f_r\)	\(F_r\)
\([40,50[\)	7	7	0,23	0,23
\([50,60[\)	7	14	0,23	0,47
\([60,70[\)	9	23	0,30	0,77
\([70,80[\)	5	28	0,17	0,93
\([80,90[\)	2	30	0,07	1,00

As frequências acumuladas foram calculadas antes do arredondamento; por isso, \(14/30\approx0{,}47\) e \(23/30\approx0{,}77\).

16. Número de irmãos em duas escolas

16

O gráfico e a tabela apresentam o número de irmãos de alunos de Francês em duas escolas, A e B.

Distribuições do número de irmãos nas escolas A e B

Compare as duas amostras quanto à variabilidade relativamente à média. Determine as médias, os desvios-padrão amostrais e interprete os resultados.

Escola A

As frequências para 0, 1, 2, 3, 4 e 5 irmãos são 3, 6, 8, 3, 0 e 4.

\overline{x}_A=\dfrac{0\cdot3+1\cdot6+2\cdot8+3\cdot3+5\cdot4}{24}=2{,}125

s_A=\sqrt{\dfrac{56{,}625}{23}}\approx1{,}569

Escola B

As frequências são 1, 4, 14, 4, 1 e 0.

\overline{x}_B=\dfrac{0\cdot1+1\cdot4+2\cdot14+3\cdot4+4\cdot1}{24}=2

s_B=\sqrt{\dfrac{16}{23}}\approx0{,}834

Interpretação

As médias são muito próximas, mas o desvio-padrão da escola A é quase o dobro do da escola B.

A amostra da escola A apresenta maior variabilidade.

17. Resultados de dois quizzes

17

Numa turma com 25 alunos, 20% acertaram 3 questões, 48% acertaram 6 e os restantes acertaram 9.

17.1. Calcule a média e o desvio-padrão amostral.

Num segundo quiz, com as mesmas percentagens, os três resultados foram 5, 10 e 15 questões corretas.

17.2. Determine a nova média e o novo desvio-padrão.

17.1 - Frequências

0{,}20\cdot25=5;\quad0{,}48\cdot25=12;\quad0{,}32\cdot25=8

Média do primeiro quiz

\overline{x}=3\cdot0{,}20+6\cdot0{,}48+9\cdot0{,}32=6{,}36

Desvio-padrão do primeiro quiz

s=\sqrt{\dfrac{5(3-6{,}36)^2+12(6-6{,}36)^2+8(9-6{,}36)^2}{24}}\approx2{,}18

17.2 - Segundo quiz

Cada resultado do segundo quiz é \(\frac{5}{3}\) do resultado correspondente no primeiro. Ao multiplicar todos os dados por uma constante, a média e o desvio-padrão são multiplicados pela mesma constante.

\overline{y}=\dfrac{5}{3}\cdot6{,}36=10{,}60

s_y=\dfrac{5}{3}\cdot2{,}177\approx3{,}63

Primeiro quiz: média \(6{,}36\), \(s\approx2{,}18\). Segundo quiz: média \(10{,}60\), \(s\approx3{,}63\).