Ficha de Trabalho - Dados Bivariados

O professor de Matemática propôs a realização de uma tarefa em trabalho de pares. Registou, na tabela seguinte, o tempo, em minutos, que cada grupo demorou a concluir a tarefa e a classificação obtida nesse trabalho.

1.1.Construa o diagrama de dispersão.

1.2.Determine o valor do coeficiente de correlação linear, arredondado às centésimas, e classifique essa correlação.

1.3.Identifique a variável independente e a variável dependente.

Alínea 1.1 - Diagrama de dispersão

Alínea 1.2 - Coeficiente de correlação

Com os pares \((x,y)\), obtém-se \(r \approx -0{,}88\).

\(r \approx -0{,}88\)

Como \(r\) é negativo e está próximo de \(-1\), trata-se de uma correlação negativa forte.

Alínea 1.3 - Variáveis

A variável independente é o tempo para concluir o trabalho.

A variável dependente é a classificação obtida no trabalho.

Para estudar a associação entre o perímetro, em centímetros, e a altura, em centímetros, das árvores de um bosque, procedeu-se à medição de uma amostra de 5 árvores.

2.1.Construa um diagrama de dispersão e marque o centro de gravidade, \(G\), da nuvem de pontos.

2.2.Trace a reta de regressão.

2.3.Determine a equação da reta de regressão na forma \(y=ax+b\), sendo \(a\) e \(b\) números reais arredondados às centésimas.

2.4.Determine o coeficiente de correlação linear, arredondado às milésimas.

2.5.Estime a altura, em centímetros, de uma árvore com 80 cm de perímetro. Apresente o resultado arredondado às centésimas.

2.6.Estime o perímetro, em centímetros, de uma árvore com 5 m de altura. Apresente o resultado arredondado às centésimas.

Alínea 2.1 - Diagrama e centro de gravidade

\(G(\overline{x},\overline{y}) = (65{,}8;393{,}6)\)

Alíneas 2.2, 2.3 e 2.4 - Reta, equação e correlação

\(y = 6{,}48x - 32{,}77\)

\(r \approx 0{,}997\)

Alíneas 2.5 e 2.6 - Estimativas

\(y = 6{,}48 \times 80 - 32{,}77 = 485{,}63\) cm

\(6{,}48x - 32{,}77 = 500 \Leftrightarrow x = \dfrac{532{,}77}{6{,}48} \approx 82{,}22\) cm

O diagrama de dispersão representado na figura mostra uma forte associação linear entre duas variáveis.

Em qual das opções poderão estar representados os valores de \(r\) e uma equação de regressão linear da distribuição representada na figura anterior?

Exercício 3 - Escolha da opção

A nuvem de pontos mostra uma associação forte e positiva. Assim, excluem-se as opções com \(r<0\) e também a opção em que \(r\) indica correlação fraca.

Resposta: (C)

A tabela é referente ao número de laranjas e ao peso médio, em gramas, das laranjas produzidas por algumas laranjeiras de um laranjal, na colheita de 2023.

Considere adequado o modelo de regressão linear de \(y\) sobre \(x\), obtido a partir dos dados da tabela. Uma outra laranjeira do laranjal produziu 129 laranjas na colheita de 2023.

Estime, com base no modelo proposto, o peso médio dessas laranjas.

Na sua resposta, apresente os valores dos parâmetros da equação da reta de regressão linear de \(y\) sobre \(x\), arredondados às milésimas, e o valor pedido em gramas, arredondado às centésimas.

Exercício 4 - Reta de regressão

\(y = -0{,}091x + 207{,}525\)

Exercício 4 - Estimativa para \(x=129\)

\(y = -0{,}091 \times 129 + 207{,}525 \approx 195{,}79\)

O peso médio estimado é 195,79 g.

O diagrama de dispersão representado na figura mostra uma forte associação linear positiva entre o preço das viagens de avião vendidas na agência de viagens Ir&Voltar, num determinado período de tempo, e as horas de voo despendidas na viagem de ida e volta.

Em cada uma das opções seguintes, são dados um valor \(r\), coeficiente de correlação linear, e a equação de uma reta. Em qual das opções poderão estar representados o valor de \(r\) e uma equação da reta de regressão linear da distribuição representada na figura anterior?

Exercício 5 - Escolha da opção

A correlação é forte e positiva, logo \(r\) deve ser positivo e próximo de 1. Além disso, a reta de regressão deve ter declive positivo.

Resposta: (D)

A venda de bilhetes para o concerto da banda BigBand gerou tanta procura que, na véspera do primeiro dia de venda, se formou fila para aquisição de bilhetes à porta da bilheteira.

Ao longo do primeiro dia de venda dos bilhetes, as pessoas foram questionadas sobre o número de horas que permaneceram na fila antes da abertura da bilheteira (\(x\)) e sobre o tempo, em horas, que decorreu desde a abertura da bilheteira até terem adquirido os bilhetes (\(y\)).

Admita que a relação entre as variáveis \(x\) e \(y\), da tabela anterior, é bem aproximada por uma regressão linear, na forma \(y=ax+b\).

Determine qual poderá ter sido o tempo que decorreu desde a abertura da bilheteira até à aquisição dos bilhetes por parte de uma pessoa que tenha estado seis horas na fila antes da abertura da bilheteira.

Apresente o resultado em horas, arredondado às unidades. Na sua resposta, apresente a equação da reta de regressão, com os valores de \(a\) e \(b\) arredondados com três casas decimais.

Exercício 6 - Reta de regressão

\(a \approx -0{,}459\), \(b \approx 12{,}913\)

\(y = -0{,}459x + 12{,}913\)

Exercício 6 - Estimativa para \(x=6\)

\(y = -0{,}459 \times 6 + 12{,}913 \approx 10\)

O tempo estimado é 10 horas.

Na tabela seguinte, estão registados, para cada um dos filmes, A, B, C, D, E, F e G, o custo de produção, em milhares de euros, e o número de espectadores, em milhares, que teve nas semanas de exibição em Portugal.

Admita que a relação entre as variáveis \(x\) e \(y\) da tabela anterior é, aproximadamente, linear, sendo modelada pela reta de regressão da equação da forma \(y=ax+b\).

Estime o custo de produção de um filme com 52,5 milhares de espectadores. Apresente o resultado, em milhares de euros, arredondado às unidades. Na sua resposta, utilize os valores de \(a\) e de \(b\) com três casas decimais.

Exercício 7 - Reta de regressão

\(a \approx 0{,}233\), \(b \approx 0{,}238\)

\(y = 0{,}233x + 0{,}238\)

Exercício 7 - Estimativa para \(y=52{,}5\)

\(52{,}5 = 0{,}233x + 0{,}238 \Leftrightarrow x = \dfrac{52{,}262}{0{,}233} \approx 224\)

O custo estimado é 224 milhares de euros.

Realizou-se um estudo sobre o peso e as alturas de alguns dos melhores jogadores de basquetebol da NBA. Na tabela seguinte estão os dados recolhidos para o peso, em kg, e as respetivas alturas em metros.

8.1.Calcule as médias das variáveis peso (\(x\)) e altura (\(y\)). Caso seja necessário proceder a arredondamentos, apresente os resultados com arredondamentos às décimas.

8.2.Represente os dados num diagrama de dispersão.

8.3.Comente a representação obtida na alínea anterior.

Alínea 8.1 - Médias

\(\overline{x}=\dfrac{130+113+109+115+120+127+113+112+132}{9}=119\)

\(\overline{y}=\dfrac{2{,}01+2{,}03+2{,}06+2{,}08+2{,}11+2{,}11+2{,}13+2{,}13+2{,}22}{9}\approx 2{,}1\)

Alíneas 8.2 e 8.3 - Diagrama e comentário

Pela observação do diagrama, verifica-se que a nuvem de pontos se encontra muito dispersa, o que indica uma correlação fraca entre o peso e a altura dos atletas.

O Flávio, praticante de natação, depois de terminada uma prova, registou o número de pulsações por minuto.

9.1.Construa um diagrama de dispersão e assinale o ponto \((\overline{x},\overline{y})\).

9.2.Recorrendo às potencialidades da sua calculadora gráfica, obtenha a equação da reta de regressão e desenhe-a no diagrama da alínea anterior. Se proceder a arredondamentos, conserve três casas decimais.

9.3.Utilize a equação da reta de regressão para determinar:

a) quantas pulsações teria o Flávio 3 minutos e 15 segundos após a prova ter terminado;

b) quantas pulsações teria no instante em que terminou a prova. Comente o resultado obtido;

c) quantos segundos terão passado após a prova ter terminado, sabendo que o Flávio estava com 122 pulsações por minuto.

Alíneas 9.1 e 9.2 - Diagrama, centro de gravidade e reta

\((\overline{x},\overline{y})=(2;108{,}571)\)

\(y=-21{,}214x+151\)

Alínea 9.3 a)

\(3\) minutos e \(15\) segundos correspondem a \(3{,}25\) minutos.

\(y=-21{,}214 \times 3{,}25 + 151 \approx 82\)

Alínea 9.3 b)

\(y=-21{,}214 \times 0 + 151 = 151\)

No instante em que terminou a prova, o modelo estima 151 pulsações por minuto.

Alínea 9.3 c)

\(122=-21{,}214x+151 \Leftrightarrow x=\dfrac{29}{21{,}214}\approx 1{,}367\)

\(1{,}367 \times 60 \approx 82\) segundos