Ficha de Trabalho Global 3 - Matemática 9.º Ano

Escolha múltipla Qual é a opção que apresenta um número irracional compreendido entre \(\frac{\pi}{3}\) e \(\frac{5}{3}\)?

Escolha múltipla Dado o conjunto \(A=\left\{0;\,-\sqrt2;\,\frac32;\,\sqrt{16};\,-\frac{8}{\sqrt4};\,7,25\right\}\), qual dos conjuntos seguintes é igual a \(A\cap\mathbb{Z}\)?

Escolha múltipla Considera o conjunto \(A=\left[\,2\pi,\,15\,\right[\). Qual é o menor número inteiro que pertence ao conjunto \(A\)?

Escolha múltipla Sejam \(p\) e \(q\) números reais positivos tais que \(p>q\). Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

Escolha múltipla Considera os conjuntos de números reais \(A=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{x-3}{2}>x\right\}\) e \(B=\left[-\pi,\,0\right[\). Qual dos seguintes intervalos é igual ao conjunto \(A\cap B\)?

Considera os intervalos de números reais \(A=\left]-\pi,\,\sqrt{\tfrac{25}{4}}\,\right[\) e \(B=\left[-\sqrt3,\,0\right[\).

1. Indica os elementos do conjunto \(A\) que são números inteiros não negativos.
2. Escreve o menor número inteiro que pertence ao conjunto \(B\).
3. Escreve, na forma de intervalo de números reais, o conjunto \(A\cup B\).
4. Sabe-se que \(I\cap B=\left]-\tfrac12,\,0\right[\). Escreve na forma de intervalo de números reais e define por uma condição um possível conjunto \(I\).

Considera a seguinte inequação:

\[ \frac12-\frac{3x-2}{3}<2(1-x) \]

1. Sem resolveres a inequação, verifica se \(x=\frac23\) é uma solução.
2. Resolve a inequação e apresenta o conjunto-solução sob a forma de um intervalo de números reais.

Escreve os números reais seguintes por ordem decrescente.

\[ -\frac{37}{10};\quad \sqrt5;\quad \sqrt3;\quad 2\times10^{-2};\quad -5,(31);\quad 5,31 \]

Completa a tabela seguinte, assinalando com \(\times\) se o número pertence ao conjunto indicado.

Escreve um número irracional entre \(5\) e \(6\).

Escreve dois números racionais, um menor do que \(\sqrt2\) e o outro maior do que \(\sqrt2\), tal que a diferença entre os dois números seja inferior a uma centésima.

Simplifica as seguintes expressões.

1. \(7\sqrt3-5\left(\sqrt3-\frac{\sqrt3}{5}\right)\)
2. \(2\left(\sqrt7+1\right)-5\left(\sqrt7-2\right)\)
3. \(\sqrt8\left(\sqrt2-2\right)-5\left(\sqrt8+1\right)\)

O comprimento dos lados iguais de um triângulo isósceles é o dobro do comprimento do lado diferente, que mede \(2\sqrt5\) cm. Calcula o perímetro e a área do triângulo.

Representa, sob a forma de intervalo de números reais, ou reunião de intervalos, os seguintes conjuntos.

1. \(A=\left\{x\in\mathbb{R}:x<-\sqrt2\ \vee\ x\ge\pi\right\}\)
2. \(B=\left]-\infty,-\sqrt3\right]\cap\left]-5,\pi\right[\)

Qual é o número de elementos do conjunto \(C=\left\{x\in\mathbb{Z}:x>1-\sqrt2\ \wedge\ 0\le x<\sqrt{70}\right\}\)?

Seja \(k\) um número real tal que \(k\in\left]1,+\infty\right[\). Escreve os números reais \(k\), \(\frac1k\), \(\frac{1}{k+1}\), \(k^2\) e \(\sqrt k\) por ordem crescente.

Escolha múltipla Qual das inequações seguintes tem \(-1\) como uma das suas soluções?

Traduz cada uma das seguintes afirmações através de uma expressão algébrica (inequação).

1. «Metade de um número acrescida de \(6\) unidades é maior do que \(25\) unidades.»
2. «A média aritmética entre um número e \(16\) não excede \(14,5\).»
3. «Quando se aumenta \(3\) cm a cada lado de um quadrado, o perímetro ultrapassa \(100\) cm.» (designa por \(x\) a medida do lado do quadrado inicial, em cm)
4. «Faltam menos de \(10\) km para percorrer \(34\) km.» (designa por \(x\) o número de quilómetros que falta percorrer)

Resolve as inequações seguintes. Apresenta os conjuntos-solução na forma de intervalos de números reais.

1. \(1+\dfrac{x-1}{4}\le x+\dfrac12\)
2. \(\dfrac{x+1}{5}-\dfrac{x-3}{2}>x\)
3. \(4(1-x)+\dfrac{7-2(3-x)}{3}<2x+1\)
4. \(-\dfrac{\frac12(x-1)}{3}\le1+\dfrac{3x}{2}\)

Observa a sequência de figuras seguinte, construídas com círculos e segmentos de reta.

Na 1.ª figura há \(4\) círculos e \(4\) segmentos; na 2.ª figura há \(6\) círculos e \(7\) segmentos; na 3.ª figura há \(8\) círculos e \(10\) segmentos. Continuando a aplicar a mesma regra, determina quantos círculos tem a figura maior com menos de \(100\) segmentos de reta.

Escolha múltipla Qual das seguintes expressões é equivalente a \(3\left(\frac13-2x\right)-(x+1)(x+2)\)?

Escolha múltipla Considera a igualdade \((ax+1)^2=3x^2+bx+1\), em que \(a\) e \(b\) são números reais. Para que valores de \(a\) e de \(b\) a igualdade é verdadeira qualquer que seja \(x\)?

Escolha múltipla Qual das seguintes equações é impossível?

Determina o conjunto-solução da equação \((x+1)^2(-2x-1)=0\).

Resolve a seguinte equação:

\[ (x-5)(x+5)=-9 \]

O Lourenço trabalha numa loja de chocolates artesanais, onde são vendidas caixas quadradas com bombons de chocolate e de licor. Os bombons de licor estão dispostos numa das diagonais da caixa, conforme ilustram as imagens.

Considera a sequência numérica associada ao número de bombons de cada caixa e admite que, em todas as caixas, se mantém esta regularidade.

1. Verifica se existe alguma caixa em que são vendidos 64 bombons.
2. Resolve a seguinte equação e interpreta a solução no contexto da situação. \[ (n+1)^2-(n+1)=110 \]
3. Uma caixa tem exatamente 8 bombons de licor. Quantos bombons de chocolate tem essa caixa?

Escolha múltipla Qual das expressões seguintes é uma fatorização do polinómio \(36-49x^2\)?

Considera a equação \((x+8)^2=k\), em que \(k\) é um número real. Indica, justificando, quais são os valores de \(k\) que tornam:

1. \(-2\) solução da equação;
2. a equação possível e com uma só solução;
3. a equação possível e com duas soluções;
4. a equação impossível.

Determina, em \(\mathbb{R}\), o conjunto-solução das seguintes equações.

1. \(-2x^2+5x=0\)
2. \(x^2-10x+25=0\)
3. \(x^2+8x+15=0\)

Na figura estão representados os três primeiros termos de uma sequência de composições geométricas, formadas por quadrados decompostos em quadrados menores geometricamente iguais. A partir do primeiro termo: cada quadrado maior tem mais uma unidade de lado do que o anterior, e cada composição tem mais um quadrado preto do que a anterior.

Começa por obter uma expressão algébrica, na forma de polinómio reduzido, que represente o número de quadrados brancos em cada termo. Existe algum termo em que o número de quadrados brancos é maior, em \(200\) unidades, do que o triplo do número de quadrados pretos desse termo? Justifica.

Sobre um triângulo retângulo, sabe-se que o comprimento do cateto maior é igual ao triplo do comprimento do cateto menor subtraído de \(1\) unidade, e a hipotenusa é igual ao triplo do comprimento do cateto menor adicionado de \(1\) unidade. Determina o comprimento da hipotenusa do triângulo.

Escolha múltipla Considera a função \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac{3}{x}\), para \(x>0\). Em qual das seguintes opções está representado o gráfico da função \(f\)?

Escolha múltipla A tabela representa uma relação de proporcionalidade inversa.

Qual é a constante de proporcionalidade inversa?

Escolha múltipla De uma função \(f\), de proporcionalidade inversa, sabe-se que o seu gráfico passa no ponto de coordenadas \(\left(2,\,\frac53\right)\). Qual das seguintes expressões define a função \(f\)?

Escolha múltipla Seja \(f\) a função linear definida por \(f(x)=\frac32 x\) e seja \(g\) a função quadrática definida por \(g(x)=ax^2\). Sabe-se que os gráficos das funções \(f\) e \(g\) se intersetam no ponto de abcissa \(2\). Qual é o valor de \(a\)?

Os alunos de uma turma de 9.º ano pretendem angariar dinheiro para a sua viagem de finalistas. Estabeleceram obter \(200\) euros com a venda de bolos. As fatias de bolo serão todas vendidas e ao mesmo preço. A tabela seguinte representa a relação entre o número de fatias (\(n\)) que devem vender e o preço (\(p\)), em euros, de cada fatia.

1. Qual é o número de fatias de bolo que devem ser vendidas, para que o preço de cada uma seja \(0,5\) €?
2. O número de fatias (\(n\)) é inversamente proporcional ao preço (\(p\)) de cada fatia. Qual é a constante de proporcionalidade inversa? E qual o seu significado no contexto do problema?

Escolha múltipla Qual é a imagem de \(-5\) pela função quadrática \(f\), definida por \(f(x)=-2x^2\)?

Considera uma função quadrática \(g\), definida por \(g(x)=ax^2\), com \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Indica, justificando, quais são os valores de \(a\) que tornam:

1. \(-4\) a imagem de \(3\);
2. \(-4\) o objeto cuja imagem é \(3\).

Na tabela seguinte estão representadas duas grandezas inversamente proporcionais, \(x\) e \(y\), e dois números reais não nulos, \(a\) e \(b\).

1. Determina o valor da constante de proporcionalidade inversa.
2. Determina o valor de \(a\) e o valor de \(b\).
3. Escreve uma expressão algébrica que relacione \(x\) e \(y\).

Na figura estão representados os três primeiros termos de uma sequência de triângulos constituídos por triângulos equiláteros menores, com uma unidade de lado. Com exceção do primeiro termo, o lado do triângulo maior de cada termo mede mais uma unidade do que o do termo anterior.

Indica, justificando, se existe algum termo da sequência constituído por \(5400\) triângulos equiláteros de lado \(1\).

Um tanque tem uma torneira de enchimento que despeja \(6\) litros de água por minuto e que enche o tanque em \(40\) minutos. Determina quantos litros de água por minuto deveria a torneira despejar, caso se pretendesse encher o tanque em meia hora.

Escolha múltipla De um triângulo equilátero sabe-se que a altura mede \(1\) cm. Em qual das opções está indicado o perímetro desse triângulo?

Justifica que não é possível inscrever um paralelogramo com um ângulo interno de amplitude \(70^\circ\) numa circunferência.

Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam \(2\) unidades de um ponto do plano, \(A\)?

Escolha múltipla Qual é o valor do seno dos ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles?

Escolha múltipla Um grupo de \(15\) amigos reuniu-se numa festa. Sabe-se que a amplitude das idades é \(12\) anos e que pelo menos \(50\%\) dos amigos tem \(24\) anos ou mais. Qual dos diagramas seguintes pode representar as idades daquele grupo de amigos?

Os resultados, em segundos, obtidos numa prova de natação de \(50\) m livres masculinos, no escalão de Cadetes, foram os seguintes:

1. Considerando cinco classes de amplitude \(1,5\) s e \(39,5\) como extremo inferior da primeira classe, agrupa os dados e constrói uma tabela de frequências relativas simples e acumuladas.
2. Constrói um histograma para representar os dados.
3. Se um atleta, que está lesionado, tivesse competido nesta prova e conseguisse obter o seu melhor tempo, a média dos tempos desta prova diminuía \(0,2\) s. Qual é o recorde pessoal deste atleta nos \(50\) m livres?

O histograma seguinte é relativo às alturas, em centímetros, de todos os arbustos de um parque.

1. Quantos arbustos há nesse parque?
2. Determina a percentagem de arbustos do parque com altura pertencente ao intervalo \([175;185[\).
3. Qual dos diagramas de extremos e quartis seguintes pode representar os dados do histograma?

Os dados seguintes referem-se às idades dos alunos de uma turma de iniciação à programação:

\[ 17,\ 17,\ 18,\ 19,\ 18,\ 20,\ 20,\ 17,\ 18,\ 18,\ 19,\ 19,\ 21,\ 20,\ 21 \]

1. Organiza os dados numa tabela de frequências absolutas.
2. Representa os dados num diagrama de extremos e quartis.
3. Qual é a dispersão interquartil das idades desses alunos?
   (A) \(1\) ano   (B) \(2\) anos   (C) \(3\) anos   (D) \(4\) anos

Escolha múltipla Num saco foram colocadas bolas azuis, brancas e pretas. Retira-se, ao acaso, uma bola e regista-se a cor. Sabe-se que o número de bolas brancas é igual ao dobro do número de bolas pretas e a probabilidade de sair uma bola azul é igual a \(10\%\). Qual é a probabilidade de retirar uma bola branca?

Escolha múltipla A Maria lança um dado dodecaédrico regular com as doze faces numeradas e regista o número da face encostada à mesa. Sabendo que a probabilidade de sair uma face com um número par é \(\frac13\), quantas faces do dodecaedro têm números ímpares?

Na tabela abaixo estão registadas as idades dos alunos de uma turma do 9.º ano.

1. Escolhe-se, ao acaso, um aluno da turma. Sejam \(A\): «O aluno escolhido é um rapaz.» e \(B\): «O aluno escolhido tem \(15\) anos.»
   a) Os acontecimentos \(A\) e \(B\) são disjuntos?
   b) Determina, na forma de fração irredutível, \(P(A\cap B)\) e \(P(A\cup B)\).
2. Escolhe-se, ao acaso, um aluno da turma com pelo menos \(15\) anos. Seja \(p\) a probabilidade de o aluno escolhido ser uma rapariga com \(15\) anos. A qual dos seguintes intervalos pertence o valor de \(p\)?
   (A) \(\left]0,\frac14\right[\)   (B) \(\left]\frac14,\frac13\right[\)   (C) \(\left]\frac13,\frac12\right[\)   (D) \(\left]\frac12,\frac34\right[\)

Na escola do José, os alunos estão em campanha para a eleição da Associação de Estudantes. O José colocou rebuçados num saco: \(35\) de laranja, \(30\) de limão e \(15\) de morango.

1. O José tira ao acaso um rebuçado. Qual é a probabilidade de ter sabor a limão? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
2. Depois de oferecer \(10\) rebuçados de limão, o José colocou no saco alguns rebuçados de mentol. A probabilidade de tirar agora um rebuçado de morango passou a ser \(\frac16\). Determina quantos rebuçados de mentol o José colocou no saco.

Lançam-se dois dados cúbicos, com as faces numeradas de \(1\) a \(6\), e anota-se a diferença entre o maior e o menor dos números saídos.

1. Determina as probabilidades da 2.ª linha da tabela seguinte.

Considera os acontecimentos \(A\): «a diferença é um número ímpar» e \(B\): «a diferença é maior do que \(3\)». Determina \(P(A)\), \(P(B)\) e \(P(A\cap B)\).

Considera duas caixas com a seguinte composição:
Caixa 1: \(1\) bola branca e \(1\) bola preta;
Caixa 2: \(2\) bolas brancas, \(2\) bolas pretas e \(1\) bola vermelha.
Extrai-se, sucessivamente e ao acaso, uma bola de cada caixa. Determina a probabilidade de extrair a bola vermelha.