Objetivo da ficha
Esta ficha de trabalho reúne exercícios de revisão global alinhados com as Aprendizagens Essenciais do 9.º ano e com a matriz da ficha de avaliação n.º 5.
Os exercícios estão organizados por tema, com vários níveis de dificuldade — Básico, Médio e Desafio — e seguem o estilo gráfico das provas finais do IAVE para o 3.º ciclo.
As resoluções podem ser consultadas no site. Na impressão ou guardar como PDF, apenas é exportado o enunciado.
Números reais, intervalos, aproximações, inequações do 1.º grau, polinómios e casos notáveis, equações do 2.º grau, funções afim, quadrática e de proporcionalidade inversa, ângulos na circunferência, polígonos regulares, trigonometria, estatística (quartis, histogramas, diagramas de extremos e quartis) e probabilidades.
1. Números reais e aproximações
Conjuntos numéricos, dízimas, irracionais, intervalos, reta real, operações com radicais e arredondamentos.
Considera os números Básico
\[ A=-\sqrt{25};\quad B=\tfrac{4}{7};\quad C=\sqrt{8};\quad D=3,\overline{12};\quad E=-\pi;\quad F=0 \]
- Indica os que pertencem a \(\mathbb{Z}\).
- Indica os que pertencem a \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\).
- Completa com \(\in\) ou \(\notin\): \(D\,\_\,\mathbb{Q}\);\, \(C\,\_\,\mathbb{Q}\);\, \(A\,\_\,\mathbb{N}\).
\(A=-\sqrt{25}=-5\in\mathbb{Z}\); \(F=0\in\mathbb{Z}\).
\(C=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) é irracional; \(E=-\pi\) é irracional. \(B\) e \(D\) são dízimas representáveis por uma fração, logo racionais.
\(D\in\mathbb{Q}\); \(C\notin\mathbb{Q}\); \(A\notin\mathbb{N}\) (é negativo).
Sem efetuar a divisão, indica se cada fração representa uma dízima finita ou infinita periódica. Justifica com a decomposição em fatores primos do denominador. Básico
\[ \frac{3}{8};\quad \frac{7}{15};\quad \frac{9}{50};\quad \frac{11}{12} \]
Uma fração irredutível \( \tfrac{1}{n} \) (ou \( \tfrac{a}{n} \)) origina uma dízima finita se e só se \( n \) tem como fatores primos apenas \(2\) e/ou \(5\).
\(8=2^3\) — só tem o fator 2, dízima finita.
\(15=3\times5\) — contém o fator 3, dízima infinita periódica.
\(50=2\times5^2\) — só fatores 2 e 5, dízima finita.
\(12=2^2\times3\) — contém o fator 3, dízima infinita periódica.
Na reta real estão assinalados os pontos \(P\) e \(Q\). Médio
O ponto \(P\) corresponde ao número \(-\sqrt{2}\) e o ponto \(Q\) ao número \(\sqrt{5}\).
- Indica, justificando, entre que dois inteiros consecutivos se situa cada um dos números.
- Compara \(\sqrt{5}\) com \(\tfrac{9}{4}\) usando o símbolo apropriado.
1. Como \(1<2<4\), tem-se \(1<\sqrt{2}<2\), logo \(-2<-\sqrt{2}<-1\). Assim, \(P\) situa-se entre \(-2\) e \(-1\).
Como \(4<5<9\), tem-se \(2<\sqrt{5}<3\). Logo \(Q\) situa-se entre \(2\) e \(3\).
2. Para comparar, eleva-se ao quadrado (ambos positivos): \(\left(\sqrt{5}\right)^2=5\) e \(\left(\tfrac{9}{4}\right)^2=\tfrac{81}{16}=5{,}0625\).
Como \(5<5{,}0625\), conclui-se \(\sqrt{5}<\tfrac{9}{4}\).
Considera os intervalos: \(A=[-3,2[\), \(B=\,]0,5]\), \(C=\,]-\infty,1]\). Médio
- Determina \(A\cap B\) e \(A\cup B\).
- Determina \(B\cap C\).
- Representa \(A\cup B\) na reta real.
- Coloca \(\subset\), \(\supset\) ou \(=\): \(A\cap B\,\_\,A\); \(C\,\_\,\mathbb{R}\).
1. \(A\cap B=\,]0,2[\) (valores comuns); \(A\cup B=[-3,5]\) (reunião dos dois).
2. \(B\cap C=\,]0,1]\) (intersecta os elementos comuns a ambos).
3. \(A\cup B=[-3,5]\) — bolinha fechada em \(-3\) e em \(5\), traço contínuo entre eles.
4. \(A\cap B\subset A\); \(C\subset\mathbb{R}\).
Simplifica, racionalizando o denominador sempre que necessário: Médio
- \( \sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt{8} \)
- \( \dfrac{6}{\sqrt{3}} \)
- \( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} \)
1. Decompondo: \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}\); \(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}\); \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\).
\(5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(5+3-2)\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).
2. \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\).
3. \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\dfrac{2}{8}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\).
Calcula e apresenta o resultado o mais simplificado possível: Desafio
\[ \left( \sqrt{5}-2 \right)\left( \sqrt{5}+2 \right)+\dfrac{4}{\sqrt{2}}-\sqrt{32} \]
Aplica-se a diferença de quadrados: \(\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)=\left(\sqrt{5}\right)^2-2^2=5-4=1\).
Racionalizando: \(\dfrac{4}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\).
Simplificando: \(\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}\).
Somando: \(1+2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=1-2\sqrt{2}\).
Considera \(\pi\approx3{,}14159\). Médio
- Apresenta um valor aproximado de \(\pi\), por defeito, às milésimas.
- Apresenta um valor aproximado de \(\pi\), por excesso, às centésimas.
- Indica um majorante para o erro absoluto cometido em cada uma das aproximações.
1. Às milésimas, três casas decimais: por defeito, trunca-se sem aumentar — \(\pi\approx 3{,}141\).
2. Às centésimas, duas casas decimais: por excesso, aumenta-se a última casa — \(\pi\approx 3{,}15\).
3. O erro absoluto não excede a unidade da última casa decimal: \(0{,}001\) e \(0{,}01\), respetivamente.
Sabe-se que \(\sqrt{2}\approx1{,}414\) (por defeito, às milésimas) e \(\sqrt{3}\approx1{,}733\) (por excesso, às milésimas). Desafio
Sem usar a calculadora, indica um valor aproximado por defeito e um valor aproximado por excesso de \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\), ambos às milésimas. Justifica.
Como \(\sqrt{2}\approx1{,}414\) por defeito e \(\sqrt{3}\approx1{,}732\) por defeito (\(1{,}733\) é por excesso, logo \(1{,}732\) é o valor por defeito), tem-se:
Aproximação por defeito de \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\): \(1{,}414+1{,}732=3{,}146\).
Aproximação por excesso: usando \(\sqrt{2}\approx1{,}415\) e \(\sqrt{3}\approx1{,}733\) (ambos por excesso): \(1{,}415+1{,}733=3{,}148\).
2. Inequações do 1.º grau
Resolução, representação na reta real e problemas que envolvem inequações.
Resolve, em \(\mathbb{R}\), as seguintes inequações e apresenta o conjunto-solução na forma de intervalo: Básico
- \( 3x-7 \le 2 \)
- \( 2(x+1) > 5x - 4 \)
- \( \dfrac{x-1}{2} \ge \dfrac{x+3}{4} \)
1. \(3x-7\le2 \Leftrightarrow 3x\le9 \Leftrightarrow x\le3\). \(S=\,]-\infty,3]\).
2. \(2(x+1)>5x-4 \Leftrightarrow 2x+2>5x-4 \Leftrightarrow 2x-5x>-4-2 \Leftrightarrow -3x>-6 \Leftrightarrow x<2\) (sentido inverte ao dividir por negativo). \(S=\,]-\infty,2[\).
3. m.m.c.\((2,4)=4\): \(\dfrac{2(x-1)}{4}\ge\dfrac{x+3}{4} \Leftrightarrow 2x-2\ge x+3 \Leftrightarrow x\ge5\). \(S=[5,+\infty[\).
Considera a inequação \( -2x+1 < 5 \). Médio
- Resolve a inequação.
- Representa o conjunto-solução na reta real.
- Verifica se \(x=-1\) é solução. Justifica.
1. \(-2x+1<5 \Leftrightarrow -2x<4 \Leftrightarrow x>-2\) (inverte-se o sentido ao dividir por \(-2\)).
2. \(S=\,]-2,+\infty[\). Na reta real: bolinha aberta em \(-2\) e traço contínuo para a direita.
3. Para \(x=-1\): \(-2\cdot(-1)+1=3<5\), verdade. Como \(-1>-2\), efetivamente \(-1\in S\). Logo, é solução.
Numa loja, uma t-shirt custa 12 € e uma camisola 18 €. A Mariana tem 100 € e quer comprar exatamente 3 t-shirts e algumas camisolas. Médio
Quantas camisolas, no máximo, pode comprar? Traduz o problema por uma inequação e resolve.
Seja \(x\) o número de camisolas. O custo total é \(3\times12+18x=36+18x\), que não pode exceder 100 €:
\(36+18x\le100 \Leftrightarrow 18x\le64 \Leftrightarrow x\le\dfrac{64}{18}\approx3{,}55\).
Como \(x\) é um número inteiro não negativo, \(x\le3\).
3. Polinómios e casos notáveis
Operações com polinómios, casos notáveis da multiplicação de binómios e fatorização.
Desenvolve e simplifica, aplicando casos notáveis sempre que possível: Básico
- \( (x+5)^2 \)
- \( (2x-3)^2 \)
- \( (x+4)(x-4) \)
- \( (3a-2b)(3a+2b) \)
1. \((x+5)^2=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=x^2+10x+25\).
2. \((2x-3)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot3+3^2=4x^2-12x+9\).
3. \((x+4)(x-4)=x^2-16\).
4. \((3a-2b)(3a+2b)=9a^2-4b^2\).
Simplifica a expressão: Médio
\[ (x-3)^2 - (x+1)(x-1) + 2x \]
\((x-3)^2=x^2-6x+9\).
\((x+1)(x-1)=x^2-1\).
Substituindo: \(x^2-6x+9-(x^2-1)+2x = x^2-6x+9-x^2+1+2x = -4x+10\).
Fatoriza os seguintes polinómios: Médio
- \( 4x^2-25 \)
- \( x^2+6x+9 \)
- \( 3x^2-12x \)
- \( x^2-10x+25 \)
1. Diferença de quadrados: \(4x^2-25=(2x)^2-5^2=(2x-5)(2x+5)\).
2. Quadrado da soma: \(x^2+6x+9=(x+3)^2\).
3. Colocando \(3x\) em evidência: \(3x^2-12x=3x(x-4)\).
4. Quadrado da diferença: \(x^2-10x+25=(x-5)^2\).
Observa a figura: um retângulo de lados \((x+3)\) e \((x-3)\). Desafio
- Escreve, na forma simplificada (sem parênteses), o polinómio que representa a área do retângulo.
- Sabendo que essa área é igual a 40 \(\text{cm}^2\), determina o valor de \(x\) (\(x>0\)).
1. Área = (largura)(comprimento) = \((x+3)(x-3)=x^2-9\).
2. Resolvendo \(x^2-9=40\): \(x^2=49 \Leftrightarrow x=\pm7\). Como \(x>0\), \(x=7\) cm.
4. Equações do 2.º grau
Lei do anulamento do produto, casos notáveis, completamento do quadrado e problemas.
Resolve, em \(\mathbb{R}\), aplicando a lei do anulamento do produto: Básico
- \( (x-4)(x+2)=0 \)
- \( 2x(x-7)=0 \)
- \( (3x-1)(x+5)=0 \)
Um produto é nulo se e só se algum dos fatores for nulo.
1. \(x-4=0\,\vee\,x+2=0 \Leftrightarrow x=4\,\vee\,x=-2\).
2. \(2x=0\,\vee\,x-7=0 \Leftrightarrow x=0\,\vee\,x=7\).
3. \(3x-1=0\,\vee\,x+5=0 \Leftrightarrow x=\tfrac{1}{3}\,\vee\,x=-5\).
Resolve, em \(\mathbb{R}\), recorrendo a casos notáveis: Médio
- \( x^2-49=0 \)
- \( x^2+8x+16=0 \)
- \( 9x^2-1=0 \)
- \( x^2-6x+9=25 \)
1. \(x^2-49=0 \Leftrightarrow (x-7)(x+7)=0 \Leftrightarrow x=7\,\vee\,x=-7\).
2. \(x^2+8x+16=0 \Leftrightarrow (x+4)^2=0 \Leftrightarrow x=-4\) (raiz dupla).
3. \(9x^2-1=0 \Leftrightarrow (3x-1)(3x+1)=0 \Leftrightarrow x=\tfrac{1}{3}\,\vee\,x=-\tfrac{1}{3}\).
4. \(x^2-6x+9=25 \Leftrightarrow (x-3)^2=25 \Leftrightarrow x-3=\pm5 \Leftrightarrow x=8\,\vee\,x=-2\).
Resolve a seguinte equação, recorrendo ao completamento do quadrado: Desafio
\[ x^2-10x+9=0 \]
Para completar o quadrado, considera-se \(x^2-10x\). O termo a adicionar é \(\left(\tfrac{-10}{2}\right)^2=25\):
\(x^2-10x+25-25+9=0 \Leftrightarrow (x-5)^2-16=0\).
\((x-5)^2=16 \Leftrightarrow x-5=\pm4 \Leftrightarrow x=9\,\vee\,x=1\).
Classifica cada equação em possível determinada, possível indeterminada ou impossível. Justifica. Médio
- \( x^2+4=0 \)
- \( (x-2)^2=0 \)
- \( x^2-9=0 \)
1. \(x^2=-4\) não tem solução em \(\mathbb{R}\) (quadrado não pode ser negativo). Impossível.
2. \((x-2)^2=0 \Leftrightarrow x=2\). Uma única solução. Possível determinada.
3. \(x^2=9 \Leftrightarrow x=\pm3\). Duas soluções distintas. Possível determinada.
Um terreno retangular tem 3 metros a mais de comprimento do que de largura. Sabendo que a área do terreno é de 54 \(\text{m}^2\), determina as suas dimensões. Desafio
Seja \(x\) a largura. O comprimento é \(x+3\). A área traduz-se por:
\(x(x+3)=54 \Leftrightarrow x^2+3x-54=0\).
Completando o quadrado: \(x^2+3x+\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{4}-54=0 \Leftrightarrow \left(x+\tfrac{3}{2}\right)^2=\tfrac{225}{4}\).
\(x+\tfrac{3}{2}=\pm\tfrac{15}{2}\), donde \(x=6\) ou \(x=-9\) (rejeita-se).
Logo, largura \(=6\) m e comprimento \(=9\) m.
5. Funções afim, quadrática e de proporcionalidade inversa
Identificação, expressão algébrica, leitura gráfica e resolução de problemas.
Considera a função afim \(f(x)=-2x+5\). Básico
- Indica o declive e a ordenada na origem.
- Calcula \(f(0)\) e \(f(3)\).
- Determina o zero da função.
1. Declive \(a=-2\); ordenada na origem \(b=5\).
2. \(f(0)=-2\cdot0+5=5\); \(f(3)=-2\cdot3+5=-1\).
3. \(f(x)=0 \Leftrightarrow -2x+5=0 \Leftrightarrow x=\tfrac{5}{2}\).
Observa o gráfico da função afim \(g\). Médio
- Indica o declive e a ordenada na origem.
- Escreve a expressão algébrica de \(g\).
- Verifica se o ponto \(P(4,-2)\) pertence ao gráfico.
1. Ordenada na origem \(b=2\) (interceta o eixo \(Oy\) em 2). Declive: \(a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{0-2}{2-0}=-1\).
2. \(g(x)=-x+2\).
3. \(g(4)=-4+2=-2\). Sim, \(P(4,-2)\) pertence ao gráfico.
Determina a expressão algébrica da função afim \(h\) cujo gráfico passa nos pontos \(A(-1,5)\) e \(B(3,-3)\). Médio
O declive é \(a=\dfrac{-3-5}{3-(-1)}=\dfrac{-8}{4}=-2\).
Substituindo \(A(-1,5)\) em \(y=-2x+b\): \(5=-2(-1)+b \Leftrightarrow 5=2+b \Leftrightarrow b=3\).
Considera a função quadrática \(f(x)=2x^2\). Médio
- Calcula \(f(-2)\), \(f(0)\) e \(f(3)\).
- Indica o vértice da parábola e o seu eixo de simetria.
- A parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo? Justifica.
1. \(f(-2)=2\cdot(-2)^2=8\); \(f(0)=0\); \(f(3)=2\cdot9=18\).
2. O vértice é \(V(0,0)\); o eixo de simetria é \(x=0\) (o eixo \(Oy\)).
3. Como \(a=2>0\), a concavidade está voltada para cima.
Sabe-se que o gráfico de uma função \(f(x)=ax^2\) passa no ponto \(P(-3,18)\). Médio
- Determina o valor de \(a\).
- Indica se \(f(2)\) é positivo ou negativo. Justifica.
1. Como \(P\) pertence ao gráfico: \(18=a\cdot(-3)^2 \Leftrightarrow 18=9a \Leftrightarrow a=2\).
2. \(f(2)=2\cdot4=8>0\). Justifica-se porque \(a>0\) e \(x^2\ge0\).
Duas grandezas \(x\) e \(y\) são inversamente proporcionais. Sabe-se que quando \(x=4\), \(y=15\). Médio
- Determina a constante de proporcionalidade.
- Escreve a expressão algébrica de \(y\) em função de \(x\).
- Calcula o valor de \(y\) quando \(x=6\).
1. Numa proporcionalidade inversa, \(x\cdot y=k\). Logo, \(k=4\times15=60\).
2. \(y=\dfrac{60}{x}\).
3. \(y=\dfrac{60}{6}=10\).
Uma equipa de 8 trabalhadores demora 15 dias a concluir uma obra. Desafio
Admitindo que o tempo gasto é inversamente proporcional ao número de trabalhadores, determina quanto tempo demorariam 12 trabalhadores a concluir a mesma obra (mantendo o ritmo).
Sendo \(t\) o tempo em dias e \(n\) o número de trabalhadores: \(n\cdot t=k\).
\(k=8\times15=120\). Logo, \(t=\dfrac{120}{n}\).
Para \(n=12\): \(t=\dfrac{120}{12}=10\) dias.
6. Ângulos na circunferência e polígonos regulares
Ângulos ao centro, inscritos, tangente à circunferência e polígonos regulares inscritos.
Na figura, está representada uma circunferência de centro \(O\). O arco \(AB\) corresponde a um ângulo ao centro de amplitude \(120^\circ\). Básico
- Indica a amplitude do arco \(AB\).
- Determina a amplitude do ângulo inscrito \(A\hat{C}B\) que tem o mesmo arco associado.
1. A amplitude do arco é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente: arco \(AB=120^\circ\).
2. Um ângulo inscrito tem amplitude igual a metade do ângulo ao centro com o mesmo arco associado: \(A\hat{C}B=\dfrac{120^\circ}{2}=60^\circ\).
Na figura está representada uma circunferência de centro \(O\). A reta \(t\) é tangente à circunferência em \(T\) e \([OT]\) é um raio. Médio
Sabe-se que \(\overline{OT}=5\) cm e \(\overline{OP}=13\) cm, com \(P\) na reta \(t\).
Determina \(\overline{TP}\).
A reta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Logo, o triângulo \([OTP]\) é retângulo em \(T\).
Aplicando o Teorema de Pitágoras: \(\overline{OP}^{\,2}=\overline{OT}^{\,2}+\overline{TP}^{\,2}\).
\(13^2=5^2+\overline{TP}^{\,2} \Leftrightarrow 169=25+\overline{TP}^{\,2} \Leftrightarrow \overline{TP}^{\,2}=144 \Leftrightarrow \overline{TP}=12\) cm.
Um polígono regular está inscrito numa circunferência. Médio
- Sabendo que o polígono tem \(8\) lados, determina a amplitude do ângulo ao centro correspondente a cada lado.
- Determina a amplitude de cada ângulo interno desse polígono.
- Determina a amplitude de cada ângulo externo.
1. Ângulo ao centro \(=\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ\).
2. Soma dos ângulos internos de um polígono de \(n\) lados: \((n-2)\cdot180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ\). Cada ângulo interno: \(\dfrac{1080^\circ}{8}=135^\circ\).
3. Ângulo externo \(=180^\circ-135^\circ=45^\circ\) (ou diretamente, \(\dfrac{360^\circ}{8}\)).
Na figura, os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) pertencem à circunferência de centro \(O\), formando um quadrilátero inscrito. Desafio
Sabe-se que \(D\hat{A}B=80^\circ\) e \(A\hat{B}C=95^\circ\).
Determina \(B\hat{C}D\) e \(A\hat{D}C\).
Num quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos opostos são suplementares (somam \(180^\circ\)).
\(D\hat{A}B+B\hat{C}D=180^\circ \Rightarrow B\hat{C}D=180^\circ-80^\circ=100^\circ\).
\(A\hat{B}C+A\hat{D}C=180^\circ \Rightarrow A\hat{D}C=180^\circ-95^\circ=85^\circ\).
7. Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Seno, cosseno e tangente, resolução de triângulos retângulos e aplicação à resolução de problemas.
Considera o triângulo retângulo \([ABC]\), retângulo em \(B\). Sabe-se que \(\overline{AB}=4\), \(\overline{BC}=3\) e \(\overline{AC}=5\). Básico
- Indica o seno, cosseno e tangente do ângulo \(A\).
- Verifica a relação \(\sin^2A+\cos^2A=1\).
Em relação ao ângulo \(A\): cateto oposto \(=\overline{BC}=3\), cateto adjacente \(=\overline{AB}=4\), hipotenusa \(=\overline{AC}=5\).
\(\sin A=\dfrac{3}{5}\); \(\cos A=\dfrac{4}{5}\); \(\tan A=\dfrac{3}{4}\).
Verificação: \(\left(\tfrac{3}{5}\right)^2+\left(\tfrac{4}{5}\right)^2=\tfrac{9}{25}+\tfrac{16}{25}=\tfrac{25}{25}=1\). ✓
Sabe-se que \(\alpha\) é um ângulo agudo e \(\sin\alpha=\dfrac{5}{13}\). Médio
- Determina \(\cos\alpha\) e \(\tan\alpha\), apresentando-os na forma de fração.
- Indica, sem efetuar cálculos adicionais, o valor de \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\).
1. Pela fórmula fundamental da trigonometria: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
\(\cos^2\alpha=1-\left(\tfrac{5}{13}\right)^2=1-\tfrac{25}{169}=\tfrac{144}{169}\).
Como \(\alpha\) é agudo, \(\cos\alpha>0\): \(\cos\alpha=\dfrac{12}{13}\).
\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{5/13}{12/13}=\dfrac{5}{12}\).
2. Pela mesma fórmula, \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
Uma rampa de acesso tem 6 m de comprimento e faz um ângulo de \(20^\circ\) com o solo. Médio
Determina, com arredondamento às décimas:
- A altura \(h\) atingida pela rampa.
- A distância horizontal \(d\) percorrida.
Considera \(\sin20^\circ\approx0{,}342\) e \(\cos20^\circ\approx0{,}940\).
O triângulo é retângulo. A rampa é a hipotenusa (6 m), \(h\) é o cateto oposto ao ângulo de \(20^\circ\) e \(d\) é o cateto adjacente.
1. \(\sin20^\circ=\dfrac{h}{6} \Rightarrow h=6\sin20^\circ\approx6\times0{,}342\approx2{,}1\) m.
2. \(\cos20^\circ=\dfrac{d}{6} \Rightarrow d=6\cos20^\circ\approx6\times0{,}940\approx5{,}6\) m.
Da janela de um edifício, situada a 18 m do solo, observa-se o cimo de uma árvore segundo um ângulo de depressão de \(35^\circ\). Desafio
Sabendo que a base da árvore está ao nível do solo e a uma distância horizontal de 20 m do edifício, determina:
- A altura aproximada da árvore.
- Verifica que valor obtido é compatível com o ângulo de depressão dado, calculando o ângulo a partir da geometria. Apresenta com arredondamento às unidades.
Usa: \(\tan35^\circ\approx0{,}700\).
1. O ângulo de depressão é igual ao ângulo de elevação do ponto da árvore relativamente à horizontal da janela. Seja \(y\) a diferença de altura entre a janela e o cimo da árvore.
\(\tan35^\circ=\dfrac{y}{20} \Rightarrow y=20\times0{,}700=14\) m.
Como o cimo está abaixo da janela: altura da árvore \(=18-14=4\) m.
2. Com altura 4 m e distância 20 m, a diferença vertical é \(18-4=14\); \(\tan\theta=\tfrac{14}{20}=0{,}7\), donde \(\theta\approx35^\circ\). Consistente.
8. Dados e estatística
Classificação de variáveis, medidas de localização e dispersão, quartis, histogramas e diagramas de extremos e quartis.
Classifica as seguintes variáveis quanto à sua natureza: qualitativa (nominal/ordinal) ou quantitativa (discreta/contínua). Básico
- Cor preferida dos alunos de uma turma.
- Número de irmãos de cada aluno.
- Altura dos alunos, em centímetros.
- Nível de satisfação num inquérito (Mau, Médio, Bom, Excelente).
1. Qualitativa nominal — categorias sem ordem natural.
2. Quantitativa discreta — números inteiros (não há valores intermédios).
3. Quantitativa contínua — pode assumir qualquer valor real no intervalo.
4. Qualitativa ordinal — categorias com ordem hierárquica.
Considera o seguinte conjunto de dados, referentes ao número de livros lidos por 11 alunos no último período: Médio
\[ 2,\ 5,\ 1,\ 3,\ 4,\ 6,\ 2,\ 5,\ 3,\ 4,\ 7 \]
- Calcula a média.
- Determina a mediana e a moda.
- Calcula a amplitude.
- Determina o 1.º quartil (\(Q_1\)) e o 3.º quartil (\(Q_3\)).
- Calcula a amplitude interquartil.
Ordenando os dados: \(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,7\) (11 valores).
1. Média = \(\dfrac{1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+7}{11}=\dfrac{42}{11}\approx3{,}82\).
2. Mediana = valor central (6.º) = \(4\). Moda: \(2,3,4,5\) (cada um aparece duas vezes) — distribuição multimodal.
3. Amplitude = \(7-1=6\).
4. \(Q_1\): mediana dos 5 primeiros \((1,2,2,3,3)\) = \(2\). \(Q_3\): mediana dos 5 últimos \((4,5,5,6,7)\) = \(5\).
5. Amplitude interquartil = \(Q_3-Q_1=5-2=3\).
Considera o diagrama de extremos e quartis das classificações (em valores de 0 a 20) obtidas por uma turma num teste de Matemática. Médio
- Indica o mínimo, máximo, \(Q_1\), mediana e \(Q_3\).
- Calcula a amplitude e a amplitude interquartil.
- Que percentagem mínima de alunos teve classificação igual ou superior à mediana?
1. Mínimo = \(6\); \(Q_1=9\); Mediana = \(12\); \(Q_3=16\); Máximo = \(19\).
2. Amplitude = \(19-6=13\). AIQ = \(16-9=7\).
3. Pela definição de mediana, pelo menos 50% dos dados são \(\ge\) mediana.
O histograma representa as alturas (em cm) de 40 alunos do 9.º ano, agrupadas em classes de amplitude 10. Médio
- Indica a classe modal.
- Determina a percentagem de alunos com altura inferior a 160 cm.
- Identifica a classe que contém a mediana.
1. Classe modal: aquela com maior frequência. \([160,170[\) com \(14\) alunos.
2. Alunos com altura inferior a 160 cm: \(3+7=10\). Percentagem: \(\dfrac{10}{40}=25\%\).
3. A mediana corresponde ao valor que divide os 40 alunos em duas metades de 20. Frequências acumuladas: \(3,10,24,35,39,40\). A mediana cai dentro da classe que acumula até 24, ou seja, \([160,170[\).
Os tempos (em minutos) que 12 atletas demoraram a completar uma prova foram: Desafio
\[ 28,\ 32,\ 35,\ 30,\ 31,\ 36,\ 29,\ 33,\ 34,\ 31,\ 37,\ 30 \]
- Constrói uma tabela de frequências absolutas agrupando os dados em classes de amplitude 3, a iniciar em \([28,31[\).
- Determina a percentagem de atletas com tempo inferior a 34 minutos.
Ordenando: \(28,29,30,30,31,31,32,33,34,35,36,37\).
| Classe | \(f_i\) |
|---|---|
| \([28,31[\) | 4 (28, 29, 30, 30) |
| \([31,34[\) | 4 (31, 31, 32, 33) |
| \([34,37[\) | 3 (34, 35, 36) |
| \([37,40[\) | 1 (37) |
2. Tempo inferior a 34 min: \(4+4=8\) atletas. Percentagem: \(\dfrac{8}{12}\approx66{,}7\%\).
9. Probabilidades
Acontecimentos, operações com acontecimentos, regra de Laplace e união de acontecimentos disjuntos.
Lança-se um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6. Considera os acontecimentos: Básico
\(A\): "sair número par"; \(B\): "sair número múltiplo de 3"; \(C\): "sair número primo".
- Indica os elementos de \(A\), \(B\) e \(C\).
- Calcula \(P(A)\), \(P(B)\) e \(P(C)\).
- Indica \(A\cap B\) e calcula \(P(A\cap B)\).
- Diz, justificando, se \(A\) e \(B\) são disjuntos.
Espaço amostral \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\); \(\#S=6\).
1. \(A=\{2,4,6\}\); \(B=\{3,6\}\); \(C=\{2,3,5\}\).
2. \(P(A)=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}\); \(P(B)=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}\); \(P(C)=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}\).
3. \(A\cap B=\{6\}\); \(P(A\cap B)=\tfrac{1}{6}\).
4. \(A\) e \(B\) não são disjuntos, pois \(A\cap B\neq\varnothing\) (têm o 6 em comum).
Numa urna existem 5 bolas vermelhas, 3 bolas azuis e 4 bolas verdes, indistinguíveis ao tato. Extrai-se aleatoriamente uma bola da urna. Médio
- Determina a probabilidade de a bola ser azul.
- Determina a probabilidade de a bola ser vermelha ou verde.
- Determina a probabilidade do acontecimento contrário a "sair bola azul".
Total de bolas: \(5+3+4=12\).
1. \(P(\text{azul})=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\).
2. \(P(\text{vermelha ou verde})=\dfrac{5+4}{12}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\) (acontecimentos disjuntos: \(P(V\cup G)=P(V)+P(G)\)).
3. O contrário de "sair azul" é "não sair azul": \(P=1-\tfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\).
Num grupo de 30 alunos, 18 jogam futebol, 12 jogam ténis e 5 praticam ambas as modalidades. Médio
Escolhe-se aleatoriamente um aluno do grupo.
- Determina a probabilidade de o aluno jogar futebol ou ténis.
- Determina a probabilidade de o aluno não praticar nenhuma das modalidades.
Praticam futebol e/ou ténis: \(18+12-5=25\) alunos. Não praticam: \(30-25=5\) alunos.
1. \(P(F\cup T)=\dfrac{25}{30}=\dfrac{5}{6}\).
2. \(P(\overline{F\cup T})=\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}\).
Lança-se duas vezes consecutivas uma moeda equilibrada (faces "Cara" - C e "Coroa" - K). Médio
- Constrói o diagrama em árvore de todos os resultados possíveis.
- Determina a probabilidade de obter exatamente uma "Cara".
- Determina a probabilidade de obter pelo menos uma "Cara".
O espaço amostral é \(S=\{(C,C),(C,K),(K,C),(K,K)\}\), com 4 casos equiprováveis.
2. Exatamente uma "Cara": \(\{(C,K),(K,C)\}\), 2 casos favoráveis. \(P=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\).
3. Pelo menos uma "Cara": complementar de "sem nenhuma Cara" = \(\{(K,K)\}\). \(P=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\).
Numa caixa estão 20 bombons numerados de 1 a 20, todos com a mesma probabilidade de serem extraídos. Desafio
Determina a probabilidade de o número do bombom extraído ser:
- Múltiplo de 5.
- Divisor de 12.
- Múltiplo de 5 ou divisor de 12.
- Apresenta cada resultado na forma de fração irredutível.
Espaço amostral: \(\#S=20\).
Múltiplos de 5 (entre 1 e 20): \(\{5,10,15,20\}\), 4 elementos. \(P(M)=\tfrac{4}{20}=\tfrac{1}{5}\).
Divisores de 12 (entre 1 e 20): \(\{1,2,3,4,6,12\}\), 6 elementos. \(P(D)=\tfrac{6}{20}=\tfrac{3}{10}\).
Acontecimentos disjuntos (sem elementos em comum): \(P(M\cup D)=P(M)+P(D)=\tfrac{1}{5}+\tfrac{3}{10}=\tfrac{2}{10}+\tfrac{3}{10}=\tfrac{5}{10}=\tfrac{1}{2}\).