📌 Resumo teórico
Translação
A translação de vetor \(\vec u\), \(T_{\vec u}\), desloca cada ponto \(P\) para \(P'=P+\vec u\): \(\overrightarrow{PP'}=\vec u\). Todos os pontos se deslocam na mesma direção, no mesmo sentido e a mesma distância.
- é uma isometria: a figura e a imagem são geometricamente iguais;
- conserva a direção dos segmentos (a imagem de um segmento é um segmento paralelo e igual) e a orientação da figura;
- numa quadrícula, desloca-se cada vértice o número de quadrículas indicado pelo vetor.
Adição de vetores
| Regra | Como se faz |
|---|---|
| Do triângulo | coloca-se a origem de \(\vec v\) na extremidade de \(\vec u\): \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) |
| Do paralelogramo | com a mesma origem, o vetor soma é a diagonal: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\) |
\(\vec u+\vec 0=\vec u\); \(\ \vec u+(-\vec u)=\vec 0\); a adição é comutativa e associativa.
Composição de translações
Aplicar \(T_{\vec u}\) e depois \(T_{\vec v}\) é o mesmo que aplicar a translação de vetor \(\vec u+\vec v\): \(T_{\vec v}\circ T_{\vec u}=T_{\vec u+\vec v}\).
Produto de um vetor por um número: \(2\vec u\) tem a direção e o sentido de \(\vec u\) e o dobro do comprimento; \(-\vec u\) é o simétrico.
1. Vetores simétricos
Considera \(A\) e \(B\) pontos distintos. Seleciona a afirmação falsa.
Os vetores \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{BA}\) têm a mesma direção e o mesmo comprimento, mas sentidos opostos. Por isso, são simétricos e a sua soma é o vetor nulo.
2. Translação entre dois triângulos
Qual é o vetor que permite passar da figura 1 para a figura 2 através de uma translação? Escolhe a opção correta.
Na translação, \(A\) corresponde a \(F\), \(B\) corresponde a \(D\) e \(C\) corresponde a \(E\). Assim,
3. Translações no dia a dia
Quais dos objetos seguintes efetuam translações? Justifica as tuas respostas.
A. O elevador de um prédio.
B. Um CD no interior de um leitor.
C. Um móvel empurrado ao longo de uma parede.
| A. | Sim. A cabina desloca-se verticalmente sem alterar a sua orientação. |
|---|---|
| B. | Não. Durante a leitura, o CD roda em torno do seu centro; trata-se de uma rotação. |
| C. | Sim, se o móvel mantiver a orientação enquanto é deslocado paralelamente à parede. |
4. Translações de uma figura na quadrícula
Depois de reproduzires a figura, desenha a sua imagem através de uma translação:
a) de 7 unidades para baixo;
b) de 5 unidades para cima e 4 para a esquerda;
c) que leve o ponto \(A\) até à posição ocupada pelo ponto \(B\);
d) que leve o ponto \(A\) até ao ponto \(C\).
| a) | Desloca cada vértice 7 quadrículas para baixo: vetor \((0,-7)\). |
|---|---|
| b) | Desloca cada vértice 4 quadrículas para a esquerda e 5 para cima: vetor \((-4,5)\). |
| c) | Usa \(\overrightarrow{AB}\): 2 quadrículas para a direita e 6 para cima, isto é, \((2,6)\). |
| d) | Usa \(\overrightarrow{AC}\): 6 quadrículas para a direita e 1 para cima, isto é, \((6,1)\). |
5. Triângulo e vetores de translação
Reproduz o triângulo \([ABC]\) numa página quadriculada. Depois, desenha a imagem desse triângulo através de uma translação associada ao vetor:
a) \(\overrightarrow{BC}\)
b) \(\overrightarrow{CB}\)
c) \(\vec v\)
| a) | \(\overrightarrow{BC}=(4,0)\): desloca todos os vértices 4 quadrículas para a direita. |
|---|---|
| b) | \(\overrightarrow{CB}=(-4,0)\): desloca todos os vértices 4 quadrículas para a esquerda. |
| c) | \(\vec v=(2,-3)\): desloca todos os vértices 2 quadrículas para a direita e 3 para baixo. |
6. Operações com pontos e vetores
Desenha um vetor com 3 unidades de comprimento e direção vertical, sentido de cima para baixo. Designa a origem por \(A\) e a extremidade por \(B\). Indica o ponto:
a) \(A+\left(-\overrightarrow{BA}\right)\)
b) \(B+\overrightarrow{BA}\)
c) \(T_{\vec 0}(A)\)
d) \(T_{-\overrightarrow{AB}}(B)\)
| a) | \(-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}\), logo \(A+\overrightarrow{AB}=B\). |
|---|---|
| b) | \(B+\overrightarrow{BA}=A\). |
| c) | A translação de vetor nulo não altera o ponto: \(T_{\vec 0}(A)=A\). |
| d) | \(-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\), logo \(T_{-\overrightarrow{AB}}(B)=A\). |
7. Composição de quatro translações
Copia os quatro vetores e o ponto \(P\) para uma folha quadriculada.
7.1. Desenha as imagens do ponto \(P\) pelas translações de vetores \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) e \(\vec d\), respetivamente. Que figura obtiveste com os quatro pontos imagem?
7.2. Desenha sucessivamente:
a) \(P_1=P+\vec a\)
b) \(P_2=P_1+\vec b\)
c) \(P_3=T_{\vec c}(P_2)\)
d) \(P_4=T_{\vec d}(P_3)\)
7.2.1. Qual é a relação entre os pontos \(P_4\) e \(P\)?
Tomando como positivas as direções para a direita e para cima:
7.1. Os quatro pontos imagem ficam dois acima e dois abaixo de \(P\), simetricamente colocados, e formam os vértices de um retângulo.
7.2. O deslocamento total é:
8. Divisão de um segmento em três partes
Considera um segmento de reta \([AB]\) e dois vetores \(\vec u\) e \(\vec v\) colineares com o vetor \(\overrightarrow{AB}\).
O que podes dizer sobre os vetores \(\vec u\) e \(\vec v\), sabendo que os pontos \(C=A+\vec u\) e \(D=T_{\vec v}(B)\) dividem o segmento de reta \([AB]\) em três partes iguais?
Os pontos \(C\) e \(D\) são os dois pontos de trissecção de \([AB]\). Os deslocamentos de \(A\) até \(C\) e de \(B\) até \(D\) têm o mesmo comprimento e sentidos opostos. Assim,
9. Composição de translações
Considera o polígono \([ABCDE]\).
9.1. Reproduz a figura e desenha a sua imagem através da aplicação:
a) \(T_{\vec u}\)
b) \(T_{\vec v}\)
c) \(T_{\vec v}\circ T_{\vec u}\)
9.2. Representa um vetor \(\vec w\) cuja imagem do polígono pela translação de vetor \(\vec w\) seja a última imagem construída. Que relação existe entre os vetores \(\vec u\), \(\vec v\) e \(\vec w\)?
Na quadrícula, \(\vec u\) corresponde a 7 unidades para a direita e \(\vec v\) a 7 unidades para baixo:
| 9.1 a) | Desloca todos os vértices 7 quadrículas para a direita. |
|---|---|
| 9.1 b) | Desloca todos os vértices 7 quadrículas para baixo. |
| 9.1 c) | Desloca todos os vértices 7 quadrículas para a direita e 7 para baixo. |
10. Adição de vetores na quadrícula
Representa o vetor soma \(\vec u+\vec v\) em cada um dos casos seguintes.
Usa-se o par \((\text{deslocamento horizontal},\text{deslocamento vertical})\), considerando positivas as direções para a direita e para cima.
11. Cálculo vetorial num paralelogramo
Considera o paralelogramo \([ADLI]\), formado por seis paralelogramos geometricamente iguais. Completa:
a) \(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}=\ldots\)
b) \(\overrightarrow{JF}+\overrightarrow{FB}=\ldots\)
c) \(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}=\ldots\)
d) \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{JL}=\ldots\)
e) \(\overrightarrow{JK}+\overrightarrow{KJ}=\ldots\)
f) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{JK}=\ldots\)
g) \(\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{HD}=\ldots\)
h) \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DL}=\ldots\)
i) \(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CK}=\ldots\)
j) \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{LJ}=\ldots\)
k) \(T_{\overrightarrow{CA}}\circ T_{\ldots}(F)=F\)
l) \(T_{\overrightarrow{JK}}\circ T_{\overrightarrow{FC}}(E)=\ldots\)
m) \(T_{\ldots}\circ T_{\overrightarrow{JD}}(I)=H\)
n) \(T_{\overrightarrow{EH}}\circ T_{\overrightarrow{LB}}(\ldots)=D\)
| a) | \(\overrightarrow{EG}\) |
|---|---|
| b) | \(\overrightarrow{JB}\) |
| c) | \(\overrightarrow{DA}\) |
| d) | \(\overrightarrow{IC}\) |
| e) | \(\vec 0\) |
| f) | \(\overrightarrow{AC}\) |
| g) | \(\overrightarrow{IF}\) |
| h) | \(\overrightarrow{CI}\) |
| i) | \(\overrightarrow{AE}\) |
| j) | \(\overrightarrow{AB}\) |
| k) | \(\overrightarrow{AC}\), pois \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec 0\). |
| l) | \(C\) |
| m) | \(\overrightarrow{CH}\) |
| n) | \(K\) |