Segmentos orientados e vetores | Matemática

📌 Resumo teórico

Segmento orientado

Um segmento orientado \([A,B]\) tem origem \(A\) e extremidade \(B\). Caracteriza-se por:

direção: a da reta que o contém (segmentos em retas paralelas têm a mesma direção);
sentido: de \(A\) para \(B\) (só se comparam sentidos de segmentos com a mesma direção);
comprimento: a distância entre \(A\) e \(B\).

Segmentos orientados equipolentes têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Vetor

Um vetor \(\overrightarrow{AB}\) representa todos os segmentos orientados equipolentes a \([A,B]\). Assim, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) quando os segmentos têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

num paralelogramo \([ABCD]\): \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) e \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\);
vetores simétricos: mesma direção e comprimento, sentidos opostos: \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\);
vetor nulo \(\vec 0=\overrightarrow{AA}\).

Para contar vetores diferentes numa figura, agrupam-se os segmentos orientados equipolentes: cada grupo corresponde a um só vetor.

1. Movimentos e segmentos orientados

Em que situação não ocorre um movimento que se possa representar por um segmento orientado?

Escolhe a opção correta.

A. Um comboio em movimento na reta de chegada a uma estação.

B. Um carro de montanha-russa descrevendo um looping (inversão contínua que forma uma volta vertical completa de \(360^\circ\)).

C. O percurso de um atleta numa prova de \(100\) metros.

D. Um elevador a descer na vertical entre o \(10.^\circ\) andar e o \(1.^\circ\) andar.

Um segmento orientado representa um movimento retilíneo, identificando a origem, a extremidade, a direção, o sentido e o comprimento.

O percurso do carro da montanha-russa durante um looping é curvo e a direção varia continuamente, pelo que não pode ser representado por um único segmento orientado.

Resposta correta: B.

2. Direção, sentido, origem e extremidade

Considera a figura seguinte.

Segmentos que unem os pontos A, B, C, D, E e F numa quadrícula

2.1. Indica dois segmentos orientados com:

a) a mesma direção, mas comprimentos diferentes;

b) a mesma direção, mas sentidos opostos;

c) a mesma origem, mas direções diferentes;

d) a mesma extremidade, mas direções diferentes.

2.2. Indica dois vetores diferentes com:

a) a mesma direção;

b) o mesmo comprimento.

Apresentam-se exemplos possíveis. Nalgumas alíneas existem outras respostas corretas.

2.1 a)	\(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{DC}\): são horizontais e têm comprimentos diferentes.
2.1 b)	\(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{CD}\): têm a mesma direção e sentidos opostos.
2.1 c)	\(\overrightarrow{FA}\) e \(\overrightarrow{FE}\): têm origem em \(F\) e direções diferentes.
2.1 d)	\(\overrightarrow{AF}\) e \(\overrightarrow{EF}\): têm extremidade em \(F\) e direções diferentes.
2.2 a)	\(\vec{AB}\) e \(\vec{DC}\): têm a mesma direção, mas comprimentos diferentes, logo são vetores diferentes.
2.2 b)	\(\vec{AB}\) e \(\vec{BA}\): têm o mesmo comprimento, mas sentidos opostos.

3. Vetores num retângulo

Na figura, o quadrilátero \([ABCD]\) é um retângulo.

Retângulo ABCD com as duas diagonais traçadas

3.1. Os vetores \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{CD}\) têm a mesma direção?

3.2. Indica:

a) um vetor com o mesmo sentido de \(\overrightarrow{AD}\);

b) dois vetores com o mesmo comprimento de \(\overrightarrow{AC}\), mas com uma direção diferente;

c) um vetor igual a \(\overrightarrow{AB}\).

3.1. Sim. Os lados \([AB]\) e \([CD]\) são paralelos, logo os vetores têm a mesma direção. Têm, contudo, sentidos opostos.

3.2 a)	\(\overrightarrow{BC}\), pois tem sentido de cima para baixo, como \(\overrightarrow{AD}\).
3.2 b)	\(\overrightarrow{BD}\) e \(\overrightarrow{DB}\). As diagonais de um retângulo têm o mesmo comprimento, isto é, \(\lvert AC\rvert=\lvert BD\rvert\), e as suas direções são diferentes.
3.2 c)	\(\overrightarrow{DC}\), pois tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento de \(\overrightarrow{AB}\).

4. Vetores em dois losangos

Na figura estão representados dois losangos, \([ABCD]\) e \([EDFG]\), geometricamente iguais. Os pontos \(A\), \(D\) e \(F\) estão alinhados, bem como os pontos \(C\), \(D\) e \(E\).

Dois losangos iguais ABCD e EDFG representados numa quadrícula

Indica todos os vetores:

a) com a mesma origem que \(\overrightarrow{DA}\);

b) com a mesma direção que \(\overrightarrow{DA}\);

c) iguais a \(\overrightarrow{DA}\).

a)	\(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{DB}\), \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{DE}\), \(\overrightarrow{DF}\) e \(\overrightarrow{DG}\).
b)	\(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{DF}\), \(\overrightarrow{FD}\), \(\overrightarrow{AF}\), \(\overrightarrow{FA}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{EG}\) e \(\overrightarrow{GE}\).
c)	\(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{FD}\) e \(\overrightarrow{GE}\).

Vetores iguais têm simultaneamente a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

5. Vetores num hexágono regular

Quantos vetores diferentes se podem traçar unindo dois vértices de um hexágono regular?

Os vetores podem ser agrupados segundo o respetivo comprimento:

\[ \underbrace{6}_{\text{comprimento do lado}} + \underbrace{6}_{\text{diagonal menor}} + \underbrace{6}_{\text{diagonal maior}} =18 \]

Em cada comprimento existem seis vetores distintos, correspondentes às diferentes direções e sentidos possíveis no hexágono.

Podem traçar-se 18 vetores diferentes.