1.
Propriedades das isometrias
Seleciona a afirmação falsa.
Resposta: D.
Uma reflexão conserva comprimentos e amplitudes, mas inverte a orientação. Portanto, o ângulo imagem não mantém o mesmo sentido.
Escolhas múltiplas
2.
Ponto obtido por translação
No referencial estão representados os pontos \(A\), \(B\) e \(C\). Seja \(D=C+\overrightarrow{AB}\). Quais são as coordenadas de \(D\)?
\[
\overrightarrow{AB}=(2-(-1),\,3-2)=(3,1)
\]
\[
D=C+\overrightarrow{AB}=(3,1)+(3,1)=(6,2)
\]
Resposta: A — \(D=(6,2)\).
3.
Vetores em hexágonos regulares
Observa a figura composta por hexágonos regulares congruentes e considera as afirmações:
I. \(\overrightarrow{HI}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HC}\)
II. \(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{MD}\)
III. \(\overrightarrow{JK}+\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{PT}\)
IV. \(T_{\overrightarrow{HJ}}([ABJIHG])=[CLMKJB]\)
| I | Falsa. |
|---|---|
| II | Verdadeira. |
| III | Falsa. |
| IV | Verdadeira. |
Resposta: B.
4.
Motivo gerador de um friso
Qual dos motivos apresentados não permite obter o friso por repetição?
Resposta: B.
O motivo B, isoladamente, não contém a informação geométrica necessária para reproduzir todas as interseções do friso.
5.
Isometria entre triângulos
O triângulo \([ARC]\) foi dividido em nove triângulos retângulos geometricamente iguais. Completa corretamente:
«O triângulo \([EFG]\) é a imagem do triângulo \([OHG]\)…»
A rotação de \(180^\circ\) em torno de \(G\) envia \(O\) em \(E\), \(H\) em \(F\) e mantém \(G\).
Resposta: C.
6.
Isometria entre trapézios
Qual das isometrias transforma o trapézio \([AIFB]\) no trapézio \([DJKH]\)?
Resposta: D.
A reflexão no eixo \(EH\), seguida da translação de vetor \(\overrightarrow{IK}\), faz corresponder os vértices de \([AIFB]\) aos de \([DJKH]\).
7.
Composição de translações
Qual é o ponto que resulta de \(T_{\overrightarrow{CE}}\circ T_{\overrightarrow{EW}}(C)\)?
A composição é uma translação cujo vetor é a soma dos dois vetores indicados. Aplicando-a a \(C\), chega-se a \(W\).
Resposta: D — \(W\).
8.
Soma de dois vetores
Na figura do exercício anterior, o vetor soma correspondente a \(\overrightarrow{UW}+\overrightarrow{UL}\) é:
Transportando um dos vetores para aplicar a regra do triângulo ou do paralelogramo, obtém-se um vetor equipolente a \(\overrightarrow{CS}\).
Resposta: C — \(\overrightarrow{CS}\).
9.
Direção, sentido e comprimento
Observa a figura e seleciona a afirmação falsa.
Resposta: C.
Os vetores \(\overrightarrow{TK}\) e \(\overrightarrow{IV}\) são paralelos, mas apontam em sentidos opostos.
10.
Transformação de F1 em F2
Qual das isometrias transforma F1 em F2?
Resposta: D.
A reflexão no eixo \(NS\) inverte verticalmente F1 e a translação de vetor \(\overrightarrow{LJ}\) coloca a imagem na posição de F2.
Questões de desenvolvimento
11.
Transformar uma figura por isometrias
Descreve uma isometria que permita transformar a figura 1 em cada uma das figuras de 2 a 9.
| Figura | Uma transformação possível |
|---|---|
| 2 | Reflexão no eixo vertical que passa pelo vértice comum às figuras 1 e 2. |
| 3 | Translação de 9 quadrículas para a esquerda e 2 para cima. |
| 4 | Rotação de \(180^\circ\), com centro no vértice comum às figuras 1 e 4. |
| 5 | Reflexão no eixo vertical situado a meia distância entre as figuras 1 e 5. |
| 6 | Reflexão no eixo horizontal comum às duas figuras. |
| 7 | Reflexão deslizante: reflexão no mesmo eixo horizontal usado para obter a figura 6 e translação de 8 quadrículas para a esquerda. |
| 8 | Translação de 13 quadrículas para a direita e 2 para baixo. |
| 9 | Reflexão deslizante: reflexão no eixo horizontal que contém o lado superior da figura 1 e translação de 14 quadrículas para a direita. |
Outras descrições equivalentes são válidas quando produzem exatamente a mesma imagem.
12.
Construir reflexões deslizantes
Copia cada figura e constrói a respetiva imagem pela reflexão deslizante de eixo \(r\) e vetor \(\vec v\).
a)
b)
c)
Para cada vértice \(P\), aplica-se a composição
\[
P'=T_{\vec v}\bigl(S_r(P)\bigr),
\]
onde \(S_r\) é a reflexão de eixo \(r\). Assim:
| a) | Reflete a figura no eixo vertical \(r\) e desloca a imagem para cima segundo \(\vec v\). |
|---|---|
| b) | Reflete a figura no eixo horizontal \(r\) e desloca a imagem para a esquerda segundo \(\vec v\). |
| c) | Reflete a figura no eixo diagonal \(r\) e desloca a imagem, paralelamente a \(r\), no sentido e comprimento de \(\vec v\). |
Se necessário, prolonga a quadrícula para representar toda a figura imagem.
13.
Simetrias de frisos
Descobre as simetrias de cada friso.
a)
b)
c)
d)
| a) | Translações e reflexões em eixos verticais. |
|---|---|
| b) | Translações, rotações de \(180^\circ\) e reflexões deslizantes de eixo horizontal. |
| c) | Translações, rotações de \(180^\circ\) e reflexões deslizantes de eixo horizontal. |
| d) | Translações, rotações de \(180^\circ\) e reflexões deslizantes de eixo horizontal. |
14.
Composição de isometrias
Classifica as afirmações como verdadeiras ou falsas e justifica.
A. A composição de uma rotação, de centro \(O\) e amplitude \(+120^\circ\), com outra rotação, com o mesmo centro e amplitude \(+240^\circ\), é a transformação identidade.
B. Fazer uma reflexão de uma figura seguida de outra reflexão com eixos estritamente paralelos é o mesmo que fazer uma rotação de \(180^\circ\).
A — Verdadeira. As amplitudes somam \(120^\circ+240^\circ=360^\circ\); uma volta completa corresponde à identidade.
B — Falsa. A composição de reflexões em dois eixos paralelos distintos é uma translação perpendicular aos eixos, com comprimento igual ao dobro da distância entre eles.
15.
Igualdades vetoriais
Usa a figura dos dois trapézios e completa as igualdades.
a) \(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DL}=\overrightarrow{J\,\ldots}\)
b) \(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{O\,\ldots}\)
c) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{A\,\ldots}\)
d) \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{\ldots C}=\overrightarrow{HK}\)
| a) | \(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DL}=\overrightarrow{JL}\) |
|---|---|
| b) | \(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OP}\) |
| c) | \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AJ}\) |
| d) | \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HK}\) |
16.
Eixo e vetor de uma reflexão deslizante
A isometria que transforma o hexágono \([ABCDEF]\) no hexágono \([JPONMF]\) é uma reflexão deslizante. Indica o eixo de reflexão e o vetor de translação.
Eixo de reflexão: reta \(BO\).
Vetor de translação: \(\overrightarrow{GT}\).
17.
Composição e soma de vetores
Usa a figura com os motivos F1 e F2.
a) Determina \(T_{\overrightarrow{CE}}\circ T_{\overrightarrow{FV}}(B)\).
b) Determina \(\overrightarrow{XW}+\overrightarrow{UL}\).
a)
\[
\begin{aligned}
T_{\overrightarrow{CE}}\circ T_{\overrightarrow{FV}}(B)
&=T_{\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{FV}}(B)\\
&=T_{\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DT}}(B)\\
&=T_{\overrightarrow{BT}}(B)=T.
\end{aligned}
\]
b) Como \(\overrightarrow{UL}=\overrightarrow{WJ}\),
\[
\overrightarrow{XW}+\overrightarrow{UL}
=\overrightarrow{XW}+\overrightarrow{WJ}
=\overrightarrow{XJ}.
\]
18.
Simetrias em azulejos e frisos
Indica, para cada padrão, se existem simetrias de rotação — referindo a rotação mínima —, de reflexão, de translação ou de reflexão deslizante.
a)
b)
c)
d)
| a) | Translações, reflexões e rotações de \(180^\circ\). |
|---|---|
| b) | Translações, reflexões e reflexões deslizantes. |
| c) | Translações, reflexões e reflexões deslizantes. |
| d) | Apenas translações. |
19.
Operações na malha quadrangular
Na figura está representado um retângulo dividido em 15 quadrados congruentes. Usa as letras da figura.
19.1. Indica dois vetores com direções diferentes, mas com o mesmo comprimento.
19.2. Completa:
a) \(U+\overrightarrow{NI}=\ldots\)
b) \(R+\ldots=O\)
c) \(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{SO}=\ldots\)
d) \(-\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{FR}=\ldots\)
e) \(T_{\overrightarrow{MK}}(H)=\ldots\)
f) \(T_{\overrightarrow{OJ}}([NU])=\ldots\)
g) \(T_{-\overrightarrow{UN}+\overrightarrow{GB}}(C)=\ldots\)
h) \((T_{\overrightarrow{WX}}\circ T_{\overrightarrow{VH}})(U)=\ldots\)
19.3. Identifica a imagem do quadrado \([UVPO]\) pela translação de vetor \(\overrightarrow{LD}\).
19.4. Identifica a imagem do triângulo \([TUN]\) pela reflexão deslizante de eixo \(DV\) e vetor \(2\overrightarrow{SM}\).
19.1. Por exemplo, \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{AG}\): têm o comprimento do lado de um quadrado, mas direções diferentes.
19.2.
| a) | \(U+\overrightarrow{NI}=U+\overrightarrow{UP}=P\) |
|---|---|
| b) | \(R+\overrightarrow{RO}=O\) |
| c) | \(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{SO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{AK}\) |
| d) | \(-\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{FR}=\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{JO}\) |
| e) | \(T_{\overrightarrow{MK}}(H)=F\) |
| f) | \(T_{\overrightarrow{OJ}}([NU])=[IP]\) |
| g) | \(T_{-\overrightarrow{UN}+\overrightarrow{GB}}(C)=E\) |
| h) | \((T_{\overrightarrow{WX}}\circ T_{\overrightarrow{VH}})(U)=H\) |
19.3. A imagem é o quadrado \([MNGH]\).
19.4. A imagem é o triângulo \([KLF]\).
