Probabilidade

Numa experiência aleatória não é possível prever o resultado antes de a realizar. Na opção [D], a caixa só tem berlindes azuis, pelo que já sabemos que vai sair um berlinde azul antes de se realizar a experiência.

2.1 \(E=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8\}\)

2.2 Por exemplo:

2.3 Os números primos menores que 7 são 2, 3 e 5. Resultados favoráveis: 2, 3 e 5.

O espaço de resultados é \(E=\{1,2,3,4,5,6\}\). Os acontecimentos são:

Cada um deles tem mais do que um resultado (é composto) mas nenhum tem os seis resultados (nenhum é certo). Em particular, \(C=\{2,4\}\) é composto, mas não certo.

4.1 Sim, porque não é possível prever o resultado que se obtém, mesmo quando é repetida exatamente nas mesmas condições.

4.2 Por exemplo:

O espaço de resultados é \(E=\{1,2,3,\ldots,20\}\).

6.1 O espaço de resultados é \(E=\{1,2,3,4,5\}\).

6.2 Como o pião tem 5 setores iguais, cada face tem probabilidade \(\frac{1}{5}\):

O dado tem 6 faces: o número 1 aparece 2 vezes, o número 2 aparece 3 vezes e o número 4 aparece 1 vez. As faces do dado são igualmente prováveis, por isso:

Afirmação falsa. Como a moeda é equilibrada, a probabilidade de sair face nacional ou face europeia é a mesma \(\left(\frac{1}{2}\right)\). Os lançamentos são independentes, pelo que os resultados anteriores não influenciam o próximo.

9.1 Há 20 resultados igualmente possíveis.

9.2 Cada bola tem a mesma probabilidade de sair, logo \(P(13)=\dfrac{1}{20}\). Quando se repete uma experiência aleatória um número elevado de vezes, a frequência relativa de um acontecimento tende a estabilizar num valor próximo da sua probabilidade. Assim, em 500 repetições espera-se que a bola 13 saia:

Todas as faces têm igual probabilidade de sair e os lançamentos são independentes: o que saiu nos lançamentos anteriores não influencia o próximo.

Há 4 faces com número par (2, 4, 6, 8) e 4 faces com número ímpar (1, 3, 5, 7), pelo que

É tão provável sair um número par como um número ímpar.

Calcula-se a frequência relativa (número de vezes que saiu 1 ÷ número de tiragens):

À medida que o número de tiragens aumenta, a frequência relativa estabiliza próximo de \(0{,}5\). Logo, estima-se que \(P(\text{sair }1)=\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\).

A frequência relativa do número 10 estabiliza próximo de \(0{,}44\):

Logo, \(P(\text{cartão }10)\approx0{,}44\), pelo que o número de cartões com o 10 é \(0{,}44\times200=88\).

Os restantes \(200-88=112\) cartões têm o número 20 ou o número 30, em quantidades iguais:

13.1 É aleatória, porque não é possível prever, antes de a realizar, qual a cor da ficha que vai sair (as fichas são indistinguíveis ao tato).

13.2 O espaço de resultados tem 4 cores: {amarela, verde, azul, branca}.

14.1 Por exemplo:

14.2

14.3

14.4 A ficha introduzida tem de ser, ao mesmo tempo: divisor de 100 (para os divisores de 100 passarem de 6 para 7), múltiplo de 5 (para os múltiplos de 5 passarem de 4 para 5) e não múltiplo de 10 (para os múltiplos de 10 se manterem 2). O único número nessas condições que ainda não está na caixa é o 25.

As outras duas bolas têm números de {1, 2, 6, 9} (inteiros de 1 a 9, diferentes dos já conhecidos).

15.1

15.2 Com as bolas 1 e 9, o saco tem {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9}. São azuis (ímpares) 1, 3, 5, 7, 9 e verdes (pares) 4 e 8.

16.1 Os 4 números são igualmente prováveis:

16.2.1 Há 16 resultados igualmente possíveis.

16.2.2

16.2.3 Por exemplo:

17.1 A soma de todas as probabilidades é 1:

A probabilidade de sair uma bola verde é \(0{,}2\).

17.2 As 8 bolas brancas correspondem a uma probabilidade de \(0{,}4\). O número total de bolas é:

Assim: azuis \(=0{,}4\times20=8\) e verdes \(=0{,}2\times20=4\).

18.1 A soma das probabilidades é 1:

A probabilidade de sair uma bola verde é \(3a=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).

18.2 As 8 bolas brancas correspondem a \(a=\dfrac{1}{6}\). O número total de bolas é:

Assim: azuis \(=2a\times48=\dfrac{1}{3}\times48=16\) e verdes \(=3a\times48=\dfrac{1}{2}\times48=24\).

O dado tem as faces 0, 0, 1, 1, −1 e −1. Em cada lançamento, \(P(0)=P(1)=P(-1)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\). Os produtos possíveis são apenas −1, 0 e 1.

19.1

19.2 Falsa. O produto é zero sempre que pelo menos um dos lançamentos dá 0:

Como \(\tfrac{5}{9}\neq\tfrac{4}{9}\), não é tão provável o produto ser zero como não o ser (é mais provável ser zero).

Dado branco: −1, 0, 1, 2. Dado preto: −2, −1, 0, 1. Há \(4\times4=16\) resultados igualmente possíveis. Os produtos são:

Contando quantas vezes aparece cada produto obtém-se a tabela de probabilidade:

(A soma das probabilidades é \(\frac{1+2+2+7+2+2}{16}=\frac{16}{16}=1\).)

Escolher 2 nomes entre os 5, sem ordem, dá 10 pares possíveis igualmente prováveis:

{Ana, Miguel}, {Ana, Flávio}, {Ana, Iara}, {Ana, Clara}, {Miguel, Flávio}, {Miguel, Iara}, {Miguel, Clara}, {Flávio, Iara}, {Flávio, Clara}, {Iara, Clara}.