Raízes Quadradas e Cúbicas

Quadrados e cubos perfeitos, cálculo de raízes e resolução de problemas geométricos

📌 Resumo teórico

Raiz quadrada

Para \(a\ge 0\), \(\sqrt{a}\) é o número não negativo cujo quadrado é \(a\): \(\sqrt{25}=5\). Números negativos não têm raiz quadrada (em \(\mathbb{R}\)).

\[ \left(\sqrt{a}\right)^{2}=a\qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\qquad \sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\qquad (a,b\ge 0,\ b\ne 0 \text{ no quociente}) \]

Quadrados perfeitos: \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,\ldots\) Se \(a\) não é quadrado perfeito (de um inteiro ou fração), \(\sqrt{a}\) é irracional. Num quadrado de área \(A\), o lado mede \(\sqrt{A}\).

Raiz cúbica

\(\sqrt[3]{a}\) é o número cujo cubo é \(a\); existe para qualquer número real e tem o sinal de \(a\): \(\sqrt[3]{27}=3\), \(\sqrt[3]{-8}=-2\).

\[ \left(\sqrt[3]{a}\right)^{3}=a\qquad \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} \]

Cubos perfeitos: \(1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000,\ldots\) Num cubo de volume \(V\), a aresta mede \(\sqrt[3]{V}\).

Relações entre áreas e volumes

Se a área de um quadrado fica multiplicada por \(k\), o lado fica multiplicado por \(\sqrt{k}\); se o volume de um cubo fica multiplicado por \(k\), a aresta fica multiplicada por \(\sqrt[3]{k}\).