📌 Resumo teórico
Frações decimais e dízimas
- fração decimal: denominador é uma potência de \(10\) (\(\frac{3}{100}\));
- uma fração irredutível dá uma dízima finita se o denominador só tiver os fatores primos \(2\) e/ou \(5\); caso contrário, dá uma dízima infinita periódica;
- no algoritmo da divisão, o período é o grupo de algarismos que se repete (\(\frac{15}{7}=2,(142857)\), período com 6 algarismos).
Dízima periódica em fração
Exemplo: \(x=3,8(3)\). Multiplica-se por potências de \(10\) de modo a alinhar o período e subtrai-se:
\[ 100x=383{,}(3),\quad 10x=38{,}(3)\ \Rightarrow\ 90x=345\ \Rightarrow\ x=\frac{345}{90}=\frac{23}{6} \]
Algarismo de ordem \(n\)
Para saber o algarismo numa posição da parte periódica, divide-se o número da posição (contada a partir do início do período) pelo comprimento do período e usa-se o resto.
Números irracionais e reais
Os irracionais têm dízima infinita não periódica (\(\sqrt2\), \(\pi\)). Racionais e irracionais formam os números reais: \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\). Cada ponto da reta numérica corresponde a um número real; \(\sqrt{2}\) marca-se com a diagonal de um quadrado de lado \(1\) e um arco de circunferência.