Planificações e volumes de cilindros | Matemática

1.

Planificações de um cilindro reto

A professora de Matemática pediu aos alunos para desenharem uma planificação de um cilindro reto de \(6,8\text{ cm}\) de altura e de \(2,3\text{ cm}\) de raio da base.

Na figura estão representadas as planificações, com as respetivas medidas, desenhadas por dois alunos: a Ana e o Bruno.

Planificações desenhadas pela Ana e pelo Bruno

Alguma das planificações está correta?

Para cada uma, indica se é uma planificação do cilindro, justificando. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Nos cálculos, utiliza \(\pi\approx3,14\) e efetua arredondamentos às décimas.

A largura do retângulo da superfície lateral tem de ser igual ao perímetro da base do cilindro.

\[ P_{\text{base}}=2\pi r \approx 2\times3,14\times2,3 =14,444 \approx14,4\text{ cm} \]

Planificação do Bruno: a altura do retângulo é \(6,8\text{ cm}\). Como a sua área é \(97,92\text{ cm}^2\), a largura é:

\[ 97,92=P_{\text{base}}\times6,8 \quad\Longleftrightarrow\quad P_{\text{base}}=\frac{97,92}{6,8}=14,4\text{ cm} \]

A largura coincide com o perímetro da base e os círculos têm raio \(2,3\text{ cm}\). Logo, a planificação do Bruno está correta.

Planificação da Ana: os círculos têm diâmetro \(4,6\text{ cm}\), correspondente ao raio \(2,3\text{ cm}\), mas a largura do retângulo é \(16,61\text{ cm}\), quando deveria ser \(14,4\text{ cm}\).

A planificação do Bruno está correta; a da Ana está incorreta.

2.

Preço por volume de produto

Um produto líquido é vendido em embalagens com a forma de cilindro. Os rótulos apresentados cobrem toda a superfície lateral da respetiva embalagem, sem sobreposição.

Rótulos retangulares das embalagens A e B e respetivas medidas

Admite que ambas as embalagens são vendidas cheias de produto. A embalagem \(A\) custa \(1,2\) euros e a embalagem \(B\) custa \(1\) euro.

Para qual das embalagens o preço por \(\text{cm}^3\) de produto é maior?

Na tua resposta, considera desprezável a espessura do material com o qual são feitas as embalagens.

Em cálculos intermédios, conserva três casas decimais.

Embalagem A

A largura do rótulo é o perímetro da base e a altura do rótulo é a altura do cilindro:

\[ 2\pi r=10 \quad\Longleftrightarrow\quad r=\frac{10}{2\pi} \approx1,592\text{ cm} \] \[ V_A=\pi r^2h \approx\pi\times1,592^2\times3 \approx23,887\text{ cm}^3 \] \[ \text{Preço por cm}^3 \approx\frac{1,2}{23,887} \approx0,050\text{ euros} \]

Embalagem B

\[ 2\pi r=7,5 \quad\Longleftrightarrow\quad r=\frac{7,5}{2\pi} \approx1,194\text{ cm} \] \[ V_B=\pi r^2h \approx\pi\times1,194^2\times4 \approx17,915\text{ cm}^3 \] \[ \text{Preço por cm}^3 \approx\frac{1}{17,915} \approx0,056\text{ euros} \]

O preço por \(\text{cm}^3\) é maior na embalagem \(B\).

3.

Dois cilindros com a mesma superfície lateral

Considera o retângulo \([ABCD]\) da figura.

Retângulo ABCD com 12 centímetros de comprimento e 8 centímetros de largura

Caracteriza cada cilindro que poderá ter o retângulo \([ABCD]\) como superfície lateral, quanto ao valor exato da medida:

da altura;
do raio da base;
da área da sua superfície;
do volume.

O retângulo pode ser a superfície lateral de dois cilindros, conforme se use o lado de \(12\text{ cm}\) ou o lado de \(8\text{ cm}\) como perímetro da base. Em ambos os casos, a área lateral é \(12\times8=96\text{ cm}^2\).

Medida	Cilindro A	Cilindro B
Perímetro da base	\(12\text{ cm}\)	\(8\text{ cm}\)
Altura	\(8\text{ cm}\)	\(12\text{ cm}\)
Raio da base	\(2\pi r=12\Rightarrow r=\dfrac{6}{\pi}\text{ cm}\)	\(2\pi r=8\Rightarrow r=\dfrac{4}{\pi}\text{ cm}\)
Área da superfície	\(2\pi r^2+96=\dfrac{72}{\pi}+96\text{ cm}^2\)	\(2\pi r^2+96=\dfrac{32}{\pi}+96\text{ cm}^2\)
Volume	\(\pi r^2h=\dfrac{288}{\pi}\text{ cm}^3\)	\(\pi r^2h=\dfrac{192}{\pi}\text{ cm}^3\)

O mesmo retângulo origina dois cilindros diferentes, consoante o lado que representa o perímetro da base.