📌 Resumo teórico
Planificação de um cilindro reto
É formada por dois círculos iguais (as bases) e um retângulo (a superfície lateral). Um lado do retângulo é a altura \(h\) do cilindro e o outro é o perímetro da base:
Para que a planificação esteja correta, os círculos têm de ter o perímetro igual a esse lado do retângulo.
Áreas e volume
| Medida | Fórmula |
|---|---|
| Área da base | \(\pi r^{2}\) |
| Área lateral | \(2\pi r\times h\) |
| Área total | \(2\pi r h+2\pi r^{2}\) |
| Volume | \(\pi r^{2}\times h\) |
Um retângulo, dois cilindros
O mesmo retângulo pode enrolar-se de duas maneiras: cada lado pode ser a altura, e o outro passa a ser o perímetro da base. Os dois cilindros têm a mesma área lateral, mas em geral volumes diferentes.
Unidades
\(1\ \text{dm}^{3}=1\ \text{L}\) e \(1\ \text{cm}^{3}=1\ \text{mL}\). Para comparar preços, calcula-se o preço por unidade de volume (por exemplo, euros por litro).
1. Planificações de um cilindro reto
A professora de Matemática pediu aos alunos para desenharem uma planificação de um cilindro reto de \(6,8\text{ cm}\) de altura e de \(2,3\text{ cm}\) de raio da base.
Na figura estão representadas as planificações, com as respetivas medidas, desenhadas por dois alunos: a Ana e o Bruno.
Alguma das planificações está correta?
Para cada uma, indica se é uma planificação do cilindro, justificando. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
A largura do retângulo da superfície lateral tem de ser igual ao perímetro da base do cilindro.
Planificação do Bruno: a altura do retângulo é \(6,8\text{ cm}\). Como a sua área é \(97,92\text{ cm}^2\), a largura é:
A largura coincide com o perímetro da base e os círculos têm raio \(2,3\text{ cm}\). Logo, a planificação do Bruno está correta.
Planificação da Ana: os círculos têm diâmetro \(4,6\text{ cm}\), correspondente ao raio \(2,3\text{ cm}\), mas a largura do retângulo é \(16,61\text{ cm}\), quando deveria ser \(14,4\text{ cm}\).
2. Preço por volume de produto
Um produto líquido é vendido em embalagens com a forma de cilindro. Os rótulos apresentados cobrem toda a superfície lateral da respetiva embalagem, sem sobreposição.
Admite que ambas as embalagens são vendidas cheias de produto. A embalagem \(A\) custa \(1,2\) euros e a embalagem \(B\) custa \(1\) euro.
Para qual das embalagens o preço por \(\text{cm}^3\) de produto é maior?
Na tua resposta, considera desprezável a espessura do material com o qual são feitas as embalagens.
Embalagem A
A largura do rótulo é o perímetro da base e a altura do rótulo é a altura do cilindro:
Embalagem B
3. Dois cilindros com a mesma superfície lateral
Considera o retângulo \([ABCD]\) da figura.
Caracteriza cada cilindro que poderá ter o retângulo \([ABCD]\) como superfície lateral, quanto ao valor exato da medida:
- da altura;
- do raio da base;
- da área da sua superfície;
- do volume.
O retângulo pode ser a superfície lateral de dois cilindros, conforme se use o lado de \(12\text{ cm}\) ou o lado de \(8\text{ cm}\) como perímetro da base. Em ambos os casos, a área lateral é \(12\times8=96\text{ cm}^2\).
| Medida | Cilindro A | Cilindro B |
|---|---|---|
| Perímetro da base | \(12\text{ cm}\) | \(8\text{ cm}\) |
| Altura | \(8\text{ cm}\) | \(12\text{ cm}\) |
| Raio da base | \(2\pi r=12\Rightarrow r=\dfrac{6}{\pi}\text{ cm}\) | \(2\pi r=8\Rightarrow r=\dfrac{4}{\pi}\text{ cm}\) |
| Área da superfície | \(2\pi r^2+96=\dfrac{72}{\pi}+96\text{ cm}^2\) | \(2\pi r^2+96=\dfrac{32}{\pi}+96\text{ cm}^2\) |
| Volume | \(\pi r^2h=\dfrac{288}{\pi}\text{ cm}^3\) | \(\pi r^2h=\dfrac{192}{\pi}\text{ cm}^3\) |