Proporcionalidade direta, expressão algébrica, gráficos e modelação — 8.º ano
| Função | Expressão | Gráfico |
|---|---|---|
| Linear (proporcionalidade direta) | \(f(x)=ax\) | reta que passa na origem |
| Afim | \(f(x)=ax+b\) | reta que interseta \(Oy\) em \((0,b)\) |
| Constante | \(f(x)=b\) | reta horizontal |
\(a\) é o declive (ou coeficiente de \(x\)) e \(b\) a ordenada na origem (ou termo independente). Uma função linear é uma função afim com \(b=0\).
Retas paralelas têm o mesmo declive. Se \(a\gt 0\), a função é crescente; se \(a\lt 0\), é decrescente.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o quociente \(\dfrac{y}{x}\) é constante; essa constante é o declive \(a\). Exemplo: um desconto de \(15\%\) dá o preço final \(f(x)=0{,}85x\).
Qual das expressões não define uma função linear?
(A) \(y=8x\)
(B) \(y=2\left(x-\dfrac12\right)+1\)
(C) \(y=\dfrac12x+x+5\)
(D) \(y=2x+1-5\left(x+\dfrac15\right)\)
Opção (C).
\(\dfrac12x+x+5=\dfrac32x+5\), que tem ordenada na origem \(5\), logo não é da forma \(y=ax\). Nas opções (B) e (D), os termos constantes anulam-se.
A reta \(r\) representa o gráfico de \(f(x)=ax+b\). Qual é a opção correta?
(A) \(a=-\dfrac32,\ b=-3\)
(B) \(a=-\dfrac32,\ b=3\)
(C) \(a=\dfrac32,\ b=-3\)
(D) \(a=\dfrac32,\ b=3\)
Opção (C). A reta passa por \((0,-3)\), logo \(b=-3\). Usando \((2,0)\): \(0=2a-3\Rightarrow a=\dfrac32\).
O gráfico de uma função afim \(g\) passa por \((-1,4)\) e \((1,-1)\). Qual é a sua expressão?
(A) \(g(x)=-5x+2\)
(B) \(g(x)=-\dfrac32x+\dfrac32\)
(C) \(g(x)=\dfrac52x+\dfrac32\)
(D) \(g(x)=-\dfrac52x+\dfrac32\)
Opção (D). \(a=\dfrac{-1-4}{1-(-1)}=-\dfrac52\). De \(-1=-\dfrac52+b\), obtém-se \(b=\dfrac32\).
Qual das expressões define a função representada?
(A) \(f(x)=3x-2\)
(B) \(f(x)=2x-2\)
(C) \(f(x)=2x-4\)
(D) \(f(x)=3x-4\)
Opção (D). A ordenada na origem é \(-4\) e \(a=\dfrac{8-(-4)}{4-0}=3\). Assim, \(f(x)=3x-4\).
Qual das expressões pode definir a função representada?
(A) \(f(x)=2x+2\)
(B) \(f(x)=-2x+2\)
(C) \(f(x)=2x-2\)
(D) \(f(x)=-2x-2\)
Opção (C). A reta é crescente, portanto o declive é positivo; a ordenada na origem é negativa e igual a \(-2\).
Considera \(f:\mathbb N\to\mathbb Z\), definida por \(f(n)=-2n+1\). Qual é o valor de \(f(1)-f(3)\)?
(A) \(4\)
(B) \(-1\)
(C) \(0\)
(D) \(-4\)
Opção (A). \(f(1)=-1\), \(f(3)=-5\) e \(f(1)-f(3)=-1-(-5)=4\).
Qual é o contradomínio de \(f(x)=2x-5\), com \(D_f=\{-1,0,1,2\}\)?
(A) \(\{-1,0,1,2\}\)
(B) \(\{-5,-3,-1,1\}\)
(C) \(\{-7,-5,-3\}\)
(D) \(\{-7,-5,-3,-1\}\)
Opção (D). As imagens de \(-1,0,1,2\) são, respetivamente, \(-7,-5,-3,-1\).
Qual das representações corresponde a uma função de proporcionalidade direta?
(A) \(y=\dfrac{x}{7}\)
(B) \(y=\dfrac{2}{x}\)
(C) \(y=x^2\)
(D) \(\begin{array}{c|cccc}x&1&2&3&4\\\hline y&3&5&7&9\end{array}\)
Opção (A). Uma função de proporcionalidade direta tem a forma \(y=kx\).
A energia consumida é dada por \(E=P\times t\). Num micro-ondas utiliza-se \(P=1000\ \text{W}\). Escolhe a opção correta.
(A) \(P\) e \(t\) são diretamente proporcionais.
(B) \(E\) e \(t\) são diretamente proporcionais.
(C) Se \(t=5\) h, \(E=200\) Wh.
(D) Se \(E=500\) Wh, \(t=2\) h.
Opção (B). Mantendo \(P=1000\), fica \(E=1000t\), uma relação de proporcionalidade direta.
Seja \(4-3n\) o termo geral de uma sequência. Qual das afirmações é falsa?
(A) O 2.º termo é \(-1\).
(B) O 1.º termo é \(1\).
(C) O 20.º termo é \(-56\).
(D) O 50.º termo é \(-146\).
Opção (A). Para \(n=2\), \(4-3\times2=-2\), e não \(-1\).
O gráfico relaciona a velocidade \(v\), em km/h, com a distância de reação \(d\), em metros. Qual expressão representa a relação?
(A) \(\dfrac{d}{30}=\dfrac{v}{100}\)
(B) \(\dfrac{d}{100}=\dfrac{v}{30}\)
(C) \(d=\dfrac{30}{100}v\)
(D) \(d=\dfrac{100}{30}v\)
Opção (C). A constante de proporcionalidade é \(\dfrac{d}{v}=\dfrac{30}{100}=0,3\).
Qual das representações gráficas traduz a função \(f(x)=2x+2\)?
Opção (B). A reta é crescente, tem declive \(2\) e interseta o eixo \(Oy\) em \((0,2)\).
No referencial estão representadas duas retas paralelas, \(r\) e \(s\). Qual expressão representa \(s\)?
(A) \(y=3x\)
(B) \(y=-\dfrac12x\)
(C) \(y=-\dfrac12x-\dfrac32\)
(D) \(y=-3x-\dfrac12\)
Opção (C). As retas têm declive \(-\dfrac12\), e a reta \(s\) tem ordenada na origem \(-\dfrac32\).
O gráfico relaciona a pressão \(y\), em atmosferas, com a profundidade \(x\), em metros. Qual é a expressão da função?
(A) \(y=0,1x\)
(B) \(y=x+1\)
(C) \(y=x\)
(D) \(y=0,1x+1\)
Opção (D). À profundidade zero, a pressão é \(1\) atm; por cada \(10\) m, aumenta \(1\) atm, logo o declive é \(0,1\).
O gráfico representa a viagem de um autocarro de transportes escolares. Pode afirmar-se que:
(A) Durante a viagem, o autocarro parou três vezes.
(B) A última paragem durou 10 minutos.
(C) A velocidade de regresso à escola foi \(72\ \text{km/h}\).
(D) A velocidade de regresso foi \(72\ \text{km/min}\).
Opção (C). No regresso percorreu \(18\) km em \(15\) min, isto é, \(18\div0,25=72\ \text{km/h}\).
Num parque paga-se \(1,00\ \text{€}\) até uma hora e, a partir daí, \(0,50\ \text{€}\) por cada hora iniciada. Qual gráfico traduz o valor a pagar por uma permanência até quatro horas?
Opção (B). Em cada intervalo, o extremo esquerdo está incluído e o direito excluído; ao completar nova hora, o preço sobe \(0,50\ \text{€}\).
O preço \(y\) de farinha é diretamente proporcional à quantidade \(x\). Qual gráfico pode representar esta função?
Opção (D). O gráfico de \(y=kx\), com \(k>0\), é uma reta crescente que passa na origem.
Qual dos pontos pertence à reta \(y=-5x+2\)?
(A) \(A(1,-3)\)
(B) \(B(2,-5)\)
(C) \(C(-13,3)\)
(D) \(D(0,1)\)
Opção (A). Para \(x=1\), \(y=-5(1)+2=-3\).
Um professor recebe \(4\ \text{€}\) pela deslocação e \(12\ \text{€}\) por cada hora de aula. Qual expressão dá o valor \(y\), em euros, em função do número de horas \(x\)?
(A) \(y=12x\)
(B) \(y=4x\)
(C) \(y=12x+4\)
(D) \(y=4x+12\)
Opção (C). Aos \(12x\) euros correspondentes às horas acrescenta-se a deslocação fixa de \(4\ \text{€}\).
Uma loja aplica um desconto de \(15\%\) em todos os artigos. Seja \(f\) a função que associa ao preço original \(x\), em euros, o preço final após o desconto.
a) Representa \(f\) por uma expressão algébrica.
b) Completa a tabela.
| Preço original \(x\) (€) | 12 | 93 | ||
|---|---|---|---|---|
| Preço com desconto \(f(x)\) (€) | 18,70 | 74,63 |
c) No contexto, indica o significado de \(10-f(10)\).
a) Após o desconto paga-se \(100\%-15\%=85\%\) do preço: \(\boxed{f(x)=0,85x}\).
b)
| \(x\) (€) | 12 | 22 | 87,80 | 93 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) (€) | 10,20 | 18,70 | 74,63 | 79,05 |
c) É o valor, em euros, do desconto obtido num artigo cujo preço inicial era \(10\ \text{€}\). Neste caso, \(10-f(10)=10-8,50=1,50\ \text{€}\).
De uma função afim \(f\) sabe-se que \(f\left(-\dfrac12\right)=-1\) e \(f\left(\dfrac12\right)=2\).
a) Escreve \(f(x)=ax+b\).
b) Determina \(x\), sabendo que \(f(x)=\dfrac54\).
a) O declive é \(a=\dfrac{2-(-1)}{\frac12-(-\frac12)}=3\). Usando \(\left(\dfrac12,2\right)\): \(2=\dfrac32+b\Rightarrow b=\dfrac12\).
b) \(3x+\dfrac12=\dfrac54\Rightarrow 3x=\dfrac34\Rightarrow \boxed{x=\dfrac14}\).
Uma empresa cobra uma taxa fixa de \(12\ \text{€}\) e uma tarifa diária de \(25\ \text{€}\) pelo aluguer de uma Vespa.
a) Quanto paga um cliente por dois dias?
b) Escreve a função que associa ao número \(n\) de dias o preço total \(p(n)\).
a) \(2\times25+12=\boxed{62\ \text{€}}\).
b) \(\boxed{p(n)=25n+12}\).
A reta \(r\) do exercício 2 representa \(f(x)=ax+b\).
a) Escreve a equação da reta.
b) Determina a ordenada do ponto com abcissa \(8\).
c) Determina a abcissa do ponto com ordenada \(6\).
a) \(\boxed{y=\dfrac32x-3}\).
b) \(f(8)=\dfrac32\times8-3=12-3=\boxed{9}\).
c) \(6=\dfrac32x-3\Rightarrow9=\dfrac32x\Rightarrow\boxed{x=6}\).
No referencial estão representadas as retas \(r,s,t,u\).
a) Associa a cada expressão a respetiva reta:
(A) \(f(x)=5\)
(B) \(g(x)=\dfrac32x-3\)
(C) \(h(x)=\dfrac32x\)
(D) \(i(x)=-5x\)
b) Determina a função \(j\) cujo gráfico passa por \((1,1)\) e é paralelo, respetivamente, a \(r\), a \(s\) e a \(u\).
a) (A) \(\to u\); (B) \(\to t\); (C) \(\to r\); (D) \(\to s\).
b) As paralelas conservam o declive:
Considera \(g(x)=ax+b\), representada na tabela.
| \(x\) | -1 | 0 | 2 | |
|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 5 | 3 | -11 |
a) Determina \(a\) e \(b\).
b) Completa a tabela.
De \(g(0)=3\), resulta \(b=3\). Como \(g(-1)=5\), \(-a+3=5\Rightarrow a=-2\). Logo, \(g(x)=-2x+3\).
| \(x\) | -1 | 0 | 2 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 5 | 3 | -1 | -11 |
Mostra que os pontos \((1,-1)\), \(\left(\dfrac14,\dfrac12\right)\) e \((-2,5)\) pertencem simultaneamente ao gráfico de uma função afim.
Usando \((1,-1)\) e \((-2,5)\):
A função é \(f(x)=-2x+1\). Verificando o terceiro ponto:
As retas \(r\) e \(s\), gráficos de \(f\) e \(g\), são paralelas. O triângulo \([AOB]\) tem área \(10\), \(f(0)=5\) e \(g(0)=0\).
a) Determina as coordenadas de \(A\).
b) Escreve a expressão de \(g\).
a) A altura do triângulo é \(OB=5\). Assim, \(\dfrac{OA\times5}{2}=10\Rightarrow OA=4\), logo \(\boxed{A=(-4,0)}\).
b) O declive de \(r\) é \(\dfrac{5-0}{0-(-4)}=\dfrac54\). Como \(s\) é paralela e passa na origem, \(\boxed{g(x)=\dfrac54x}\).
O gráfico de uma função afim \(f\) contém o ponto \((2,7)\) e é crescente. Justifica por que não pode ser definido por \(y=2x+5\), nem por \(y=-0,5x+5\).
Em \(y=2x+5\), para \(x=2\) obter-se-ia \(y=9\), e não \(7\). A expressão \(y=-0,5x+5\) tem declive negativo, enquanto a reta do gráfico é crescente.
A reta \(AB\), gráfico de \(h\), passa por \(A(-1,3)\) e \(B(1,-1)\).
a) Escreve a expressão de \(h\).
b) Completa a tabela.
| \(x\) | -2 | \(\frac32\) | 3 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) |
c) Escreve a equação da reta paralela a \(AB\) que passa por \((-2,3)\).
a) \(a=\dfrac{-1-3}{1-(-1)}=-2\) e \(3=-2(-1)+b\Rightarrow b=1\). Logo, \(\boxed{h(x)=-2x+1}\).
b)
| \(x\) | -2 | \(\frac32\) | 3 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | 5 | -2 | -5 | -11 |
c) \(y=-2x+b\). Usando \((-2,3)\): \(3=4+b\Rightarrow b=-1\). Portanto, \(\boxed{y=-2x-1}\).
O gráfico de \(f\) passa por \((0,3)\) e \((3,5)\).
a) Escreve a expressão de \(f\).
b) Calcula \(f(-2)\).
c) Determina o objeto cuja imagem é \(1\).
d) Determina a interseção com o eixo \(Ox\).
a) \(a=\dfrac{5-3}{3}=\dfrac23\) e \(b=3\), logo \(\boxed{f(x)=\dfrac23x+3}\).
b) \(f(-2)=-\dfrac43+3=\boxed{\dfrac53}\).
c) \(1=\dfrac23x+3\Rightarrow x=\boxed{-3}\).
d) \(0=\dfrac23x+3\Rightarrow x=-\dfrac92\). Ponto: \(\boxed{\left(-\dfrac92,0\right)}\).
Uma loja cobra \(2,50\ \text{€}\) de taxa fixa mais \(1\ \text{€}\) por cada hora de aluguer. Escreve a função \(p\) que associa ao tempo \(t\), em horas, o preço a pagar.
\(\boxed{p(t)=t+2,50}\), em euros.
Uma loja faz um desconto de \(35\%\). Determina a expressão da função \(f\) que transforma o preço sem desconto \(x\) no preço final \(f(x)\).
Paga-se \(100\%-35\%=65\%\) do preço. Portanto, \(\boxed{f(x)=0,65x}\).
O gráfico relaciona a altura \(h\) da água, em decímetros, com o tempo \(t\), em minutos, após a abertura de uma torneira de caudal constante.
a) Qual é a altura do depósito?
b) Calcula o declive e interpreta-o.
c) Quanto tempo demora o depósito a ficar vazio?
a) \(h(0)=\boxed{20\ \text{dm}}\).
b) Usando \((0,20)\) e \((4,15)\): \(a=\dfrac{15-20}{4}=-\dfrac54=-1,25\). A altura da água diminui \(1,25\) dm por minuto.
c) \(h(t)=-1,25t+20\). Para \(h=0\): \(t=20\div1,25=\boxed{16\ \text{minutos}}\).
No referencial estão representadas as retas \(r_1,r_2,r_3,r_4\).
a) Indica a reta que representa uma função constante e a que representa uma função linear.
b) A reta \(r_4\) contém \((0,-5)\) e \((2,5)\). Determina a expressão da função correspondente.
a) Função constante: \(\boxed{r_1}\). Função linear: \(\boxed{r_3}\), pois passa na origem.
b) \(a=\dfrac{5-(-5)}{2}=5\) e \(b=-5\). Assim, \(\boxed{f(x)=5x-5}\).
Escreve as coordenadas dos pontos \(O,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N\) assinalados no referencial.
\(O=(0,0)\)
\(A=(6,3)\)
\(B=(3,4)\)
\(C=(3,0)\)
\(D=(0,3)\)
\(E=(-3,2)\)
\(F=(-6,5)\)
\(G=(-5,0)\)
\(H=(-3,0)\)
\(I=(0,-2)\)
\(J=(-2,-3)\)
\(K=(2,-3)\)
\(L=(5,-3)\)
\(M=(3,-4)\)
\(N=(0,-5)\)
Seja \(f(x)=-2x+1\).
a) Calcula \(f(0)\), \(f(3)\), \(f(-4)\) e \(f\left(\dfrac34\right)\).
b) Determina \(x\) quando \(f(x)=0\), \(f(x)=5\), \(f(x)=-2\) e \(f(x)=-\dfrac13\).
a) \(f(0)=1\), \(f(3)=-5\), \(f(-4)=9\) e \(f\left(\dfrac34\right)=-\dfrac12\).
b) Os objetos são, pela mesma ordem, \(\dfrac12\), \(-2\), \(\dfrac32\) e \(\dfrac23\).
Uma empresa cobra \(25\ \text{€}\) pela deslocação e \(10\ \text{€}\) por cada hora de trabalho no arranjo de uma máquina de lavar roupa.
| Número de horas | 1 | 2 | 3 | \(\cdots\) | \(x\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Custo (€) | \(\cdots\) | \(y=\ ?\) |
a) Completa a tabela.
b) Quanto se paga por 5 horas?
c) Se o custo foi \(55\ \text{€}\), quantas horas durou o arranjo?
d) Representa graficamente os valores da tabela.
| Horas | 1 | 2 | 3 | \(\cdots\) | \(x\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Custo (€) | 35 | 45 | 55 | \(\cdots\) | \(10x+25\) |
b) \(10(5)+25=\boxed{75\ \text{€}}\).
c) \(10x+25=55\Rightarrow x=\boxed{3}\) horas.
d) Representam-se, por exemplo, os pontos \((1,35)\), \((2,45)\) e \((3,55)\), pertencentes à reta \(y=10x+25\).
Numa loja de antiguidades, o preço de cada objeto aumentou \(20\%\). A função é \(f(x)=1,2x\).
a) Calcula e interpreta \(f(20)\).
b) Determina \(x\), sabendo que \(f(x)=9,6\), e interpreta.
c) Para \(D_f=\{10,20,30,40\}\), representa a função por um gráfico.
a) \(f(20)=24\): um objeto de \(20\ \text{€}\) passou a custar \(24\ \text{€}\).
b) \(1,2x=9,6\Rightarrow x=8\): o preço original era \(8\ \text{€}\).
c) Representam-se os pontos \((10,12)\), \((20,24)\), \((30,36)\) e \((40,48)\).
Os gráficos representam a distância percorrida pelo Carlos e pelo João numa corrida de \(800\) m.
a) No primeiro minuto e meio, quem percorreu maior distância e quantos metros a mais?
b) Em que instantes se cruzaram?
c) Durante quanto tempo esteve o Carlos à frente?
d) O João apostara que ganharia com pelo menos 10 s de vantagem. Ganhou a aposta?
a) O Carlos percorreu mais \(50\) m.
b) Cruzaram-se \(52,5\) s e \(97,5\) s após a partida.
c) Esteve à frente durante \(97,5-52,5=\boxed{45\text{ s}}\).
d) Sim. O João venceu e terminou \(15\) s antes do Carlos, superando os \(10\) s combinados.
Os recipientes \(A\), \(B\) e \(C\) são enchidos por torneiras com o mesmo caudal. Associa, da esquerda para a direita, cada gráfico altura-tempo ao respetivo recipiente.
Da esquerda para a direita, os gráficos correspondem a \(\boxed{B,\ C,\ A}\). Num recipiente que se alarga, a altura cresce cada vez mais devagar; num que estreita, cresce cada vez mais depressa; no cilindro, cresce linearmente.
Escreve a equação de cada uma das retas \(a,b,c,d\) representadas.
\(\boxed{a:y=x}\), \(\boxed{b:y=-x}\), \(\boxed{c:y=2x}\) e \(\boxed{d:y=-2x}\).
Representa graficamente as funções lineares \(f,g,h,i\), sabendo que:
a) \(f\) tem declive \(\dfrac12\).
b) \(g\) tem declive \(0\) e passa por \((2,0)\).
c) \(h(-1)=-3\).
d) A imagem de \(1\) por \(i\) é \(-2\).
Como são funções lineares, têm a forma \(y=ax\):
\(\boxed{f(x)=\dfrac12x}\), \(\boxed{g(x)=0}\), \(\boxed{h(x)=3x}\) e \(\boxed{i(x)=-2x}\).
Para desenhar cada reta, basta marcar a origem e mais um ponto conveniente.
| \(x\) | 20 | 30 | 45 | 54 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 50 | 75 | 112,5 | 135 |
a) Justifica que \(x\) e \(y\) são diretamente proporcionais.
b) Completa uma expressão do tipo \(x=\cdots y\).
a) \(\dfrac{50}{20}=\dfrac{75}{30}=\dfrac{112,5}{45}=\dfrac{135}{54}=2,5\), logo \(y=2,5x\).
b) \(\boxed{x=0,4y}\), ou \(\boxed{x=\dfrac25y}\).
A reta \(r\) contém os pontos indicados na tabela.
| \(x\) | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 1 | 0 | -1 |
a) Completa a equação \(r:y=\cdots x+1\).
b) Escreve a equação da paralela a \(r\) que passa por \((0,-3)\).
c) Escreve a equação da paralela a \(r\) que passa na origem.
O declive é \(\dfrac{0-1}{2-0}=-\dfrac12\).
a) \(\boxed{y=-\dfrac12x+1}\).
b) \(\boxed{y=-\dfrac12x-3}\).
c) \(\boxed{y=-\dfrac12x}\).
a) Representa a função graficamente.
b) Determina \(f(-1)\) e \(f(2)\).
c) Determina o objeto cuja imagem é \(7\).
d) Determina \(P(0,y)\) pertencente ao gráfico.
a) A reta passa, por exemplo, por \((0,1)\) e \((1,-2)\).
b) \(f(-1)=4\) e \(f(2)=-5\).
c) \(-3x+1=7\Rightarrow x=-2\).
d) \(\boxed{P=(0,1)}\).
Determina a equação da reta que:
a) passa por \((-1,3)\) e \((0,-2)\);
b) tem declive \(-2\) e passa por \((-1,1)\).
a) \(a=\dfrac{-2-3}{0-(-1)}=-5\) e \(b=-2\). Logo, \(\boxed{y=-5x-2}\).
b) \(y=-2x+b\). Como \(1=-2(-1)+b\), \(b=-1\). Logo, \(\boxed{y=-2x-1}\).
Escreve a equação de cada reta.
a) Pelos pontos \((-2,-1)\) e \((2,2)\), \(a=\dfrac34\) e \(b=\dfrac12\). Logo, \(\boxed{y=\dfrac34x+\dfrac12}\).
b) Pelos pontos \((-3,1)\) e \((4,-2)\), \(a=-\dfrac37\) e \(b=-\dfrac27\). Logo, \(\boxed{y=-\dfrac37x-\dfrac27}\).
Indica quais tabelas representam funções afins e, quando for o caso, escreve a expressão.
| \(x\) | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 29 | 26 | 23 | 20 | 17 |
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | -5 | -3 | 3 | 5 | 7 |
a) Quando \(x\) aumenta \(2\), \(y\) diminui \(3\), logo \(a=-\dfrac32\). Usando \((13,29)\), \(b=\dfrac{97}{2}\). É função afim: \(\boxed{y=-\dfrac32x+\dfrac{97}{2}}\).
b) Os acréscimos de \(y\) são \(2,6,2,2\); não são constantes. Não representa uma função afim.
Um comboio parte de Aveiro às 9 h 15 min em direção à Estação do Oriente, a \(250\) km. O percurso tem as etapas \(a,b,c\). Às 9 h, outro comboio parte do Oriente em sentido contrário, nas etapas \(d,e\).
a) Determina a velocidade média do primeiro comboio nas etapas \(a,b,c\), em km/h.
b) Determina a velocidade média do segundo comboio nas etapas \(d,e\).
c) Se mantivessem desde a partida as velocidades das etapas iniciais \(a\) e \(d\), a que horas se encontrariam?
a) \(a:\ 100\) km em \(45\) min, isto é, \(100\div0,75\approx\boxed{133\text{ km/h}}\); \(b:\boxed{0\text{ km/h}}\); \(c:\ 150\) km em \(45\) min, isto é, \(\boxed{200\text{ km/h}}\).
b) \(d:\ 100\) km em \(1\) h, isto é, \(\boxed{100\text{ km/h}}\); \(e:\ 150\) km em \(45\) min, isto é, \(\boxed{200\text{ km/h}}\).
c) Às 9 h 15 min, o segundo comboio já percorreu \(25\) km, ficando os comboios separados por \(225\) km. A velocidade de aproximação é \(\dfrac{400}{3}+100=\dfrac{700}{3}\) km/h.
a) Quanto se paga por 30 minutos?
b) Um automobilista pagou \(2,50\ \text{€}\). Durante quanto tempo esteve estacionado?
a) Por estar dentro da primeira hora, paga \(\boxed{1,00\ \text{€}}\).
b) O valor \(2,50\ \text{€}\) corresponde à primeira hora mais três acréscimos de \(0,50\ \text{€}\). Esteve estacionado \(\boxed{\text{mais de 3 horas e até 4 horas}}\).
Antes de viajar para Angola, o Sr. João trocou \(1500\ \text{€}\) por \(171\,981\) kwanzas. Mantendo a mesma taxa de câmbio, quantos kwanzas receberia por \(1200\ \text{€}\)? Apresenta o resultado arredondado às unidades.
O valor em kwanzas é diretamente proporcional ao valor em euros:
| Quantidade \(x\) (kg) | 0,60 | 0,75 | 1,30 | 1,90 | 2,15 |
|---|---|---|---|---|---|
| Preço \(y\) (€) | 0,48 | 0,60 | 1,04 | 1,52 | 1,72 |
a) Prova que o preço é diretamente proporcional à quantidade.
b) Indica o significado da constante de proporcionalidade.
c) Comenta: «Comprando o dobro da quantidade, paga-se o dobro do preço.»
d) Escreve a expressão que relaciona \(y\) com \(x\).
a) Em todas as colunas, \(\dfrac{y}{x}=0,8\); a razão é constante.
b) \(0,8\) representa o preço de um quilograma: \(0,80\ \text{€}/\text{kg}\).
c) A afirmação é verdadeira, pois numa proporcionalidade direta \(f(2x)=2f(x)\).
d) \(\boxed{y=0,8x}\).
Na construção de escadas relacionam-se o espelho \(E\), em cm, e o cobertor \(C\), em cm, pela regra
a) Um degrau com \(E=17\) cm e \(C=24\) cm respeita a regra?
b) Qual deve ser \(C\) se \(E=19\) cm?
c) Comenta: «Se o cobertor duplica, o espelho também duplica.»
a) Não. Para \(C=24\), \(E=31,5-0,5(24)=19,5\) cm, e não \(17\) cm.
b) \(19=31,5-0,5C\Rightarrow0,5C=12,5\Rightarrow\boxed{C=25\text{ cm}}\).
c) É falso: a função é afim e não de proporcionalidade direta. Por exemplo, \(C=10\Rightarrow E=26,5\), mas \(C=20\Rightarrow E=21\), que não é o dobro.
Faz corresponder cada expressão ao gráfico \(I,II,III,IV\).
(A) \(y=3x\)
(B) \(y=-0,5x-1,5\)
(C) \(y=x+3\)
(D) \(y=3\)
\(\boxed{A\to III}\), \(\boxed{B\to IV}\), \(\boxed{C\to II}\) e \(\boxed{D\to I}\).
No mesmo referencial, representa:
a) \(y=2x\)
b) \(y=-x+5\)
c) \(y=-4\)
Marca dois pontos de cada reta e une-os:
Nos primeiros minutos de aquecimento, a temperatura \(y\), em °C, e o tempo \(x\), em minutos, relacionam-se por \(y=8x+25\).
a) Qual era a temperatura no início?
b) O que significa o valor \(8\) no contexto?
a) Para \(x=0\), \(y=25\), logo a temperatura inicial era \(\boxed{25\,^\circ\text{C}}\).
b) A temperatura aumenta \(\boxed{8\,^\circ\text{C}}\) por minuto.
Escreve a expressão algébrica da função linear cujo gráfico passa por \(A(-2,-3)\).
Uma função linear tem a forma \(y=ax\). Como \(-3=a(-2)\), \(a=\dfrac32\). Portanto, \(\boxed{y=\dfrac32x}\).
Numa função linear \(y=ax\), explica o que acontece ao gráfico quando o valor de \(a\) aumenta e como o sinal de \(a\) influencia a reta. Apresenta exemplos.
Todas as funções lineares passam pela origem.