Diagrama de extremos e quartis. Amplitude interquartis | Matemática

1.

Amplitude interquartis num diagrama

A Quercus — Associação Nacional de Conservação da Natureza atribui a classificação de Qualidade de Ouro às praias cujas águas apresentam melhor qualidade.

Na figura seguinte está representado um diagrama de extremos e quartis relativo ao número de praias classificadas com Qualidade de Ouro de 2011 a 2018.

Qual é a amplitude interquartis deste conjunto de dados?

[A] 40,5

[B] 42

[C] 82,5

[D] 110

Prova Final 3.º Ciclo, Época especial — 2019

A amplitude interquartis é a diferença entre o 3.º quartil e o 1.º quartil.

\[ \text{Amplitude interquartis}=Q_3-Q_1=386-303{,}5=82{,}5 \]

Opção [C].

2.

Quartis e amplitude interquartis

Num estudo sobre a qualidade do atendimento de um centro de saúde, registou-se a idade dos utentes que, num determinado dia, acederam ao serviço. Os resultados foram:

202445464970737692

Relativamente a este conjunto de dados, indica:

2.1 o 1.º quartil;

2.2 o 3.º quartil;

2.3 a amplitude interquartis.

Os dados já estão ordenados. A mediana é o valor central; cada quartil situa-se entre dois valores:

2.1

\[ Q_1=\frac{24+45}{2}=34{,}5 \]

2.2

\[ Q_3=\frac{73+76}{2}=74{,}5 \]

2.3

\[ \text{Amplitude interquartis}=Q_3-Q_1=74{,}5-34{,}5=40 \]

3.

Construir um diagrama de extremos e quartis

Constrói um diagrama de extremos e quartis que represente o seguinte conjunto de dados.

121415161820212224

Determinam-se os extremos e os quartis a partir dos dados ordenados:

\[ Q_1=\frac{14+15}{2}=14{,}5\qquad Q_2=Me=18\qquad Q_3=\frac{21+22}{2}=21{,}5 \]

Mínimo \(=12\) e máximo \(=24\). O diagrama de extremos e quartis é:

4.

Completar um diagrama de extremos e quartis

Na figura está representado um diagrama de extremos e quartis, que se encontra incompleto. Completa-o, colocando os termos «mínimo», «máximo», «1.º quartil», «3.º quartil» e «mediana», nas caixas corretas.

Da esquerda para a direita, os cinco valores assinalados correspondem ao mínimo, 1.º quartil, mediana, 3.º quartil e máximo:

12	mínimo
14	1.º quartil \((Q_1)\)
19	mediana \((Q_2)\)
24	3.º quartil \((Q_3)\)
26	máximo

O extremo direito da caixa é o 3.º quartil (e não o 2.º): a mediana é o 2.º quartil e corresponde ao traço no interior da caixa, em 19.

5.

Interpretar um diagrama de extremos e quartis

O diagrama de extremos e quartis representa os tempos, em segundos, dos atletas que participaram numa prova de atletismo de 400 metros.

5.1 Qual foi o tempo realizado pelo vencedor da prova?

5.2 O último classificado da prova demorou quantos segundos a mais do que o vencedor?

5.3 O tempo mediano de prova é superior ou inferior a 2 minutos?

5.4 Classifica como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações.

Afirmações	Verdadeira	Falsa
A. 75% dos atletas demorou 2 minutos e meio, ou menos, a completar a prova.
B. Cerca de 25% dos atletas que participaram na prova demoraram mais de 2 minutos e 41 segundos a concluí-la.

5.5 O Filipe pretende saber qual é o tempo médio dos atletas que participaram na prova. É possível obter esse tempo apenas com a informação que o diagrama nos transmite?

5.1 O vencedor é quem completou a prova em menos tempo, ou seja, o tempo mínimo. Logo, o vencedor realizou a prova em 92 segundos.

5.2 O último classificado corresponde ao tempo máximo (222 s). Assim, demorou mais

\[ 222-92=130\ \text{segundos} \]

do que o vencedor.

5.3 O tempo mediano é 130 s. Como \(130\ \text{s}=2\ \text{min}\ 10\ \text{s}\), o tempo mediano é superior a 2 minutos.

5.4

A. Verdadeira. \(75\%\) dos atletas corresponde a valores até \(Q_3\). Como \(Q_3=150\ \text{s}\) e \(150\ \text{s}=2{,}5\ \text{min}=2\ \text{min}\ 30\ \text{s}\) (2 minutos e meio), 75% dos atletas demorou 2 minutos e meio, ou menos.

B. Falsa. Como \(Q_3=150\ \text{s}=2\ \text{min}\ 30\ \text{s}\), cerca de \(25\%\) dos atletas demoraram mais de 2 minutos e 30 segundos (e não 2 minutos e 41 segundos).

5.5 Não. O diagrama de extremos e quartis não fornece informação suficiente para calcular a média dos tempos.

6.

Percentagem de dados e quartis

Através da informação transmitida pelo diagrama representado na figura, completa a seguinte afirmação:

«25% dos dados são não inferiores a .»

«Não inferiores a» significa «iguais ou superiores a». Os 25% maiores valores do conjunto de dados situam-se à direita do 3.º quartil \((Q_3)\).

Do diagrama, \(Q_3=29\). Logo, 25% dos dados são iguais ou superiores a 29.

«25% dos dados são não inferiores a 29.»

7.

Simetria e assimetria — associação

Observa os seguintes diagramas de extremos e quartis.

Distribuição de dados

Diagrama I

Distribuição de dados

Diagrama II

Distribuição de dados

Diagrama III

Associa a cada uma das seguintes afirmações um dos diagramas anteriores.

Afirmações	Diagrama I	Diagrama II	Diagrama III
A. A distribuição é assimétrica enviesada à direita.
B. O valor da média é superior ao da mediana.
C. A distribuição é assimétrica enviesada à esquerda.
D. A média e a mediana tomam valores iguais.
E. O valor da média é inferior ao da mediana.
F. A distribuição é simétrica.

Afirmações	Diagrama I	Diagrama II	Diagrama III
A. A distribuição é assimétrica enviesada à direita.			X
B. O valor da média é superior ao da mediana.			X
C. A distribuição é assimétrica enviesada à esquerda.		X
D. A média e a mediana tomam valores iguais.	X
E. O valor da média é inferior ao da mediana.		X
F. A distribuição é simétrica.	X

A → III	Sendo a distribuição assimétrica enviesada à direita, os dados estão mais concentrados entre o mínimo e a mediana e mais dispersos entre a mediana e o máximo — o que se verifica no Diagrama III.
B → III	A média é superior à mediana quando os dados se concentram mais junto do mínimo, o que acontece na distribuição enviesada à direita — Diagrama III.
C → II	Sendo a distribuição assimétrica enviesada à esquerda, os dados estão mais dispersos entre o mínimo e a mediana e mais concentrados entre a mediana e o máximo — Diagrama II.
D → I	A média e a mediana tomam valores iguais (ou próximos) numa distribuição simétrica — Diagrama I.
E → II	A média é inferior à mediana quando os dados se concentram mais junto do máximo, o que acontece na distribuição enviesada à esquerda — Diagrama II.
F → I	Numa distribuição simétrica, o diagrama de extremos e quartis é aproximadamente simétrico em relação ao segmento que assinala \(Q_2\) (a mediana) — Diagrama I.

8.

Assimetria num contexto real

No diagrama de extremos e quartis da figura estão representadas as idades das pessoas que assistiram a um determinado teatro musical.

«Da representação anterior, conclui-se que os dados se distribuem com assimetria enviesada à , o que significa que algumas das pessoas que assistiram ao musical têm idade à idade da maioria das outras pessoas.»

No diagrama, o bigode direito (entre \(Q_3\) e o máximo) é muito mais comprido do que o esquerdo: os dados estão mais concentrados nas idades baixas e mais dispersos nas idades altas. A distribuição é, por isso, enviesada à direita (e a média é superior à mediana).

Isso significa que algumas pessoas têm idade superior à idade da maioria das outras pessoas.

«… enviesada à direita, … têm idade superior à idade da maioria das outras pessoas.»

9.

Quando agrupar dados em classes

Em qual das seguintes situações achas que faria sentido agrupar os dados em classes?

[A] Número de quartos da casa de cada um dos 500 alunos de uma escola.

[B] Número de ovos postos por 700 insetos.

[C] Número de irmãos dos 300 funcionários de uma empresa.

[D] Número de automóveis de cada um dos 70 professores de uma escola.

Agrupa-se em classes quando os dados podem tomar muitos valores diferentes. Das quatro situações, o número de ovos postos por 700 insetos é a que, potencialmente, teria mais valores diferentes (nas outras, o número de quartos, de irmãos ou de automóveis toma poucos valores distintos).

Opção [B].

10.

Tabela de frequências com classes

Observa o conjunto de dados.

621119211314512212594133109638517015514411080112130130119108941057511811011288136

10.1 Explica por que razão faz sentido agrupar este conjunto de dados em classes.

10.2 Completa a tabela de frequências absoluta, relativa e relativa acumulada.

Dados recolhidos
Classes	Frequência absoluta	Frequência relativa	Frequência relativa acumulada
60 a < 80
80 a < 100
100 a < 120
120 a < 140
140 a < 160
160 a < 180
Total

10.1 Porque o conjunto é composto por muitos valores diferentes.

10.2 Há 30 dados no total.

Dados recolhidos
Classes	Frequência absoluta	Frequência relativa	Frequência relativa acumulada
60 a < 80	3	\(\frac{3}{30}=0{,}10\)	\(\frac{3}{30}=0{,}10\)
80 a < 100	6	\(\frac{6}{30}=0{,}20\)	\(\frac{9}{30}=0{,}30\)
100 a < 120	11	\(\frac{11}{30}\approx0{,}37\)	\(\frac{20}{30}\approx0{,}67\)
120 a < 140	6	\(\frac{6}{30}=0{,}20\)	\(\frac{26}{30}\approx0{,}87\)
140 a < 160	3	\(\frac{3}{30}=0{,}10\)	\(\frac{29}{30}\approx0{,}97\)
160 a < 180	1	\(\frac{1}{30}\approx0{,}03\)	\(\frac{30}{30}=1\)
Total	30	1

11.

Classe dos quartis (salários)

Na tabela está representada a informação acerca dos salários líquidos dos 200 funcionários de uma empresa.

Salários dos funcionários de uma empresa
Salário líquido (em €)	Número de funcionários	Frequência relativa (%)	Frequência relativa acumulada (%)
750 a < 1000	55	27,5%	27,5%
1000 a < 1250	35	17,5%	45%
1250 a < 1500	15	7,5%	52,5%
1500 a < 1750	90	45%	97,5%
1750 a < 2000	5	2,5%	100%
Total	200	100%

Relativamente a este conjunto de dados, indica a classe em que se encontra:

11.1 o 1.º quartil;

11.2 a mediana;

11.3 o 3.º quartil.

11.1 Até ao \(Q_1\) está cerca de 25% dos dados. A frequência relativa acumulada atinge logo 27,5% na primeira classe, pelo que o \(Q_1\) se encontra na classe 750 a < 1000.

11.2 A mediana corresponde a cerca de 50% dos dados. A acumulada passa de 45% (até 1250) para 52,5% (até 1500), logo a mediana encontra-se na classe 1250 a < 1500.

11.3 Até ao \(Q_3\) está cerca de 75% dos dados. A acumulada passa de 52,5% (até 1500) para 97,5% (até 1750), logo o \(Q_3\) encontra-se na classe 1500 a < 1750.

12.

Completar tabela e localizar quartis

Num parque de estacionamento com 499 lugares disponíveis fez-se um estudo sobre a sua ocupação durante 360 dias. A tabela seguinte apresenta a informação acerca do número de automóveis que, por dia, utilizaram o parque.

Número de automóveis que, por dia, usaram o parque de estacionamento
Classes	Frequência absoluta	Frequência relativa (%)
0 a < 100	36	10%
100 a < 200		20%
200 a < 300	144
300 a < 400		15%
400 a < 500		15%
Total

12.1 Completa a tabela de frequências anterior.

12.2 Relativamente a este conjunto de dados, indica a classe em que se encontra:

a) o 1.º quartil; b) a mediana; c) o 3.º quartil.

12.1 Como a frequência absoluta 36 corresponde a 10%, o total é \(36\div0{,}10=360\) dias. A frequência relativa da classe 200 a < 300 é \(100\%-(10\%+20\%+15\%+15\%)=40\%\). As frequências absolutas em falta são \(0{,}20\times360=72\), \(0{,}15\times360=54\) e \(0{,}15\times360=54\).

Número de automóveis que, por dia, usaram o parque de estacionamento
Classes	Frequência absoluta	Frequência relativa (%)	Frequência relativa acumulada (%)
0 a < 100	36	10%	10%
100 a < 200	72	20%	30%
200 a < 300	144	40%	70%
300 a < 400	54	15%	85%
400 a < 500	54	15%	100%
Total	360	100%

12.2

a) \(Q_1\)	Cerca de 25% dos dados. A acumulada passa de 10% (até 100) para 30% (até 200), logo o \(Q_1\) está na classe 100 a < 200.
b) Mediana	Cerca de 50% dos dados. A acumulada passa de 30% (até 200) para 70% (até 300), logo a mediana está na classe 200 a < 300.
c) \(Q_3\)	Cerca de 75% dos dados. A acumulada passa de 70% (até 300) para 85% (até 400), logo o \(Q_3\) está na classe 300 a < 400.

13.

Determinar quartis e completar o diagrama

Os dados seguintes referem-se às classificações obtidas no 1.º período, na disciplina de Matemática, pelos alunos da turma do Carlos.

2233333333333344444555555

13.1 Determina o 1.º quartil, a mediana e o 3.º quartil.

13.2 O diagrama de extremos e quartis da figura está incompleto. Completa-o.

13.3 Se não tivéssemos acesso às classificações, mas apenas ao diagrama anterior, seria possível identificar a mediana?

13.1 Ordenando os 25 dados: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

A mediana é o 13.º valor:

\[ Q_2=Me=3\qquad Q_1=\frac{3+3}{2}=3\qquad Q_3=\frac{4+5}{2}=4{,}5 \]

O mínimo é 2 e o máximo é 5.

13.2 As caixas, da esquerda para a direita, tomam os valores:

2	mínimo
3	1.º quartil \((Q_1)\) e mediana \((Q_2)\) — coincidem
4,5	3.º quartil \((Q_3)\)
5	máximo

13.3 Não. Como a mediana coincide com o 1.º quartil \((Me=Q_1=3)\), a linha da mediana não aparece separadamente no diagrama, podendo confundir-se com o \(Q_1\) ou com o \(Q_3\).

14.

Efeito de um valor muito afastado

Considera os conjuntos de dados seguintes.

Conjunto A

23344455566

Conjunto B

233444555620

14.1 Constrói o diagrama de extremos e quartis para cada um dos conjuntos de dados.

14.2 Os conjuntos de dados diferem apenas num número. Porque será que os diagramas construídos são tão diferentes?

14.1 Em ambos os conjuntos: \(Q_1=3\), \(Q_2=Me=4\) e \(Q_3=5\). Muda apenas o máximo (6 no conjunto A, 20 no conjunto B).

Conjunto A (mínimo 2, máximo 6):

Conjunto B (mínimo 2, máximo 20):

14.2 Apesar de os conjuntos diferirem apenas num valor, o número 20 é muito superior a todos os outros (é um valor muito afastado — um outlier). Como o máximo passa de 6 para 20, a amplitude total aumenta bastante e, na mesma escala, o segundo diagrama fica muito mais «esticado» para a direita, com um bigode muito comprido — embora a caixa (\(Q_1\), mediana e \(Q_3\)) se mantenha exatamente igual.