Diagrama de extremos e quartis. Amplitude interquartis

A amplitude interquartis é a diferença entre o 3.º quartil e o 1.º quartil.

Os dados já estão ordenados. A mediana é o valor central; cada quartil situa-se entre dois valores:

2.1

2.2

2.3

Determinam-se os extremos e os quartis a partir dos dados ordenados:

Mínimo \(=12\) e máximo \(=24\). O diagrama de extremos e quartis é:

Da esquerda para a direita, os cinco valores assinalados correspondem ao mínimo, 1.º quartil, mediana, 3.º quartil e máximo:

12	mínimo
14	1.º quartil \((Q_1)\)
19	mediana \((Q_2)\)
24	3.º quartil \((Q_3)\)
26	máximo

5.1 O vencedor é quem completou a prova em menos tempo, ou seja, o tempo mínimo. Logo, o vencedor realizou a prova em 92 segundos.

5.2 O último classificado corresponde ao tempo máximo (222 s). Assim, demorou mais

do que o vencedor.

5.3 O tempo mediano é 130 s. Como \(130\ \text{s}=2\ \text{min}\ 10\ \text{s}\), o tempo mediano é superior a 2 minutos.

5.4

A. Verdadeira. \(75\%\) dos atletas corresponde a valores até \(Q_3\). Como \(Q_3=150\ \text{s}\) e \(150\ \text{s}=2{,}5\ \text{min}=2\ \text{min}\ 30\ \text{s}\) (2 minutos e meio), 75% dos atletas demorou 2 minutos e meio, ou menos.

B. Falsa. Como \(Q_3=150\ \text{s}=2\ \text{min}\ 30\ \text{s}\), cerca de \(25\%\) dos atletas demoraram mais de 2 minutos e 30 segundos (e não 2 minutos e 41 segundos).

5.5 Não. O diagrama de extremos e quartis não fornece informação suficiente para calcular a média dos tempos.

«Não inferiores a» significa «iguais ou superiores a». Os 25% maiores valores do conjunto de dados situam-se à direita do 3.º quartil \((Q_3)\).

Do diagrama, \(Q_3=29\). Logo, 25% dos dados são iguais ou superiores a 29.

A → III	Sendo a distribuição assimétrica enviesada à direita, os dados estão mais concentrados entre o mínimo e a mediana e mais dispersos entre a mediana e o máximo — o que se verifica no Diagrama III.
B → III	A média é superior à mediana quando os dados se concentram mais junto do mínimo, o que acontece na distribuição enviesada à direita — Diagrama III.
C → II	Sendo a distribuição assimétrica enviesada à esquerda, os dados estão mais dispersos entre o mínimo e a mediana e mais concentrados entre a mediana e o máximo — Diagrama II.
D → I	A média e a mediana tomam valores iguais (ou próximos) numa distribuição simétrica — Diagrama I.
E → II	A média é inferior à mediana quando os dados se concentram mais junto do máximo, o que acontece na distribuição enviesada à esquerda — Diagrama II.
F → I	Numa distribuição simétrica, o diagrama de extremos e quartis é aproximadamente simétrico em relação ao segmento que assinala \(Q_2\) (a mediana) — Diagrama I.

No diagrama, o bigode direito (entre \(Q_3\) e o máximo) é muito mais comprido do que o esquerdo: os dados estão mais concentrados nas idades baixas e mais dispersos nas idades altas. A distribuição é, por isso, enviesada à direita (e a média é superior à mediana).

Isso significa que algumas pessoas têm idade superior à idade da maioria das outras pessoas.

Agrupa-se em classes quando os dados podem tomar muitos valores diferentes. Das quatro situações, o número de ovos postos por 700 insetos é a que, potencialmente, teria mais valores diferentes (nas outras, o número de quartos, de irmãos ou de automóveis toma poucos valores distintos).

10.1 Porque o conjunto é composto por muitos valores diferentes.

10.2 Há 30 dados no total.

11.1 Até ao \(Q_1\) está cerca de 25% dos dados. A frequência relativa acumulada atinge logo 27,5% na primeira classe, pelo que o \(Q_1\) se encontra na classe 750 a < 1000.

11.2 A mediana corresponde a cerca de 50% dos dados. A acumulada passa de 45% (até 1250) para 52,5% (até 1500), logo a mediana encontra-se na classe 1250 a < 1500.

11.3 Até ao \(Q_3\) está cerca de 75% dos dados. A acumulada passa de 52,5% (até 1500) para 97,5% (até 1750), logo o \(Q_3\) encontra-se na classe 1500 a < 1750.

12.1 Como a frequência absoluta 36 corresponde a 10%, o total é \(36\div0{,}10=360\) dias. A frequência relativa da classe 200 a < 300 é \(100\%-(10\%+20\%+15\%+15\%)=40\%\). As frequências absolutas em falta são \(0{,}20\times360=72\), \(0{,}15\times360=54\) e \(0{,}15\times360=54\).

12.2

a) \(Q_1\)	Cerca de 25% dos dados. A acumulada passa de 10% (até 100) para 30% (até 200), logo o \(Q_1\) está na classe 100 a < 200.
b) Mediana	Cerca de 50% dos dados. A acumulada passa de 30% (até 200) para 70% (até 300), logo a mediana está na classe 200 a < 300.
c) \(Q_3\)	Cerca de 75% dos dados. A acumulada passa de 70% (até 300) para 85% (até 400), logo o \(Q_3\) está na classe 300 a < 400.

13.1 Ordenando os 25 dados: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

A mediana é o 13.º valor:

O mínimo é 2 e o máximo é 5.

13.2 As caixas, da esquerda para a direita, tomam os valores:

2	mínimo
3	1.º quartil \((Q_1)\) e mediana \((Q_2)\) — coincidem
4,5	3.º quartil \((Q_3)\)
5	máximo

13.3 Não. Como a mediana coincide com o 1.º quartil \((Me=Q_1=3)\), a linha da mediana não aparece separadamente no diagrama, podendo confundir-se com o \(Q_1\) ou com o \(Q_3\).

14.1 Em ambos os conjuntos: \(Q_1=3\), \(Q_2=Me=4\) e \(Q_3=5\). Muda apenas o máximo (6 no conjunto A, 20 no conjunto B).

Conjunto A (mínimo 2, máximo 6):

Conjunto B (mínimo 2, máximo 20):

14.2 Apesar de os conjuntos diferirem apenas num valor, o número 20 é muito superior a todos os outros (é um valor muito afastado — um outlier). Como o máximo passa de 6 para 20, a amplitude total aumenta bastante e, na mesma escala, o segundo diagrama fica muito mais «esticado» para a direita, com um bigode muito comprido — embora a caixa (\(Q_1\), mediana e \(Q_3\)) se mantenha exatamente igual.