Treino de revisão
Resolve os itens apresentando os cálculos e as justificações necessárias. A ficha mistura respostas curtas, escolha múltipla e problemas de desenvolvimento.
As resoluções podem ser consultadas apenas no site. A impressão ou gravação em PDF inclui somente o enunciado.
Números, Álgebra, Sequências e Funções, Geometria e Dados.
Não há itens de Probabilidade.
1. Números e cálculo
Números inteiros e racionais, expressões numéricas, percentagens e notação científica.
Calcula o valor da expressão e apresenta o resultado na forma de fração irredutível:
\[ \frac{3}{4}\times\frac{8}{5}-\frac{6}{5}\div\left(\frac{1}{2}+1\right) \]
\(\frac{3}{4}\times\frac{8}{5}=\frac{24}{20}=\frac65\).
\(\frac12+1=\frac32\), logo \(\frac65\div\frac32=\frac65\times\frac23=\frac45\).
\(\frac65-\frac45=\frac25\).
Considera os números \(-1{,}2\), \(-\frac54\), \(\frac34\) e \(-0{,}8\).
- Ordena-os por ordem crescente.
- Indica o valor absoluto e o simétrico de \(-\frac54\).
\(-\frac54=-1{,}25\) e \(\frac34=0{,}75\).
Assim, \(-\frac54<-1{,}2<-0{,}8<\frac34\).
O valor absoluto de \(-\frac54\) é \(\frac54\) e o seu simétrico também é \(\frac54\).
Depois de um desconto de \(15\%\), uma mochila ficou a custar \(68\) euros. Qual era o preço antes do desconto?
Após o desconto paga-se \(100\%-15\%=85\%\) do preço inicial.
Se \(p\) é o preço inicial, \(0{,}85p=68\).
\(p=\frac{68}{0{,}85}=80\).
Escreve \(37\,500\,000\) em notação científica e indica o dobro desse número também em notação científica.
\(37\,500\,000=3{,}75\times10^7\).
O dobro é \(75\,000\,000=7{,}5\times10^7\).
2. Álgebra
Expressões algébricas, equações do 1.º grau e problemas traduzidos por equações.
Num paralelogramo, a base mede \(2x-1\) cm e o lado adjacente mede \(x+3\) cm.
- Escreve uma expressão simplificada para o perímetro.
- Calcula o perímetro quando \(x=4\).
\(P=2(2x-1)+2(x+3)\).
\(P=4x-2+2x+6=6x+4\).
Para \(x=4\), \(P=6\times4+4=28\).
Resolve a equação \(5x-7=23\).
\(5x-7=23 \Leftrightarrow 5x=30 \Leftrightarrow x=6\).
Três pulseiras iguais e \(4\) euros de portes custaram \(25\) euros. Quanto custou cada pulseira?
Se \(x\) é o preço de uma pulseira, então \(3x+4=25\).
\(3x=21\), logo \(x=7\).
3. Sequências e funções
Regularidades, objetos e imagens, representações de funções e proporcionalidade direta.
Observa a sequência \(4,7,10,13,\ldots\).
- Indica uma expressão para o termo de ordem \(n\).
- Determina o termo de ordem \(25\).
- Verifica se \(100\) é termo da sequência.
A diferença entre termos consecutivos é \(3\). Como o primeiro termo é \(4\), uma lei é \(u_n=3n+1\).
\(u_{25}=3\times25+1=76\).
Para verificar se \(100\) é termo: \(3n+1=100 \Leftrightarrow 3n=99 \Leftrightarrow n=33\).
Considera a função \(f\) definida por \(f(x)=4x-10\).
- Determina \(f(-2)\).
- Determina o objeto cuja imagem é \(14\).
\(f(-2)=4(-2)-10=-8-10=-18\).
Para ter imagem \(14\), resolve-se \(4x-10=14\).
\(4x=24\), logo \(x=6\).
O gráfico representa uma função de proporcionalidade direta que passa pelo ponto \((4,10)\).
- Determina a constante de proporcionalidade.
- Escreve uma expressão algébrica da função.
- Calcula a ordenada do ponto do gráfico cuja abcissa é \(12\).
Numa função de proporcionalidade direta, \(y=kx\).
Como o ponto \((4,10)\) pertence ao gráfico, \(10=4k\), logo \(k=2{,}5\).
Assim, \(f(x)=2{,}5x\) e \(f(12)=2{,}5\times12=30\).
4. Geometria
Ângulos, polígonos, quadriláteros, áreas, semelhança e poliedros.
Determina a soma das amplitudes dos ângulos internos de um octógono convexo. Se o octógono for regular, qual é a amplitude de cada ângulo interno e de cada ângulo externo?
A soma dos ângulos internos de um polígono de \(n\) lados é \((n-2)\times180^\circ\).
Para \(n=8\): \((8-2)\times180^\circ=1080^\circ\).
Num octógono regular, cada ângulo interno mede \(\frac{1080^\circ}{8}=135^\circ\).
Cada ângulo externo mede \(180^\circ-135^\circ=45^\circ\).
No trapézio \(ABCD\), as bases são paralelas. Sabe-se que \(\widehat{A}=68^\circ\), a altura mede \(4\) cm e as bases medem \(x+2\) cm e \(2x+1\) cm.
- Determina a amplitude de \(\widehat{D}\).
- Escreve uma expressão para a área do trapézio.
- Determina \(x\) sabendo que a área é \(30\) cm\(^2\).
Os ângulos internos do mesmo lado da secante entre bases paralelas são suplementares.
\(\widehat{D}=180^\circ-68^\circ=112^\circ\).
\(A=\frac{(x+2)+(2x+1)}{2}\times4=2(3x+3)=6x+6\).
Se \(A=30\), então \(6x+6=30 \Leftrightarrow 6x=24 \Leftrightarrow x=4\).
As diagonais de um papagaio medem \(12\) cm e \(8\) cm. Determina a sua área.
A área do papagaio é metade do produto das diagonais.
\(A=\frac{12\times8}{2}=48\).
Os triângulos \(T_1\) e \(T_2\) são retângulos. Em cada um deles existe ainda um ângulo agudo de \(36^\circ\).
Justifica que os triângulos são semelhantes.
Os dois triângulos têm um ângulo reto, com amplitude \(90^\circ\), e um ângulo agudo de \(36^\circ\).
Logo têm dois pares de ângulos correspondentes com a mesma amplitude.
A figura \(B\) é uma ampliação da figura \(A\) com razão de semelhança \(1{,}5\). Sabendo que \(P_A=24\) cm e \(A_A=32\) cm\(^2\), determina \(P_B\) e \(A_B\).
Os perímetros variam com a razão de semelhança: \(P_B=1{,}5\times24=36\).
As áreas variam com o quadrado da razão: \(A_B=1{,}5^2\times32=2{,}25\times32=72\).
Um poliedro tem \(12\) vértices e \(18\) arestas. Determina o número de faces.
Pela relação de Euler, \(V-A+F=2\).
\(12-18+F=2 \Leftrightarrow F-6=2 \Leftrightarrow F=8\).
5. Dados e estatística
População e amostra, classificação de variáveis, tabelas de frequências, gráficos e medidas resumo.
Numa escola pretende-se estudar o tempo, em minutos, que os \(820\) alunos do 3.º ciclo demoram de casa até à escola. Para isso, foram escolhidos \(30\) alunos do 7.º ano.
- Identifica a população e a amostra.
- Classifica a variável em estudo.
A população indicada é o conjunto dos \(820\) alunos do 3.º ciclo da escola.
A amostra é o grupo dos \(30\) alunos selecionados.
O tempo de deslocação é uma variável quantitativa contínua.
O número de mensagens enviadas por \(20\) alunos num grupo de estudo, durante uma tarde, foi:
\[ 1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 11,\ 12,\ 12,\ 14,\ 15,\ 17,\ 18,\ 18,\ 19,\ 21,\ 22,\ 24 \]
Constrói uma tabela de frequências absolutas e relativas em percentagem, agrupando os dados em classes de amplitude \(5\).
Uma possível organização é:
| Classe | Frequência absoluta | Frequência relativa |
|---|---|---|
| \([0,5[\) | 4 | \(20\%\) |
| \([5,10[\) | 4 | \(20\%\) |
| \([10,15[\) | 4 | \(20\%\) |
| \([15,20[\) | 5 | \(25\%\) |
| \([20,25]\) | 3 | \(15\%\) |
Por exemplo, na classe \([15,20[\) estão \(15,17,18,18,19\), num total de \(5\) alunos.
Considera o conjunto de dados \(6,7,8,8,9,10,11,12,15\).
- Determina a mediana.
- Determina a amplitude.
- Indica a moda.
Os dados já estão ordenados e há \(9\) valores. A mediana é o \(5.º\) valor: \(9\).
A amplitude é \(15-6=9\).
O valor que se repete mais vezes é \(8\).
O gráfico apresenta o número de livros requisitados na biblioteca escolar em quatro meses consecutivos.
- Indica o mês com maior número de requisições.
- Calcula a variação entre fevereiro e março.
- Explica porque um gráfico de linhas é adequado neste caso.
O maior valor representado é o de abril, com \(33\) requisições.
De fevereiro para março houve \(24-26=-2\), isto é, menos \(2\) requisições.
O gráfico de linhas é adequado porque os valores estão organizados ao longo do tempo e interessa observar a evolução entre meses consecutivos.