Treino de Revisão
Resolve os itens apresentando os cálculos e as justificações necessárias.
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Números, Álgebra, Sequências e Funções, Geometria e Dados.
Não há itens de Probabilidade.
1. Números e cálculo
Calcula o valor da seguinte expressão numérica, respeitando a prioridade das operações, e apresenta o resultado sob a forma de fração irredutível:
\[ \frac{2}{3} \times \left( -\frac{9}{4} \right) - \frac{5}{2} \div \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \]
Começamos por resolver a operação dentro dos parênteses e a multiplicação (que tem prioridade):
\( 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
\( \frac{2}{3} \times \left(-\frac{9}{4}\right) = -\frac{18}{12} \). Simplificando esta fração (dividindo por 6), obtemos \( -\frac{3}{2} \).
Substituindo na expressão original, ficamos com: \( -\frac{3}{2} - \frac{5}{2} \div \frac{3}{4} \)
A divisão tem prioridade sobre a subtração. Multiplicamos pelo inverso da segunda fração:
\( \frac{5}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{5}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{6} \). Simplificando (dividindo por 2), obtemos \( \frac{10}{3} \).
Por fim, realizamos a subtração reduzindo ao mesmo denominador (m.m.c. = 6):
\( -\frac{3}{2} - \frac{10}{3} = -\frac{9}{6} - \frac{20}{6} = -\frac{29}{6} \)
Calcula o valor da expressão e apresenta o resultado na forma de fração irredutível:
\[ \left( \frac{1}{2} - \frac{5}{3} \right) \div \frac{7}{6} + \left( - \frac{1}{4} \right) \]
Primeiro, resolvemos a operação dentro dos primeiros parênteses reduzindo ao mesmo denominador (m.m.c. = 6):
\( \frac{1}{2} - \frac{5}{3} = \frac{3}{6} - \frac{10}{6} = -\frac{7}{6} \)
Substituímos na expressão: \( -\frac{7}{6} \div \frac{7}{6} + \left( - \frac{1}{4} \right) \)
A divisão tem prioridade. Um número dividido por si mesmo é 1, logo, mantendo o sinal negativo, temos: \( -1 \).
Por fim, adicionamos o último termo (eliminando os parênteses):
\( -1 - \frac{1}{4} = -\frac{4}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4} \)
A Ana comprou uma bicicleta que se encontrava com uma promoção de 15%. Sabendo que ela pagou 233,75 €, determina o preço original da bicicleta (sem desconto).
Se o desconto foi de 15%, significa que a Ana pagou \( 100\% - 15\% = 85\% \) do valor original.
Sendo \( x \) o preço original, podemos traduzir o problema por: \( 0{,}85 \times x = 233{,}75 \)
Isolando a incógnita \( x \): \( x = \frac{233{,}75}{0{,}85} = 275 \)
Um determinado artigo de tecnologia sofreu um desconto de 25%, o que permitiu uma poupança exata de 18 € ao cliente. Qual era o preço inicial do artigo?
O desconto aplicado foi de 25%, e sabemos que o valor absoluto desse desconto corresponde a 18 €.
Se chamarmos \( x \) ao preço inicial, determinamos que: \( 0{,}25 \times x = 18 \)
Resolvendo em ordem a \( x \): \( x = \frac{18}{0{,}25} = 72 \) €.
Efetua o cálculo e apresenta o resultado final em notação científica com expoente natural:
\[ (6 \times 10^{4}) \times (5 \times 10^{3}) \]
Multiplicamos as mantissas e as potências de base 10 separadamente recorrendo às propriedades da multiplicação:
\( (6 \times 5) \times (10^{4} \times 10^{3}) \)
\( 30 \times 10^{4+3} = 30 \times 10^{7} \)
Para o número estar em notação científica, a mantissa tem de estar no intervalo \( [1, 10[ \). Convertemos \( 30 \) em \( 3 \times 10^1 \):
\( 3 \times 10^1 \times 10^7 = 3 \times 10^{8} \)
Apresenta o valor da seguinte expressão em notação científica:
\[ 4{,}2 \times 10^{4} + 150 \times 10^{2} \]
Para somar números com potências de base 10, devemos igualar os expoentes. Vamos ajustar o segundo termo para expoente 4:
\( 150 \times 10^{2} = 1{,}5 \times 10^2 \times 10^2 = 1{,}5 \times 10^{4} \)
Agora somamos as mantissas colocando a base comum em evidência:
\( (4{,}2 + 1{,}5) \times 10^{4} = 5{,}7 \times 10^{4} \)
Como \( 5{,}7 \) é maior ou igual a 1 e estritamente menor que 10, o número cumpre as regras da notação científica.
2. Álgebra
Duas retas paralelas são intersetadas por uma secante, conforme ilustrado na figura.
Sabendo que a amplitude de dois ângulos alternos internos formados são dadas pelas expressões \( 5x - 20^{\circ} \) e \( 3x + 10^{\circ} \), determina o valor de \( x \) e a amplitude desses ângulos.
Dado que as retas são paralelas, os ângulos alternos internos formados pela secante possuem exatamente a mesma amplitude:
\( 5x - 20 = 3x + 10 \)
Agrupamos os termos com incógnita no primeiro membro:
\( 5x - 3x = 10 + 20 \Leftrightarrow 2x = 30 \Leftrightarrow x = 15 \)
Substituindo para encontrar a amplitude: \( 5(15) - 20 = 75 - 20 = 55^{\circ} \).
Observa as dimensões do trapézio ilustrado abaixo.
Sabendo que a área da figura plana é de \( 45 \text{ cm}^2 \), constrói uma equação e determina o valor numérico de \( x \).
Aplicamos a fórmula da área do trapézio \( A = \frac{B + b}{2} \times h \):
\[ \frac{3x + (x + 2)}{2} \times 5 = 45 \]
Simplificamos a expressão dentro de parênteses antes de continuar:
\( \frac{4x + 2}{2} \times 5 = 45 \)
Dividindo os termos do numerador por 2, eliminamos o denominador de forma simples: \( (2x + 1) \times 5 = 45 \)
\( 10x + 5 = 45 \Leftrightarrow 10x = 40 \Leftrightarrow x = 4 \)
Sendo \( f \) uma função definida por \( f(x) = -2x + 4 \), determina qual é o objeto cuja imagem é \( -6 \).
A imagem é dada pelo valor de \( f(x) \). Pretendemos encontrar o valor da variável independente \( x \) (objeto):
\( -2x + 4 = -6 \)
Isolamos o termo com a incógnita:
\( -2x = -6 - 4 \Leftrightarrow -2x = -10 \)
\( x = \frac{-10}{-2} = 5 \)
Resolve a seguinte equação linear a uma incógnita (sem denominadores):
\[ 4(2x - 3) - 3(x + 1) = 2(x - 5) \]
Primeiro, aplicamos a propriedade distributiva (remover parênteses) em ambos os membros:
\( 8x - 12 - 3x - 3 = 2x - 10 \)
Reduzimos os termos semelhantes localizados no membro esquerdo:
\( 5x - 15 = 2x - 10 \)
Colocamos todos os termos com incógnita à esquerda e os constantes à direita:
\( 5x - 2x = -10 + 15 \)
\( 3x = 5 \)
Dividimos pelo coeficiente da incógnita para obter a solução:
\( x = \frac{5}{3} \)
3. Sequências e funções
O gráfico de uma função de proporcionalidade direta, \( g \), passa no ponto de coordenadas \( (-4, 14) \).
- Determina a constante de proporcionalidade da função.
- Calcula o valor de \( g(6) \).
1. A lei de uma função de proporcionalidade direta é dada por \( y = kx \). Substituindo o ponto dado, encontramos a constante \( k \):
\( k = \frac{y}{x} = \frac{14}{-4} = -3{,}5 \). Logo, a expressão algébrica é \( g(x) = -3{,}5x \).
2. Substituímos o valor do objeto pretendido (\( x = 6 \)) na expressão da função:
\( g(6) = -3{,}5 \times 6 = -21 \)
Sabe-se que numa papelaria, 5 cadernos idênticos custam 12,50 €. Admitindo que o preço é diretamente proporcional à quantidade comprada, escreve a expressão algébrica da função e calcula o preço de 8 cadernos.
Primeiro encontramos a constante de proporcionalidade \( k \), que representa o preço unitário de um caderno:
\( k = \frac{12{,}50}{5} = 2{,}5 \)
A relação algébrica que traduz a situação é: \( y = 2{,}5x \), onde \( x \) é o número de cadernos e \( y \) o custo.
Para determinar o custo de 8 cadernos, fazemos: \( y = 2{,}5 \times 8 = 20 \).
Considera a seguinte sequência formada por linhas de números ímpares ordenados:
Linha 1: 1
Linha 2: 1, 3
Linha 3: 1, 3, 5
Linha 4: 1, 3, 5, 7
Sabendo que a lei para a soma dos primeiros \( n \) números ímpares consecutivos é simplesmente expressa por \( n^2 \), determina por cálculo direto a soma total de todos os números presentes na Linha 100.
Observando o padrão estrutural, a Linha \( n \) contém precisamente os primeiros \( n \) números ímpares.
Como pretendemos somar os elementos da Linha 100, calculamos a soma dos primeiros 100 números ímpares consecutivos.
Substituindo o valor na relação fornecida para \( n = 100 \):
\( 100^2 = 100 \times 100 = 10\,000 \)
Considera a sequência numérica definida por: \( 5, 9, 13, 17, \dots \)
- Determina o termo geral desta sequência.
- Verifica se o número \( 145 \) pertence à sequência.
1. A diferença entre termos consecutivos é constante e igual a 4. A lei tem a forma de \( 4n + b \). Para \( n=1 \) (1.º termo), calculamos \( 4(1) = 4 \). Para atingir o valor inicial 5, precisamos de somar 1. O termo geral é \( u_n = 4n + 1 \).
2. Igualamos o termo geral a 145 para analisar a ordem do termo:
\( 4n + 1 = 145 \Leftrightarrow 4n = 144 \Leftrightarrow n = \frac{144}{4} = 36 \)
Como 36 é um número inteiro positivo (natural), concluímos que o valor 145 faz parte da sequência.
4. Geometria
Um determinado prisma regular plano tem 24 arestas no total. Determina o número de faces e o número de vértices deste sólido geométrico.
Num prisma cujas bases possuem \( n \) lados, sabemos que o número total de arestas é dado pela relação matemática \( A = 3n \).
Se o sólido possui 24 arestas: \( 3n = 24 \Rightarrow n = 8 \) (as bases são octógonos).
O número de faces do prisma calcula-se por \( F = n + 2 = 8 + 2 = 10 \).
O número de vértices calcula-se por \( V = 2n = 2 \times 8 = 16 \).
Um poliedro convexo regular tem o triplo do número de arestas relativamente ao número de faces (\(A = 3F\)). Sabendo que este sólido possui exatamente 14 vértices, recorre à Relação de Euler para calcular o seu número de faces.
Reunimos os dados extraídos: \( V = 14 \) e \( A = 3F \).
Aplicamos os dados na Relação de Euler para poliedros convexos (\( V - A + F = 2 \)):
\[ 14 - 3F + F = 2 \]
Simplificamos a equação linear obtida:
\( 14 - 2F = 2 \Leftrightarrow -2F = 2 - 14 \Leftrightarrow -2F = -12 \Leftrightarrow F = 6 \)
Os triângulos \( T_1 \) e \( T_2 \), representados em baixo, são triângulos retângulos.
Sabe-se que o triângulo \( T_1 \) possui um ângulo agudo de \( 42^{\circ} \) e o triângulo \( T_2 \) possui um ângulo agudo com \( 48^{\circ} \). Justifica, com base nos critérios matemáticos estudados, se os dois triângulos são semelhantes.
A soma interna dos três ângulos de qualquer triângulo plano é sempre \( 180^{\circ} \).
No triângulo retângulo \( T_1 \), conhecemos o ângulo reto (\(90^{\circ}\)) e um ângulo de \(42^{\circ}\). O terceiro ângulo mede: \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 42^{\circ} = 48^{\circ} \).
Isto prova que ambos os triângulos retângulos possuem exatamente os mesmos três ângulos internos correspondentes: \( 90^{\circ} \), \( 42^{\circ} \) e \( 48^{\circ} \).
Um triângulo original \( A \) sofreu um processo de ampliação geométrica com uma razão de semelhança igual a \( k = 3 \), originando o triângulo \( B \). Sabendo que a área final obtida no triângulo \( B \) é igual a \( 135 \text{ cm}^2 \), calcula a área do triângulo original.
A razão entre as áreas de duas figuras geométricas semelhantes é diretamente proporcional ao quadrado da razão de semelhança adotada (\( A_B = k^2 \times A_A \)).
Substituindo os valores conhecidos na relação:
\[ 135 = 3^2 \times A_A \]
\( 135 = 9 \times A_A \Leftrightarrow A_A = \frac{135}{9} = 15 \)
5. Dados e estatística
Num estudo estatístico realizado aos moradores de um condomínio, recolheu-se a variável "Nível de escolaridade concluído", com os valores: Básico, Secundário ou Superior. Classifica esta variável e justifica por que motivo não pode ser classificada como quantitativa.
Trata-se de uma variável qualitativa ordinal.
Não pertence à categoria das variáveis quantitativas porque os seus atributos representam qualidades ou categorias não numéricas (textuais), impossibilitando a realização de operações aritméticas (como o cálculo de médias).
Classifica-se como ordinal porque existe uma ordem ou hierarquia natural bem definida entre as opções disponíveis (Básico < Secundário < Superior).
Numa turma com 25 alunos, registaram-se as notas finais da disciplina de Inglês: 5 alunos obtiveram a menção de "Insuficiente", 12 alunos obtiveram "Suficiente" e os restantes obtiveram "Bom". Calcula a frequência relativa em percentagem para a nota "Bom".
Primeiro determinamos a frequência absoluta (contagem exata) de alunos que obtiveram a classificação "Bom":
\( 25 - 5 - 12 = 8 \) alunos.
A frequência relativa calcula-se dividindo este valor pelo total da amostra (\(25\)), multiplicando em seguida por 100 para converter o resultado decimal obtido numa percentagem:
\( f_r = \frac{8}{25} = 0{,}32 \rightarrow 0{,}32 \times 100 = 32\% \)
As alturas em centímetros de 15 atletas juvenis de uma modalidade desportiva são as seguintes:
\[ 145,\ 150,\ 152,\ 155,\ 158,\ 160,\ 161,\ 163,\ 165,\ 168,\ 170,\ 171,\ 172,\ 175,\ 178 \]
Organiza estes dados numa tabela de frequências absolutas utilizando classes de amplitude 10, iniciando no intervalo de valor \( [140, 150[ \).
Agrupamos os dados considerando os limites fechados à esquerda e abertos à direita:
| Classe de Altura (cm) | Frequência Absoluta (\(f_i\)) |
|---|---|
| \([140, 150[\) | 1 (valor: 145) |
| \([150, 160[\) | 4 (valores: 150, 152, 155, 158) |
| \([160, 170[\) | 5 (valores: 160, 161, 163, 165, 168) |
| \([170, 180[\) | 5 (valores: 170, 171, 172, 175, 178) |
Com base na tabela de distribuição de frequências que criaste no exercício anterior, calcula a percentagem exata de atletas da equipa que possuem uma altura igual ou superior a 160 cm.
Os atletas com altura igual ou superior a 160 cm pertencem às duas últimas classes da tabela (\( [160, 170[ \) e \( [170, 180[ \)).
Somamos as frequências absolutas destas classes: \( 5 + 5 = 10 \) atletas.
Calculamos a proporção dividindo a frequência acumulada encontrada pelo total de atletas (\(15\)):
\( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667 \)
Convertendo para percentagem (arredondado às décimas): \( 0{,}6667 \times 100 \approx 66{,}7\% \).