Probabilidades

Probabilidades · 7.º ano

Matemática - 7.º ano - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Experiências aleatórias

Numa experiência aleatória conhecem-se os resultados possíveis, mas não se sabe qual vai acontecer. O conjunto de todos os resultados possíveis é o espaço de resultados.

Modelo de probabilidade

Associa a cada resultado a sua probabilidade, normalmente numa tabela:

Regra de Laplace

Quando todos os resultados têm a mesma probabilidade (equiprováveis):

\[ P(A)=\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}} \]

\(P=0\): acontecimento impossível; \(P=1\): acontecimento certo. Numa roleta, a probabilidade de cada cor é proporcional à área (ou ângulo) dos setores dessa cor.

Experiências com dois objetos

Para contar os casos (por exemplo, a soma de dois dados), organiza-se uma tabela de dupla entrada ou um diagrama em árvore.

1. Modelo de probabilidade num dado

1

Na tabela encontra-se um modelo de probabilidade associado ao lançamento de um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6.

Número da face 1 2 3 4 5 6
Probabilidade \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{6}\)

Tal como a tabela sugere, o dado não é equilibrado. Calcula a probabilidade de, no lançamento do dado, sair uma face numerada com um número maior que 4.

Resolução

\[ \underbrace{\frac{1}{12}}_{\text{Sair 5}}+ \underbrace{\frac{1}{6}}_{\text{Sair 6}} =\frac{1}{12}+\frac{2}{12} =\frac{3}{12} =\frac{1}{4} \]
A probabilidade de sair uma face numerada com um número maior que 4 é \(\frac{1}{4}\).

2. Modelo de probabilidade com bolas

2

Um saco opaco tem, no seu interior, bolas brancas, pretas e vermelhas. Considera a experiência que consiste em extrair, ao acaso, uma bola e registar a cor.

Sabe-se que a probabilidade de sair uma bola branca é \(\frac{1}{5}\) e que a probabilidade de sair uma bola preta é igual à de sair uma bola vermelha.

Constrói um modelo de probabilidade associado a esta experiência.

Resolução

Como a probabilidade de sair uma bola branca é \(\frac{1}{5}\), a probabilidade de sair uma bola preta ou vermelha é:

\[1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\]

Sendo a probabilidade de sair uma bola preta igual à probabilidade de sair uma bola vermelha, a probabilidade de cada um desses acontecimentos é:

\[\frac{4}{5}:2=\frac{2}{5}\]
Cor da bola Branca Preta Vermelha
Probabilidade \(\frac{1}{5}\) \(\frac{2}{5}\) \(\frac{2}{5}\)

3. Probabilidade em escalões desportivos

3

Um clube de futebol tem, nas suas camadas jovens, atletas de quatro escalões diferentes: benjamins, infantis, iniciados e juvenis. Selecionou-se, ao acaso, um atleta e registou-se o escalão ao qual pertence.

O modelo de probabilidade associado a essa experiência é:

Escalão Benjamins Infantis Iniciados Juvenis
Probabilidade 0,1 0,6 0,2 \(a\)

Na tabela, \(a\) representa a probabilidade de ser selecionado um atleta do escalão juvenil.

Determina a probabilidade de ser selecionado um atleta iniciado ou juvenil.

Resolução

Como a soma de todas as probabilidades tem de ser 1:

\[0{,}1+0{,}6+0{,}2+a=1 \quad\Rightarrow\quad a=0{,}1\]

Assim, a probabilidade de ser selecionado um atleta iniciado ou juvenil é:

\[0{,}2+0{,}1=0{,}3\]
Resposta: 0,3.

4. Peças coloridas

4

Numa caixa estão peças de um jogo infantil, de várias cores. Na tabela seguinte estão representadas as probabilidades de obter cada uma das cores, quando se retira uma peça da caixa sem observar a sua cor.

Cor da peça Amarelo Azul Verde Vermelho
Probabilidade \(\frac{2}{7}\) \(\frac{2}{7}\) \(\frac{3}{14}\) \(\frac{3}{14}\)

Calcula as seguintes probabilidades:

  1. 4.1 \(P(\text{«sair peça amarela ou verde»})\).
  2. 4.2 \(P(\text{«não sair peça azul»})\).
  3. 4.3 \(P(\text{«sair peça preta»})\).
  4. 4.4 \(P(\text{«sair peça amarela, azul, verde ou vermelha»})\).

Resolução

  1. 4.1 \[ P(\text{amarela ou verde}) =\frac{2}{7}+\frac{3}{14} =\frac{4}{14}+\frac{3}{14} =\frac{7}{14} =\frac{1}{2} \]
  2. 4.2 \[ P(\text{não azul}) =\frac{2}{7}+\frac{3}{14}+\frac{3}{14} =\frac{10}{14} =\frac{5}{7} \]
  3. 4.3 \(P(\text{peça preta})=0\). É um acontecimento impossível.
  4. 4.4 \(P(\text{amarela, azul, verde ou vermelha})=1\). É um acontecimento certo.

5. Soma de dados tetraédricos

5

Uma experiência consiste em lançar dois dados com a forma de um tetraedro, cujos vértices estão numerados de 1 a 4, e adicionar a pontuação dos vértices voltados para cima.

Na tabela seguinte estão representadas as probabilidades de sair cada uma das somas possíveis.

Soma 2 3 4 5 6 7 8
Probabilidade \(\frac{1}{16}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{3}{16}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{3}{16}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{16}\)

Calcula cada uma das probabilidades:

  1. 5.1 \(P(\text{«sair soma superior a 6»})\).
  2. 5.2 \(P(\text{«sair soma igual a um número primo»})\).
  3. 5.3 \(P(\text{«sair soma divisível por 3»})\).
  4. 5.4 \(P(\text{«sair soma não superior a 4»})\).

Resolução

  1. 5.1 \[ P(\text{soma}>6) =P(\text{soma}=7)+P(\text{soma}=8) =\frac{1}{8}+\frac{1}{16} =\frac{3}{16} \]
  2. 5.2 \[ P(\text{soma prima}) =P(2)+P(3)+P(5)+P(7) =\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} =\frac{9}{16} \]
  3. 5.3 \[ P(\text{soma divisível por 3}) =P(3)+P(6) =\frac{1}{8}+\frac{3}{16} =\frac{5}{16} \]
  4. 5.4 \[ P(\text{soma}\leq4) =P(2)+P(3)+P(4) =\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{3}{16} =\frac{3}{8} \]

6. Escolha de um animal

6

Uma associação de proteção de animais tem cães, gatos, hamsters, papagaios, peixinhos-dourados, periquitos e tartarugas para adoção. Quando o Tomás foi à associação adotar um animal, não sabia que animal escolher, pois gostava de todas as espécies de igual maneira.

As probabilidades associadas à escolha da espécie do animal estão representadas na tabela seguinte.

Animal Cão Gato Hamster Papagaio Peixinho-dourado Periquito Tartaruga
Probabilidade \(\frac{1}{7}\) \(\frac{1}{7}\) \(\frac{1}{7}\) \(\frac{1}{7}\) \(\frac{1}{7}\) \(\frac{1}{7}\) \(\frac{1}{7}\)

Calcula a probabilidade de o Tomás adotar um animal:

  1. 6.1 mamífero;
  2. 6.2 com penas;
  3. 6.3 ovíparo.

Resolução

  1. 6.1 \[ P(\text{mamífero}) =P(\text{cão})+P(\text{gato})+P(\text{hamster}) =\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7} =\frac{3}{7} \]
  2. 6.2 \[ P(\text{com penas}) =P(\text{papagaio})+P(\text{periquito}) =\frac{1}{7}+\frac{1}{7} =\frac{2}{7} \]
  3. 6.3 \[ P(\text{ovíparo}) =P(\text{papagaio})+P(\text{peixinho-dourado})+P(\text{periquito})+P(\text{tartaruga}) =\frac{4}{7} \]

7. Roletas e modelos de probabilidade

7

Faz corresponder cada roleta à tabela que representa as probabilidades de obter cada uma das cores.

Modelo Azul Amarelo Verde Vermelho Laranja
1\(\frac{1}{5}\)\(\frac{1}{5}\)\(\frac{1}{5}\)\(\frac{1}{5}\)\(\frac{1}{5}\)
2\(\frac{1}{8}\)\(\frac{1}{8}\)\(\frac{1}{2}\)\(\frac{1}{8}\)\(\frac{1}{8}\)
3\(\frac{1}{9}\)\(\frac{1}{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(\frac{1}{9}\)\(\frac{1}{9}\)
4\(\frac{5}{24}\)\(\frac{5}{24}\)\(\frac{1}{3}\)\(\frac{1}{8}\)\(\frac{1}{8}\)

Resolução

1 – B; 2 – D; 3 – A; 4 – C.

8. Cartões com letras

8

A Lara tem um conjunto de 10 cartões com letras, que formam a palavra MATEMÁTICA. Na tabela seguinte estão representadas as probabilidades de obter cada uma das letras, quando se escolhe um cartão sem o observar.

Letra A C E I M T
Probabilidade \(\frac{3}{10}\) \(\frac{1}{10}\) \(\frac{1}{10}\) \(\frac{1}{10}\) \(\frac{1}{5}\) \(\frac{1}{5}\)

A Lara vai retirar um cartão, ao acaso, e observar a letra que saiu. Na experiência aleatória «sair uma letra», dá um exemplo de:

  1. 8.1 dois acontecimentos equiprováveis;
  2. 8.2 um acontecimento com probabilidade igual a \(\frac{2}{5}\);
  3. 8.3 um acontecimento com probabilidade igual a \(\frac{3}{5}\).

Resolução

  1. 8.1 Dois acontecimentos são equiprováveis quando têm igual probabilidade de ocorrer. Por exemplo, «sair a letra M» e «sair a letra T».
  2. 8.2 Por exemplo, «sair a letra M ou T»: \[ P(\text{M ou T})=P(\text{M})+P(\text{T}) =\frac{1}{5}+\frac{1}{5} =\frac{2}{5} \]
  3. 8.3 Por exemplo, «não sair a letra M nem T»: \[ P(\text{não M nem T}) =P(\text{A})+P(\text{C})+P(\text{E})+P(\text{I}) =\frac{3}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10} =\frac{3}{5} \]