Semelhança de Triângulos

Critérios de semelhança, razões, comprimentos e áreas

1.

Critérios LLL, LAL e AA

Justifica, em cada alínea, que os triângulos são semelhantes.

1.1.

Dois triângulos com lados 4, 4 e 6, e 3, 3 e 4,5

1.2.

Dois triângulos com um ângulo de 56 graus e lados adjacentes proporcionais

1.3.

Dois triângulos retângulos com ângulos verticalmente opostos

1.1. Os três pares de lados correspondentes são proporcionais:

\(\dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{3}=\dfrac{6}{4{,}5}=\dfrac{4}{3}\)

Logo, pelo critério LLL, os triângulos são semelhantes.

1.2. Os lados adjacentes ao ângulo de \(56^\circ\) são proporcionais:

\(\dfrac{12}{9{,}6}=1{,}25\quad\text{e}\quad\dfrac{8}{6{,}4}=1{,}25\)

Como o ângulo compreendido é igual, pelo critério LAL, os triângulos são semelhantes.

1.3. Os triângulos têm um par de ângulos verticalmente opostos, logo iguais, e um par de ângulos retos.

Pelo critério AA, os triângulos são semelhantes.

2.

Triângulos retângulos semelhantes

Qual dos seguintes critérios de semelhança de triângulos pode ser utilizado para provar que os triângulos \([ABC]\) e \([DEF]\), representados na figura, são semelhantes?

Triângulos retângulos ABC e DEF com catetos 3 e 4, e 6 e 8
(A) Critério L-L-L (B) Critério L-A-L (C) Critério A-A (D) Nenhum dos critérios anteriores

Os catetos correspondentes são proporcionais:

\(\dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{\overline{AC}}{\overline{DF}}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

Os ângulos compreendidos são retos. Assim, os triângulos são semelhantes pelo critério LAL.

Resposta correta: (B).
3.

Verificar a semelhança

Em cada alínea estão representados dois triângulos. Indica, justificando, se os triângulos são semelhantes.

3.1.

Triângulos ABC e CDE com vários comprimentos assinalados

3.2.

Triângulos ABC e CDE com ângulos de 25, 36 e 119 graus

3.3.

Triângulo ABC com o triângulo CDE no seu interior

3.1. Comparam-se os lados correspondentes:

\(\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\dfrac{30}{12}=\dfrac{5}{2}\)
\(\dfrac{\overline{BC}}{\overline{CE}}=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{DE}}=\dfrac{18}{8}=\dfrac{9}{4}\)

Como as razões não são todas iguais, os triângulos \([ABC]\) e \([CDE]\) não são semelhantes.

3.2.

\(\angle ACB=180^\circ-36^\circ-119^\circ=25^\circ\)
\(\angle BAC=\angle ECD=36^\circ\)
\(\angle ACB=\angle CDE=25^\circ\)

Pelo critério AA, os triângulos \([ABC]\) e \([CDE]\) são semelhantes.

3.3. \(\angle BAC=\angle CDE=90^\circ\) e o ângulo em \(C\) é comum aos dois triângulos.

Pelo critério AA, os triângulos \([ABC]\) e \([CDE]\) são semelhantes.

4.

Selecionar triângulos semelhantes

Dos três triângulos representados em cada caso, seleciona os dois que são semelhantes. Indica o critério de semelhança que permite justificar a tua resposta.

4.1.

Três triângulos verdes com comprimentos dos lados assinalados

4.2.

Três triângulos vermelhos com amplitudes de ângulos assinaladas

4.3.

Três triângulos isósceles com lados e ângulos assinalados

4.1. Para os triângulos \([ABC]\) e \([DEF]\):

\(\dfrac{3}{3{,}9}=\dfrac{5}{6{,}5}=\dfrac{4}{5{,}2}=\dfrac{10}{13}\)

Os três pares de lados são proporcionais. Pelo critério LLL, \([ABC]\) é semelhante a \([DEF]\).

4.2. No triângulo \([JLK]\):

\(\angle JLK=180^\circ-20^\circ-60^\circ=100^\circ\)

Assim, \(\angle JLK=\angle QRP\) e \(\angle JKL=\angle PQR\). Pelo critério AA, os triângulos \([JLK]\) e \([PQR]\) são semelhantes.

4.3. Todos os triângulos são isósceles.

\(\angle STU=80^\circ\) e \(\angle WVX=180^\circ-50^\circ-50^\circ=80^\circ\)
\(\dfrac{\overline{ST}}{\overline{WV}}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\quad\text{e}\quad \dfrac{\overline{TU}}{\overline{VX}}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\)

Pelo critério LAL, os triângulos \([STU]\) e \([WVX]\) são semelhantes.

5.

Bandeira e triângulos isósceles

Considera a bandeira da figura, na qual se identificam dois triângulos isósceles, \([IVO]\) e \([GIL]\).

Bandeira triangular com os triângulos isósceles IVO e GIL

Sabe-se que:

  • \(\overline{GL}=15{,}96\text{ cm}\);
  • \(\overline{GI}=\overline{IL}=22{,}8\text{ cm}\);
  • \(\overline{VO}=8{,}4\text{ cm}\).

5.1. Justifica que os triângulos \([IVO]\) e \([GIL]\) são semelhantes.

5.2. Completa a igualdade, considerando os lados correspondentes: \(\dfrac{\overline{GL}}{\square}=\dfrac{\square}{\overline{VI}}=\dfrac{\overline{GI}}{\square}\)

5.3. Determina \(\overline{IV}\) e \(\overline{OI}\).

5.1. O ângulo de vértice \(I\) é comum. Como os dois triângulos são isósceles, \(\overline{GI}=\overline{LI}\) e \(\overline{IO}=\overline{IV}\). Pelo critério LAL, os triângulos são semelhantes.

5.2. A correspondência é \(G\leftrightarrow O\), \(L\leftrightarrow V\) e \(I\leftrightarrow I\):

\(\dfrac{\overline{GL}}{\overline{OV}}= \dfrac{\overline{LI}}{\overline{VI}}= \dfrac{\overline{GI}}{\overline{OI}}\)

5.3. A razão de ampliação é:

\(r=\dfrac{15{,}96}{8{,}4}=1{,}9\)
\(\overline{IV}=\dfrac{22{,}8}{1{,}9}=12\text{ cm}\)

Como \([IVO]\) é isósceles, \(\overline{OI}=\overline{IV}=12\text{ cm}\).

6.

Tangram e áreas

O tangram é um puzzle geométrico de sete peças, composto por um quadrado, um paralelogramo e cinco triângulos, todos isósceles e retângulos.

Na figura estão identificados os triângulos 1, 2 e 3. Sabe-se que o triângulo 1 tem \(112{,}5\text{ cm}^2\) de área.

Tangram com os triângulos 1 e 2 identificados Triângulo 3 do tangram

6.1. Justifica que os triângulos 1, 2 e 3 são semelhantes entre si.

6.2. Qual é a área do triângulo 2, sabendo que é uma redução de razão \(\dfrac{1}{2}\) do triângulo 1?

6.3. O triângulo 3 é uma ampliação do triângulo 2 de razão \(\dfrac{7}{5}\). Sabendo que os lados iguais do triângulo 2 medem \(7{,}5\text{ cm}\), determina a área do triângulo 3.

6.1. Os três triângulos são retângulos e isósceles. Têm um ângulo reto e os dois lados adjacentes a esse ângulo são iguais. Pelo critério LAL, são semelhantes.

6.2. As áreas variam segundo o quadrado da razão:

\(\dfrac{A_2}{A_1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
\(A_2=\dfrac{1}{4}\times112{,}5=28{,}125\text{ cm}^2\)

6.3. Confirma-se primeiro a área do triângulo 2:

\(A_2=\dfrac{7{,}5\times7{,}5}{2}=28{,}125\text{ cm}^2\)
\(A_3=A_2\left(\dfrac{7}{5}\right)^2 =28{,}125\times\dfrac{49}{25} =55{,}125\text{ cm}^2\)
7.

Retas paralelas

Relativamente à figura, sabe-se que:

  • as retas \(AU\) e \(SO\) são paralelas;
  • \(L\) é o ponto de interseção das retas \(AO\) e \(SU\);
  • \(\overline{SO}=4{,}5\text{ cm}\), \(\overline{LO}=5{,}4\text{ cm}\), \(\overline{LS}=6{,}3\text{ cm}\) e \(\overline{LA}=3\text{ cm}\).
Triângulos SOL e LUA formados por duas retas paralelas

7.1. Justifica que os triângulos \([SOL]\) e \([LUA]\) são semelhantes.

7.2. Seleciona a opção verdadeira.

(A) \(\dfrac{\overline{AU}}{\overline{SO}}=\dfrac{\overline{LS}}{\overline{LU}}\) (B) \(\overline{LU}=\dfrac{18}{7}\text{ cm}\) (C) \(\overline{UA}=\dfrac{5}{2}\text{ cm}\) (D) A razão que transforma \([SOL]\) em \([LUA]\) é \(\dfrac{9}{5}\)

7.1. Os ângulos \(UAL\) e \(LOS\) são iguais por serem alternos internos. Os ângulos \(ULA\) e \(OLS\) são verticalmente opostos.

Pelo critério AA, os triângulos \([SOL]\) e \([LUA]\) são semelhantes.

7.2. A razão que transforma \([SOL]\) em \([LUA]\) é:

\(r=\dfrac{\overline{LA}}{\overline{LO}}=\dfrac{3}{5{,}4}=\dfrac{5}{9}\)
\(\overline{LU}=6{,}3\times\dfrac{5}{9}=3{,}5=\dfrac{7}{2}\text{ cm}\)
\(\overline{UA}=4{,}5\times\dfrac{5}{9}=2{,}5=\dfrac{5}{2}\text{ cm}\)
Resposta correta: (C).
8.

Comprimentos e área

Observa a figura.

Triângulo ABC com o triângulo ADE no seu interior

8.1. Justifica que os triângulos \([ADE]\) e \([ABC]\) são semelhantes.

8.2. Sabe-se que:

  • \(\overline{ED}=4\text{ cm}\);
  • \(\overline{AE}=\dfrac{1}{2}\overline{AB}\);
  • a área do triângulo \([ABC]\) é \(80\text{ cm}^2\).

a) Determina \(\overline{BC}\).

b) Determina \(\overline{AB}\).

8.1. O ângulo em \(A\) é comum aos dois triângulos e \(\angle AED=\angle ABC=90^\circ\). Pelo critério AA, os triângulos são semelhantes.

8.2. a) Como \(\overline{AE}=\dfrac{1}{2}\overline{AB}\), a razão de ampliação do triângulo \([ADE]\) para \([ABC]\) é \(2\).

\(\overline{BC}=2\times\overline{ED}=2\times4=8\text{ cm}\)

b) Usa-se a área do triângulo \([ABC]\):

\(\dfrac{\overline{AB}\times\overline{BC}}{2}=80\)
\(\dfrac{\overline{AB}\times8}{2}=80\)
\(\overline{AB}=20\text{ cm}\)
9.

Ampliação de triângulos

Os triângulos \([ABC]\) e \([EDC]\) são semelhantes.

Triângulo ABC com o segmento ED paralelo à base AB

9.1. Determina a razão de semelhança, na ampliação.

9.2. Determina o valor de \(x\).

9.1. Como \(\overline{AC}=4+8=12\text{ cm}\):

\(r=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{EC}}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}\)

9.2. A base \(AB\) corresponde ao segmento \(ED\):

\(x=5{,}4\times\dfrac{3}{2}=8{,}1\text{ cm}\)
10.

Identificar critérios

Observa os dois pares de triângulos.

Dois pares de triângulos com comprimentos e ângulos retos assinalados

Os critérios que justificam a semelhança dos triângulos são, respetivamente:

(A) LLL e AA (B) LLL e LAL (C) LAL e AA (D) AA e LAL

No primeiro par, os lados são proporcionais:

\(\dfrac{4}{2}=\dfrac{6}{3}=\dfrac{8}{4}=2\)

Aplica-se o critério LLL.

No segundo par, os catetos são proporcionais e o ângulo compreendido é reto:

\(\dfrac{7{,}5}{5}=\dfrac{9}{6}=1{,}5\)

Aplica-se o critério LAL.

Resposta correta: (B).
11.

Triângulos entre paralelas

Considera os triângulos \([ABC]\) e \([CDE]\) representados na figura. Os segmentos \([AB]\) e \([ED]\) são paralelos.

Triângulos ABC e CDE entre segmentos paralelos AB e ED

Tendo em conta os dados da figura, qual é a medida do lado \([ED]\)?

Os ângulos \(ACB\) e \(ECD\) são verticalmente opostos. Como \(AB\parallel ED\), os ângulos \(ABC\) e \(CDE\) são alternos internos.

Pelo critério AA, os triângulos são semelhantes.

\(\dfrac{\overline{CD}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{ED}}{\overline{AB}}\)
\(\overline{ED}=\dfrac{8}{5}\times3{,}5=5{,}6\text{ cm}\)
A medida do lado \([ED]\) é \(5{,}6\text{ cm}\).