Figuras Semelhantes — Áreas e Perímetros

Razões de semelhança, perímetros e áreas de figuras semelhantes

1.

Pentágonos semelhantes

Os pentágonos \(A\) e \(B\) da figura são semelhantes.

Dois pentágonos semelhantes A e B, com as medidas indicadas

1.1. Qual é a razão de semelhança na transformação do pentágono \(A\) no pentágono \(B\)?

1.2. Determina o perímetro e a área do pentágono \(B\).

1.1. Comparam-se lados correspondentes:

\(r=\dfrac{3}{4}\)

1.2. Perímetro. Somam-se apenas os cinco lados exteriores do pentágono \(A\):

\(P_A=3{,}6+3{,}6+3+3+4=17{,}2\text{ cm}\)
\(P_B=\dfrac{3}{4}\times17{,}2=12{,}9\text{ cm}\)

Área. O pentágono \(A\) decompõe-se num retângulo e num triângulo:

\(A_A=4\times3+\dfrac{4\times3}{2}=12+6=18\text{ cm}^2\)
\(\dfrac{A_B}{A_A}=r^2=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}\)
\(A_B=\dfrac{9}{16}\times18=10{,}125\text{ cm}^2\)
Perímetro de \(B\): \(12{,}9\text{ cm}\). Área de \(B\): \(10{,}125\text{ cm}^2\).
2.

Triângulos semelhantes

Na figura, os triângulos \([ABC]\) e \([BDE]\) são semelhantes. Sabe-se que \(\overline{AC}=45\text{ cm}\) e \(\overline{DE}=30\text{ cm}\).

Triângulos semelhantes ABC e BDE, com lados correspondentes de 45 e 30 centímetros

2.1. Qual é a razão de semelhança na redução?

2.2. Se o perímetro do triângulo \([ABC]\) for igual a \(135\text{ cm}\), qual é o perímetro do triângulo \([BDE]\)?

2.3. Se a área do triângulo \([BDE]\) for igual a \(270\text{ cm}^2\), qual é a área do triângulo \([ABC]\)?

2.1.

\(r=\dfrac{30}{45}=\dfrac{2}{3}\)

2.2. Os perímetros variam na mesma razão que os comprimentos:

\(P_{[BDE]}=\dfrac{2}{3}\times135=90\text{ cm}\)

2.3. As áreas variam segundo o quadrado da razão:

\(\dfrac{A_{[BDE]}}{A_{[ABC]}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}\)
\(A_{[ABC]}=270\times\dfrac{9}{4}=607{,}5\text{ cm}^2\)
3.

Três pentágonos semelhantes

Na figura estão representados três pentágonos semelhantes. Cada pentágono pode ser decomposto num retângulo e num triângulo isósceles. Sabe-se que, com arredondamento às unidades, \(y\approx106^\circ\).

Três pentágonos semelhantes A, B e C, com medidas e ângulos assinalados

3.1. Qual é, em graus e com arredondamento às unidades, a amplitude do ângulo \(x\)?

3.2. Qual é o valor de \(a\)?

3.3. Qual é o perímetro da figura \(A\)?

3.4. Qual é a área da figura \(C\)?

3.1. Em figuras semelhantes, os ângulos correspondentes são iguais. Logo, \(x\approx106^\circ\).

3.2.

\(\dfrac{a}{10}=\dfrac{15}{12}\)
\(a=\dfrac{15\times10}{12}=12{,}5\text{ cm}\)

3.3. Primeiro, calcula-se o perímetro de \(B\):

\(P_B=15\times2+12+7{,}5\times2=57\text{ cm}\)
\(r_{A/B}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}\)
\(P_A=\dfrac{5}{6}\times57=47{,}5\text{ cm}\)

3.4. A área de \(B\) é a soma das áreas do retângulo e do triângulo:

\(A_B=12\times15+\dfrac{12\times4{,}5}{2}=180+27=207\text{ cm}^2\)
\(r_{C/B}=\dfrac{16}{12}=\dfrac{4}{3}\), logo \(r^2=\dfrac{16}{9}\)
\(A_C=\dfrac{16}{9}\times207=368\text{ cm}^2\)
4.

Razões de semelhança

Considera dois pentágonos regulares em que a razão de semelhança da redução é \(\dfrac{4}{9}\).

4.1. Qual é a razão de semelhança da ampliação?

4.2. Considera que o pentágono menor tem \(60\text{ cm}\) de perímetro. Qual é o perímetro do pentágono maior?

4.3. A razão entre as áreas dos pentágonos pode ser igual a:

(A) \(\dfrac{4}{9}\) (B) \(\dfrac{9}{4}\) (C) \(\dfrac{16}{81}\) (D) \(\dfrac{2}{3}\)

4.1. A razão da ampliação é o inverso da razão da redução:

\(r=\dfrac{9}{4}\)

4.2.

\(P_{\text{maior}}=\dfrac{9}{4}\times60=135\text{ cm}\)

4.3. Na redução, a razão entre as áreas é:

\(\left(\dfrac{4}{9}\right)^2=\dfrac{16}{81}\)
Resposta de 4.3: (C).
5.

Área de trapézios semelhantes

Na figura estão representados dois trapézios semelhantes e assinaladas algumas medidas, em centímetros.

Dois trapézios semelhantes, um com bases 3 e 9 e outro com medidas 2 e 4,5

Determina a área do trapézio maior. Apresenta o resultado em \(\text{cm}^2\).

O lado de \(4{,}5\text{ cm}\) do trapézio menor corresponde à base de \(9\text{ cm}\) do trapézio maior. Assim, a razão de ampliação é:

\(r=\dfrac{9}{4{,}5}=2\)

A altura do trapézio menor é \(2\text{ cm}\), logo a altura do maior é \(2\times2=4\text{ cm}\).

\(A_{\text{maior}}=\dfrac{3+9}{2}\times4=24\text{ cm}^2\)
A área do trapézio maior é \(24\text{ cm}^2\).
6.

Retângulos semelhantes

Os retângulos \(A\) e \(B\) são semelhantes.

Dois retângulos semelhantes, A maior e B menor

Sabe-se que a razão de ampliação é \(1{,}4\).

6.1. Se o retângulo \(A\) tiver \(14\text{ cm}\) de perímetro, qual é o perímetro do retângulo \(B\)?

6.2. Se a área do retângulo \(B\) for igual a \(10\text{ cm}^2\), qual é a área do retângulo \(A\)?

6.1. A razão de redução é o inverso de \(1{,}4\):

\(1{,}4=\dfrac{14}{10}=\dfrac{7}{5}\), logo \(r_{\text{redução}}=\dfrac{5}{7}\)
\(P_B=\dfrac{5}{7}\times14=10\text{ cm}\)

6.2. A razão entre as áreas é o quadrado da razão de ampliação:

\(1{,}4^2=1{,}96\)
\(A_A=1{,}96\times10=19{,}6\text{ cm}^2\)
7.

Triângulo equilátero e quadrado

Na figura está representado um triângulo equilátero \([ABC]\) e um quadrado \([DEFG]\), cujo lado mede \(15\text{ cm}\). Sabe-se que o triângulo e o quadrado têm o mesmo perímetro.

Triângulo equilátero ABC e quadrado DEFG de lado 15 centímetros

Determina:

7.1. O perímetro, em centímetros, de um triângulo equilátero obtido de \([ABC]\) através de uma redução de razão \(\dfrac{1}{4}\).

7.2. A área, em \(\text{cm}^2\), de um quadrado obtido de \([DEFG]\) através de uma ampliação de razão \(2\).

7.1. O quadrado e o triângulo têm o mesmo perímetro:

\(P_{[DEFG]}=4\times15=60\text{ cm}\), logo \(P_{[ABC]}=60\text{ cm}\)
\(P_{\text{redução}}=\dfrac{1}{4}\times60=15\text{ cm}\)

7.2.

\(A_{[DEFG]}=15^2=225\text{ cm}^2\)
\(r=2\), logo \(r^2=4\)
\(A_{\text{ampliação}}=4\times225=900\text{ cm}^2\)
8.

Critério LAL e perímetro

Na figura estão representados os triângulos \([ABC]\) e \([CED]\). Sabe-se que o ponto \(C\) pertence às retas \(AE\) e \(BD\).

Triângulos ABC e CED com lados 3, 5, 9, 12 e 15 centímetros

Atendendo aos dados da figura:

8.1. Justifica que os dois triângulos são semelhantes.

8.2. Determina, em centímetros, o perímetro do triângulo \([ABC]\).

8.1. Os lados que formam o ângulo em \(C\) são proporcionais:

\(\dfrac{\overline{AC}}{\overline{EC}}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\) e \(\dfrac{\overline{BC}}{\overline{CD}}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)

Além disso, os ângulos \(ACB\) e \(DCE\) são verticalmente opostos, logo são iguais. Pelo critério LAL, os triângulos são semelhantes.

8.2. O perímetro do triângulo maior é:

\(P_{[CED]}=9+12+15=36\text{ cm}\)
\(P_{[ABC]}=\dfrac{1}{3}\times36=12\text{ cm}\)
O perímetro do triângulo \([ABC]\) é \(12\text{ cm}\).
9.

Retângulos: perímetros e áreas

Na figura estão representados os retângulos \([ABCD]\) e \([AEFG]\).

Retângulos semelhantes ABCD e AEFG sobrepostos

Sabe-se que:

  • o retângulo \([AEFG]\) é uma ampliação do retângulo \([ABCD]\) de razão \(\dfrac{3}{2}\);
  • o perímetro do retângulo \([ABCD]\) é \(18\text{ cm}\);
  • a área do retângulo \([AEFG]\) é \(\dfrac{81}{4}\text{ cm}^2\).

Apresentando todos os cálculos, determina:

9.1. O perímetro, em centímetros, do retângulo \([AEFG]\).

9.2. A área, em \(\text{cm}^2\), do retângulo \([ABCD]\).

9.1. Os perímetros variam na razão \(\dfrac{3}{2}\):

\(P_{[AEFG]}=\dfrac{3}{2}\times18=27\text{ cm}\)

9.2. A razão de redução é \(\dfrac{2}{3}\), pelo que a razão entre as áreas é \(\dfrac{4}{9}\):

\(A_{[ABCD]}=\dfrac{4}{9}\times\dfrac{81}{4}=9\text{ cm}^2\)
10.

Área de um quadrilátero

Na figura estão representados os triângulos \([ABC]\) e \([ADE]\).

Triângulo retângulo ABC com o triângulo ADE no seu interior

Sabe-se que:

  • o ponto \(D\) pertence ao segmento de reta \([AC]\);
  • o ponto \(E\) pertence ao segmento de reta \([AB]\);
  • \(\overline{AB}=4\text{ cm}\);
  • \(\overline{BC}=3\text{ cm}\);
  • \(\overline{AD}=2{,}5\text{ cm}\).

10.1. Justifica que os triângulos \([ABC]\) e \([ADE]\) são semelhantes.

10.2. Determina, em \(\text{cm}^2\), o valor aproximado, às centésimas, da área do quadrilátero \([BCDE]\). Mostra como chegaste à tua resposta.

10.1. Os triângulos têm o ângulo em \(A\) comum e têm também um ângulo reto: \(\angle ABC=\angle EDA=90^\circ\). Pelo critério AA, são semelhantes.

10.2. A razão entre o triângulo menor e o maior é:

\(r=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\dfrac{2{,}5}{4}=\dfrac{5}{8}\)

A área do triângulo maior é:

\(A_{[ABC]}=\dfrac{3\times4}{2}=6\text{ cm}^2\)

Como as áreas variam segundo \(r^2\):

\(A_{[ADE]}=\left(\dfrac{5}{8}\right)^2\times6=\dfrac{75}{32}\text{ cm}^2\)
\(A_{[BCDE]}=6-\dfrac{75}{32}=\dfrac{117}{32}=3{,}65625\text{ cm}^2\)
Às centésimas, a área do quadrilátero \([BCDE]\) é \(3{,}66\text{ cm}^2\).