1. Polígonos semelhantes e razão de semelhança
Qual das figuras não é semelhante às restantes?
A figura da opção (C) não é semelhante às restantes, pois não tem a mesma forma.
Observa os retângulos a seguir representados.
Qual das afirmações é verdadeira?
O retângulo A é semelhante ao retângulo B, pois têm a mesma forma. O comprimento e a largura do retângulo A são o dobro do comprimento e da largura do retângulo B.
As figuras seguintes são semelhantes entre si.
Qual das afirmações é falsa?
A opção falsa é a (D). De facto, a figura C é uma redução da figura B, mas a razão de semelhança é \(\tfrac{1}{2}\)... Aliás, numa redução a razão de semelhança é maior que zero e menor do que 1.
Verificação das restantes: (A) verdadeira — razão B→A = 2; (B) verdadeira — razão D→A = \(\tfrac{1}{4}\); (C) verdadeira — A e C têm as mesmas dimensões.
Considera a figura representada.
Qual das figuras seguintes é uma ampliação de razão 1,5 da figura representada?
A opção correta é a (A), pois a figura mantém a mesma forma e o quociente entre os comprimentos correspondentes é 1,5.
Considera as figuras representadas no quadriculado seguinte.
Sabendo que as figuras representadas são semelhantes, determina o valor de \(x\).
Tomando como unidade de comprimento a medida do lado da quadrícula:
\(r = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\) ⟹ \(x = 10 \times \dfrac{1}{4} = 2{,}5\)
Na figura estão representados os vários formatos de folha de papel e a relação entre os diferentes formatos. As dimensões apresentadas são valores em milímetros arredondados às unidades.
Considerando a folha A4 uma redução da folha A3, qual a razão de semelhança da redução, arredondada às milésimas?
A largura de uma folha A4 é \(210{,}25\) mm e a largura da folha A3 é \(297{,}25\) mm (cada passo divide por \(\sqrt{2}\) o formato anterior).
Razão de semelhança: \(\dfrac{210{,}25}{297{,}25} \approx 0{,}707\)
2. Polígonos semelhantes — comprimentos e ângulos
Considera os trapézios retângulos representados na figura, dos quais dois são semelhantes.
Os trapézios semelhantes são:
Os trapézios A e B têm, de um para o outro, os comprimentos dos lados correspondentes diretamente proporcionais. O comprimento de cada lado do trapézio B é o dobro do comprimento do lado correspondente do trapézio A.
Considera os triângulos representados na figura.
![Triângulos [ABC] e [DEF] com AB=7 e DE=3](figuras-semelhantes/image15.png)
Os triângulos são semelhantes e o triângulo \([ABC]\) é uma ampliação do triângulo \([DEF]\). Qual é a razão da ampliação?
A razão de semelhança é o quociente entre um comprimento da figura imagem (\([ABC]\)) e o comprimento correspondente na figura original (\([DEF]\)):
\(r = \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{7}{3}\)
As opções (C) e (D) são aproximações decimais de \(\tfrac{3}{7}\) e \(\tfrac{7}{3}\) respetivamente.
Os quadriláteros a seguir representados são semelhantes.
Os valores de \(x\) e \(y\) são:
Considerando \([EFGH]\) uma ampliação de \([ABCD]\), a razão de semelhança é:
\(r = \dfrac{EH}{AC} = \dfrac{8{,}25}{5{,}5} = 1{,}5\)
\(x = AB = \dfrac{EF}{r} = \dfrac{6}{1{,}5} = 4\) cm
\(y = HG = r \times DC = 1{,}5 \times 6 = 9\) cm
Os pentágonos representados na figura são semelhantes. O pentágono \([FGHIJ]\) é uma redução do pentágono \([ABCDE]\) de razão \(0{,}8\).
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
Em polígonos semelhantes os ângulos correspondentes são congruentes. Logo \(\widehat{GFJ} = \widehat{BAE} = 100°\) — a afirmação (A) é falsa.
\(AB = FG \div 0{,}8 = 4 \div 0{,}8 = 5\) cm — a afirmação (B) é falsa.
Se considerarmos uma ampliação a razão seria o inverso de \(0{,}8\), ou seja \(\tfrac{5}{4} = 1{,}25\) — a afirmação (C) é falsa.
\(JI = 0{,}8 \times AE = 0{,}8 \times 4{,}5 = 3{,}6\) cm — a afirmação (D) é verdadeira.
Os quadriláteros representados na figura são semelhantes.
Qual é a amplitude do ângulo \(\widehat{EHG}\)?
Como os quadriláteros são semelhantes, os ângulos correspondentes são congruentes:
\(\widehat{CBA} = \widehat{GFE} = 55°\)
Num quadrilátero a soma dos ângulos internos é \(360°\). No quadrilátero \([ABCD]\):
\(\widehat{ADC} = 360° - 105° - 55° - 103° = 97°\)
O ângulo \(\widehat{EHG}\) corresponde a \(\widehat{ADC}\), logo \(\widehat{EHG} = 97°\).
Os triângulos representados na figura são equiláteros. Sabe-se que:
![Triângulos equiláteros [ADE] e [ABC]](figuras-semelhantes/image19.png)
• o triângulo \([ADE]\) é uma ampliação do triângulo \([ABC]\);
• o perímetro do triângulo \([ABC]\) é de \(12\) cm;
• \(BD = 1{,}6\) cm.
Qual é a razão de semelhança da ampliação? Apresenta o resultado na forma decimal.
Como o triângulo \([ABC]\) é equilátero com perímetro \(12\) cm, cada lado mede:
\(AB = \dfrac{12}{3} = 4\) cm
O lado \([AD]\) do triângulo maior inclui \([AB]\) e \([BD]\):
\(AD = AB + BD = 4 + 1{,}6 = 5{,}6\) cm
Razão de semelhança: \(r = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{5{,}6}{4} = 1{,}4\)
3. Construção de figuras semelhantes pelo método da homotetia
Na figura, o triângulo \([A'B'C']\) foi obtido a partir do triângulo \([ABC]\) pelo método da homotetia de centro \(O\).
![Homotetia em quadriculado: triângulos [ABC] e [A'B'C'] com centro O](figuras-semelhantes/image20.png)
Qual é a razão da homotetia?
A partir da quadrícula, \(OB' = 2 \times OB\), logo a razão da homotetia é \(2\).
O triângulo \([A'B'C']\) foi obtido do triângulo \([ABC]\) pela homotetia de centro \(O\).
![Homotetia: triângulos [ABC] e [A'B'C'] com AB=4 cm e A'B'=2,4 cm](figuras-semelhantes/image21.png)
A razão da homotetia é:
As figuras obtidas pelo método da homotetia são semelhantes e a razão de semelhança é igual à razão da homotetia:
\(r = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{2{,}4}{4} = 0{,}6 = \dfrac{3}{5}\)
Na figura estão representados cinco retângulos.
Qual dos retângulos pode ser obtido a partir do retângulo \([ABCD]\) pelo método da homotetia de centro \(A\)?
Pelo método da homotetia, a imagem de cada ponto tem de pertencer à semirreta de centro \(A\) que passa por esse ponto. O único retângulo em que todos os vértices satisfazem esta condição é o retângulo (C).
Qual das seguintes afirmações é falsa?
A opção falsa é a (B). Para que duas figuras semelhantes possam ser obtidas uma da outra pelo método da homotetia, os lados correspondentes têm de ser paralelos. Não basta serem semelhantes.
Na figura, o triângulo \([A'B'C']\) é imagem do triângulo \([ABC]\) por uma homotetia de centro \(O\) e razão \(0{,}6\). Sabe-se que:
![Homotetia: triângulos [ABC] e [A'B'C'] com BC=CA=6,5 cm](figuras-semelhantes/image23.png)
• o triângulo \([ABC]\) é isósceles com \([BC] = [CA] = 6{,}5\) cm;
• o perímetro do triângulo \([ABC]\) é de \(18\) cm.
Qual é o comprimento, em cm, do segmento de reta \([A'B']\)?
\(AB = 18 - 6{,}5 - 6{,}5 = 5\) cm
\(A'B' = 0{,}6 \times AB = 0{,}6 \times 5 = 3\) cm
Na figura, o quadrilátero \([A'B'C'D']\) é imagem do quadrilátero \([ABCD]\) por uma homotetia de centro \(O\). Sabe-se que:
![Homotetia: quadriláteros [ABCD] e [A'B'C'D'] com centro O](figuras-semelhantes/image24.png)
• \(OA = 2\) cm; \(OA' = 5\) cm; \(OB = 8{,}5\) cm
Qual é o comprimento do segmento de reta \([BB']\), em centímetros?
Razão da homotetia: \(r = \dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\)
\(OB' = r \times OB = 2{,}5 \times 8{,}5 = 21{,}25\) cm
\(BB' = OB' - OB = 21{,}25 - 8{,}5 = 12{,}75\) cm
4. Critérios de semelhança de triângulos
- AA — dois ângulos correspondentes são congruentes.
- LLL — os três pares de lados correspondentes são proporcionais.
- LAL — dois pares de lados correspondentes são proporcionais e o ângulo compreendido entre eles é congruente.
Associa a cada par de triângulos, (I) e (II), o critério que justifica que os triângulos são semelhantes.
(I)
(II)
(I) \(\dfrac{6}{3} = \dfrac{7}{3{,}5} = \dfrac{8}{4} = 2\) — os três pares de lados são proporcionais. Critério LLL.
(II) \(\dfrac{13{,}5}{4{,}5} = \dfrac{10{,}5}{3{,}5} = 3\) e o ângulo compreendido é congruente. Critério LAL.
Considera os triângulos \([ABC]\) e \([DEF]\) representados na figura.
![Triângulos [ABC] e [DEF]](figuras-semelhantes/image27.png)
Qual das afirmações é falsa?
A opção falsa é a (D): no triângulo \([ABC]\) apenas conhecemos o comprimento de um lado, pelo que não é possível verificar o critério LAL.
Quais dos triângulos representados são semelhantes?
Os triângulos semelhantes são \([ABC]\) e \([DEF]\) pelo critério AA:
\(\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 35°\) e \(\widehat{ACB} = 180° - 35° - 45° = 100° = \widehat{DFE}\).
Dos triângulos representados na figura, dois são semelhantes. Quais são esses triângulos?
![Triângulos [ABC], [DEF] e [JLK] com medidas](figuras-semelhantes/image29.png)
Os triângulos semelhantes são \([ABC]\) e \([JLK]\) pelo critério LLL:
\(\dfrac{AB}{JK} = \dfrac{2}{1} = 2\), \(\dfrac{AC}{KL} = \dfrac{4}{2} = 2\), \(\dfrac{BC}{JL} = \dfrac{3}{1{,}5} = 2\).
Na figura, as retas \(r\) e \(s\) são paralelas e o ponto \(P\) é o ponto de interseção das retas \(u\) e \(v\).
![Retas paralelas com triângulos [ABP] e [EDP]](figuras-semelhantes/image30.png)
Qual das afirmações seguintes é falsa?
Os triângulos \([ECD]\) e \([ACB]\) são semelhantes pelo critério AA (ângulos verticalmente opostos e alternos internos).
Da proporcionalidade: \(\dfrac{1{,}8}{4{,}5} = \dfrac{3}{AB} \;\Leftrightarrow\; AB = \dfrac{4{,}5 \times 3}{1{,}8} = \dfrac{13{,}5}{1{,}8} = 7{,}5\) cm
Como \(AB = 7{,}5\) cm \(\neq 8\) cm, a afirmação (C) é falsa.
Na figura estão representados dois triângulos isósceles, sendo \(\widehat{BAC} = \widehat{CBA}\) e \(\widehat{EDF} = \widehat{DFA}\).
Atendendo aos dados apresentados, pode afirmar-se que:
Como os triângulos são isósceles com ângulo de vértice \(26°\):
\(\widehat{BAC} = \widehat{CBA} = \dfrac{180° - 26°}{2} = 77°\)
Do mesmo modo: \(\widehat{EDF} = \widehat{DFA} = 77°\).
Os dois triângulos têm dois ângulos iguais (\(26°\) e \(77°\)), logo são semelhantes pelo critério AA.
5. Critérios de semelhança de triângulos — Problemas
Considera os triângulos \([MAR]\) e \([SOL]\) representados na figura.
![Triângulos [MAR] e [SOL] com LS=4cm, SO=6cm, RM=8,8cm, MA=13,2cm e ângulo de 122°](figuras-semelhantes/image32.png)
O comprimento do lado \([AR]\) é igual a:
Os triângulos são semelhantes pelo critério LAL: \(\widehat{OSL} = \widehat{AMR} = 122°\) e
\(\dfrac{MA}{SO} = \dfrac{13{,}2}{6} = 2{,}2\) e \(\dfrac{MR}{SL} = \dfrac{8{,}8}{4} = 2{,}2\)
Logo a razão de semelhança é \(2{,}2\), e o lado \([AR]\) corresponde ao lado \([LO]\):
\(\dfrac{AR}{LO} = 2{,}2 \;\Leftrightarrow\; AR = 2{,}2 \times LO\)
Na rua do Pedro há um poste de telecomunicações com um cabo preso no topo e no solo. O poste, o cabo e o chão formam um triângulo retângulo. Para descobrir a altura do poste, o Pedro colocou um pau encostado, paralelo ao cabo, como o modelo apresentado na figura.
O Pedro fez algumas medições e registou que \(AD = 0{,}5\) m, \(DB = 2\) m e \(DE = 1{,}5\) m. Qual é, em metros, a altura do poste?
Os triângulos \([ADE]\) e \([ABC]\) são semelhantes pelo critério AA (ângulos retos e ângulo comum em A).
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{0{,}5}{0{,}5 + 2} = \dfrac{1{,}5}{BC} \;\Leftrightarrow\; BC = \dfrac{1{,}5 \times 2{,}5}{0{,}5} = 6\) m
Para determinar a altura de uma árvore, a Eva usou o esquema da figura.
Qual é a altura da árvore, em metros?
Os triângulos formados são semelhantes pelo critério AA. Seja \(x\) a altura da árvore:
\(\dfrac{x}{1{,}6} = \dfrac{4}{2} \;\Leftrightarrow\; x = \dfrac{4 \times 1{,}6}{2} = \dfrac{6{,}4}{2} = 3{,}2\) m
Para medir a largura de um rio, utilizou-se o método ilustrado na figura. As medidas apresentadas estão em metros.
Qual é, em metros, a largura do rio?
Pelo critério AA, os triângulos \([IAM]\) e \([IRO]\) são semelhantes (ângulos retos em A e O, e ângulos verticalmente opostos em I).
\(\dfrac{OR}{2{,}5} = \dfrac{6{,}9}{3} \;\Leftrightarrow\; OR = \dfrac{2{,}5 \times 6{,}9}{3} = \dfrac{17{,}25}{3} = 5{,}75\) m
Na figura está representado o retângulo \([ABCE]\) com diagonal \([AC]\). Sabe-se que:
![Retângulo [ABCE] com ponto F na diagonal e trapézio resultante](figuras-semelhantes/image36.png)
• o retângulo tem \(7\) cm de largura \((BC)\);
• \(AF = 15\) cm, \(FC = 10\) cm, \(FE = 14{,}4\) cm;
• o trapézio \([EBCF]\) é um trapézio retângulo.
Qual é a área, em cm², do trapézio \([EBCF]\)?
\(AC = AF + FC = 15 + 10 = 25\) cm
Triângulos semelhantes (critério AA): \(\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{FE}{BC} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{15}{25} = \dfrac{FE}{BC}\).
Altura do trapézio: \(EB = AB - FE\). Por proporcionalidade:
\(\dfrac{15}{25} = \dfrac{14{,}4}{AB} \;\Leftrightarrow\; AB = \dfrac{25 \times 14{,}4}{15} = 24\) cm ⟹ \(EB = 24 - 14{,}4 = 9{,}6\) cm
Base maior: \(BC = 7\) cm; base menor: \(\dfrac{15}{25} = \dfrac{FE_{\text{menor}}}{7} \;\Rightarrow\; FE_{\text{menor}} = \dfrac{15 \times 7}{25} = 4{,}2\) cm
Área \(= \dfrac{(7 + 4{,}2)}{2} \times 9{,}6 = \dfrac{11{,}2}{2} \times 9{,}6 = 5{,}6 \times 9{,}6 = 53{,}76\) cm²
Na figura, o quadrilátero \([ABFE]\) é um paralelogramo cuja área é de \(6\) cm².
![Paralelogramo [ABFE] com triângulo [ADF] e segmento [FEC]](figuras-semelhantes/image37.png)
Qual é a altura, em cm, do triângulo \([FEC]\) relativamente à base \([FE]\)?
Os triângulos \([ADF]\) e \([FEC]\) são semelhantes pelo critério AA.
Seja \(x\) a altura do triângulo \([ADF]\) relativamente a \([DF]\). Área do paralelogramo \(= 6\) cm² \(\Rightarrow\) base \(\times\) altura = 6, e como \([ADF]\) partilha a mesma base:
\(4 \times x = 6 \;\Leftrightarrow\; x = \dfrac{6}{4} = 1{,}5\) cm
Pela semelhança, seja \(y\) a altura de \([FEC]\) relativamente a \([FE]\):
\(\dfrac{2}{4} = \dfrac{1{,}5}{y} \;\Leftrightarrow\; y = \dfrac{4 \times 1{,}5}{2} = 3\) cm
6. Relações entre áreas e perímetros de figuras semelhantes
- A razão entre os perímetros é igual a \(k\).
- A razão entre as áreas é igual a \(k^2\).
Na figura estão representados dois triângulos semelhantes. O triângulo \([DEF]\) foi obtido a partir do triângulo \([ABC]\) por uma redução de razão \(0{,}5\). O perímetro do triângulo \([ABC]\) é de \(9\) cm.
![Triângulos semelhantes [ABC] e [DEF]](figuras-semelhantes/image38.png)
Qual é o perímetro, em cm, do triângulo \([DEF]\)?
A razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança:
\(\dfrac{P_{DEF}}{P_{ABC}} = 0{,}5 \;\Leftrightarrow\; \dfrac{P_{DEF}}{9} = 0{,}5 \;\Leftrightarrow\; P_{DEF} = 0{,}5 \times 9 = 4{,}5\) cm
Dois polígonos semelhantes têm perímetros de \(14\) cm e \(19{,}6\) cm. Qual é a razão de semelhança, considerando uma ampliação?
Como a razão entre perímetros é igual à razão de semelhança, e considerando uma ampliação (maior/menor):
\(r = \dfrac{19{,}6}{14} = 1{,}4\)
A razão de semelhança da ampliação de uma figura é \(3\). Qual é a razão entre a área da figura transformada e a área da figura original?
A razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança:
\(r^2 = 3^2 = 9\)
A razão de semelhança, na redução, que transforma uma figura A numa figura B é \(0{,}8\). Sabendo que a área da figura B é de \(10\) cm², qual é a área da figura A?
A razão entre as áreas é \(r^2 = 0{,}8^2 = 0{,}64\). Como B é a redução de A:
\(\dfrac{A_B}{A_A} = 0{,}64 \;\Leftrightarrow\; \dfrac{10}{A_A} = 0{,}64 \;\Leftrightarrow\; A_A = \dfrac{10}{0{,}64} = 15{,}625\) cm²
Dados dois retângulos semelhantes, a área do menor é de \(12\) cm² e a área do maior é de \(48\) cm². Sabendo que o perímetro do retângulo maior é de \(28\) cm, qual é o perímetro, em centímetros, do retângulo menor?
A razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança:
\(\dfrac{A_{\text{maior}}}{A_{\text{menor}}} = \dfrac{48}{12} = 4 \;\Rightarrow\; r^2 = 4 \;\Rightarrow\; r = 2\)
A razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança:
\(\dfrac{P_{\text{maior}}}{P_{\text{menor}}} = 2 \;\Leftrightarrow\; \dfrac{28}{P_{\text{menor}}} = 2 \;\Leftrightarrow\; P_{\text{menor}} = \dfrac{28}{2} = 14\) cm
Os triângulos \([ABC]\) e \([DEF]\) representados na figura são semelhantes. Sabe-se que:
![Triângulos semelhantes [ABC] e [DEF]](figuras-semelhantes/image39.png)
• a área do triângulo \([ABC]\) é de \(6\) cm²;
• o comprimento do lado \([AB]\) é de \(4\) cm;
• a área do triângulo \([DEF]\) é de \(96\) cm².
Determina a altura do triângulo \([DEF]\) relativamente ao lado \([DE]\).
Altura do triângulo \([ABC]\) relativamente a \([AB]\):
\(\dfrac{AB \times h}{2} = 6 \;\Leftrightarrow\; \dfrac{4 \times h}{2} = 6 \;\Leftrightarrow\; h = 3\) cm
Razão entre as áreas: \(\dfrac{A_{DEF}}{A_{ABC}} = \dfrac{96}{6} = 16 \;\Rightarrow\; r^2 = 16 \;\Rightarrow\; r = 4\)
Altura do triângulo \([DEF]\) relativamente a \([DE]\): \(h_{DEF} = r \times h = 4 \times 3 = 12\) cm